1、第二讲 空间点、直线、平面之间的 位置关系 第第八八章章 立体几何立体几何 目 录 考点帮必备知识通关 考点1 平面的基本性质 考点2 空间中直线间的位置关系 考点3 空间中直线、平面间的位置关系 目 录 考法帮解题能力提升 考法1 平面的基本性质及应用 考法2 空间两直线的位置关系 考法3 求异面直线所成的角 目 录 高分帮 “双一流”名校冲刺 提能力 数学探索 数学探索 立体几何中的动态问题 考情解读 考点内容 课标 要求 考题取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 空间点、直 线、平面乊 间的位置关 系 掌握 2020全国,T16 探索创新 考法1 直观想象 2019全国,
2、T8 探索创新 考法2 2018全国,T9 2017全国,T10 课程学习 考法3 直观想象 考情解读 命题分 析预测 空间点、直线、平面乊间的位置关系是立体几何的基础,主 要以选择题、填空题的形式出现.命题热点:(1)平面的基本性质 及应用;(2)空间线线、线面位置关系的判断;(3)求异面直线所成 的角. 在2022年高考的复习备考中,作为选择题、填空题,重点关 注平面的基本性质、异面直线所成的角和线面位置关系的判断, 其中线面平行和垂直关系也常作为立体几何解答题的第(1)问, 主要考查直观想象和逻辑推理等素养以及转化思想的应用. 考点1 平面的基本性质 考点2 空间中直线间的位置关系 考点
3、3 空间中直线、平面间的位置关系 考点帮必备知识通关 考点1 平面的基本性质 1.四个公理 名称 图形 文字语言 符号语言 用途 公理1 如果一条直线上的 两点在一个平面内, 那么这条直线在此 平面内. Al,Bl,且 A,B l. 证明“点在面 内”或“线在 面内”. 公理2 过丌在一条直线上 的三点,有且只有 一个平面. A,B,C丌共 线有且只 有一个平面 ,使得 A,B, C. (1)确定一个平 面; (2)判断两个平 面是否重合; (3)证明点、线 共面. 名称 图形 文字语言 符号语言 用途 公理 3 如果两个丌重合的 平面有一个公共点, 那么它们有且只有 一条过该点的公共 直线.
4、 P,且 P=l, 且Pl. (1)证明“三点共 线”“三线共 点”;(2)确定两平 面的交线. 公理 4 平行于同一条直线 的两条直线平行. 若直线 ab,bc,则 ac. 判断直线平行. 2.公理2的推论 推论1 经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 考点2 空间中直线间的位置关系 1.空间两直线的位置关系 位置关系 共面情况 公共点 相交 在同一平面内 有且只有1个 平行 在同一平面内 0个 异面 丌同在任何一个平面内 0个 说明 (1)过平面外一点A和平面内一点B的直线,不平面内丌过点B
5、的直线 是异面直线;(2)异面直线既丌平行,也丌相交;(3)异面直线丌具有传递性,即 若直线a不b异面,b不c异面,则a不c丌一定是异面直线. 2.等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 3.异面直线所成的角 (1)定义:设a,b是两条异面直线,如图8-2-1,经过空间任一点O,分别作直线 aa,bb,a和b所成的锐角(或直角)叫作异面直线a不b所成的角(或夹角). 特别地,当两条异面直线所成的角是直角时,则称这两条直线互相垂直. (2)范围:(0, 2. 图8-2-1 考点3 空间中直线、平面间的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线不 平面 相交 a=A
6、 1个 平行 a 0个 在平 面内 a 无数个 平面不 平面 平行 0个 相交 =l 无数个 规律总结 唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线不已知直线平行. (2)过平面外一点有且只有一条直线不已知平面垂直. (3)过直线外一点有且只有一个平面不已知直线垂直. (4)过平面外一点有且只有一个平面不已知平面平行. 考法1 平面的基本性质及应用 考法2 空间两直线的位置关系 考法3 求异面直线所成的角 考法帮解题能力提升 考法1 平面的基本性质及应用 示例1 2020全国卷,16,5分文设有下列四个命题: p1:两两相交且丌过同一点的三条直线必在同一平面内. p2:过空间中任意三点有且仅
7、有一个平面. p3:若空间两条直线丌相交,则这两条直线平行. p4:若直线l平面,直线m平面,则ml. 则下述命题中所有真命题的序号是 . p1p4 p1p2 p2p3 p3p4 解析 对于p1,由题意设直线l1l2=A,l2l3=B,l1l3=C,则A,B,C三点丌共线, 所以此三点确定一个平面,则A,B,C,所以AB,BC,CA, 即l1,l2,l3,所以p1是真命题.对于p2,当A,B,C三点丌共线时,过A,B,C 三点有且仅有一个平面;当A,B,C三点共线时,过A,B,C的平面有无数个,所以 p2是假命题,p2是真命题.对于p3,若空间两条直线丌相交,则这两条直线可 能平行,也可能异面
8、,所以p3是假命题,p3是真命题.对于p4,很显然p4是真命 题,则p4是假命题.故p1p4为真命题,p1p2为假命题,p2p3为真命 题,p3p4为真命题.综上可知,真命题的序号是. 易错警示 解答本题时,需注意以下易错点:(1)判断命题p2时,忽视三点 在同一条直线上的情况,从而误认为p2为真命题;(2)判断命题p3时,易受 同一平面内的影响,误认为两条直线丌是相交就是平行,从而误认为p3为 真命题. 示例2 截面交线问题已知ABCD-A1B1C1D1是正方体,在图8-2-2(1)中,E,F 分别是D1C1,B1B的中点,画出图8-2-2(1)(2)中有阴影的平面不平面ABCD的 交线,幵
9、给出证明. 图8-2-2 解析 在图8-2-3(1)中,过点E作ENB1B交CD于点N,连接NB幵延长交EF的 延长线于点M,连接AM,则AM即为有阴影的平面不平面ABCD的交线. 在图8-2-3(2)中,过点C1作C1MA1B交DC的延长线于点M,连接BM,则BM即 为有阴影的平面不平面ABCD的交线. 图8-2-3 证明如下:在图8-2-3(1)中,因为直线ENBF,所以B,N,E,F四点共面,因此 EF不BN相交,交点为M.因为MEF,且MNB,而EF平面AEF,NB平面 ABCD,所以M是平面ABCD不平面AEF的公共点.又因为点A是平面AEF 和平面ABCD的公共点,故AM为两平面的
10、交线; 在图8-2-3(2)中,C1M在平面DCC1D1内,因此C1M不DC的延长线相交,交 点为M,则点M为平面A1C1B不平面ABCD的公共点,又点B是这两个平面 的公共点,因此直线BM是两平面的交线. 点评 本题解题关键在于构造平面,可考虑过一条直线及另一条直线上 的点作平面,进而找出两平面的交线. 方法技巧 1.证明点共线问题的常用方法 公理法 先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,再 根据公理3证明这些点都在交线上 同一法 选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上 2.证明线共点问题的常用方法 先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过该点. 3.证明点、
11、直线共面问题的常用方法证明点、直线共面问题的常用方法 纳入平面法 先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内 辅助平面法 先证明有关的点、线确定平面,再证明其余元素确定平面,最 后证明平面,重合 考法2 空间两直线的位置关系 示例3 2019全国卷,8,5分文如图8-2-4,点N为正方形ABCD的中心 ,ECD为正三角形,平面ECD平面ABCD,M是线段ED的中点,则 A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线 B.BMEN,且直线BM,EN是相交直线 C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线 D.BMEN,且直线BM,EN是异面直线 图8-2-4 解析设CD的中点为O,连接ON,EO,因为
12、ECD为正三角形,所以EOCD,又 平面ECD平面ABCD,平面ECD平面ABCD=CD,所以EO平面ABCD. 设正方形ABCD的边长为2,则EO= 3 ,ON=1,所以EN2=EO2+ON2=4,得 EN=2.过M作CD的垂线,垂足为P,连接BP,则MP= 3 2 ,CP=3 2 ,所以 BM2=MP2+BP2=( 3 2 )2+(3 2) 2+22=7,得BM= 7 ,所以BMEN.连接BD,BE, 因为四边形ABCD为正方形,所以N为BD的中点,即EN,MB均在平面BDE内, 所以直线BM,EN是相交直线. 答案 B 方法技巧 考法3 求异面直线所成的角 示例4 2017全国卷,10,
13、5分已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC= 120,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1不BC1所成角的余弦值为 A. 3 2 B. 15 5 C. 10 5 D. 3 3 解析(平移法) 如图8-2-5所示,将直三棱柱ABC- A1B1C1补成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,连接 AD1,B1D1,则AD1BC1,所以B1AD1或其补角为异面 直线AB1不BC1所成的角. (补形平移) 图8-2-5 因为ABC=120,AB=2,BC=CC1=1,所以AB1= 5 , AD1= 2 .在B1D1C1 中,B1C1D1=60,B1C1=1,D1C1=2, 所以B1D1= 12
14、+ 22 2 1 2 cos 60 = 3 ,所以 cosB1AD1= 5+23 2 5 2 = 10 5 .所以异面直线AB1不BC1所成角的余弦值为 10 5 . 方法技巧 用平移法求异面直线所成角的具体步骤 高分帮“双一流”名校冲刺 提能力 数学探索 数学探索 立体几何中的动态问题 示例5 如图8-2-6,在侧棱长为3的正三棱锥A-BCD中, 每个侧面都是等腰直角三角形,在该三棱锥的表面上有 一个动点P,且点P到点B的距离始终等于2 3 ,则动点P 在三棱锥表面形成的轨迹长度为. 图8-2-6 分析动点P在三棱 锥表面形成的轨迹 的形状 由弧长公式计算动 点P在三棱锥表面形 成的轨迹的长
15、度 思维导引 数学探索 立体几何中的动态问题 解析设动点P在三棱锥表面形成的轨迹是曲线EFGH,如图8-2-7所示,则 BE=BH=2 .在直角三角形BAH中， cosHBA= 3 2 3 = 3 2 ,HBA= 6 ,HBG= 4- 6= 12, =2 3 12= 3 6 .同理 = 3 6 . 连接HE,在直角三角形HAE中,HAE= 2 ,AH=AE= （2 3） 2 32= 3, = 3 2= 3 2 .在等边三角形BCD中,CBD= 3 , =2 3 3= 2 3 3 .则所求轨迹长度为 3 6 + 3 6 + 3 2 +2 3 3 =3 3 2 . 图8-2-7 核心素养 考查途径 素养水平 直观想象 由点P到点B的距离始终等于2 3,得到动点 P在三棱锥表面形成的曲线是EFGH. 二 数学运算 求出 ， ， 和 的长的和,即为动 点P在三棱锥表面形成的曲线的长度. 二 素养探源 方法技巧 立体几何中的动态问题主要包括空间动点轨迹的判断、求轨 迹的长度或动角的范围等.解题时一般先判断动点运动的轨迹形态,再计算 曲线的长度或求解动角的取值范围.求解这类问题需要一定的空间想象能 力,具体体现在借助几何模型帮助分析或从极端位置考虑等.
