1、必考部分 第六章第六章 不等式不等式 第二讲 一元二次不等式及其解法 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 知识点一 一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数_零的不等 式ax2bxc0(a0)或ax2bxc0) (2)计算相应的_. (3)当_时,求出相应的一元二次方程的根 (4)利用二次函数的图象与x轴的_确定一元二次不等式的解 集 大于 判别式 0 交点 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 知识点二 三个二次之间的关系 判
2、别式 b24ac 0 0 0)的图象 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 判别式 b24ac 0 0 0)的根 有_实根 x1, x2(x10 (a0)的解集 x|_ x|xR 且_ _ ax2bxc0)的解集 x|_ _ _ 两相异 两相等 没有 xx2或xx1 xx1 R x1x0(a0) 恒 成 立 的 充 要 条 件 是 : a0 且 b2 4ac0(xR) 2 ax2 bx c0(a0) 恒 成 立 的 充 要 条 件 是 : a0 且 b2 4ac0(0(1,af(x)ag(x)f(x)g(x); 若 0aag(x)f(x)1,logaf(x)logag(x)
3、f(x)g(x)0; 若 0alogag(x)0f(x)g(x) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若不等式ax2bxc0. ( ) (2)若不等式ax2bxc0的解集是(,x1)(x2,),则方程 ax2bxc0的两个根是x1和x2. ( ) (3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根,则不等式ax2bxc0 的解集为R. ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 (4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0. ( ) (5)若二次函数yax2bxc
4、的图象开口向下,则不等式ax2bx c0 的解集是 ( ) A ,1 2 B 0,1 2 C(,0) 1 2, D 1 2, B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 3(必修5P80A组T4改编)已知集合Ax|x2x60,则RA等于 ( ) Ax|2x3 Bx|2x3 Cx|x3 Dx|x2x|x3 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 解析 x2x60,(x2)(x3)0, x3 或 x3 或 x0, 令 3x22x20,得 x11 7 3 ,x21 7 3 , 3x22x20 的解集为 ,1 7 3 1 7 3 , . ,1 7 3 1 7 3
5、 , 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 题组三 走向高考 5(2019 天津高考)设xR,使不等式3x2x20成立的x的取值范 围是_. 解析 3x2x20(x1)(3x2)0, (x1) x2 3 01x2 3, x 的取值范围是 1,2 3 . 1,2 3 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 考点一 一元二次不等式的解法多维探究 例例 1 角度 1 不含参数的不等式 解下列不等式 (1)2x2x30. 分析 (1)将二次项系数化为正数,变为 2x2x30,求方程 2x2 x30 的根,若无根,则解集为 R,若有根
6、,则按“小于取中间,大 于取两边”写出解集 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 解析 (1)化2x2x30, (x1)(2x3)0,即(x1) x3 2 0,x3 2或 x1, 原不等式的解集为(,1) 3 2, . (2)因为 0 的解集为 R. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 解一元二次不等式的一般步骤 (1)化:把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式 (2)判:计算对应方程的判别式 (3)求:求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没 有实根 (4)写:利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集 返回导航 高考一轮总复习 数
7、学(新高考) 第六章 不等式 例例 2 角度 2 含参数的不等式 解下列关于 x 的不等式: (1)ax2(a1)x10(aR); (2)x22ax20(aR); 分析 (1)因二次项系数含有字母,故需对其符号分类求解,即讨 论 a 与 0 的关系, 并注意根的大小关系, 即讨论1 a与 1 的关系, 故需分 a0, a0,0a1 五种情况求解; (2)由于系数中含有字母,故需考虑对应的方程有无实根,以及有根 时根的大小关系; 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 解析 (1)若 a0,原不等式等价于x10,解得 x1. 若 a0,则原不等式等价于 x1 a (x1)0,解
8、得 x1 a或 x1. 若 a0,原不等式等价于 x1 a (x1)0. 当 a1 时,1 a1, x1 a (x1)0 无解; 当 a1 时,1 a1,解 x1 a (x1)0 得1 ax1; 当 0a1 时,1 a1,解 x1 a (x1)0 得 1x1 a. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 综上所述:当 a0 时,解集为 x x1 a或x1 ;当 a0 时,解集 为x|x1;当 0a1 时,解集为 x 1x1 a ;当 a1 时,解集为; 当 a1 时,解集为 x 1 ax1 . 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 (2)对于方程 x22a
9、x20,因为 4a28,所以当 0,即 2 a 2时, x22ax20 无实根 又二次函数 yx22ax2 的图象开 口向上,所以原不等式的解集为; 当 0,即 a 2时,x22ax20 有两个相等的实根, 当 a 2时,原不等式的解集为x|x 2, 当 a 2时,原不等式的解集为x|x 2; 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 当 0,即 a 2或 a 2时,x22ax20 有两个不相等的实 根,分别为 x1a a22,x2a a22,且 x1x2,所以原不等式的 解集为x|a a22xa a22 综上, 当a 2或a 2时, 解集为x|a a22xa a22; 当 a
10、 2时,解集为x|x 2;当 a 2时,解集为x|x 2;当 2a 2时,解集为. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 含参数的不等式的求解往往需要分类讨论 (1)若二次项系数为常数,若判别式0,可先考虑分解因式,再对 根的大小分类讨论(分点由x1x2确定);若不易分解因式,可考虑求根公 式,以便写出解集,若0,则结合二次函数图象写出解集,若判别式 符号不能确定,则需对判别式分类讨论(分点由0确定) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 (2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,然后讨 论二次项系数大于零、小于零,以便确定解集形式 (3)
11、解简单分式不等式是通过移项、通分化为整式不等式求解,要注 意分母不能为零 (4)解简单的指数、对数不等式时,若底含有参数,则需对其是否大 于1分类求解,注意对数的真数必须为正 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 变式训练1 (1)(角度1)(2021 北京市海淀区期末)不等式x22x30的解集为 ( ) Ax|x1 Bx|x3 Cx|1x3 Dx|3x1 (2)(角度2)解不等式x2(a1)xa0(aR) D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 解析 (1)由x22x30得(x3)(x1)0,解得3x1时,x2(a1)xa0的解集为x|1xa, 当a
12、1时,x2(a1)xa0的解集为, 当a1时,x2(a1)xa0的解集为x|ax0 的解集是 x 1 2x 1 3 ,则不等式 x2bxa0 的解集是 ( ) Ax|2x3 Bx|x2 或 x3 C x 1 3x0 在区间1,5上有解,则 a 的取值范围是 ( ) A 23 5 , B 23 5 ,1 C(1,) D ,23 5 A 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 分析 (1)利用根与系数的关系求解 (2)令f(x)x2ax2,a280恒成立,又两根之积为负值,所 以只要f(1)0或f(1)0,于是得解;思路二:“正难则反”,求 x2ax20在区间1,5上恒成立的a的
13、取值集合,只需f(5)0,再求其 补集即可;思路三:分离参数 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 解析 (1)不等式 ax2bx10 的解集是 x|1 2x 1 3 , ax2bx10 的解是 x11 2和 x2 1 3,且 a0, 方程 f(x)0,有两个不等实根,又两根之积为负, 方程有一正根和一负根 解法一:不等式 x2ax20 在区间1,5上有解,只要 f(1)0 或 f10. 解得 a1 或23 5 a0 在区间1,5上有解的 a 的取值范围是 23 5 , . 解法三:x2ax20 在区间1,5上有解a2 xx 在1,5上有解 af(x)min(记 f(x)2
14、 xx,x1,5),显然 f(x)为减函数,f(x)minf(5) 23 5 ,a23 5 . 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 引申若不等式x2ax20在区间1,5上有解,则a的取值范围是 _. (,1) 解析 由例 3(2)的解析知, 不等式 x2ax20 在区间1,5上有解, a2 xx,x1,5有解,显然 g(x) 2 xx 在1,5上递减,gmax(x)g(1)1, a1. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 已知不等式的解集,等于知道了与之对应方程的根,此时利用韦达 定理或判别式即可求出参数的值或范围,为简化讨论注意数形结合,如 本例(
15、2)中对应的二次函数图象过点(0,2) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 变式训练 2 (1)关于 x 的不等式 x22ax8a20)的解集为(x1,x2),且 x2x1 15,则 a ( ) A5 2 B7 2 C15 4 D15 2 (2)(2021 九江模拟)若关于 x 的不等式 x24x2a0 在区间(1,4)内 有解,则实数 a 的取值范围是 ( ) A(,2) B(2,) C(6,) D(,6) A A 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 解析 (1)解法一: 由题意知 x1, x2是方程 x22ax8a20 的两根, 则 x1x22a
16、,x1x28a2.又 x2x115,(x2x1)2(x1x2)24x1x2 4a232a236a2152.a0,a15 6 5 2,故选 A 解法二:由 x22ax8a2(x2a)(x4a)0,不等式的解 集为(2a,4a) 又不等式的解集为(x1,x2),x12a,x24a.x2x14a( 2a)6a15,a5 2,故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 (2)解法一:由函数f(x)x24x2a图象的对称轴为x2.不等式 x24x2a0在区间(1,4)内有解f(4)0,即a0在区间(1,4)内有解等价 于a(x24x2)max,令g(x)x24x2,x(1,4),
17、g(x)g(4)2, a2.故选A 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 考点三 一元二次不等式恒成立问题师生共研 例例 4 已知 f(x)mx2mx1. (1)若对于 xR,f(x)0 恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)若对于 x1,3,f(x)m5 恒成立,求实数 m 的取值范围; (3)若对于|m|1,f(x)0 恒成立,求实数 x 的取值范围 分析 (1)二次项系数含有字母 m,应分 m0 和 m0 讨论求解; (2)数形结合,分类讨论;(3)把二次不等式转化为含 m 的一次不等式,根 据一次函数的性质求解 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不
18、等式 解析 (1)要使 mx2mx10 恒成立, 若 m0,显然10; 若 m0,则 m0, m24m0 4m0. 所以 m 的取值范围为(4,0 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 (2)要使 f(x)m5 在1,3上恒成立, 只需 mx2mxm0, 所以 m 6 x2x1.令 y 6 x2x1 6 x1 2 23 4 . 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 因为 t x1 2 23 4在1,3上是增函数, 所以 y 6 x2x1在1,3上是减函数 因此函数的最小值 ymin6 7. 所以 m 的取值范围是 ,6 7 . 返回导航 高考一轮总复习
19、数学(新高考) 第六章 不等式 (3)将不等式 f(x)0 整理成关于 m 的不等式为(x2x)m10. 令 g(m)(x2x)m1,m1,1 则 g10, g10 即 x2x10, x2x10, 解得1 5 2 x0(或0)对于一切 xR 恒成立的条 件是 a0, b24ac0或0. (2)一元二次不等式 ax2bxc0(或0)对于一切 xR 恒成立的条 件是 a0, b24ac0或0. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 2在给定某区间上恒成立 (1)当xm,n,f(x)ax2bxc0恒成立,结合图象,只需 f(x)min0即可; (2)当xm,n,f(x)ax2bx
20、c0恒成立,只需f(x)max0即可 3解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数一般地, 知道谁的范围,谁就是自变量,求谁的范围,谁就是参数 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 4“不等式 f(x)0 有解(或解集不空)的参数 m 的取值集合”是 “f(x)0 的解集为”即 “f(x)0 恒成立” 注意:ax2bxc0 恒成立 ab0 c0 或 a0 b24ac0 ; ax2bxc0 恒成立 ab0 c0 或 a0 b24ac0 . 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 变式训练3 (1)若不等式(a3)x22(a3)x40对一切xR恒成立,则实数
21、a取 值的集合为 ( ) A(,3) B(1,3) C1,3 D(1,3 (2)(2021 山西忻州第一中学模拟)已知关于x的不等式x24xm对任 意的x(0,1恒成立,则有 ( ) Am3 Bm3 C3m0 Dm4 D A 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 (3)已知对于任意的a1,1,函数f(x)x2(a4)x42a的值总 大于0,则x的取值范围是 ( ) Ax|1x3 Bx|x3 Cx|1x2 Dx|x2 B 解析 (1)当 a3 时,40 恒成立; 当 a3 时, a3, 4a3216a30, 解得1a3.所以10, g10 x23x20, x25x60 x3,
22、故选 B 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 一元二次方程根的分布 设一元二次方程 ax2bxc0(a0),记 f(x)ax2bxc. (1)方程无根 b24ac0,记其根为 x1,x2且 x10 b24ac0, x1x2b a0, x1x2c a0. 或x10 0, af00, b 2a0; x100 x1x2c a0 或 x10 x2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 af(0)0; x1x20, x1x2b a0, 或 x1x20, af00, b 2ax1k 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章
23、不等式 0, afk0, b 2ak, 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 x1kx2af(k)0; 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 x1x20, afk0, b 2ak. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 mx1n0, afn0; x1mx2n 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 afm0; mx1x20, afn0, m b 2a0. x1mnx2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 afm0, afn0. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 mx1nx
24、2p fm fn0, fn fp0. (1)一根在(1,2)内,另一根在(1,0)内应满足 f1f20 f0f10 即 m2m10 2m3m0 ,解得1 2m0. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 (2)一根在(1,1)内,另一根不在(1,1)内,应满足 f(1)f(1)0,即 (2m1)(2m3)1 2或 m 3 2,又m10,m1, m 范围 ,3 2 1 2,1 (1,) (3)一根小于 1,另一根大于 2,应满足 m1f10 m1f20 即 m12m10 m1m0 解得:0m1. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 (4)一根大于1,另一根
25、小于1, 应满足(m1)f(1)0,即(m1)(2m3)1 或 m3 2. (5)两根都在(1,3)内, 应满足 0 1m1 m10 m1f30 , 解得: 3 2m0 m1f00 ,解得:0m1. (7)两根都小于 1,应满足: 0 m1 m10 ,解得:m1 或 m1 2. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 (8)在(1,2)内有解应满足 0 1m1 m10 m1f20 或 f(1)f(2)0 解得1 2m0,经检验 m 1 2及 m0 都不合题意舍去, 1 2m0. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 变式训练4 (1)(2021 山东实验中学诊断)如果方程x2(m1)xm220的两个 实根一个小于1,另一个大于1,那么实数m的取值范围是_. (2)若方程x2(k2)xk0的两实根均在区间(1,1)内,则k的取值 范围为_. (2,1) 42 3k1 2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第六章 不等式 解析 (1)记 f(x)x2(m1)xm22, 由题意可知 f(1)m2m20,解得2m1. (2)由题意得, 0, 1k2 2 0, f10. 解得42 3k1 2. 谢谢观看