1、7.2 一元二次不等式及其解法,第七章 不等式,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程. 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 3.会解一元二次不等式.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,一元二次不等式的解集,知识梳理,ZHISHISHULI,x|xx2,x|x1 xx2,1.一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集与其对应的函数yax2bxc的图象有什么关系？,提示 ax2bxc0(a0)的解集就是其对应函数yax2bxc的
2、图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围.,【概念方法微思考】,2.一元二次不等式ax2bxc0(0)恒成立的条件是什么？,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若不等式ax2bxc0.( ) (2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.( ) (3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R. ( ) (4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.( ) (5)若二次函数yax2bxc的图象开口向下，则不等式ax2bxc0的解集一定不是空集.( ),
3、基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编,2.已知集合Ax|x2x60，则RA等于 A.x|23 D.x|x2x|x3,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,解析 x2x60， (x2)(x3)0， x3或x3或x2. 在数轴上表示出集合A，如图所示. 由图可得RAx|2x3. 故选B.,3.ylog2(3x22x2)的定义域是_.,1,2,3,4,5,6,解析 由题意，得3x22x20，,3x22x20的解集为,4.不等式x23x40的解集为_.(用区间表示),1,2,3,4,5,6,(4，1),题组三 易错自纠,解析 由x23x40可知，(x4)(x
4、1)0， 得4x1.,1,2,3,4,5,6,ab14.,14,6.不等式(a2)x22(a2)x40，对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是 A.(，2 B.(2，2 C.(2，2) D.(，2),另a2时，原式化为40，不等式恒成立， 2a2.故选B.,1,2,3,4,5,6,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 一元二次不等式的求解,命题点1 不含参的不等式,例1 (2019乌鲁木齐模拟)已知集合Ax|x2x20，By|y2x，则AB等于 A.(1，2) B.(2，1) C.(0，1) D.(0，2),解析 由题意得Ax|x2x20， ABx|0x2(0，2).故选D.,多维
5、探究,命题点2 含参不等式,解 原不等式变为(ax1)(x1)0，,例2 解关于x的不等式ax2(a1)x10).,当a1时，解集为；,当a1时，不等式的解集为；,对含参的不等式，应对参数进行分类讨论 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式判断根的个数. (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.,跟踪训练1 解不等式12x2axa2(aR).,解 原不等式可化为12x2axa20， 即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，,当a0时，不等式的解集为(，0)(0，)；,题型二 一元二次不等式恒成立问题,例3 已知函数f(x)mx2mx1.若对于xR，f
6、(x)0恒成立，求实数m的取值范围.,多维探究,解 当m0时，f(x)10恒成立.,命题点1 在R上的恒成立问题,综上，4m0，故m的取值范围是(4，0.,命题点2 在给定区间上的恒成立问题,例4 已知函数f(x)mx2mx1.若对于x1，3，f(x)5m恒成立，求实数m的取值范围.,解 要使f(x)m5在x1，3上恒成立，,有以下两种方法：,当m0时，g(x)在1，3上是增函数， 所以g(x)maxg(3)，即7m60，,当m0时，60恒成立； 当m0时，g(x)在1，3上是减函数，,所以g(x)maxg(1)，即m60， 所以m6，所以m0.,1.若将“f(x)5m恒成立”改为“f(x)5
7、m无解”，如何求m的取值范围？,解 若f(x)5m无解，即f(x)5m恒成立，,得m6，即m的取值范围为6，).,2.若将“f(x)5m恒成立”改为“存在x，使f(x)5m成立”，如何求m的取值范围？,解 由题意知f(x)5m有解，,又x1，3，得m6，即m的取值范围为(，6).,命题点3 给定参数范围的恒成立问题,解 设g(m)mx2mx1(x2x)m1，其图象是直线，当m1，2时，图象为一条线段，,例5 若mx2mx10对于m1，2恒成立，求实数x的取值范围.,解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.,跟踪训练2 函数f(x)x
8、2ax3. (1)当xR时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；,解 当xR时，x2ax3a0恒成立， 需a24(3a)0，即a24a120， 实数a的取值范围是6，2.,(2)当x2，2时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；,解 当x2，2时，设g(x)x2ax3a0，分如下三种情况讨论(如图所示)： 如图，当g(x)的图象与x轴不超过1个交点时， 有a24(3a)0，即6a2. 如图，g(x)的图象与x轴有2个交点， 但当x2，)时，g(x)0，,如图，g(x)的图象与x轴有2个交点， 但当x(，2时，g(x)0.,7a6， 综上，实数a的取值范围是7，2.,(3)当a4，6时，f(
9、x)0恒成立，求实数x的取值范围.,解 令h(a)xax23. 当a4，6时，h(a)0恒成立.,3,课时作业,PART THREE,1.已知集合Ax|x0，Bx|(x1)(x5)0，则AB等于 A.1，4) B.0，5) C.1，4 D.4，1) 4，5),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意得Bx|1x5， 故ABx|x0x|1x50，5).故选B.,基础保分练,2.(2018沈阳二十中联考)若不等式ax2bx20的解集为x|10的解集为 C.x|21,解析 不等式ax2bx20的解集为x|1x2， ax2bx20的两根为1，2，且a0
10、，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解得a1，b1，则所求不等式可化为2x2x10，,A.(3，0) B.3，0 C.3，0) D.(3，0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解得3k0.,4.若存在实数x2，4，使x22x5m0成立，则m的取值范围为 A.(13，) B.(5，) C.(4，) D.(，13),解析 mx22x5， 设f(x)x22x5(x1)24，x2，4， 当x2时f(x)min5，x2，4 使x22x5mf(x)min， m5.故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1
11、1,12,13,14,15,16,5.若不等式x2(a1)xa0的解集是4，3的子集，则a的取值范围是 A.4，1 B.4，3 C.1，3 D.1，3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 原不等式为(xa)(x1)0，当a1时，不等式的解集为1，a，此时只要a3即可，即1a3， 综上可得4a3.,6.不等式x22ax3a20)的解集为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 x22ax3a20，a3a，不等式的解集为x|ax3a.,x|ax3a,7.(2018烟台联考)不等式x 的解集为_.,1,2
12、,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 当x0时，原不等式等价于x21，解得x1； 当x 的解集为 (1，0)(1，).,(1，0)(1，),8.若关于x的不等式x2axa0的解集为R，则实数a的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(4，0),解析 因为x2axa0的解集为R， 所以(a)24(a)0，解得4a0，故实数a的取值范围是(4，0).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1，0,解得1x0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
13、,13,14,15,16,10.若不等式x2ax40对一切x(0，1恒成立，则a的取值范围为 _.,5，),则只要af(x)max即可. 由于函数f(x)在区间(0，1上单调递增， 所以f(x)maxf(1)5， 故a5.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 f(x)3x2a(6a)x6， f(1)3a(6a)6a26a30，,11.已知f(x)3x2a(6a)x6. (1)解关于a的不等式f(1)0；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 f(x)b的解集为(1，3)， 方程3x2a(6a)x6b0的两
14、根为1，3，,(2)若不等式f(x)b的解集为(1，3)，求实数a，b的值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 f(x)2x2bxc，不等式f(x)0的解集是(0，5)， 即2x2bxc0的解集是(0，5)， 0和5是方程2x2bxc0的两个根， b10，c0，f(x)2x210x.,12.已知f(x)2x2bxc，不等式f(x)0的解集是(0，5). (1)求f(x)的解析式；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 f(x)t2恒成立等价于2x210xt20恒成立， 2x210xt2在x1，1上的最大
15、值小于或等于0. 设g(x)2x210xt2，x1，1， 则由二次函数的图象可知g(x)2x210xt2在区间1，1上为减函数， g(x)maxg(1)10t， 10t0，即t10.,(2)若对于任意的x1，1，不等式f(x)t2恒成立，求t的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.若不等式x2ax20在区间1，5上有解，则a的取值范围是,所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图. 所以不等式在区间1，5上有解的充要条件是f(5)0，,解析 由a280知方程恒有两个不等实根，又因为x1x220，,技能提升练,14.已知对于
16、任意的x(，1)(5，)，都有x22(a2)xa0，则实数a的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1，5,解析 设f(x)x22(a2)xa， 当4(a2)24a0 对xR恒成立； 当a1时，f(1)0，不合题意； 当a4时，f(2)0 符合题意；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,综上所述，实数a的取值范围是(1，5.,即4a5.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.在关于x的不等式x2(a1)xa0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是
17、 A.(3，5) B.(2，4) C.1，3 D.2，4,解析 因为关于x的不等式x2(a1)xa1时，不等式的解集为x|1a1， 所以实数a的取值范围是a1，3，故选C.,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.设a0，(4x2a)(2xb)0在(a，b)上恒成立，则ba的最大值为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 当ab0时，x(a，b)，2xb0， 所以(4x2a)(2xb)0在(a，b)上恒成立， 可转化为x(a，b)，a4x2，,当a0b时，(4x2a)(2xb)0在(a，b)上恒成立， 当x0时，(4x2a)(2xb)ab0，不符合题意； 当a0b时，由题意知x(a，0)，(4x2a)2x0恒成立，,
