1、14 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法 【教材梳理】 1解不等式的有关理论 (1)若两个不等式的解集相同，则称它们是_ (2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为 不等式的_ (3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示 2一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过同解变形后，都可以化为 axb(a0)的形式当 a 0 时，解集为_；当 a0 时，解集为_若关于 x 的不等式 axb 的 解集是 R，则实数 a，b 满足的条件是_ 3一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式
2、，称为 _不等式 (2)使某个一元二次不等式成立的 x 的值叫做这个一元二次不等式的解，一 元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的_ (3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式 ax2bxc 0(或 ax2bxc0)(其中 a0)的形式，其对应的方程 ax2bxc0 有两个不 相等的实根 x1，x2，且 x1x2(此时 b24ac0)，则可根据“大于号取，小 于号取”求解集 (4)一元二次不等式的解 函数、方程与不等式 0 0 0 二次函数 yax2bxc (a0)的图象 一元二次方程 ax2bxc0 (a0)的根 有两相异实根x1,x2(x1x2) 有两相等实根 x
3、1x2 b 2a 无实根 ax2bxc0 (a0)的解集 R ax2bxc0 (a0)的解集 x|x1xx2 【常用结论】 4一元二次不等式恒成立 (1)ax2bxc0(a0)恒成立 a0， b24ac0 (2)ax2bxc0(a0)恒成立 a0， b24ac0 注意：若 a0，则恒成立的充要条件为 b0，cf(x)恒成立af(x)max； 若存在 xm，n，af(x)有解af(x)min； 若对任意 xm，n，af(x)无解af(x)min 对任意的 xm，n，af(x)恒成立 af(x)min； 若存在 xm，n，af(x)有解af(x)max； 若对任意 xm，n，ag(x)恒成立，只须
4、f(x)g(x)min0 存在 x0a，b，不等式 f(x0)g(x0)成立，只须f(x)g(x)max0 对任意 x1a，b，x2c，d，不等式 f(x1)g(x2)恒成立，只须 f(x)ming(x)max 存在 x1a，b，x2c，d，不等式 f(x1)g(x2)成立，只须 f(x)maxg(x)min 对任意 x1a，b，存在 x2c，d，不等式 f(x1)g(x2)成立，只须 f(x)ming(x)min 【自查自纠】 1(1)同解不等式 (2)同解变形 2 x|xb a x|xb a a0，b0 3(1)一元二次 (2)解集 (3)两边 中间 (4)x|xx1或xx2 x x b
5、2a 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“” ，错误的画“” (1)x2x0 的解集为(，0)(1，) ( ) (2)若二次不等式 ax2bxc0 的解集为(x1，x2)，则必有 a0 恒成立，则 a0 且 0( ) (4)a x0 的解集是(，2)(0，)( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5) (2019河北八所重点中学模拟)不等式 2x2x30 的解集为( ) A x1x3 2 Bx|x3 或 x1 C xx1或x3 2 Dx|x1 或 x1 解：由 2x2x30，得(x1)(2x3)0，解得 x3 2或 x0 的解集是(4，1)，则 不等式 b(x21)a(x3)
6、c0 的解集为( ) A 4 3，1 B(，1) 4 3， C(1，4) D(，2)(1，) 解：根据题意，若不等式 ax2bxc0 的解集是(4，1)， 则4 与 1 是方程 ax2bxc0 的根，且 a0， 则有 41b a， 41c a， 解得 b3a，c4a，且 a0 化为 3(x21)(x3)40， 整理得 3x2x 40，即(3x4)(x1)0解得4 3x0 的解集 为 4 3，1 故选 A 已知关于 x 的不等式 x2ax6a20(a0)的解集为(， x1)(x2， )，且 x2x15 2，则 a_ 解法一：由题意得， x1x2a， x1x26a2， 24可得(x2x1)225a
7、2， 又 x2x15 2，所以 25a250，解得 a 2，因为 a0(a0， 因为 a3a，所以解不等式得 x2a 或 x3a，所以 x13a， x22a又 x2x15 2，所以5a5 2，所以 a 2故填 2 考点一考点一 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法 (1)(2021届湖南百校9月联考)设集合Ax|xx2， Bx|x2x60|， 则 AB ( ) A(0，1) B(3，0)(1，2) C(3，1) D(2，0)(1，3) 解：因为 Ax|xx2(，0)(1，)， Bx|x2x60 时，2 a1， 所以原不等式的解集为 x|x1或x2 a ； 当2a0 时，2 a1， 所以原不
8、等式的解集为 x|2 ax1 ； 当 a2 时，2 a1， 所以原不等式的解集为x|x1； 当 a1， 所以原不等式的解集为 x|1x2 a 综上，不等式的解集为：当 a0 时，x|x1； 当 a0 时， x|x1或x2 a ； 当2a0 时， x|2 ax1 ； 当 a2 时，x|x1； 当 a0 的解集为x|3x0 的解集为( ) A x|1 2x 1 3 B x|x 1 3 Cx|3x2 Dx|x2 解：由题意得 5 a32， b a3（2）， 解得 a1， b6，所以不等式 bx 25xa0 为6x2 5x10，即(3x1) (2x1)0，所以解集为 x|1 2x0，0，x2， x1x
9、2，x1x2)已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的 两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数注意结合不等式解集的形式判 断二次项系数的正负 (1)(2020陕西汉中二模)对于实数 x，规定x表示不大于 x 的最大整数，那么不 等式 4x236x450 成立的 x 的取值范围是 ( ) A 3 2， 15 2 B2，8 C2，8) D2，7 解：由 4x236x450，得3 2x 15 2 ，又x表示不大于 x 的最大整数，所 以 2x8故选 C (2)若关于 x 的不等式 ax2x2a0， 0，即 a0， 18a20，解得a 2 4 ， 即a的取值范围是 2 4 ，故 填
10、 2 4 ， (3)已知不等式 ax23x60 的解集为x|bx1，b1 ()求 a，b； ()解不等式 ax2(acb)xbc0 的解集为x|bx1， 所以方程 ax23x60 的根为 x11，x2b， 所以 1b3 a， b6 a， 解得 a3， b2 ()由()知 a3， b2， 所以原不等式可化为3x2(3c2)x2c0 因为原不等式对应的方程(3x2)(xc)0 的根为 x12 3，x2c，所以原不 等式的解集由2 3和 c 的大小决定 当 c2 3时，原不等式的解集为 x|x2 3 ； 当 c2 3时，原不等式的解集为 x|x2 3 ； 当 c2 3时，原不等式的解集为 x|xc
11、考点二考点二 分式不等式与高次不等式的解法分式不等式与高次不等式的解法 命题角度 1 分式不等式的解法 (2020 年江苏响水中学高二学情分析)不等式x1 x 2 的解集为( ) A1，) B1，0) C(，1 D(，1(0，) 解：由x1 x 2 得1x x 0，即x1 x 0， 解得1x0故选 B 【点拨】 分式不等式解法：化分式不等式为标准型方法：移项，通分，右边化为 0，左边化为 f（x） g（x）的形式将分式不等式转化为整式不等式求解，如： f（x） g（x）0 f(x)g(x)0； f（x） g（x） 0f(x)g(x)0； f（x） g（x） 0 f（x）g（x）0， g（x）0
12、； f（x） g（x） 0 f（x）g（x）0， g（x）0 不等式 x1 2x11 的解集为_ 解： x1 2x11 x1 2x110 x2 2x1 0 x2 2x10 方法一： x2 2x10 （x2）（2x1）0， 2x10 得x|x1 2或 x2 方法二： x2 2x10 x20， 2x10 或 x20， 2x10 得x|x1 2或 x2 故填x|x1 2或 x 2 命题角度 2 高次不等式的解法 (2020 年江苏淮阴中学高二期末)不等式x 2x4 x1 1 的解集为 ( ) Ax|x3 Bx|x1 或 1x3 Cx|1x3 Dx|1x1 或 1x0，即x 22x3 x1 0，等价于
13、(x1)(x1)(x3)0 如图，由穿针引线法得1x3， 所以原不等式的解集为x|1x3故选 C 【点拨】 高次不等式的解法：基本思路：先因式分解，再用穿根法注意： 因式分解后，整理成每个因式中未知数的系数为正步骤：第一步，在数轴上标出 化简后各因式的根，使等号成立的根标为实点，等号不成立的根标为虚点；第二步， 自右向左、自上而下穿线，遇偶次重根不穿透，遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿)； 第三步，数轴上方曲线对应区域使“”成立，下方曲线对应区域使“5”是“x4”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解：x4 x5 等价于 x25x4 x 0，等
14、价于 x(x1)(x4)0，由穿根法得 0 x4 记集合 A(0，1)(4，)，B(4，)， 因为 BA，所以“x4 x5”是“x4”的必要不充分条件 故选 B 考点三考点三 和一元二次不等式有关的恒成立问题和一元二次不等式有关的恒成立问题 (1)设函数 f(x)mx2mx1 ()若对于一切实数 x，f(x)0 恒成立，求 m 的取值范围； ()对于 x1，3，f(x)m5 恒成立，求 m 的取值范围 解：()若 m0，显然10 恒成立； 若 m0，则 m0， m24m04m0 所以 m 的取值范围为(4，0 ()方法一：f(x)m5 恒成立，即 m(x2x1)60， 所以 m 6 x2x1，
15、 在 x1， 3上恒成立 又函数 y 6 x2x1 6 x1 2 2 3 4 在1，3上的最小值为6 7，所以只需 m 6 7即可所以 m 的取值范围为 ，6 7 方法二：要使 x1，3时，f(x)m5 恒成立， 需 m x1 2 2 3 4m60，x1，3 令 g(x)m x1 2 2 3 4m6，x1，3 则需 g(x)max0 时， g(x)在1， 3上是增函数， 所以 g(x)maxg(3)7m6， 所以 7m60， 解得 m6 7，所以 0m 6 7 当 m0 时，60 恒成立 当 m0 时，g(x)在1，3上是减函数所以 g(x)maxg(1)m60，解得 m6， 所以 m0 恒成立 f（m）0， f（n）0， 即直线上两点的函数值均大于零， 则由直线的特点可知， 两点之间的所有点的函数 值均大于零同理，若 f(x)0 恒成立 f（m）0， f（n）2xm 恒成立，则实数 m 的取值范围是_ 解：要使在区间1，1上，不等式 f(x)2xm 恒成立，只需 mf(x)2xx23x 1 在 x1，1上恒成立，设 g(x)x23x1，只须 mg(x)min，x1，1， g(x)x23x1 x3 2 2 5 4，所以当 x1 时，g(x)ming(1)1，所以 m1， 所以实数 m 的取值范围是(，1)故填(，1)
