2022高考数学一轮总复习课件:1.4 一元二次不等式及其解法
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1、14 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法 【教材梳理】 1解不等式的有关理论 (1)若两个不等式的解集相同,则称它们是_ (2)一个不等式变形为另一个不等式时,若两个不等式是同解不等式,这种变形称为 不等式的_ (3)解不等式变形时应进行同解变形;解不等式的结果,一般用集合表示 2一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过同解变形后,都可以化为 axb(a0)的形式当 a 0 时,解集为_;当 a0 时,解集为_若关于 x 的不等式 axb 的 解集是 R,则实数 a,b 满足的条件是_ 3一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式
2、,称为 _不等式 (2)使某个一元二次不等式成立的 x 的值叫做这个一元二次不等式的解,一 元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的_ (3)若一元二次不等式经过同解变形后,化为一元二次不等式 ax2bxc 0(或 ax2bxc0)(其中 a0)的形式,其对应的方程 ax2bxc0 有两个不 相等的实根 x1,x2,且 x1x2(此时 b24ac0),则可根据“大于号取,小 于号取”求解集 (4)一元二次不等式的解 函数、方程与不等式 0 0 0 二次函数 yax2bxc (a0)的图象 一元二次方程 ax2bxc0 (a0)的根 有两相异实根x1,x2(x1x2) 有两相等实根 x
3、1x2 b 2a 无实根 ax2bxc0 (a0)的解集 R ax2bxc0 (a0)的解集 x|x1xx2 【常用结论】 4一元二次不等式恒成立 (1)ax2bxc0(a0)恒成立 a0, b24ac0 (2)ax2bxc0(a0)恒成立 a0, b24ac0 注意:若 a0,则恒成立的充要条件为 b0,cf(x)恒成立af(x)max; 若存在 xm,n,af(x)有解af(x)min; 若对任意 xm,n,af(x)无解af(x)min 对任意的 xm,n,af(x)恒成立 af(x)min; 若存在 xm,n,af(x)有解af(x)max; 若对任意 xm,n,ag(x)恒成立,只须
4、f(x)g(x)min0 存在 x0a,b,不等式 f(x0)g(x0)成立,只须f(x)g(x)max0 对任意 x1a,b,x2c,d,不等式 f(x1)g(x2)恒成立,只须 f(x)ming(x)max 存在 x1a,b,x2c,d,不等式 f(x1)g(x2)成立,只须 f(x)maxg(x)min 对任意 x1a,b,存在 x2c,d,不等式 f(x1)g(x2)成立,只须 f(x)ming(x)min 【自查自纠】 1(1)同解不等式 (2)同解变形 2 x|xb a x|xb a a0,b0 3(1)一元二次 (2)解集 (3)两边 中间 (4)x|xx1或xx2 x x b
5、2a 判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“” ,错误的画“” (1)x2x0 的解集为(,0)(1,) ( ) (2)若二次不等式 ax2bxc0 的解集为(x1,x2),则必有 a0 恒成立,则 a0 且 0( ) (4)a x0 的解集是(,2)(0,)( ) 解:(1); (2); (3); (4); (5) (2019河北八所重点中学模拟)不等式 2x2x30 的解集为( ) A x1x3 2 Bx|x3 或 x1 C xx1或x3 2 Dx|x1 或 x1 解:由 2x2x30,得(x1)(2x3)0,解得 x3 2或 x0 的解集是(4,1),则 不等式 b(x21)a(x3)
6、c0 的解集为( ) A 4 3,1 B(,1) 4 3, C(1,4) D(,2)(1,) 解:根据题意,若不等式 ax2bxc0 的解集是(4,1), 则4 与 1 是方程 ax2bxc0 的根,且 a0, 则有 41b a, 41c a, 解得 b3a,c4a,且 a0 化为 3(x21)(x3)40, 整理得 3x2x 40,即(3x4)(x1)0解得4 3x0 的解集 为 4 3,1 故选 A 已知关于 x 的不等式 x2ax6a20(a0)的解集为(, x1)(x2, ),且 x2x15 2,则 a_ 解法一:由题意得, x1x2a, x1x26a2, 24可得(x2x1)225a
7、2, 又 x2x15 2,所以 25a250,解得 a 2,因为 a0(a0, 因为 a3a,所以解不等式得 x2a 或 x3a,所以 x13a, x22a又 x2x15 2,所以5a5 2,所以 a 2故填 2 考点一考点一 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法 (1)(2021届湖南百校9月联考)设集合Ax|xx2, Bx|x2x60|, 则 AB ( ) A(0,1) B(3,0)(1,2) C(3,1) D(2,0)(1,3) 解:因为 Ax|xx2(,0)(1,), Bx|x2x60 时,2 a1, 所以原不等式的解集为 x|x1或x2 a ; 当2a0 时,2 a1, 所以原不
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