1、必考部分 第六章第六章 不等式不等式 第四讲 基本不等式 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 知识点一 重要不等式 a2b2_(a，bR)(当且仅当_时等号成立) 知识点二 基本不等式 abab 2 (均值定理) (1)基本不等式成立的条件：_； (2)等号成立的条件：当且仅当_时等号成立； (3)其中ab 2 叫做正数 a，b 的_， ab叫做正数 a，b 的 _. 2ab ab a0，b0 ab 算术平均数 几何平均数 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不
2、等式 知识点三 利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果 x，y(0，)，且 xyP(定值)， 那么当_时，xy 有最小值 2 P.(简记：“积定和最小”) (2)如果 x，y(0，)，且 xyS(定值)， 那么当 xy 时，xy 有最大值S 2 4 .(简记：“和定积最大”) xy 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 常用的几个重要不等式 (1)ab2 ab(a0，b0)(当且仅当 ab 时取等号) (2)ab ab 2 2(a，bR)(当且仅当 ab 时取等号) (3) ab 2 2a 2b2 2 (a，bR)(当且仅当 ab 时取等号) 返回导航 高考一轮总复习
3、 数学（新高考） 第六章 不等式 (4)b a a b2(a，b 同号)(当且仅当 ab 时取等号) (5) 2 1 a 1 b abab 2 a2b2 2 (a，b0 当且仅当 ab 时取等号) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数 f(x)cos x 4 cos x，x 0， 2 的最小值等于 4. ( ) (2)“x0 且 y0”是“x y y x2”的充要条件 ( ) (3)(ab)24ab(a，bR) ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 (4)若 a0，则
4、 a3 1 a2的最小值为 2 a. ( ) (5)不等式 a2b22ab 与ab 2 ab有相同的成立条件 ( ) (6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 题组二 走进教材 2(必修 5P100练习 T1 改编)若 x0，则 x1 x ( ) A有最小值，且最小值为 2 B有最大值，且最大值为 2 C有最小值，且最小值为2 D有最大值，且最大值为2 D 解析 因为 x0，x 1 x2，当且仅当 x1 时， 等号成立，所以 x1 x2. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 3(必修 5P100练习 T
5、3 改编)设 0ab，则下列不等式中正确的是 ( ) Aab abab 2 Ba abab 2 b Ca abbab 2 D abaab 2 b B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 解析 解法一(特值法)：代入 a1，b2，则有 0a1 ab 2 ab 2 1.5b2. 解法二(直接法)：我们知道算术平均数ab 2 与几何平均数 ab的大小 关系，其余各式作差(作商)比较即可，答案为 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 4(必修5P100A组T2改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场 地，则矩形场地的最大面积是_m2. 25 解析 设矩
6、形的一边为 x m，面积为 y m2， 则另一边为1 2(202x)(10 x)m，其中 0 x0，y0，x2y4，则x12y1 xy 的最小 值为_. 解析 x12y1 xy 2xyx2y1 xy 2xy5 xy 2 5 xy. x0，y0，4x2y2 x 2y，解得 00，b0，且 ab1，则 1 2a 1 2b 8 ab的最小值为_. 4 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 (2)(2021 吉林模拟)已知 x2， 若 f(x)x 1 x2在 xn 处取得最小值， 则 n ( ) A5 2 B3 C7 2 D4 (3)(2021 重庆南开中学质检)已知实数 a，b1
7、，且满足 abab5， 则 2a3b 的最小值为_. B 17 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 解 析 (1) 1 2a 1 2b 8 ab ab 2ab 8 ab ab 2 8 ab 2 ab 2 8 ab4，当且仅当 ab 2 8 ab，即(ab) 216，也即 ab 4 时取等号又ab1， a2 3， b2 3 或 a2 3， b2 3 时取等号， 1 2a 1 2b 8 ab的最小值为 4. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 (2)由 f(x)x 1 x2(x2) 1 x224，当且仅当 x2 1 x20， 即 x3 时，取得等号，故选
8、 B (3)由 abab56(a1)(b1) 36(2a2)(3b3) 2a23b3 2 2 则 2a3b17，当且仅当 a4，b3 取最小值 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 引申f(x)x 1 x2的值域为_. (，04，) 解析 f(x)(x2) 1 x22， |(x2) 1 x2|x2| 1 |x2|2 (当且仅当|x2|1 即 x3 或 1 时取等号) (x2) 1 x22 或 x2 1 x22， f(x)4 或 f(x)0， 即 f(x)的值域为(，04，) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 拼凑法求最值的技巧 (1)用均值定理求最值
9、要注意三个条件：一正、二定、三相等“一 正”不满足时，需提负号或加以讨论，“二定”不满足时，需变形， “三相等”不满足时，可利用函数单调性 (2)求乘积的最值同样要检验“一正、二定、三相等”，如例(2)的 关键是变形，凑出积为常数 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 例例 2 角度 2 换元法求最值 (1)已知 x5 4，求函数 y 16x228x11 4x5 的最小值； (2)(2021 百校联盟尖子生联考)已知 a，bR ，且 a2bab16， 则 ab 的最小值为 ( ) A16 B32 C64 D128 B 思路 (1)通过换元转化为形如 AxB x C 形式的函
10、数 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 解析 (1)设 4x5t，则 xt5 4 .x5 4，t0. y 16 t5 4 228 t5 4 11 t t 23t1 t t1 t 3235. 当且仅当 t1 即 x3 2时，上式取“”号 x3 2时，ymin5. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 答案 (1)5 (2)ab16a2b2 2ab，令 abt， 则 t22 2t160t2 2 72 2 4 2， 故 ab32，即 ab 最小值为 32.(当且仅当 a8，b4 时取等号)故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 思
11、路 (2)先利用乘常数法或消元法，再利用基本不等式求解最 值 例例 3 角度 3 常数代换法求最值 (1)已知正数 x，y 满足 x2y4，则2 x 1 y最小值为_； (2)已知正数 x，y 满足8 x 1 y1，则 x2y 的最小值为_. 2 18 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 解析 (1)2 x 1 y 2 x 1 y (x2y)1 4 1 4 4x y 4y x 1 4 42 x y 4y x 2. 当且仅当x y 4y x ，即 4y2x2， x2y4 x2， y1 时取等号 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 (2)解法一： x2y
12、 8 x 1 y (x2y)10 x y 16y x 102 x y 16y x 18， 当且仅当 8 x 1 y1， x y 16y x 即 x12， y3 时“”成立， 故 x2y 的最小值是 18. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 解法二(消元法)：由8 x 1 y1，得 y x x8，由 y0 x x80，又 x0 x8， 则 x2yx 2x x8x 2x816 x8 x2 16 x8(x8) 16 x8 102x8 16 x81018，当且仅当 x8 16 x8，即 x12(x4 舍去)，y3 时，“”成立，故 x2y 的最小值为 18. 返回导航 高考一轮
13、总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 常数代换法的技巧 (1)常数代换法就是利用常数的变形以及代数式与“1”的积、商都是 自身的性质，通过代数式的变形构造和式或积式为定值，然后利用基本 不等式求最值 (2)利用常数代换法求解最值应注意：条件的灵活变形，常数化成 1是代数式等价变形的基础；利用基本不等式求最值时“一正、二 定、三相等”的检验，否则容易出现错解 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 变式训练 1 (1)(角度 1)(2021 宁夏银川一中月考)已知正数 x、y 满足 xy1，则 1 x 4 1y的最小值为 ( ) A2 B9 2 C14 3 D5 B 返回导航
14、 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 (2)(角度 2)(2021 山东师大附中模拟)若正数 x，y 满足 x5y3xy， 则 5xy 的最小值为_； (3)(角度 3)(2020 天津七校期中联考)已知 a0，b0，且 1 a1 1 b1， 求 ab 的最小值_. 12 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 解析 (1)xy1，所以 x(1y)2， 则 2 1 x 4 1y x(1y) 1 x 4 1y 4x 1y 1y x 52 4x 1y 1y x 59， 所以1 x 4 1y 9 2， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 当且仅
15、当 4x 1y 1y x xy1 ，即当 x2 3 y1 3 时取等号 1 x 4 1y的最小值为 9 2，故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 (2)x0，y0，x5y3xy，即5 x 1 y3， 5xy1 3 5 x 1 y (5xy) 1 3 265y x 5x y 1 3 262 5y x 5x y 12， (当且仅当 xy2 时取等号) 5xy 的最小值为 12， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 另解：x0，y0，x5y3xy，即 x 5y 3y1， 令 3y1t，则 yt1 3 ，(t0)， 5xy 25y 3y1y 25 3
16、 11 t t1 3 26 3 1 3 25 t t 26 3 2 3 25 t t12. (当且仅当 t5，即 xy2 时取等号) 5xy 的最小值为 12. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 (3)a0，b0，且 1 a1 1 b1， ab(a1)b1 1 a1 1 b (a1)b1 b a1 a1 b 12 b a1 a1 b 13， 当且仅当 a1b，即 a1，b2 时取等号， ab 的最小值为 3， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 另解：(换元法)由 1 a1 1 b1 得 b1 1 a，(a0)， aba1 a12 a 1 a13，
17、 当且仅当 a1，b2 时取等号， ab 的最小值为 3. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 考点二 利用基本不等式求参数的范围师生共研 例例 4 若正数 a，b 满足 abab3，则 (1)ab 的取值范围是_； (2)ab 的取值范围是_. 9，) 6，) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 解析 (1)abab32 ab3， 令 t ab0，t22t30，(t3)(t1)0. t3 即 ab3，ab9，当且仅当 ab3 时取等号 (2)abab3，ab3 ab 2 2. 令 tab0，t24t120，(t6)(t2)0. t6 即 ab6，当
18、且仅当 ab3 时取等号 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 利用方程的思想是解决此类问题的常规解法 另外，本例第二问也可用如下方法求解：由已知 ba3 a10，a 10， abaa3 a1a a14 a1 a1 4 a1(a1) 4 a126. 当且仅当 ab3 时取等号 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 变式训练2 (2020 黑龙江哈尔滨三中期中)已知x0，y0，x2y2xy8，则x 2y的最小值是_. 4 解析 解法一：x0，y0，x2y2xy8. (2y1)(x1)9 且 x10,2y10 x2y(2y1)(x1)22 2y1 x124.
19、(当且仅当 x 2，y1 时取等号) x2y 的最小值为 4. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 解法二：x0，y0，2xy 2yx 2 22yx 4 2 (当且仅当 x2，y1 时取等号) 又 x2y2xy8， x2yx2y 4 28， (x2y4)(x2y8)0， x2y40，即 x2y4 (当且仅当 x2，y1 时取等号) x2y 的最小值为 4. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 解法三：x0，y0，x2y2xy8， x82y 12y 9 2y11， x2y 9 2y1(2y1)22 9 2y1 2y124 (当且仅当 y1 时取等号)
20、x2y 的最小值为 4. 秒杀解法：x2y2xy8，即 x2yx 2y8.由条件及结论关于 x、 2y 的对称性知当 x2y2 时 x2y 取最小值为 4. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 考点三 利用基本不等式解决实际问题师生共研 例例 5 某人准备在一块占地面积为 1 800 m2的矩形地块中间建三 个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为 1 m 的小路(如图所示)，大棚总占地 面积为 S m2，其中 ab12，则 S 的最大值为_. 1 568 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 解析 由题意可得 xy1 800，b2a，x3，y3， 则 yab
21、33a3， 所以 S(x2)a(x3)b(3x8)a(3x 8)y3 3 1 8083x8 3y 1 8083x8 3 1 800 x 1 808 3x4 800 x 1 80823x4 800 x 1 8082401 568， 当且仅当 3x4 800 x ，即 x40，y45 时等号成立，S 取得最大值， 所以当 x40，y45 时，S 取得最大值为 1 568. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 应用基本不等式解决实际问题的步骤：仔细阅读题目，深刻理解 题意；找出题目中的数量关系，并设出未知数，并用 它表示其它的量，把要求最值的量设为函数；利用基本不等式求 出最值
22、；再还原成实际问题，作出解答 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 变式训练3 某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m3，深度为3 m如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，要使 水池总造价最低，那么水池底部的周长为_m. 160 解析 设水池底面一边的长度为 x m，则另一边的长度为4 800 3x m， 由题意可得水池总造价 f(x)1504 800 3 120 23x234 800 3x 240 000720 x1 600 x (x0)， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 则 f(x)720 x1
23、600 x 240 000 7202x 1 600 x 240 000 720240240 000297 600， 当且仅当 x1 600 x ，即 x40 时，f(x)有最小值 297 600， 此时另一边的长度为4 800 3x 40(m)， 因此，要使水池的总造价最低，水池底部的周长应为 160 m. 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 例例 6 基本不等式的综合应用 角度 1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题 设等差数列an的公差为 d， 其前 n 项和是 Sn， 若 a1d1， 则S n8 an 的最小值是_. 9 2 返回导航
24、 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 解析 ana1(n1)dn，Snn1n 2 ， 所以S n8 an n1n 2 8 n 1 2 n16 n 1 1 2 2n 16 n 1 9 2， 当且仅当 n4 时取等号，所以S n8 an 的最小值是9 2. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 例例 7 角度 2 求参数值或取值范围 已知不等式(xy) 1 x a y 9 对任意正实数 x，y 恒成立，则 正实数 a 的最小值为 ( ) A2 B4 C6 D8 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 解析 已知不等式(xy) 1 x a y 9
25、 对任意正实数 x，y 恒成立，只 要求(xy) 1 x a y 的最小值大于或等于 9，1ay x ax y a2 a1， 当且仅当 y ax 时， 等号成立， a2 a19， a2 或 a4(舍 去)，a4，即正实数 a 的最小值为 4，故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立 条件，从而得参数的值或范围 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 变式训练 4 (1)(角度 1)已知函数 f(x)ax2bx(a0，b0)的图象在点(1，f(1)处 的切线的斜率为 2，则8ab ab 的最小
26、值是 ( ) A10 B9 C8 D3 2 (2)设 x0，y0，不等式1 x 1 y m xy0 恒成立，则实数 m 的最小值 是_. B 4 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 解析 (1)由函数 f(x)ax2bx，得 f(x)2axb， 由函数 f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线斜率为 2， 所以 f(1)2ab2，所以8ab ab 1 a 8 b 1 2 1 a 8 b (2ab) 1 2 10b a 16a b 1 2 102 b a 16a b 1 2(108)9， 当且仅当b a 16a b ，即 a1 3，b 4 3时等号成立， 所以8ab ab 的最小值为 9，故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第六章 不等式 (2) 原问题等价于 m xy 1 x 1 y 恒成立， x0，y0，等价于 m 1 x 1 y (xy)的最大值 而 1 x 1 y (xy)2 y x x y 224， 当且仅当 xy 时取“”，故 m4. 谢谢观看
