2022高考数学一轮总复习课件:1.3 不等式的性质
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1、13 不等式的性质不等式的性质 【教材梳理】 1两个实数大小的比较 (1)abab_ (2)abab_ (3)abab_ 2不等式的性质 (1)对称性:ab_ (2)传递性:ab,bc_ (3)不等式加等量:abac_bc (4)不等式乘正量:ab,c0_; 不等式乘负量:ab,cb,cd_ (6)同向不等式相乘:ab0,cd0_ (7)不等式的乘方:ab0_ (8)不等式的开方:ab0_ 【常用结论】 3不等式相减、相除及取倒数 (1)异向不等式相减:ab,cb0,0cb,ab01 a 1 b 4分数性质 若 ab0,m0,则 (1)真分数性质:b a bm am(bm0) (2)假分数性质
2、:a b am bm; a b0) 【自查自纠】 10 0 0 2(1)bc (3) (4)acbc acbd (6)acbd (7)anbn(nN 且 n2) (8) n a n b(nN 且 n2) 判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“”,错误的画“” (1)若a b1,则 ab ( ) (2)一个不等式的两边加上或乘以同一个实数,不等号方向不变 ( ) (3)一个非零实数越大,则其倒数就越大 ( ) (4)ab0,cd0a d b c ( ) (5)若 abc,且 abc0,则 a0,b0,cb,则下列不等 式一定成立的是 ( ) Aa1 ab 1 b B2 020 absinb D
3、a(c21)b(c21) 解:由 a1,b1 知 A 不正确;由 ab 得 ab0,则 2 020a b1,B 不正确;取 a2,b0 知 C 不正确;c210,由不等式性质知 D 正确故 选 D (2020 年广东珠海高一下期末)已知 a0,b0,则 pb 2 a a 与 qba 2 b 的大 小关系是( ) Apq Bpq Cpq D无法确定 解:因为 a0,b0, 所以 pqb 2a2 a b 2a2 b (b 2a2)(ba) ab (ba) 2(ba) ab 0,当 且仅当 ba 时取等号,所以 pq 故选 B (2021届江苏淮阴中学月考)若 1a3,4b2,则 a|b|的取 值范
4、围是_ 解:若 1a3,4b2,则4|b|0,故3a|b|0,c a d b0,则 ab0 B若 ab 1 b C若 ab,cd,则 acbd D若 ab1d1,则 loga(bd)0,bcad0,所以 ab0; B 错误,因为 ab 1 b不一定成立; C 错误,因为 ab,cd,所以令 a3,b1,c2,d0,则 acbd,所以 acbd 不一 定成立; D 正确,因为 ab1d1,所以 adbd1, 所以 loga(bd)loga(ad) 又因为 loga(ad)logb(ad), 所以 loga(bd)logb(ad)故选 AD (2)【多选题】(2021届陕西西安中学月考)若1 a
5、1 b0,给出下列不等式,其 中正确的是 ( ) A 1 ab0 Ca1 ab 1 b Dlna 2lnb2 解:由1 a 1 b0,可知 ba0 A 中,因为 ab0,所以 1 ab0故有 1 ab 1 ab,A 正确;B 中,因为 baa0故b|a|,即|a|b0,B 错误;C 中,因为 ba0,又1 a 1 b 1 b0,所以 a 1 ab 1 b,C 正确;D 中,因为 baa20,而 ylnx 在(0,)上为增函 数,所以 lnb2lna2,D 错误由以上分析,知 AC 正确故选 AC 【点拨】 利用不等式性质进行命题的判断时:判断不等式是否成立,需要逐一给 出推理判断或反例说明;在
6、判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和 不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,判断的 同时常常还要用到其他知识,比如对数函数、指数函数的性质等;一般数学结论都有 前提,不等式性质也是如此,在运用不等式性质之前,一定要准确把握前提条件,一定 要注意不可随意放宽其成立的前提条件;不等式性质包括“充分条件(或者是必要条 件)”和“充要条件”两种,前者一般是证明不等式的理论基础,后者一般是解不等式的 理论基础 (1)已知实数 a,b,c 满足 ab0c,则下列不等式中所有成立的序号为_ a2cb2c; acab3; c b c a; a 1 bb 1 a 解
7、:不成立,因为 ab0,所以 a2b2,又因为 c0,所以 a2cbc; 成立,因为 ab0,所以 a2b2,ab0,所以 a2abb2ab,即 a3bab3;不成立,因为 ab0,所以1 b 1 a,又因 为 c0,所以c bb0,所以 1 b 1 a,所以 a 1 bb 1 a故填 (2)【多选题】(2021 辽宁辽西联合校高三上期中)下列选项中说法正 确的是( ) A若 ac2bc2,则必有 ab B若 ab 与1 a 1 b同时成立,则 abb,则 lna2lnb2 D若 ab0,cd0,则a dbc2,则必有 c20,由不等式的性质可得 ab,故正确; 对于 B,由1 a 1 b可得
8、 1 a 1 b ba ab 0,因为 ab,所以 ba0,所以 abb,但 a2b2,此时 lna2lnb2,故错误; 对于 D,因为 cd1 c 1 d,两边同乘1,得 1 d 1 c0,又 ab0, 故由不等式的性质可知a d b c0,两边相乘1,得 a d b c,故正确 故选 ABD 考点二考点二 利用不等式性质求代数式的取值范围利用不等式性质求代数式的取值范围 (1)【多选题】(2021 届辽宁辽阳市九月联考)设 x,y 为实数,满足1x 2,0y1,则下列说法正确的是( ) Axy 的取值范围是(1,3 Bxy 的取值范围是2,2) Cxy 的取值范围是1,2 Dx 2 y 的
9、取值范围是1,) 解:由于1x2,0y1,所以1xy3,A 正确由于 1x2,1y0,所以2xy2,B 正确当1x0, 0y1 时,1y0,则 0 xy1,则1xy0,所以 xy 的取值范围是1,0);当 x0 时,xy0;当 0 x2,0y1 时, xy 的取值范围是(0,2,C 正确当 x0 时,x 2 y 0,D 错误故选 ABC (2)已知1xy4 且 2xy3,则 2x3y 的取值范围是_ 解法一:设 2x3y(xy)(xy) ()x()y, 则 2, 3 1 2, 5 2 所以 2x3y1 2(xy) 5 2(xy), 而21 2(xy) 1 2,5 5 2(xy) 15 2 ,
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