1、13 不等式的性质不等式的性质 【教材梳理】 1两个实数大小的比较 (1)abab_ (2)abab_ (3)abab_ 2不等式的性质 (1)对称性：ab_ (2)传递性：ab，bc_ (3)不等式加等量：abac_bc (4)不等式乘正量：ab，c0_； 不等式乘负量：ab，cb，cd_ (6)同向不等式相乘：ab0，cd0_ (7)不等式的乘方：ab0_ (8)不等式的开方：ab0_ 【常用结论】 3不等式相减、相除及取倒数 (1)异向不等式相减：ab，cb0，0cb，ab01 a 1 b 4分数性质 若 ab0，m0，则 (1)真分数性质：b a bm am(bm0) (2)假分数性质
2、：a b am bm； a b0) 【自查自纠】 10 0 0 2(1)bc (3) (4)acbc acbd (6)acbd (7)anbn(nN 且 n2) (8) n a n b(nN 且 n2) 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“” (1)若a b1，则 ab ( ) (2)一个不等式的两边加上或乘以同一个实数，不等号方向不变 ( ) (3)一个非零实数越大，则其倒数就越大 ( ) (4)ab0，cd0a d b c ( ) (5)若 abc，且 abc0，则 a0，b0，cb，则下列不等 式一定成立的是 ( ) Aa1 ab 1 b B2 020 absinb D
3、a(c21)b(c21) 解：由 a1，b1 知 A 不正确；由 ab 得 ab0，则 2 020a b1，B 不正确；取 a2，b0 知 C 不正确；c210，由不等式性质知 D 正确故 选 D (2020 年广东珠海高一下期末)已知 a0，b0，则 pb 2 a a 与 qba 2 b 的大 小关系是( ) Apq Bpq Cpq D无法确定 解：因为 a0，b0， 所以 pqb 2a2 a b 2a2 b （b 2a2）（ba） ab （ba） 2（ba） ab 0，当 且仅当 ba 时取等号，所以 pq 故选 B (2021届江苏淮阴中学月考)若 1a3，4b2，则 a|b|的取 值范
4、围是_ 解：若 1a3，4b2，则4|b|0，故3a|b|0，c a d b0，则 ab0 B若 ab 1 b C若 ab，cd，则 acbd D若 ab1d1，则 loga(bd)0，bcad0，所以 ab0； B 错误，因为 ab 1 b不一定成立； C 错误，因为 ab，cd，所以令 a3，b1，c2，d0，则 acbd，所以 acbd 不一 定成立； D 正确，因为 ab1d1，所以 adbd1， 所以 loga(bd)loga(ad) 又因为 loga(ad)logb(ad)， 所以 loga(bd)logb(ad)故选 AD (2)【多选题】(2021届陕西西安中学月考)若1 a
5、1 b0，给出下列不等式，其 中正确的是 ( ) A 1 ab0 Ca1 ab 1 b Dlna 2lnb2 解：由1 a 1 b0，可知 ba0 A 中，因为 ab0，所以 1 ab0故有 1 ab 1 ab，A 正确；B 中，因为 baa0故b|a|，即|a|b0，B 错误；C 中，因为 ba0，又1 a 1 b 1 b0，所以 a 1 ab 1 b，C 正确；D 中，因为 baa20，而 ylnx 在(0，)上为增函 数，所以 lnb2lna2，D 错误由以上分析，知 AC 正确故选 AC 【点拨】 利用不等式性质进行命题的判断时：判断不等式是否成立，需要逐一给 出推理判断或反例说明；在
6、判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和 不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，判断的 同时常常还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等；一般数学结论都有 前提，不等式性质也是如此，在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定 要注意不可随意放宽其成立的前提条件；不等式性质包括“充分条件(或者是必要条 件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的 理论基础 (1)已知实数 a，b，c 满足 ab0c，则下列不等式中所有成立的序号为_ a2cb2c； acab3； c b c a； a 1 bb 1 a 解
7、：不成立，因为 ab0，所以 a2b2，又因为 c0，所以 a2cbc； 成立，因为 ab0，所以 a2b2，ab0，所以 a2abb2ab，即 a3bab3；不成立，因为 ab0，所以1 b 1 a，又因 为 c0，所以c bb0，所以 1 b 1 a，所以 a 1 bb 1 a故填 (2)【多选题】(2021 辽宁辽西联合校高三上期中)下列选项中说法正 确的是( ) A若 ac2bc2，则必有 ab B若 ab 与1 a 1 b同时成立，则 abb，则 lna2lnb2 D若 ab0，cd0，则a dbc2，则必有 c20，由不等式的性质可得 ab，故正确； 对于 B，由1 a 1 b可得
8、 1 a 1 b ba ab 0，因为 ab，所以 ba0，所以 abb，但 a2b2，此时 lna2lnb2，故错误； 对于 D，因为 cd1 c 1 d，两边同乘1，得 1 d 1 c0，又 ab0， 故由不等式的性质可知a d b c0，两边相乘1，得 a d b c，故正确 故选 ABD 考点二考点二 利用不等式性质求代数式的取值范围利用不等式性质求代数式的取值范围 (1)【多选题】(2021 届辽宁辽阳市九月联考)设 x，y 为实数，满足1x 2，0y1，则下列说法正确的是( ) Axy 的取值范围是(1，3 Bxy 的取值范围是2，2) Cxy 的取值范围是1，2 Dx 2 y 的
9、取值范围是1，) 解：由于1x2，0y1，所以1xy3，A 正确由于 1x2，1y0，所以2xy2，B 正确当1x0， 0y1 时，1y0，则 0 xy1，则1xy0，所以 xy 的取值范围是1，0)；当 x0 时，xy0；当 0 x2，0y1 时， xy 的取值范围是(0，2，C 正确当 x0 时，x 2 y 0，D 错误故选 ABC (2)已知1xy4 且 2xy3，则 2x3y 的取值范围是_ 解法一：设 2x3y(xy)(xy) ()x()y， 则 2， 3 1 2， 5 2 所以 2x3y1 2(xy) 5 2(xy)， 而21 2(xy) 1 2，5 5 2(xy) 15 2 ，
10、所以 32xy8，即 2xy(3，8) 解法二：令 axy， bxy，则 xab 2 ， yab 2 ， 且1a4，2b3 所以 2x3y2 ab 2 3 ab 2 a 2 5 2b， 因为1a4，2b3， 所以2a 2 1 2，5 5 2b 15 2 ， 所以 3a 2 5 2b0，y0，且1 8 1 xy2 1 3，16 x4 y281，得 2 x3 y427，故 x3 y4的最大值是 27 解法二：设x 3 y4 x2 y m (xy2)n， 则 x3y 4x2mny2nm， 所以 2mn3， 2nm4，即 m2， n1 又因为 16 x2 y 2 81，1 8(xy 2)11 3， 所
11、以 2x 3 y427，故 x3 y4的最大值为 27故填 27 【点拨】 由 af(x，y)b，cg(x，y)d，求 F(x，y)的取值范围，可利用待定 系数法解决，即设 F(x，y)mf(x，y)ng(x，y)(或其他形式)，通过恒等变形求得 m， n 的值， 再利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求得 F(x， y)的取值范围换 元法也是解决不等式问题的常用方法题(2)极易分别求出 x，y 的取值范围再通 过不等式同向可加性求 2x3y 的范围，即由题得1 2x 7 2，2y1，进而 12x7， 33y6，从而22x3yy01，则y0 x0的取值范围为( ) A 3，1 3 B(，3
12、) 1 3， C 3，1 3 D(，3 1 3， 解：由题意 3x0y020，y03x02，因为 x0y01，所以 x03x0 21，解得 x03 4， y0 x0 3x02 x0 3 2 x0，因为 x0 3 4，所以 1 x00，所以3 2 x0 1 3，所以 y0 x0(，3) 1 3， 另解：数形结合故选 B (2)已知 2 2，则 2 一定不属于 ( ) A(，) B 2， 2 C(，0) D(0，) 解：因为 2 2，所以 2 20，即0， 2 2 0，所以 2 一定不属于(0，)故选 D (3)若1lgx y2，1lg(xy)4，则 lg x2 y 的取值范围是_ 解：由 1lg
13、(xy)4，1lgx y2， 得 1lgxlgy4，1lgxlgy2， 则 lgx 2 y 2lgxlgy1 2(lgxlgy) 3 2(lgxlgy)， 所以1lgx 2 y 5故填1，5 考点三考点三 作差或作商比较大小作差或作商比较大小 (1)若 a0，b0，则 pb 2 a a 2 b 与 qab 的大小关系为 ( ) Apq Dpq 解：pqb 2 a a 2 b ab b 2a2 a a 2b2 b (b2a2) 1 a 1 b （b 2a2）（ba） ab （ba） 2（ba） ab ， 因为 a0，b0，所以 ab0 若 ab，则 pq0，即 pq； 若 ab，则 pq0，即
14、p0，b0，且 ab，试比较 aabb与(ab) ab 2 的大小 解：因为 a0，b0， 所以 aabb （ab） ab 2 a(aab 2 )b(bab 2 )a ab 2 b ba 2 a b ab 2 ， 若 ab0，则a b1，ab0， 由指数函数的性质知 a b ab 2 1； 若 ba0，则 0a b1，ab1 综上知， aabb （ab） ab 2 1，又(ab) ab 2 0，所以 aabb(ab) ab 2 【点拨】 作差(商)比较法的步骤是：作差(商)；变形： 配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；判断符号(判 断商和“1”的大小关系)；给出结论 (1)(2019甘
15、肃兰州模拟)设 0 x1x2 x( x1)20，所 以 ba，cb 1 1x(1x) x2 1x0，所以 cb，所以 cbA所以 c 最大 解法二：取 x1 8，则 a 1 2，b1 1 8，c 8 71 1 7，显然 c 最大故填 c (2)已知abc0，求证：a 2a b 2b c 2c ab cbcacab 证明： a2ab2bc2c ab cbcacab a b ab b c bc a c ac ， 因为 abc0，所以a b1， b c1， a c1，ab0，bc0，ac0 所以 a b ab a b 0 1，同理得 b c bc 1， a c ac 1，所以 a b ab b c
16、bc a c ac 1 又因为 ab cbcacab0，所以 a2ab2bc2cabcbcacab 思想方法微专题 函数思想在比较大小中的应用 (1)【多选题】(2021届唐山市高三摸底)设 0ab1，0c1，则( ) Acacb Blogcalogcb Cacbc Dlogaclogbc 解：因为 0c1，所以函数 ycx和函数 ylogcx 均为(0，)上的减函数，又 0abcb，logcalogcb0，则 logac0)在(0，)上为增函数及 0ab，可得 acbc，故 C 正确故选 CD (2)(2020全国卷)若 2alog2a4b2log4b， 则 ( ) Aa2b Ba2b Ca
17、b2 Dab2 解：因为 2alog2a4b2log4b22blog2b，22blog2b22blog22b1，即 2alog2a22blog22b1，所以 2a log2a22blog22b，设 f(x)2xlog2x，因为 f(x)2xlog2x 在(0，)上单调递增，所以 a2b故选 B (3)(2021 年新高考八省模拟演练)已知 a5 且 ae55ea，b4 且 be44eb，c3 且 ce3 3ec，则 ( ) Acba Bbca Cacb Dabc 解：因为 ae55ea，a0，同理 b0，c0， 令 f(x)e x x ，x0，则 f(x)e x（x1） x2 ， 当 0 x1
18、 时，f(x)1 时，f(x)0， 故 f(x)在(0，1)为减函数，在(1，)为增函数， 因为 ae55ea，a5，故e 5 5 e a a ，即 f(5)f(a)，而 0a5，故 0a1， 同理 0b1，0cf(4)f(3)，故 f(a)f(b)f(c)， 所以 0abcb1，则( ) Aln(ab)0 B2a b3ab Ca1 ab 1 b Da 1 a0，故对四个选项依次构造函数 ylnx，yxa b，yx1 x，yx 1 x，易知 均在(1，)上单调递增，又 ab0 ab1，从而可得仅 C 正确 解法二：对于 A，取 a3，b2，则 ln(ab)ln10，故错误； 对于 B，取 a3
19、，b2，则 21b1 可知 ab10，ab0，ab0，故 （ab1）（ab） ab 0，故 a1 ab 1 b，故正确；对于 D，由 ab1 可知 1 b 1 a，由同向不等式相加的 性质可得 a1 bb 1 a，即 a 1 ab 1 b，故错误故选 C (2)【多选题】下列说法正确的是 ( ) A若 3x3y4 x4y，则 xy Bsin31sin4 C3lnln3 De2 525e(其中 e2718 28为自然对数的底数) 解：对于 A，整理为 3x4 x3y4y，构造 f(x)3x4x，为增函数，故由 f(x)f(y)得 xy，正确； 对于 B， 等价变形为 3sin34sin4， 构造 f(x)xsinx， f(x)1cosx0， 为增函数， 故 f(3)f(4)， 正确； 对于 C，变形为ln ln3 3 ，构造 f(x)lnx x ，f(x)1lnx x2 ，f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调 递减，故 f()f(3)，C 正确； 对于 D，两边取对数，得 25lneeln25，即lne e ln25 25 ，由 C 的判断过程知错误故选 ABC
