2022高考数学一轮总复习课件:1.5 基本不等式

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资源描述

1、15 基本不等式基本不等式 【教材梳理】 1如果 a0,b0,那么_叫做这两个正数的算术平均数 2如果 a0,b0,那么_叫做这两个正数的几何平均数 3重要不等式:a,bR,则 a2b2_ (当且仅当 ab 时取等号) 4基本不等式:a0,b0,则_,当且仅当 ab 时等号成立,即两个正数 的算术平均数不小于它们的几何平均数 5求最小值:a0,b0,当 ab 为定值时,ab,a2b2有_,即 a b_,a2b2_简记为:积定和最小 6求最大值:a0,b0,当 ab 为定值时,ab 有最大值,即_,亦即 _;或 a2b2为定值时,ab 有最大值(a0,b0),即_简记为: 和定积最大 【常用结论

2、】 7基本不等式的常用推论 (1)ab ab 2 2 a 2b2 2 (a,bR) (2)当 ab0 时,b a a b2; 当 ab0,b0) 对于第 4 条中的几个式子,当 a0,b0 时, 2 1 a 1 b 称为 a,b 的调和平均数, a2b2 2 称为 a,b 的 平方平均数,即有:正数 a,b 的调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数另外,以上 4 组不等式,等号成立的条件均为“当且仅当 ab” 8三元均值不等式 (1)abc 3 3 abc (2)a 3b3c3 3 abc 以上两个不等式中 a,b,cR,当且仅当 abc 时等号成立 9三个定理 熟悉以下定理,常使解题更简捷

3、 (1)定理 1(二维形式柯西不等式) 若 a,b,c,d 都是实数,则(a2b2)(c2d2)(acbd)2,当且仅当 adbc 时,等号成立 (2)定理 2(一般形式的柯西不等式) 设 a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是实数,则(a2 1a 2 2a 2 n)(b 2 1b 2 2b 2 n)(a1b1a2b2 anbn)2,当且仅当 bi0(i1,2,n)或存在一个数 k,使得 aikbi(i1,2,n)时,等号成立 (3)定理 3(排序不等式,又称排序原理) 设 a1a2an,b1b2bn为两组实数,c1,c2,cn是 b1,b2,bn的任一排列,则 a1bna2bn 1

4、anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn,即反序和乱序和顺序和当且仅当 a1a2 an或 b1b2bn时,反序和等于顺序和 【自查自纠】 1ab 2 2ab 32ab 4ab 2 ab 5最小值 2 ab 2ab 6ab ab 2 2 ab1 4(ab) 2 aba 2b2 2 判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“”,错误的画“” (1)a,bR,(ab)24ab ( ) (2)a0,b0,则 a2b22 ab ( ) (3)函数 yx1 x的最小值是 2 ( ) (4)函数 f(x)cosx 4 cosx,x 0, 2 的最小值等于 4 ( ) (5)“x0 且 y0”是

5、“x y y x2”的充分不必要条件 ( ) 解:(1); (2); (3); (4); (5) 已知 x5 4,则 f(x)4x2 1 4x5的最大值为( ) A0 B1 C3 D5 解:因为 x0,则 f(x)4x2 1 4x5 54x 1 54x 3 2(54x) 1 54x3231当且仅当 54x 1 54x,即 x1 时,等号成 立故选 B (2019首都师范大学附中模拟)在各项均为正数的等比数列 an中, a63,则 a4a8 ( ) A有最小值 6 B有最大值 6 C有最大值 9 D有最小值 3 解:因为 a63,所以 a4a8a2 69,所以 a4a82 a4a86,当且仅当

6、a4 a83 时等号成立故选 A (2021届黄冈高三9月质检)若实数 a,b 满足1 a 4 b ab,则 ab 的最 小值为( ) A 2 B2 C2 2 D4 解:依题意知,a0,b0,所以1 a 4 b ab2 1 a 4 b 4 abab4当 且仅当1 a 4 b时等号成立故选 D (2020天津卷)已知 a0,b0,且 ab1,则 1 2a 1 2b 8 ab的最小值 为_ 解:依题意得, 1 2a 1 2b 8 ab ab 2ab 8 ab ab 2 8 ab2 ab 2 8 ab4,当且仅当 a0, b0, ab1, ab 2 8 ab, 即 ab1, ab4时取等号因此 1

7、2a 1 2b 8 ab的最小值为 4故填 4 考点一考点一 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 命题角度 1 直接求最值 已知 a0,b0,且 4ab1,则 ab 的最大值为_ 解法一:因为 a0,b0,4ab1,所以 14ab2 4ab4 ab,当且仅当 4a b1 2,即 a 1 8,b 1 2时,等号成立所以 ab 1 4,ab 1 16,则 ab 的最大值为 1 16 解法二:因为4ab1,所以ab 1 44ab 1 4 4ab 2 2 1 16,当且仅当 4ab 1 2,即 a1 8,b 1 2时等号成立,所以 ab 的最大值为 1 16故填 1 16 【点拨】 在利用基本不

8、等式求最值时,要注意一正,二定,三相 等“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时,还要考虑常数项)必 须是正数; “二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数; “三相等” 是指具备等号成立的条件,使待求式能取到最大或最小值 (2019济南联考)若 a0,b0 且 2ab4,则 1 ab的最小值为 ( ) A2 B1 2 C4 D 1 4 解:因为 a0,b0,故 2ab2 2ab(当且仅当 2ab 时取等号) 又因为 2ab4, 所以 2 2ab402, 则函数 f(x)x 1 2x4的最小 值为( ) A2 2 B22 2 C2 D2 2 解: 当 x2 时,f(x)x 1 2x4x2 1

9、2(x2)22 (x2) 1 2(x2)2 22,当且仅当 x2 1 2(x2),即 x2 2 2 时取等号, 所以 f(x)的最小值为 2 2故选 A (2)已知 a0,b0,则b a 4a ab的最小值为_ 解:当 a0,b0 时,b a 4a ab ab a 4a ab12 ab a 4a ab13,当且 仅当ab a 4a ab,即 ab 时等号成立故填 3 【点拨】有些式子通过配凑后,可构造出能用基本不等式求最值的结 构常见的有配系数、常数项、平方等遇到分式,可尝试分离后再用基本 不等式,对于分子次数比分母高的分式,可尝试先对分子进行配凑,使之出 现与分母相同的项,然后分离得到可用基

10、本不等式求解的结构;对于分母次 数比分子高的分式,可尝试上下同除以分子,使分母出现互倒的结构,再用 基本不等式求解 (1)函数 yx 22 x1 (x1)的最小值为_ 解:当 x1 时,yx 22 x1 (x 22x1)(2x2)3 x1 (x1) 22(x1)3 x1 (x1) 3 x122 32 当且仅当 x1 3 x1, 即 x 31 时,等号成立故填 2 32 (2)(2020年辽宁六校高一月考)若 0 x1 2,则 yx 14x 2的最大值为( ) A1 B1 2 C 1 4 D 1 8 解:因为 0 x0, b0)过点(1, 2),当2 a 1 b取最小值时直线 l 的斜率为( )

11、 A2 B1 2 C 2 D2 2 解:因为直线 l 过点(1,2),所以a2b20,即a2b 2 1,所以2 a 1 b 2 a 1 b a2b 2 1 2(4 4b a a b) 1 2 42 4b a a b 4,当且仅当4b a a b,即 a2b 时取等号所以直线 l 的斜率a b2故选 A (2)(2021届苏州高三期初调研)设 a0,b0,且 2ab1,则1 a 2a ab ( ) A有最小值为 4 B有最小值为 2 21 C有最小值为14 3 D无最小值 解: 易知1 a 2a ab 2ab a 2a ab1 ab a 2a ab12 2, 当且仅当 a b 2a 且 2ab1

12、,即 a 21,b32 2时等号成立故选 B 命题角度 4 换元法求最值 (2020届辽宁黑山中学高三模拟)已知实数 x,y 满足 x2xyy21, 则 xy 的最大值为 ( ) A1 B2 C3 D4 解:原式可化为(xy)213xy13 xy 2 2 ,令 txy,得3 4t 21t2,解 得2t2,所以 xy 的最大值为 2,当且仅当 xy1 时等号成立故选 B 【点拨】 已知条件中含 x2y2,xy,xy 混合结构的常可通过 换元法用基本不等式求最值,一般“求谁设谁”,再建立不等式求 解 (2019上海模拟)设 x,y 均为正实数,且 3 2x 3 2y1, 则 xy 的最小值为_ 解

13、: 3 2x 3 2y1 可化为 xy8xy,因为 x,y 均为正实数,所 以 xy8xy82 xy(当且仅当 xy 时等号成立),令 t xy,得 t2 2t80,解得 t4,即 xy16,故 xy 的最小值为 16故填 16 命题角度 5 消元法求最值 (2020江苏卷)已知 5x2y2y41(x,yR),则 x2y2的最小值是_ 解: 因为 5x2y2y41, 所以 y0 且 x21y 4 5y2 , 所以 x2y21y 4 5y2 y2 1 5y2 4y2 5 2 1 5y2 4y2 5 4 5,当且仅当 1 5y2 4y2 5 ,即 x2 3 10,y 21 2时取等号所以 x 2y

14、2 的最小值 为4 5故填 4 5 【点拨】 消元法即根据条件建立两个变量之间的函数关系, 然后代入代 数式转化为函数的最值问题求解若被消去的元带有范围,则这个范围常由 主元确定 已知 x0,y0,x3yxy9,则 x3y 的最小值为 _ 解:由 x3yxy9,得 x93y 1y ,由 x0,y0 知,0y0,则a 44b41 ab 的最小值为_ 解: 因为 ab0, 所以a 44b41 ab 2 4a 4b41 ab 4a 2b21 ab 4ab 1 ab2 4ab 1 ab 4,当且仅当 a 22b2, ab1 2 时取等号,故a 44b41 ab 的最小值是 4故填 4 【点拨】 基本不

15、等式具有将“和式”转化为“积式”以及将“积 式”转化为“和式”的放缩功能,为了达到求最值的目的,需多次使用 基本不等式,但不要忽视每次取等号的条件应是相同的 (2020安徽合肥第二次质检)若 ab0,则 a2b2 1 (ab)2 的最小值为_ 解:a2b2 1 (ab)2 (ab)2 2 1 (ab)22 1 2 2,当且仅当 a b23 4时,a 2b2 1 (ab)2取得最小值 2故填 2 考点二考点二 基本不等式的综合应用基本不等式的综合应用 (1)(2019黑龙江哈尔滨市第六中学期末)若对任意 x0, 都有 4x x2x1a 恒成 立,则实数 a 的取值范围是_ 解: 因为x0, 所以

16、x1 x2(当且仅当x1时取等号), 所以 4x x2x1 4 1 xx1 4 21 4 3,即 4x x2x1的最大值为 4 3,即实数 a 的取值范围是 4 3, 故填 4 3, (2)(2019厦门模拟)已知 f(x)32x(k1)3x2,当 xR 时,f(x)恒为正值, 则 k 的取值范围是 ( ) A(,1) B(,2 21) C(1,2 21) D(2 21,2 21) 解:由 f(x)0 得 32x(k1)3x20,解得 k13x 2 3x又 3 x2 3x2 2(当且仅 当 3x 2 3x,即 xlog3 2时,等号成立),所以 k12 2,即 k0, 所以 T(x)60 x1

17、5 000 000 x 2 6015 000 00060 000,当且仅当 60 x15 000 000 x , 即 x500 时,取等号 所以每次需订购 500 t 甲醇,可使该化工厂年存储成本费最少,最少费用为 60 000 元 【点拨】 应用题重在审题,准确理解题意,问题就解决了 一小半随着新高考对应用的加强,考生应强化信息提取能力 训练 在城市旧城改造中,某小区为了升级居住环境,拟在小区的闲置地中规划 一个面积为 200 m2的矩形区域(如图所示),按规划要求:在矩形内的四周安排 2 m 宽 的绿化,绿化造价为 200 元/m2,中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材,硬 化造价为

18、 100 元/m2设矩形的长为 x(m),总造价为 y(元) (1)将 y 表示为关于 x 的函数; (2)当 x 取何值时,总造价最低,并求出最低总造价 解:(1)由矩形的长为 x,得矩形的宽为200 x , 则中间区域的长为 x4,宽为200 x 4,则定义域为(4,50), 则 y100 (x4) 200 x 4200200(x4) 200 x 4 , 整理得 y18 400400 x200 x ,x(4,50) (2)x200 x 2x200 x 20 2, 当且仅当 x200 x 时取等号,即 x10 2(4,50) 所以当 x10 2 m 时,总造价最低,且为 18 4008 000 2元

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