1、 7.2 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法 最新考纲 考情考向分析 1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次 不等式模型 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相 应的二次函数、一元二次方程的联系 3.会解一元二次不等式， 对给定的一元二次 不等式，会设计求解的程序框图. 以理解一元二次不等式的解法为主，常与集 合的运算相结合考查一元二次不等式的解 法，有时也在导数的应用中用到，加强函数 与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想 的应用意识本节内容在高考中常以选择题 的形式考查，属于低档题，若在导数的应用 中考查，难度较高. 1“三个二次”的关系 判别式 b24ac 0 0 0)的图象
2、一元二次方程 ax2bxc 0 (a0)的根 有两相异实根 x1，x2 (x10 (a0)的解集 x|xx2 x x b 2a x|xR 一元二次不等式 ax2bx c0)的解集 x|x10 x|xb x|xa x|xa (xa) (xb)0 的解集是(，x1)(x2，)，则方程 ax2bxc0 的两个根 是 x1和 x2.( ) (3)若方程 ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式 ax2bxc0 的解集为 R.( ) (4)不等式 ax2bxc0 在 R 上恒成立的条件是 a0 的解集为 ，1 7 3 1 7 3 ， . 题组三 易错自纠 4不等式x23x40 的解集为_(用区间表示)
3、 答案 (4,1) 解析 由x23x40 可知，(x4)(x1)0 的解集为(，1) 3 2， ， 即原不等式的解集为(，1) 3 2， . 命题点 2 含参不等式 典例 解关于 x 的不等式 ax222xax(aR) 解 原不等式可化为 ax2(a2)x20. 当 a0 时，原不等式化为 x10，解得 x1. 当 a0 时，原不等式化为 x2 a (x1)0， 解得 x2 a或 x1. 当 a1，即 a0， x3x20， 可得 x2或x0， 则必有 a0， a24a0. 解得 x3. 故当 x 的取值范围为(，1)(3，)时，对任意的 m1,1，函数 f(x)的值恒大于零 思维升华 (1)对
4、于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定 的区间上全部在 x 轴上方，恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴 下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值 (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元， 求谁的范围，谁就是参数 跟踪训练 函数 f(x)x2ax3. (1)当 xR 时，f(x)a 恒成立，求实数 a 的取值范围； (2)当 x2,2时，f(x)a 恒成立，求实数 a 的取值范围； (3)当 a4,6时，f(x)0 恒成立，求实数 x 的取值范围 解 (1)当 xR 时，x2ax
5、3a0 恒成立， 需 a24(3a)0，即 a24a120， 实数 a 的取值范围是6,2 (2)当 x2,2时，设 g(x)x2ax3a0，分如下三种情况讨论(如图所示)： 如图，当 g(x)的图象恒在 x 轴上方且满足条件时，有 a24(3a)0，即6a2. 如图，g(x)的图象与 x 轴有交点， 但当 x2，)时，g(x)0， 即 0， xa 22， g20， 即 a243a0， a 22， 42a3a0， 可得 a2或a6， a4， a7 3， 解得 a. 如图，g(x)的图象与 x 轴有交点， 但当 x(，2时，g(x)0. 即 0， xa 22， g20， 即 a243a0， a
6、22， 7a0， 可得 a2或a6， a4， a7. 7a6， 综上，实数 a 的取值范围是7,2 (3)令 h(a)xax23. 当 a4,6时，h(a)0 恒成立 只需 h40， h60， 即 x24x30， x26x30， 解得 x3 6或 x3 6. 实数 x 的取值范围是 (，3 63 6，) 题型三 一元二次不等式的应用 典例 甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1x10)，每小时可获得 的利润是 100 5x13 x 元 (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，求 x 的取值范围； (2)要使生产900 千克该产品获得的利润最大，问
7、：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润 解 (1)根据题意，得 200 5x13 x 3 000， 整理得 5x143 x0，即 5x 214x30， 又 1x10，可解得 3x10. 即要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，x 的取值范围是3,10 (2)设利润为 y 元，则 y900 x 100 5x13 x 9104 51 x 3 x2 9104 3 1 x 1 6 261 12 ， 故当 x6 时，ymax457 500 元 即甲厂以6 千克/小时的生产速度生产900 千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500 元 思维升华 求解不等式应用题的四个步骤
8、(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系 (2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型 (3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义 (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果 跟踪训练 某商品每件成本价为 80 元，售价为 100 元，每天售出 100 件若售价降低 x 成(1 成10%)，售出商品数量就增加8 5x 成要求售价不能低于成本价 (1)设该商店一天的营业额为 y，试求 y 与 x 之间的函数关系式 yf(x)，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元，求 x 的取
9、值范围 解 (1)由题意，得 y100 1 x 10 100 1 8 50 x . 因为售价不能低于成本价，所以 100 1 x 10 800. 所以 yf(x)40(10x)(254x)，定义域为 x0,2 (2)由题意得 40(10x)(254x)10 260， 化简得 8x230x130，解得1 2x 13 4 . 所以 x 的取值范围是 1 2，2 . 转化与化归思想在不等式中的应用 典例 (1)已知函数 f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于 x 的不等式 f(x)0 恒成立，则实数 a 的取值范围 是_ 思想方法指导 函数的值域和不等式的解集转化为 a，b 满足的条件；不等式恒成立可以分离 常数，转化为函数值域问题 解析 (1)由题意知 f(x)x2axb xa 2 2ba 2 4 . f(x)的值域为0，)， ba 2 4 0，即 ba 2 4 . f(x) xa 2 2. 又f(x)0 恒成立 即当 x1 时，a(x22x)恒成立 令 g(x)(x22x)， 则 g(x)(x22x)(x1)21 在1，)上单调递减， g(x)maxg(1)3，故 a3. 实数 a 的取值范围是a|a3 答案 (1)9 (2)a|a3
