第三章 函数的概念与性质 单元检测卷(含答案)2021年秋人教版A版高中数学必修第一册

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1、第三章第三章 函数的概念与性质函数的概念与性质 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.下列所示的图形中,可以作为函数 yf(x)的图象是( ) 答案 D 解析 作直线 xa 与曲线相交,由函数的概念可知,定义域中任意一个自变量对应唯一的函 数值, 所以 y 是 x 的函数, 那么直线 xa 移动中始终与曲线只有一个交点, 于是可排除 A, B, C,只有 D 符合,故选 D. 2.函数 f(x) 1x1 x的定义域是( ) A.1,) B.(,0)(0,) C.1,

2、0)(0,) D.R 答案 C 解析 1x0, x0, 解得1x0,区间表示为1,0)(0,),故选 C. 3.下列函数中,与函数 yx(x0)有相同图象的一个是( ) A.y x2 B.y( x)2 C.y3x3 D.y x2 x 答案 B 解析 y x2|x|,xR;y( x)2x,x0;y3x3x,xR;y x2 x x,x0,所以 选 B. 4.幂函数的图象过点 2,1 4 ,则它的单调递增区间是( ) A.(0,) B.0,) C.(,0) D.(,) 答案 C 解析 设幂函数 yx,则 21 4,解得 2,所以 yx 2,故函数 yx2 的单调递增区间 是(,0). 5.下列函数中

3、,既是偶函数又在(0,)上单调递增的函数是( ) A.yx B.y|x|1 C.yx21 D.y1 x 答案 B 解析 A:yx 是奇函数,故不符合题意;B:y|x|1 是偶函数,在(0,)上单调递增, 故正确;C:yx21 是偶函数,在区间(0,)上单调递减,不合题意,D:y1 x是奇 函数,不合题意.故答案为 B. 6.已知 f(x)是一次函数,且 ff(x)x2,则 f(x)( ) A.x1 B.2x1 C.x1 D.x1 或x1 答案 A 解析 设 f(x)kxb(k0),则 ff(x)k(kxb)bk2xkbbx2, k 21, kbb2, k1, b1,故选 A. 7.已知函数 f

4、(x) x 2ax7 (x1), a x (x1) 是 R 上的增函数,则 a 的取值范围是( ) A.4,0) B.(,2 C.4,2 D.(,0) 答案 C 解析 f(x)在 R 上为增函数, 需满足 a 21, a0,则满足 f(12x)f 1 3 0 的 x 的范围是( ) A. 1 3, 2 3 B. 1 3, 2 3 C. 1 2, 2 3 D. 1 2, 2 3 答案 A 解析 由题意,f(x)在(,0上是增函数,又 f(x)是定义域为 R 的偶函数,故 f(x)在0,) 上是减函数.由f(12x)f 1 3 0可得f(12x)f 1 3 f 1 3 , 即f(|12x|)f 1

5、 3 , 所以|12x|1 3, 解得1 3x 2 3. 二、多项选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中有多项符 合题目要求,全部选对得 5 分,选对但不全的得 2 分,有选错的不得分) 9.已知奇函数 f(x)在(0,)上是减函数,且在区间a,b(ab0)上的值域为3,4,则在 区间b,a上( ) A.有最大值 4 B.有最小值4 C.有最大值 3 D.有最小值3 答案 BC 解析 法一 根据题意作出 yf(x)的简图,由图知,故选 BC. 法二 当 xb,a时,xa,b, 由题意得 f(b)f(x)f(a), 即3f(x)4,4f(x)3, 即在

6、区间b,a上 f(x)min4,f(x)max3,故选 BC. 10.已知函数 f(x)x22x1 的定义域为(2,3),则函数 f(|x|)的单调递增区间是( ) A.(,1) B.(3,1) C.(0,1) D.(1,3) 答案 BC 解析 因为函数 f(x)x22x1 的定义域为(2,3),对称轴为直线 x1,开口向下, 所以函数 f(|x|)满足2|x|3,所以3x3. 又 f(|x|)x22|x|1 x 22x1,0 x3, x22x1,3x0, 且 yx22x1 图象的对称轴为直线 x1, 所以由二次函数的图象与性质可知,函数 f(|x|)的单调递增区间是(3,1)和(0,1).故

7、选 BC. 11.某位同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题:已知函数 yf(x)的定义域为 D,x1, x2D. 若当 f(x1)f(x2)0 时,都有 x1x20,则函数 yf(x)是 D 上的奇函数; 若当 f(x1)f(x2)时,都有 x10.若 a,bR,且 f(a)f(b)的值为负值,则下列结论可能成立的有( ) A.ab0,ab0 B.ab0 C.ab0,ab0 D.以上都可能 答案 BC 解析 由函数 f(x)为幂函数可知 m2m11,解得 m1 或 m2.当 m1 时,f(x) 1 x3; 当 m2 时,f(x)x3.由题意知函数 f(x)在(0,)上为增函数,因此 f(x

8、)x3,在 R 上单调递 增,且满足 f(x)f(x).结合 f(x)f(x)以及 f(a)f(b)0 可知 f(a)f(b)f(b),所以 ab,即 ba,所以 ab0.当 a0 时,b0 时,b0,ab0;当 a0(b0)或 ab0(0b a),故 BC 都有可能成立.故选 BC. 三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 13.奇函数 f(x)在区间3,6上是增函数,且在区间3,6上的最大值为 8,最小值为1,则 f(6) f(3)的值为_. 答案 9 解析 由于 f(x)在3,6上为增函数,所以 f(x)的最大值为 f(6)8,f(x)的最

9、小值为 f(3)1, 因为 f(x)为奇函数,所以 f(3)f(3)1,所以 f(6)f(3)819. 14.若函数 f(x)x2x 1 2,则满足 f(x)0 的 x 的取值范围为_. 答案 (0,1) 解析 设函数 y1x2,函数 y2x 1 2,则 f(x)0, 即 y1y2. 在同一平面直角坐标系中作出函数 y1与 y2的图象,如图所示,则由数形结合得 x(0,1). 15.图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费 y(元)与通话时间 t(min)之间的函数 关系的图象, 根据图象判断: 通话 5 min, 需付电话费_元; 如果 t3, 那么电话费 y(元) 与通话时间 t(

10、min)之间的函数关系式是_(第一空 2 分,第二空 3 分). 答案 6 y1.2t(t3) 解析 由题图知,通话 5 min,需付电话费 6 元. 当 t3 时,设 yktb(k0),则有 3.63kb, 65kb, 解得 k1.2, b0, t3 时,y1.2t. 16.若函数 f(x)同时满足:对于定义域上的任意 x,恒有 f(x)f(x)0;对于定义域上的任 意 x1,x2,当 x1x2时,恒有f(x 1)f(x2) x1x2 0,则称函数 f(x)为“理想函数”. 给出下列四个函数中:f(x)1 x;f(x)x 2;f(x)|x|;f(x) x 2,x0, x2,x0. 能被称为“

11、理 想函数”的有_(填相应的序号). 答案 解析 中,函数 f(x)1 x为定义域上的奇函数,但不是定义域上的减函数,所以不正确; 中,函数 f(x)x2为定义域上的偶函数,所以不正确;中,函数 f(x)|x|的定义域为 R,在 定义域内不单调,所以不正确;中,函数 f(x) x 2 (x0), x2 (x0 时,f(x)x22x. (1)求出函数 f(x)在 R 上的解析式; (2)画出函数 f(x)的图象. 解 (1)由于函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,则 f(0)0; 当 x0,因为 f(x)是奇函数, 所以 f(x)f(x)(x)22(x)x22x. 综上,f(x) x 22x

12、,x0, 0,x0, x22x,x0. (2)图象如图所示. 18.(本小题满分 12 分)已知 f(x)在 R 上是单调递减的一次函数,且 f(f(x)9x2. (1)求 f(x); (2)求函数 yf(x)x2x 在 x1,a上的最大值. 解 (1)由题意可设 f(x)kxb(k0), 由于 f(f(x)9x2,则 k2xkbb9x2, 故 k 29, kbb2,解得 k3, b1, 故 f(x)3x1. (2)由(1)知,函数 y3x1x2xx24x1(x2)23, 故函数 yx24x1 的图象开口向上,对称轴为 x2, 当15 时,y 的最大值是 f(a)a24a1, 综上,ymax

13、6 (15). 19.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)ax2bx1(a,b 为实数),F(x) f(x),x0, f(x),x0, b24a0, 解得 a1, b2, 则 F(x) x 22x1,x0, x22x1,x0. (2)由(1)可知 f(x)x22x1,则 g(x)x22x1kxx2(2k)x1, 则 g(x)的对称轴为 xk2 2 . 由于 g(x)在2,2上是单调函数, 故k2 2 2 或k2 2 2, 即 k2 或 k6. 即实数 k 的取值范围是(,26,). 20.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)ax 21 bxc 是奇函数(a,b 都是正整数),且 f(1

14、)2,f(2)3. (1)求 a,b,c 的值; (2)当 x0 时,f(x)的单调性如何?用单调性定义证明你的结论. 解 (1)由 f(x)ax 21 bxc 是奇函数, 得 f(x)f(x)对定义域内 x 恒成立, 则a(x) 21 b(x)c ax 21 bxc bxc(bxc)对定义域内 x 恒成立,即 c0. f(1)a1 b 2,f(2)4a1 2b 3, 又 a,b 是整数,得 ba1. (2)由(1)知 f(x)x 21 x x1 x, 当 x0 时,f(x)在(,1上单调递增, 在1,0)上单调递减, 下面用定义证明. 设 x1x21,则 f(x1)f(x2)x1 1 x1

15、x2 1 x2 x1x2x 2x1 x1x2 (x1x2) 1 1 x1x2 , 因为 x1x21,x1x20. f(x1)f(x2)0,故 f(x)在(,1上单调递增. 同理可证 f(x)在1,0)上单调递减. 21.(本小题满分 12 分)已知矩形 ABCD 中,AB4,AD1,点 O 为线段 AB 的中点,动点 P 沿矩形 ABCD 的边从 B 逆时针运动到 A.当点 P 运动过的路程为 x 时,记点 P 的运动轨迹与线 段 OP,OB 围成的图形面积为 f(x). (1)求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)2,求 x 的值. 解 (1)当 x0,1时,f(x)1 2 OB xx;

16、 当 x(1,5时,f(x)(2x1)1 2 1 2(x1); 当 x(5,6时,f(x)411 22(6x)x2. 所以 f(x) x,0 x1, 1 2(x1),1x5, x2,5x6. (2)若 f(x)2,显然 10 时,f(x)0 恒成立. (1)证明函数 yf(x)是 R 上的单调函数; (2)讨论函数 yf(x)的奇偶性; (3)若 f(x22)f(x)x2,则 x1x20, f(x1)f(x2)f(x1x2)x2f(x2) f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2). 又当 x0 时,f(x)0 恒成立,所以 f(x1)f(x2), 函数 yf(x)是 R 上的减函数.

17、(2)解 由 f(ab)f(a)f(b)得 f(xx)f(x)f(x),即 f(x)f(x)f(0), 又由 f(ab)f(a)f(b),令 ab0,得 f(0)0, f(x)f(x),又函数 yf(x)的定义域为 R, 即函数 yf(x)是奇函数. (3)解 法一 由 f(x22)f(x)0 得 f(x22)f(x),又 yf(x)是奇函数, 即 f(x22)x,解得 x1 或 x2. 故 x 的取值范围是(,2)(1,). 法二 由 f(x22)f(x)0 且 f(0)0 及 f(ab)f(a)f(b),得 f(x22x)0,解得 x1 或 x2. 故 x 的取值范围是(,2)(1,).

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