第三章 函数的概念与性质 综合测评(教师版)

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1、1 章末综合测评章末综合测评(三三) 函数的概念与性质函数的概念与性质 (满分:150 分 时间:120 分钟) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1下列各组函数中,表示同一个函数的是( ) Ayx1 和 yx21x1 Byx0和 y1 Cf(x)x2和 g(x)(x1)2 Df(x) x2x和 g(x)x x2 D A、B 中两函数的定义域不同;C 中两函数的解析式不同 2函数 f(x) 1x1x的定义域是( ) A1,) B(,0)(0,) C1,0)(0,) DR C 要使函数有意义,需满足 1x0,x0,

2、即 x1 且 x0. 3已知 f(x) 3x1, x1,x23, x1,则 f(3)( ) A7 B2 C10 D12 D 31, f(3)32312. 4已知 f(x)x32x,则 f(a)f(a)( ) A0 B1 C1 D2 A f(x)x32x 是 R 上的奇函数,故 f(a)f(a),f(a)f(a)0. 2 5下列函数中,在定义域内既是奇函数又是增函数的为( ) Ayx1 Byx3 Cy1x Dyx4 B 对于 A,yx1 为其定义域上的增函数,但不是奇函数,排除 A;对于 C,y1x为奇函数,但只在(,0)和(0,)上分别为增函数,不是整个定义域上的增函数,排除 C;对于 D,y

3、x4为偶函数,排除 D,选 B. 6已知函数 f(x)x24x,x1,5,则函数 f(x)的值域是( ) A4,) B3,5 C4,5 D(4,5 C 由 f(x)x24x(x2)24, 当 x2 时,f(x)取到最小值4, 当 x5 时,f(x)取得最大值 5, 故值域为4,5 7函数 f(x)ax3bx4(a,b 不为零),且 f(5)10,则 f(5)等于( ) A10 B2 C6 D14 B f(5)125a5b410, 125a5b6, f(5)125a5b4 (125a5b)4 642. 8已知函数 f(x) x24x,x0,4xx2,xf(a),则实数 a 的取值范围是( ) A

4、(,1)(2,) B(1,2) C(2,1) D(,2)(1,) C f(x) x24x,x0,4xx2,xf(a),得 a2a20,解得2a1. 9函数 y3x 2x1(x2)的值域是( ) A.43, B6 3,) C6,) D 3,) B y3x 2x1在2,)上是增函数, ymin32 221 6 3. y3x 2x1(x2)的值域为6 3,) 10 已知二次函数 yx22ax1 在区间(2,3)内是单调函数, 则实数 a 的取值范围是( ) Aa2 或 a3 B2a3 Ca3 或 a2 D3a2 A yx22ax1(xa)21a2, 由已知得,a2 或 a3. 11如果函数 f(x)

5、x2bxc 对于任意实数 t 都有 f(2t)f(2t),那么( ) Af(2)f(1)f(4) Bf(1)f(2)f(4) Cf(4)f(2)f(1) Df(2)f(4)f(1) A 由 f(2t)f(2t),可知抛物线的对称轴是直线 x2,再由二次函数的单调性,可得f(2)f(1)0)在区间8,8上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1x2x3x4等于( ) A6 B6 C8 D8 C 由 f(x4)f(x)f(4x)f(x)函数图象关于直线 x2 对称又函数 f(x)在0,2上是增函数, 且为奇函数, 故 f(0)0, 故函数 f(x)在(0,2上大于 0.根据对称性知函数 f

6、(x)在2,4)上大于 0,同理推知 f(x)在(4,8)上小于 0,故在区间(0,8)上方程 f(x)m(m0)的两根关于直线 x2 对称,故此两根之和等于 4.f(6x)f(x2)4f(x2)f(x2)4f(x2)f(6x)4f(6x)f(6x) f(x)关于直线 x6 对称此两根之和等于12.综上,四个根之和等于8. 4 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在题中横线上) 13已知函数 f(x) 2x1,x0,fx2,x0,则 f(3)_. 3 30,f(1)2113, f(3)3. 14已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f1xf(1)的实数 x

7、的取值范围为_ (,0)(1,) f(x)在 R 上是减函数, 1x1 或 x0. 15已知函数 f(x)的图象如图所示,则 f(x)的解析式是_ f(x) x1,1x0,b3, a1,b3, ab4. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 10 分)已知直角三角形 ABC 的面积是 y,ABAC 且|AB|x1,|AC|x1,求 y 关于 x 的函数解析式,并求出函数的定义域 解 由于ABC 是直角三角形, 则有 y12|AB| |AC|12(x1)(x1)12x212, 由题意得 |AB|x10,|AC|x10,解得 x

8、1. 所以函数的定义域是(1,) 5 18(本小题满分 12 分)若 f(x)对 xR 恒有 2f(x)f(x)3x1,求 f(x) 解 2f(x)f(x)3x1, 将中的 x 换为x,得 2f(x)f(x)3x1, 联立,得 2fxfx3x1,2fxfx3x1, 把 f(x)与 f(x)看成未知数解得 f(x)x1. 19(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)|x1|x1|(xR), (1)证明:函数 f(x)是偶函数; (2)利用绝对值及分段函数知识,将函数解析式写成分段函数,然后画出函数图象; (3)写出函数的值域 解 (1)由于函数定义域是 R,且 f(x)|x1|x1|x1|x1

9、|f(x) f(x)是偶函数 (2)f(x) 2x,x1, 图象如图所示: (3)由函数图象知,函数的值域为2,) 20(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)2x1x1. (1)判断函数在区间1,)上的单调性,并用定义证明你的结论; (2)求该函数在区间1,4上的最大值与最小值 解 (1)f(x)在1,)上是增函数证明如下:任取 x1,x21,),且 x1x2, f(x1)f(x2)2x11x112x21x21 x1x2x11x21. x1x20, 6 所以 f(x1)f(x2)0, f(x1)0,且满足条件 f(4)1.对任意的 x1,x2U,有 f(x1 x2)f(x1)f(x2),且

10、当 x1x2时,有fx2fx1x2x10. (1)求 f(1)的值; (2)如果 f(x6)f(x)2,求 x 的取值范围 解 (1)因为对任意的 x1,x2U,有 f(x1 x2)f(x1)f(x2), 7 所以令 x1x21,得 f(11)f(1)f(1)2f(1),所以 f(1)0. (2)设 0 x10. 又因为当 x1x2时,fx2fx1x2x10, 所以 f(x2)f(x1)0,即 f(x2)f(x1), 所以 f(x)在定义域内为增函数 令 x1x24,得 f(44)f(4)f(4)112, 即 f(16)2. 当 x60,x0,即 x0 时, 原不等式可化为 fx(x6)f(16) 又因为 f(x)在定义域上为增函数, 所以 x(x6)16,解得 x2 或 x0,所以 x2. 所以 x 的取值范围为(2,)

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