1、第三章第三章 函数的概念与性质函数的概念与性质 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.下列所示的图形中，可以作为函数 yf(x)的图象是( ) 答案 D 解析 作直线 xa 与曲线相交，由函数的概念可知，定义域中任意一个自变量对应唯一的函 数值， 所以 y 是 x 的函数， 那么直线 xa 移动中始终与曲线只有一个交点， 于是可排除 A， B， C，只有 D 符合，故选 D. 2.函数 f(x) 1x1 x的定义域是( ) A.1，) B.(，0)(0，) C.1，
2、0)(0，) D.R 答案 C 解析 1x0， x0， 解得1x0，区间表示为1，0)(0，)，故选 C. 3.下列函数中，与函数 yx(x0)有相同图象的一个是( ) A.y x2 B.y( x)2 C.y3x3 D.y x2 x 答案 B 解析 y x2|x|，xR；y( x)2x，x0；y3x3x，xR；y x2 x x，x0，所以 选 B. 4.幂函数的图象过点 2，1 4 ，则它的单调递增区间是( ) A.(0，) B.0，) C.(，0) D.(，) 答案 C 解析 设幂函数 yx，则 21 4，解得 2，所以 yx 2，故函数 yx2 的单调递增区间 是(，0). 5.下列函数中
3、，既是偶函数又在(0，)上单调递增的函数是( ) A.yx B.y|x|1 C.yx21 D.y1 x 答案 B 解析 A：yx 是奇函数，故不符合题意；B：y|x|1 是偶函数，在(0，)上单调递增， 故正确；C：yx21 是偶函数，在区间(0，)上单调递减，不合题意，D：y1 x是奇 函数，不合题意.故答案为 B. 6.已知 f(x)是一次函数，且 ff(x)x2，则 f(x)( ) A.x1 B.2x1 C.x1 D.x1 或x1 答案 A 解析 设 f(x)kxb(k0)，则 ff(x)k(kxb)bk2xkbbx2， k 21， kbb2， k1， b1，故选 A. 7.已知函数 f
4、(x) x 2ax7 （x1）， a x （x1） 是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是( ) A.4，0) B.(，2 C.4，2 D.(，0) 答案 C 解析 f(x)在 R 上为增函数， 需满足 a 21， a0，则满足 f(12x)f 1 3 0 的 x 的范围是( ) A. 1 3， 2 3 B. 1 3， 2 3 C. 1 2， 2 3 D. 1 2， 2 3 答案 A 解析 由题意，f(x)在(，0上是增函数，又 f(x)是定义域为 R 的偶函数，故 f(x)在0，) 上是减函数.由f(12x)f 1 3 0可得f(12x)f 1 3 f 1 3 ， 即f(|12x|)f 1
5、 3 ， 所以|12x|1 3， 解得1 3x 2 3. 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中有多项符 合题目要求，全部选对得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的不得分) 9.已知奇函数 f(x)在(0，)上是减函数，且在区间a，b(ab0)上的值域为3，4，则在 区间b，a上( ) A.有最大值 4 B.有最小值4 C.有最大值 3 D.有最小值3 答案 BC 解析 法一 根据题意作出 yf(x)的简图，由图知，故选 BC. 法二 当 xb，a时，xa，b， 由题意得 f(b)f(x)f(a)， 即3f(x)4，4f(x)3， 即在
6、区间b，a上 f(x)min4，f(x)max3，故选 BC. 10.已知函数 f(x)x22x1 的定义域为(2，3)，则函数 f(|x|)的单调递增区间是( ) A.(，1) B.(3，1) C.(0，1) D.(1，3) 答案 BC 解析 因为函数 f(x)x22x1 的定义域为(2，3)，对称轴为直线 x1，开口向下， 所以函数 f(|x|)满足2|x|3，所以3x3. 又 f(|x|)x22|x|1 x 22x1，0 x3， x22x1，3x0， 且 yx22x1 图象的对称轴为直线 x1， 所以由二次函数的图象与性质可知，函数 f(|x|)的单调递增区间是(3，1)和(0，1).故
7、选 BC. 11.某位同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题：已知函数 yf(x)的定义域为 D，x1， x2D. 若当 f(x1)f(x2)0 时，都有 x1x20，则函数 yf(x)是 D 上的奇函数； 若当 f(x1)f(x2)时，都有 x10.若 a，bR，且 f(a)f(b)的值为负值，则下列结论可能成立的有( ) A.ab0，ab0 B.ab0 C.ab0，ab0 D.以上都可能 答案 BC 解析 由函数 f(x)为幂函数可知 m2m11，解得 m1 或 m2.当 m1 时，f(x) 1 x3； 当 m2 时，f(x)x3.由题意知函数 f(x)在(0，)上为增函数，因此 f(x
8、)x3，在 R 上单调递 增，且满足 f(x)f(x).结合 f(x)f(x)以及 f(a)f(b)0 可知 f(a)f(b)f(b)，所以 ab，即 ba，所以 ab0.当 a0 时，b0 时，b0，ab0；当 a0(b0)或 ab0(0b a)，故 BC 都有可能成立.故选 BC. 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中的横线上) 13.奇函数 f(x)在区间3，6上是增函数，且在区间3，6上的最大值为 8，最小值为1，则 f(6) f(3)的值为_. 答案 9 解析 由于 f(x)在3，6上为增函数，所以 f(x)的最大值为 f(6)8，f(x)的最
9、小值为 f(3)1， 因为 f(x)为奇函数，所以 f(3)f(3)1，所以 f(6)f(3)819. 14.若函数 f(x)x2x 1 2，则满足 f(x)0 的 x 的取值范围为_. 答案 (0，1) 解析 设函数 y1x2，函数 y2x 1 2，则 f(x)0, 即 y1y2. 在同一平面直角坐标系中作出函数 y1与 y2的图象，如图所示，则由数形结合得 x(0，1). 15.图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费 y(元)与通话时间 t(min)之间的函数 关系的图象， 根据图象判断： 通话 5 min， 需付电话费_元； 如果 t3， 那么电话费 y(元) 与通话时间 t(
10、min)之间的函数关系式是_(第一空 2 分，第二空 3 分). 答案 6 y1.2t(t3) 解析 由题图知，通话 5 min，需付电话费 6 元. 当 t3 时，设 yktb(k0)，则有 3.63kb， 65kb， 解得 k1.2， b0， t3 时，y1.2t. 16.若函数 f(x)同时满足：对于定义域上的任意 x，恒有 f(x)f(x)0；对于定义域上的任 意 x1，x2，当 x1x2时，恒有f（x 1）f（x2） x1x2 0，则称函数 f(x)为“理想函数”. 给出下列四个函数中：f(x)1 x；f(x)x 2；f(x)|x|；f(x) x 2，x0， x2，x0. 能被称为“
11、理 想函数”的有_(填相应的序号). 答案 解析 中，函数 f(x)1 x为定义域上的奇函数，但不是定义域上的减函数，所以不正确； 中，函数 f(x)x2为定义域上的偶函数，所以不正确；中，函数 f(x)|x|的定义域为 R，在 定义域内不单调，所以不正确；中，函数 f(x) x 2 （x0）， x2 （x0 时，f(x)x22x. (1)求出函数 f(x)在 R 上的解析式； (2)画出函数 f(x)的图象. 解 (1)由于函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，则 f(0)0； 当 x0，因为 f(x)是奇函数， 所以 f(x)f(x)(x)22(x)x22x. 综上，f(x) x 22x
12、，x0， 0，x0， x22x，x0. (2)图象如图所示. 18.(本小题满分 12 分)已知 f(x)在 R 上是单调递减的一次函数，且 f(f(x)9x2. (1)求 f(x)； (2)求函数 yf(x)x2x 在 x1，a上的最大值. 解 (1)由题意可设 f(x)kxb(k0)， 由于 f(f(x)9x2，则 k2xkbb9x2， 故 k 29， kbb2，解得 k3， b1， 故 f(x)3x1. (2)由(1)知，函数 y3x1x2xx24x1(x2)23， 故函数 yx24x1 的图象开口向上，对称轴为 x2， 当15 时，y 的最大值是 f(a)a24a1， 综上，ymax
13、6 （15）. 19.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)ax2bx1(a，b 为实数)，F(x) f（x），x0， f（x），x0， b24a0， 解得 a1， b2， 则 F(x) x 22x1，x0， x22x1，x0. (2)由(1)可知 f(x)x22x1，则 g(x)x22x1kxx2(2k)x1， 则 g(x)的对称轴为 xk2 2 . 由于 g(x)在2，2上是单调函数， 故k2 2 2 或k2 2 2， 即 k2 或 k6. 即实数 k 的取值范围是(，26，). 20.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)ax 21 bxc 是奇函数(a，b 都是正整数)，且 f(1
14、)2，f(2)3. (1)求 a，b，c 的值； (2)当 x0 时，f(x)的单调性如何？用单调性定义证明你的结论. 解 (1)由 f(x)ax 21 bxc 是奇函数， 得 f(x)f(x)对定义域内 x 恒成立， 则a（x） 21 b（x）c ax 21 bxc bxc(bxc)对定义域内 x 恒成立，即 c0. f(1)a1 b 2，f(2)4a1 2b 3， 又 a，b 是整数，得 ba1. (2)由(1)知 f(x)x 21 x x1 x， 当 x0 时，f(x)在(，1上单调递增， 在1，0)上单调递减， 下面用定义证明. 设 x1x21，则 f(x1)f(x2)x1 1 x1
15、x2 1 x2 x1x2x 2x1 x1x2 (x1x2) 1 1 x1x2 ， 因为 x1x21，x1x20. f(x1)f(x2)0，故 f(x)在(，1上单调递增. 同理可证 f(x)在1，0)上单调递减. 21.(本小题满分 12 分)已知矩形 ABCD 中，AB4，AD1，点 O 为线段 AB 的中点，动点 P 沿矩形 ABCD 的边从 B 逆时针运动到 A.当点 P 运动过的路程为 x 时，记点 P 的运动轨迹与线 段 OP，OB 围成的图形面积为 f(x). (1)求 f(x)的解析式； (2)若 f(x)2，求 x 的值. 解 (1)当 x0，1时，f(x)1 2 OB xx；
16、 当 x(1，5时，f(x)（2x1）1 2 1 2(x1)； 当 x(5，6时，f(x)411 22(6x)x2. 所以 f(x) x，0 x1， 1 2（x1），1x5， x2，5x6. (2)若 f(x)2，显然 10 时，f(x)0 恒成立. (1)证明函数 yf(x)是 R 上的单调函数； (2)讨论函数 yf(x)的奇偶性； (3)若 f(x22)f(x)x2，则 x1x20， f(x1)f(x2)f(x1x2)x2f(x2) f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2). 又当 x0 时，f(x)0 恒成立，所以 f(x1)f(x2)， 函数 yf(x)是 R 上的减函数.
17、(2)解 由 f(ab)f(a)f(b)得 f(xx)f(x)f(x)，即 f(x)f(x)f(0)， 又由 f(ab)f(a)f(b)，令 ab0，得 f(0)0， f(x)f(x)，又函数 yf(x)的定义域为 R， 即函数 yf(x)是奇函数. (3)解 法一 由 f(x22)f(x)0 得 f(x22)f(x)，又 yf(x)是奇函数， 即 f(x22)x，解得 x1 或 x2. 故 x 的取值范围是(，2)(1，). 法二 由 f(x22)f(x)0 且 f(0)0 及 f(ab)f(a)f(b)，得 f(x22x)0，解得 x1 或 x2. 故 x 的取值范围是(，2)(1，).