第五章 三角函数 单元检测卷(含答案)2021年秋人教版A版高中数学必修第一册

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资源描述

1、第五章第五章 三角函数三角函数 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.在 0 到 2 范围内,与角4 3 终边相同的角是( ) A. 6 B. 3 C.2 3 D.4 3 答案 C 解析 与角4 3 终边相同的角是 2k 4 3 ,kZ,令 k1,可得与角4 3 终边相同的角是 2 3 .故选 C. 2.函数 f(x) 3tan x 2 4 ,xR 的最小正周期为( ) A. 2 B. C.2 D.4 答案 C 解析 f(x) 3tan x 2 4 ,1 2,T 1

2、 2 2, 则函数的最小正周期为 2. 3.已知 tan 3,则 sin cos ( ) A. 3 10 B.3 5 C. 7 10 D.4 5 答案 A 解析 tan 3,sin cos sin cos sin2cos2 tan tan21 3 10. 4.化简:sin 22cos 2 sin 4 ( ) A.2 2cos B.2cos C.2sin D.sin 答案 A 解析 原式2sin cos 2cos 2 2 2 (sin cos ) 2 2cos . 5.函数 f(x)3cos x 3sin x 的图象的一条对称轴方程是( ) A.x5 6 B.x2 3 C.x 3 D.x 3 答

3、案 A 解析 f(x)3cos x 3sin x2 3( 3 2 cos x1 2sin x)2 3cos x 6 , 函数的对称轴方程为 x 6k,kZ,即 xk 6,kZ, 当 k1 时,x5 6 是其中的一条对称轴方程.故选 A. 6.函数 yAsin(x)在一个周期内的图象如图,则此函数的解析式为( ) A.y2sin 2x2 3 B.y2sin 2x 3 C.y2sin x 2 3 D.y2sin 2x 3 答案 A 解析 由已知可得函数yAsin(x)的图象经过点 12,2 和点 5 12,2 , 则A2, T, 即 2,则函数的解析式为 y2sin(2x),将 12,2 代入得

4、6 22k,kZ,即 2 3 2k,kZ, 当 k0 时,2 3 ,此时 y2sin 2x2 3 .故选 A. 7.已知角 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,若它的终边经过点 P(2,3), 则 tan 2 4 ( ) A.12 5 B. 5 12 C.17 7 D. 7 17 答案 D 解析 依题意, 角 的终边经过点 P(2, 3), 则 tan 3 2, tan 2 2tan 1tan2 12 5 , 于是 tan 2 4 1tan 2 1tan 2 7 17. 8.若将函数 f(x)2sin xcos x2sin2x1 的图象向右平移 个单位,所得图象关于 y 轴对

5、称,则 的最小正值是( ) A. 8 B. 4 C.3 8 D.3 4 答案 C 解析 将函数 f(x)2sin xcos x2sin2x1sin 2xcos 2x 2sin 2x 4 的图象向右平移 个 单位, 可得 y 2sin 2(x) 4 2sin 2x 42 的图象.再根据所得图象关于 y 轴对称, 可得 42k 2,kZ,即 8 k 2 ,kZ,故 的最小正值是3 8 . 二、多项选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中有多项符 合题目要求,全部选对得 5 分,选对但不全的得 2 分,有选错的不得分) 9.已知角 2 的终边在 x 轴的上方

6、,那么角 可能是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案 AC 解析 因为角 2 的终边在 x 轴的上方,所以 k 360 2k 360 180 ,kZ,则有 k 180 k 180 90 ,kZ.故当 k2n,nZ 时,n 360 n 360 90 ,nZ, 为第一 象限角;当 k2n1,nZ 时,n 360 180 n360 270 ,nZ, 为第三象限角.故 选 A,C. 10.下列说法中正确的有( ) A.正角的正弦值是正的,负角的正弦值是负的,零角的正弦值是零 B.若三角形的两内角 , 满足 sin cos 0,则此三角形必为钝角三角形 C.对任意

7、的角 ,都有|sin cos |sin |cos | D.对任意角 k 2 ,kZ ,都有 tan 1 tan |tan | 1 tan 答案 BD 解析 对于 A, 正角和负角的正弦值都可正、 可负、 可零, 故 A 错误; 对于 B, sin cos 0,cos 0,即 2, ,三角形必为钝角三角形,故 B 正确; 对于 C,当 sin ,cos 异号时,等式不成立,故 C 错误; 对于 D,tan , 1 tan 的符号相同, tan 1 tan |tan | 1 tan ,故 D 正确.因此正确的 有 B,D. 11.已知函数 f(x)sin x 2 (xR),下面结论正确的是( )

8、A.函数 f(x)的最小正周期为 2 B.函数 f(x)在区间 0, 2 上是增函数 C.函数 f(x)的图象关于直线 x0 对称 D.函数 f(x)是奇函数 答案 ABC 解析 由题意,可得 f(x)cos x,故根据余弦函数的图象可知 D 是错误的. 12.关于函数 f(x)sin|x|sin x|,下述四个结论正确的是( ) A.f(x)是偶函数 B.f(x)在区间 2, 单调递增 C.f(x)在,有 4 个零点 D.f(x)的最大值为 2 答案 AD 解析 f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x),f(x)为偶函数,故 A 正确;当 2x 时,f(x)sin

9、xsin x2sin x,f(x)在 2, 单调递减,故 B 不正确;f(x)在,的图象如 图所示,由图可知函数 f(x)在,只有 3 个零点,故 C 不正确;ysin|x|与 y|sin x|的最 大值都为 1 且可以同时取到,f(x)可以取到最大值 2,故 D 正确. 三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 13.已知扇形的圆心角为 60 ,所在圆的半径为 10 cm,则扇形的面积是_cm2. 答案 50 3 解析 根据题意得:圆心角为 60 ,即 3,S 扇形1 2r 21 2 310 250 3 (cm2). 14.当 x 6, 7 6

10、时,函数 y3sin x2cos2x 的最小值是_,最大值是_(第一 空 2 分,第二空 3 分). 答案 7 8 2 解析 x 6, 7 6 ,1 2sin x1. y3sin x2cos2x1sin x2(1cos2x) 2sin2xsin x12 sin x1 4 2 7 8, 当 sin x1 4时,ymin 7 8; 当 sin x1 或 sin x1 2时,ymax2. 15.已知 tan 1 2,tan() 1 5,则 tan(2)_. 答案 7 9 解析 tan 1 2,tan() 1 5,则 tan(2)tan() tan tan() 1tan tan() 1 2 1 5 1

11、1 2 1 5 7 9. 16.给出下列命题: 函数 ycos 3 2x 2 是奇函数; 若 , 是第一象限角且,则 tan tan ; y2sin3 2x 在区间 3, 2 上的最小值是2,最大值是 2; x 8是函数 ysin 2x5 4 的一条对称轴. 其中正确命题的序号是_. 答案 解析 函数 ycos 3 2x 2 sin3 2x 是奇函数,正确; 若 , 是第一象限角且 ,取 30 ,390 ,则 tan tan ,不正确; y2sin3 2x 在区间 3, 2 上的最小值是2,最大值是 2,不正确; sin 2 8 5 4 sin3 2 1.正确. 四、解答题(本大题共 6 小题

12、,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知 f() sin()cos(2)cos 3 2 cos 2 sin() . (1)若 13 3 ,求 f()的值; (2)若 为第二象限角,且 cos 2 3 5,求 f()的值. 解 (1)f() sin()cos(2)cos 3 2 cos 2 sin() sin cos sin (sin )(sin )cos , f 13 3 cos 13 3 cos 3 1 2. (2)cos 2 3 5,sin 3 5. 为第二象限角, f()cos 1sin24 5. 18.(本小题满分 12 分)已知 0

13、 2,sin 4 5. (1)求 tan 的值;(2)求 cos 2sin 2 的值. 解 (1)因为 00 时,f(x)max3ab1, f(x)minaabb5. b5, 3ab1,解得 a2, b5. 当 a0 时,f(x)maxaabb1, f(x)min2aab3ab5, b1, 3ab5,解得 a2, b1. a2,b5 或 a2,b1. 20.(本小题满分 12 分)已知函数 y2sin x 2 6 . (1)试用“五点法”画出它的图象; (2)求它的振幅、周期和初相; (3)根据图象写出它的单调递减区间. 解 (1)令 tx 2 6,列表如下: x 3 2 3 5 3 8 3

14、11 3 t 0 2 3 2 2 y 0 2 0 2 0 描点连线并向左右两边分别扩展,得到如图所示的函数图象: (2)振幅 A2,周期 T4,初相为 6. (3)由图象得单调递减区间为 2 3 4k,8 3 4k (kZ). 21.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)sin xsin x 3 . (1)求 f(x)的最小值,并求使 f(x)取得最小值时 x 的集合; (2)不画图,说明函数 yf(x)的图象可由 ysin x 的图象经过怎样的变化得到. 解 (1)f(x)sin x1 2sin x 3 2 cos x3 2sin x 3 2 cos x 3sin x 6 , 当 x 62

15、k 2(kZ),即 x2k 2 3 (kZ)时,f(x)取得最小值 3,此时 x 的取值集合 为x|x2k2 3 (kZ). (2)先由 ysin x 的图象上的所有点的纵坐标变为原来的 3倍,横坐标不变,即为 y 3sin x 的图象,再由 y 3sin x 的图象上所有点向左平移 6个单位,得到 yf(x)的图象. 22.(本小题满分 12 分)如图,某吊车的车身高 2.5 m,吊臂长 24 m,现在要把一个直径为 3 m, 长 6 m 的圆柱形屋顶构件水平地吊到 14 m 高的屋顶上安装(按图示方式吊起),且在安装过程 中屋顶构件不能倾斜,那么此吊车能否吊装成功? 解 设吊臂与水平面的倾斜角为 ,屋顶构件底部与地面的距离为 h.当构件恰与吊臂相贴时, 它离地面最高. 此时 24sin 2.5h33tan . h24sin 3tan 1 2 0 2 . 当 4时,h12 23.513.514. 故此吊车能吊装成功.

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