1、第五章第五章 三角函数三角函数 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.在 0 到 2 范围内，与角4 3 终边相同的角是( ) A. 6 B. 3 C.2 3 D.4 3 答案 C 解析 与角4 3 终边相同的角是 2k 4 3 ，kZ，令 k1，可得与角4 3 终边相同的角是 2 3 .故选 C. 2.函数 f(x) 3tan x 2 4 ，xR 的最小正周期为( ) A. 2 B. C.2 D.4 答案 C 解析 f(x) 3tan x 2 4 ，1 2，T 1
2、 2 2， 则函数的最小正周期为 2. 3.已知 tan 3，则 sin cos ( ) A. 3 10 B.3 5 C. 7 10 D.4 5 答案 A 解析 tan 3，sin cos sin cos sin2cos2 tan tan21 3 10. 4.化简：sin 22cos 2 sin 4 ( ) A.2 2cos B.2cos C.2sin D.sin 答案 A 解析 原式2sin cos 2cos 2 2 2 （sin cos ） 2 2cos . 5.函数 f(x)3cos x 3sin x 的图象的一条对称轴方程是( ) A.x5 6 B.x2 3 C.x 3 D.x 3 答
3、案 A 解析 f(x)3cos x 3sin x2 3( 3 2 cos x1 2sin x)2 3cos x 6 ， 函数的对称轴方程为 x 6k，kZ，即 xk 6，kZ， 当 k1 时，x5 6 是其中的一条对称轴方程.故选 A. 6.函数 yAsin(x)在一个周期内的图象如图，则此函数的解析式为( ) A.y2sin 2x2 3 B.y2sin 2x 3 C.y2sin x 2 3 D.y2sin 2x 3 答案 A 解析 由已知可得函数yAsin(x)的图象经过点 12，2 和点 5 12，2 ， 则A2， T， 即 2，则函数的解析式为 y2sin(2x)，将 12，2 代入得
4、6 22k，kZ，即 2 3 2k，kZ， 当 k0 时，2 3 ，此时 y2sin 2x2 3 .故选 A. 7.已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，若它的终边经过点 P(2，3)， 则 tan 2 4 ( ) A.12 5 B. 5 12 C.17 7 D. 7 17 答案 D 解析 依题意， 角 的终边经过点 P(2， 3)， 则 tan 3 2， tan 2 2tan 1tan2 12 5 ， 于是 tan 2 4 1tan 2 1tan 2 7 17. 8.若将函数 f(x)2sin xcos x2sin2x1 的图象向右平移 个单位，所得图象关于 y 轴对
5、称，则 的最小正值是( ) A. 8 B. 4 C.3 8 D.3 4 答案 C 解析 将函数 f(x)2sin xcos x2sin2x1sin 2xcos 2x 2sin 2x 4 的图象向右平移 个 单位， 可得 y 2sin 2（x） 4 2sin 2x 42 的图象.再根据所得图象关于 y 轴对称， 可得 42k 2，kZ，即 8 k 2 ，kZ，故 的最小正值是3 8 . 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中有多项符 合题目要求，全部选对得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的不得分) 9.已知角 2 的终边在 x 轴的上方
6、，那么角 可能是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案 AC 解析 因为角 2 的终边在 x 轴的上方，所以 k 360 2k 360 180 ，kZ，则有 k 180 k 180 90 ，kZ.故当 k2n，nZ 时，n 360 n 360 90 ，nZ， 为第一 象限角；当 k2n1，nZ 时，n 360 180 n360 270 ，nZ， 为第三象限角.故 选 A，C. 10.下列说法中正确的有( ) A.正角的正弦值是正的，负角的正弦值是负的，零角的正弦值是零 B.若三角形的两内角 ， 满足 sin cos 0，则此三角形必为钝角三角形 C.对任意
7、的角 ，都有|sin cos |sin |cos | D.对任意角 k 2 ，kZ ，都有 tan 1 tan |tan | 1 tan 答案 BD 解析 对于 A， 正角和负角的正弦值都可正、 可负、 可零， 故 A 错误； 对于 B， sin cos 0，cos 0，即 2， ，三角形必为钝角三角形，故 B 正确； 对于 C，当 sin ，cos 异号时，等式不成立，故 C 错误； 对于 D，tan ， 1 tan 的符号相同， tan 1 tan |tan | 1 tan ，故 D 正确.因此正确的 有 B，D. 11.已知函数 f(x)sin x 2 (xR)，下面结论正确的是( )
8、A.函数 f(x)的最小正周期为 2 B.函数 f(x)在区间 0， 2 上是增函数 C.函数 f(x)的图象关于直线 x0 对称 D.函数 f(x)是奇函数 答案 ABC 解析 由题意，可得 f(x)cos x，故根据余弦函数的图象可知 D 是错误的. 12.关于函数 f(x)sin|x|sin x|，下述四个结论正确的是( ) A.f(x)是偶函数 B.f(x)在区间 2， 单调递增 C.f(x)在，有 4 个零点 D.f(x)的最大值为 2 答案 AD 解析 f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x)，f(x)为偶函数，故 A 正确；当 2x 时，f(x)sin
9、xsin x2sin x，f(x)在 2， 单调递减，故 B 不正确；f(x)在，的图象如 图所示，由图可知函数 f(x)在，只有 3 个零点，故 C 不正确；ysin|x|与 y|sin x|的最 大值都为 1 且可以同时取到，f(x)可以取到最大值 2，故 D 正确. 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中的横线上) 13.已知扇形的圆心角为 60 ，所在圆的半径为 10 cm，则扇形的面积是_cm2. 答案 50 3 解析 根据题意得：圆心角为 60 ，即 3，S 扇形1 2r 21 2 310 250 3 (cm2). 14.当 x 6， 7 6
10、时，函数 y3sin x2cos2x 的最小值是_，最大值是_(第一 空 2 分，第二空 3 分). 答案 7 8 2 解析 x 6， 7 6 ，1 2sin x1. y3sin x2cos2x1sin x2(1cos2x) 2sin2xsin x12 sin x1 4 2 7 8， 当 sin x1 4时，ymin 7 8； 当 sin x1 或 sin x1 2时，ymax2. 15.已知 tan 1 2，tan() 1 5，则 tan(2)_. 答案 7 9 解析 tan 1 2，tan() 1 5，则 tan(2)tan() tan tan（） 1tan tan（） 1 2 1 5 1
11、1 2 1 5 7 9. 16.给出下列命题： 函数 ycos 3 2x 2 是奇函数； 若 ， 是第一象限角且，则 tan tan ； y2sin3 2x 在区间 3， 2 上的最小值是2，最大值是 2； x 8是函数 ysin 2x5 4 的一条对称轴. 其中正确命题的序号是_. 答案 解析 函数 ycos 3 2x 2 sin3 2x 是奇函数，正确； 若 ， 是第一象限角且 ，取 30 ，390 ，则 tan tan ，不正确； y2sin3 2x 在区间 3， 2 上的最小值是2，最大值是 2，不正确； sin 2 8 5 4 sin3 2 1.正确. 四、解答题(本大题共 6 小题
12、，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知 f() sin（）cos（2）cos 3 2 cos 2 sin（） . (1)若 13 3 ，求 f()的值； (2)若 为第二象限角，且 cos 2 3 5，求 f()的值. 解 (1)f() sin（）cos（2）cos 3 2 cos 2 sin（） sin cos sin （sin ）（sin ）cos ， f 13 3 cos 13 3 cos 3 1 2. (2)cos 2 3 5，sin 3 5. 为第二象限角， f()cos 1sin24 5. 18.(本小题满分 12 分)已知 0
13、 2，sin 4 5. (1)求 tan 的值；(2)求 cos 2sin 2 的值. 解 (1)因为 00 时，f(x)max3ab1， f(x)minaabb5. b5， 3ab1，解得 a2， b5. 当 a0 时，f(x)maxaabb1， f(x)min2aab3ab5， b1， 3ab5，解得 a2， b1. a2，b5 或 a2，b1. 20.(本小题满分 12 分)已知函数 y2sin x 2 6 . (1)试用“五点法”画出它的图象； (2)求它的振幅、周期和初相； (3)根据图象写出它的单调递减区间. 解 (1)令 tx 2 6，列表如下： x 3 2 3 5 3 8 3
14、11 3 t 0 2 3 2 2 y 0 2 0 2 0 描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象： (2)振幅 A2，周期 T4，初相为 6. (3)由图象得单调递减区间为 2 3 4k，8 3 4k (kZ). 21.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)sin xsin x 3 . (1)求 f(x)的最小值，并求使 f(x)取得最小值时 x 的集合； (2)不画图，说明函数 yf(x)的图象可由 ysin x 的图象经过怎样的变化得到. 解 (1)f(x)sin x1 2sin x 3 2 cos x3 2sin x 3 2 cos x 3sin x 6 ， 当 x 62
15、k 2(kZ)，即 x2k 2 3 (kZ)时，f(x)取得最小值 3，此时 x 的取值集合 为x|x2k2 3 (kZ). (2)先由 ysin x 的图象上的所有点的纵坐标变为原来的 3倍，横坐标不变，即为 y 3sin x 的图象，再由 y 3sin x 的图象上所有点向左平移 6个单位，得到 yf(x)的图象. 22.(本小题满分 12 分)如图，某吊车的车身高 2.5 m，吊臂长 24 m，现在要把一个直径为 3 m， 长 6 m 的圆柱形屋顶构件水平地吊到 14 m 高的屋顶上安装(按图示方式吊起)，且在安装过程 中屋顶构件不能倾斜，那么此吊车能否吊装成功？ 解 设吊臂与水平面的倾斜角为 ，屋顶构件底部与地面的距离为 h.当构件恰与吊臂相贴时， 它离地面最高. 此时 24sin 2.5h33tan . h24sin 3tan 1 2 0 2 . 当 4时，h12 23.513.514. 故此吊车能吊装成功.