2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第一章 勾股定理》单元提升卷(含答案解析)

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1、第一章第一章 勾股定理勾股定理 单元单元提升卷提升卷 考试范围:第 1 章勾股定理;考试时间:90 分钟;总分:120 分 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 3 分,共分,共 30 分)分) 1. 下列说法中正确的是( ) A.已知cba,是三角形的三边, 则 222 cba B.在直角三角形中, 两边的平方和等于第三边的平方 C.在 Rt ABC 中,C90 ,所以 222 cba D.在 Rt ABC 中,B90 ,所以 222 cba 2. 如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的 2 倍,那么斜边长扩大到原来的( ) A.1 倍 B.2 倍 C.3 倍 D.4 倍 3. 在

2、ABC 中,AB6,AC8,BC10,则该三角形为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 4. 如图,已知正方形 B 的面积为 144,如果正方形 C 的面积为 169,那么正方形 A 的面积 为( ) A.313 B.144 C.169 D.25 5. 如图,在 Rt ABC 中,ACB90 ,若 AC5 cm,BC12 cm,则 Rt ABC 斜边上的高 CD 的长为( ) A.6 cm B.8.5 cm C. 13 60 cm D. 13 30 cm 6. 分别满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是( ) A.三内角之比为 123 B.三边长的平方

3、之比为 123 C.三边长之比为 345 D.三内角之比为 345 7. 如图,在 ABC 中,ACB90 ,AC40,BC9,点 M,N 在 AB 上,且 AMAC,BNBC,则 MN 的 长为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 8. 如图,一圆柱高 8 cm,底面半径为 6 cm,一只蚂蚁从点 A 爬到点 B 处吃食,要 爬行的最短路程是( ) M A B C N 第 7 题图 A B C 第 4 题图 A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm 9. 如果一个三角形的三边长 a,b,c 满足 a2b2c233810a24b26c,那么这个三角形一定是( ) A.锐角三

4、角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 10. 在 Rt ABC 中,C90 ,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 ab34,c10,则 ABC 的面积为( ) A24 B12 C28 D30 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 4 分,共分,共 28 分)分) 11已知直角三角形的两边长分别为 3、4则第三边长为_ 12在 ABC 中,ABAC17 cm,BC16 cm,ADBC 于点 D,则 AD_. 13在 ABC 中,若三边长分别为 9,12,15,则用两个这样的三角形拼成的长方形的面积为_. 14如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中

5、最大正方形的边长为 7 cm,则 正方形 A,B,C,D 的面积之和为_cm2 15如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,他们仅 仅少走了_步路(假设 2 步为 1 m),却踩伤了花草. 16 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正 方形(如图所示)如果大正方形的面积是 13,小正方形的面积是 1,直角三角形的两直角边长分别为 a、 b,那么 2 ()ab的值是_ 17在 ABC 中,AB=13 cm,AC=20 cm,BC 边上的高为 12 cm,则 ABC 的面积为 cm2. 三、解答题

6、一(每小题 6 分,共 18 分) 18如图,在VABC 中,AC=13cm,AB=15cm,BC=14cm,求 BC 边上的高 AD 19八(2)班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时,发现升旗的绳子垂到地面要多 1 米,当他 们把绳子的下端拉开 5 米后,发现下端刚好接触地面你能将旗杆的高度求出来吗? 20有一块四边形土地 ABCD(如图),B = 90 ,AB = 4m,BC =3 m,CD=12 m,DA = 13 m,求该四边 形地的面积 四、解答题二(每小题 8 分,共 24 分) 21一架梯子长2.5米,如图斜靠在一面墙上,梯子底端离墙0.7米 (1)这个梯子的顶端距地面有

7、多高? (2)如果梯子的顶端下滑了0.4米,那么梯子的底部在水平方向也滑动了0.4米吗? 22为了积极宣传防疫,南川区政府采用了移动车进行广播,如图,小明家在南大街这条笔直的 公路 MN 的一侧点 A 处,小明家到公路 MN 的距离为 600 米,假使广播车 P 周围 1000 米以内能听 到广播宣传,广播车 P 以 250 米/分的速度在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时,若小明此时在家,他 是否能听到?若能,请求出他总共能听到多长时间的广播? 23如图,在 ABC 中,C90 ,将 ACE 沿着 AE 折叠以后 C 点正好落在 AB 边上的点 D 处 (1)当B28 时,求CAE 的度数;

8、 (2)当 AC6,AB10 时,求线段 DE 的长 五、解答题二(每小题 10 分,共 20 分) 24教材在探索平方差公式时利用了面积法,面积法除了可以帮助我们记忆公式,还可以直观地推导或验 证公式,俗称“无字证明”,例如,著名的赵爽弦图(如图,其中四个直角三角形较大的直角边长都为 a,较小的直角边长都为 b,斜边长都为 c),大正方形的面积可以表示为 c),也可以表示为 4 1 2ab+(a b) 2,由此推导出重要的勾股定理:如果直角三角形两条直角边长为 a,b,斜边长为 c,则 a2+b2c2 (1)图为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”,请你利用图推导勾股定理 (2)如图,在

9、ABC 中,AD 是 BC 边上的高,AB4,AC5,BC6,设 BDx,求 x 的值 (3)试构造一个图形,使它的面积能够解释(a+b)(a+2b)a2+3ab+2b2,画在如图 4 的网格中,并标 出字母 a,b 所表示的线段 25王老师在一次“探究性学习”课中,设计了如下数表: n 2 3 4 5 a 221 321 421 521 b 4 6 8 10 c 22+1 32+1 42+1 52+1 (1)请你分别观察 a,b,c 与 n 之间的关系,并用含自然数 n(n1)的代数式表示:a=_,b=_,c=_. (2)猜想:以 a,b,c 为边的三角形是否为直角三角形?并证明你的猜想?

10、(3)观察下列勾股数 32+42=52,52+122=132,72+242=252,92+402=412,分析其中的规律,写出第五组勾股数. 第一章第一章 勾股定理勾股定理 单元单元提升卷提升卷 考试范围:第 1 章勾股定理;考试时间:90 分钟;总分:120 分 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 3 分,共分,共 30 分)分) 1. 下列说法中正确的是( ) A.已知cba,是三角形的三边, 则 222 cba B.在直角三角形中, 两边的平方和等于第三边的平方 C.在 Rt ABC 中,C90 ,所以 222 cba D.在 Rt ABC 中,B90 ,所以 222 cba 【解析】

11、C A.不确定三角形是不是直角三角形,故 A 选项错误;B.不确定第三边是不是斜边,故 B 选项 错误;C.C=90 ,所以其对边为斜边,故 C 选项正确;D.B=90 时,有 b2a2c2,所以 a2b2c2 不成立,故 D 选项错误. 11. 如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的 2 倍,那么斜边长扩大到原来的( ) A.1 倍 B.2 倍 C.3 倍 D.4 倍 【解析】B 设原直角三角形的两直角边长分别是 a,b,斜边长是 c,则 a2b2c2,则扩大后的直角三 角形两直角边长的平方和为 222 22 44 22 c abab ,斜边长的平方为2 2 4 2 c c ,即斜边

12、长 扩大到原来的 2 倍,故选 B. 12. 在 ABC 中,AB6,AC8,BC10,则该三角形为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 【解析】B 在 ABC 中,由 AB6,AC8,BC10,可推出 AB2AC2BC2.由勾股定理的逆定理知 此三角形是直角三角形,故选 B 13. 如图,已知正方形 B 的面积为 144,如果正方形 C 的面积为 169,那么正方形 A 的面积 为( ) A.313 B.144 C.169 D.25 【解析】D 解析:设三个正方形 A,B,C 的边长依次为 a,b,c, 因为三个正方形的边组成一个直角三角形,所以 a2b

13、2c2,故 SASBSC,即 SA16914425. 14. 如图, 在 Rt ABC 中, ACB90 , 若 AC5 cm, BC12 cm, 则 Rt ABC 斜边上的高 CD 的长为 ( ) A.6 cm B.8.5 cm C. 13 60 cm D. 13 30 cm 【解析】C 解析:由勾股定理可知 22222 512169ABACBC,所以 AB=13 cm,再由三角形的 A B C 第 4 题图 面积公式,有 11 22 AC BCAB CD,得 60 cm 13 AC BC CD AB (). 15. 分别满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是( ) A.三内角之比为 1

14、23 B.三边长的平方之比为 123 C.三边长之比为 345 D.三内角之比为 345 【解析】D 解析:在 A 选项中,求出三角形的三个内角分别是 30 ,60 ,90 ;在 B,C 选项中,都符合 勾股定理的条件,所以 A,B,C 选项中的三角形都是直角三角形.在 D 选项中,求出三角形的三个内角 分别是 45 ,60 ,75 ,所以不是直角三角形,故选 D 16. 如图,在 ABC 中,ACB90 ,AC40,BC9,点 M,N 在 AB 上,且 AMAC,BNBC,则 MN 的 长为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】C 解析:因为在 Rt ABC 中,AC40,BC9,

15、所以由勾股定理得 AB 41.因为 BN=BC9,所以. 17. 如图, 一圆柱高 8 cm, 底面半径为 6 cm, 一只蚂蚁从点 A 爬到点 B 处吃食, 要爬行的最短路程是 ( ) A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm 【解析】C 解析:如图为圆柱的侧面展开图, 为的中点,则就是蚂蚁爬行的最短路径. (cm), (cm) cm, 22222 =68ABCBAC=100(cm),所以 AB= 10 cm,即蚂蚁要爬行的最短路程 是 10 cm 18. 如果一个三角形的三边长 a,b,c 满足 a2b2c233810a24b26c,那么这个三角形一定是( ) A.锐角三

16、角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 【解析】B 解析:由,整理,得 ,即,所以 M A B C N 第 7 题图 ,符合,所以这个三角形一定是直角三角形. 19. 在 Rt ABC 中,C90 ,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 ab34,c10,则 ABC 的面积为( ) A24 B12 C28 D30 【解析】 解析:因为 ab34,所以设 a3k,b4k(k0).在 Rt ABC 中,C90 ,由勾股定 理,得 a2b2c2,因为 c10,所以 9k216k2100, 解得 k2,所以 a6,b8, 所以 S ABC1 2ab 1 2 6 824.故选 A.

17、 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 4 分,共分,共 28 分)分) 11已知直角三角形的两边长分别为 3、4则第三边长为_ 【解析】已知直角三角形两边的长,但没有明确是直角边还是斜边,因此分两种情况讨论: 长为 3 的边是直角边,长为 4 的边是斜边时:第三边的长为:; 长为 3、4 的边都是直角边时:第三边的长为:; 第三边的长为:或 5 12在 ABC 中,ABAC17 cm,BC16 cm,ADBC 于点 D,则 AD_. 【解析】如图, 等腰三角形底边上的高、中线以及顶角的平分线互相重合, 1 . 2 BDBC BC16, 11 168. 22 BDBC ADBC,ADB=90

18、. 在 Rt ADB 中, ABAC17,由勾股定理,得 22222 178225ADABBD.AD=15 cm 13在 ABC 中,若三边长分别为 9,12,15,则用两个这样的三角形拼成的长方形的面积为_. 【解析】因为,所以是直角三角形,且两条直角边长分别为 9,12,则以两个这样 的三角形拼成的长方形的面积为. 14如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大正方形的边长为 7 cm,则 正方形 A,B,C,D 的面积之和为_cm2 22 437 22 435+= 7 【解析】如图 所有的三角形都是直角三角形,所有的四边形都是正方形, 正方形 A 的面积=a2,正

19、方形 B 的面积=b2, 正方形 C 的面积=c2,正方形 D 的面积=d2, 又a2+b2=x2,c2+d2=y2, 正方形 A、B、C、D 的面积和=(a2+b2)+(c2+d2)=x2+y2=72=49cm2 故答案为:49 15如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,他们仅 仅少走了_步路(假设 2 步为 1 m),却踩伤了花草. 【解析】在 Rt ABC 中,C=90 ,由勾股定理,得 22 4325 ,所以 AB=5.他们仅 仅少走了(步) 16 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个

20、大正 方形(如图所示)如果大正方形的面积是 13,小正方形的面积是 1,直角三角形的两直角边长分别为 a、 b,那么的值是_ 【分析】 根据勾股定理可以求得 a2+b2等于大正方形的面积,然后求四个直角三角形的面积,即可得到 ab 的值,然 后根据(a-b)2=a2-2ab+b2即可求解 【详解】 解:根据勾股定理可得 a2+b2=13, 2 ()ab 四个直角三角形的面积是: ab 4=13-1=12,即:2ab=12, 则(a-b)2=a2-2ab+b2=13-12=1 故答案为 1 17在 ABC 中,AB=13 cm,AC=20 cm,BC 边上的高为 12 cm,则 ABC 的面积为

21、 cm2. 【解析】本题分两种情况 (1)如图(1),在锐角 ABC 中,AB=13,AC=20,BC 边上的高 AD=12, 第 16 题答图(1) 在 Rt ABD 中,AB=13,AD=12,由勾股定理,得BD2= AB2-AD2= 132-122 =25, BD=5.在 Rt ACD 中,AC=20,AD=12, 由勾股定理,得CD2= AC2-AD2= 202-122=256, CD=16, BC 的长为 BD+DC=5+16=21, ABC 的面积=1 2 BC AD= 1 2 21 12=126. (2)如图(2),在钝角 ABC 中,AB=13,AC=20,BC 边上的高 AD

22、=12, 第 16 题答图(2) 在 Rt ABD 中,AB=13,AD=12,由勾股定理,得 BD2= AB2-AD2= 132-122=25, BD=5. 在 Rt ACD 中,AC=20,AD=12,由勾股定理,得 CD2= AC2-AD2= 202-122=256, CD=16. BC=DC-BD=16-5=11. ABC 的面积=1 2 BC AD= 1 2 11 12=66. 综上, ABC 的面积是 126 或 66. 三、解答题一(每小题 6 分,共 18 分) 18如图,在ABC 中,AC=13cm,AB=15cm,BC=14cm,求 BC 边上的高 AD 1 2 V 【分析

23、】设 BD=xcm,则 CD=(14x)cm,依题意有 152x2=132(14x)2,求得 x=9,再根据勾股定理 求得 AD 解:设 BD=xcm,则 CD=(14x)cm, 依题意有 152x2=132(14x)2, 解得 x=9, 故 BC 边上的高 AD 为 12cm 19八(2)班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时,发现升旗的绳子垂到地面要多 1 米,当他 们把绳子的下端拉开 5 米后,发现下端刚好接触地面你能将旗杆的高度求出来吗? 【解析】本题考查了勾股定理的实际应用,由题可以知道,旗杆,绳子与地面构成直角三角形,根据题中数 据,用勾股定理即可解答. 设旗杆高 xm,则绳

24、子长为(x+1)m, 旗杆垂直于地面, 旗杆,绳子与地面构成直角三角形, 由题意列式为 x2+52=(x+1)2, 解得 x=12m, 所以旗杆的高度为 12 米 20有一块四边形土地 ABCD(如图),B = 90 ,AB = 4m,BC =3 m,CD=12 m,DA = 13 m,求该四边 形地的面积 【解析】 连接 AC 22222 1 12 59RTADBADABBD AD 在中, (cm) B=90 , AC=2+ 2= 42+ 32= 5 (m), 52+122=132, ADC 是直角三角形,且ACD=90, S四边形ABCD= 1 2 3 4 + 1 2 5 12 = 6 +

25、 30 = 36 (2) 四、解答题二(每小题 8 分,共 24 分) 21一架梯子长米,如图斜靠在一面墙上,梯子底端离墙 米 (1)这个梯子的顶端距地面有多高? (2)如果梯子的顶端下滑了米,那么梯子的底部在水平方向也滑动了米吗? 【分析】(1)根据 Rt ABC 的勾股定理求出 AB 的长度,从而得出答案; (2)根据题意得出 AC和 AB 的长度,然后根据勾股定理求出 BC的长度,从而得出答案 【解析】(1)根据题意可得:AC=2.5 米,BC=0.7 米,ABC=90 , 答:梯子的顶端距地面有 2.4 米; (2)梯子的底部在水平方向不是滑动了米,理由如下 根据题意可得:AC=2.5

26、 米,AB=2.4-0.4=2 米, 则 CC=1.5-0.7=0.8 米, 即梯子的底端在水平方向滑动 0.8 米,不是 0.4 米 22为了积极宣传防疫,南川区政府采用了移动车进行广播,如图,小明家在南大街这条笔直的 公路 MN 的一侧点 A 处,小明家到公路 MN 的距离为 600 米,假使广播车 P 周围 1000 米以内能听 到广播宣传,广播车 P 以 250 米/分的速度在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时,若小明此时在家,他 是否能听到?若能,请求出他总共能听到多长时间的广播? 2.50.7 0.40.4 22222 2.50.7 2.4 ABACBC AB 0.4 222 =2

27、.52 1.5 BC BC 【分析】根据小明 A 到公路 MN 的距离为 600 米1000 米,可以判断能否听到;根据勾股定理得到 BP BQ800 米,求得 PQ1600 米,于是得到结论 【解答】解:小明能听到宣传, 理由:村庄 A 到公路 MN 的距离为 600 米1000 米, 小明能听到宣传; 如图:假设当宣讲车行驶到 P 点开始小明听到广播,行驶到 Q 点小明听不到广播, 则 APAQ1000 米,AB600 米, BPBQ= 10002 6002=800(米),PQ1600 米, 小明听到广播的时间为:1600 2506.4(分钟), 他总共能听到 6.4 分钟的广播 23如图

28、,在 ABC 中,C90 ,将 ACE 沿着 AE 折叠以后 C 点正好落在 AB 边上的点 D 处 (1)当B28 时,求CAE 的度数; (2)当 AC6,AB10 时,求线段 DE 的长 【解析】(1)在 Rt ABC 中,ABC90 ,B28 , BAC90 28 62 , ACE 沿着 AE 折叠以后 C 点正好落在点 D 处, CAE1 2CAB 1 2 62 31 ; (2)在 Rt ABC 中,AC6,AB10, BC2 2102 62 8, ACE 沿着 AE 折叠以后 C 点正好落在点 D 处, ADAC6,CEDE, BDABAD4, 设 DEx,则 EBBCCE8x,

29、Rt BDE 中,DE2+BD2BE2, x2+42(8x)2, 解得 x3 即 DE 的长为 3 五、解答题二(每小题 10 分,共 20 分) 24教材在探索平方差公式时利用了面积法,面积法除了可以帮助我们记忆公式,还可以直观地推导或验 证公式,俗称“无字证明”,例如,著名的赵爽弦图(如图,其中四个直角三角形较大的直角边长都为 a,较小的直角边长都为 b,斜边长都为 c),大正方形的面积可以表示为 c),也可以表示为 4 1 2ab+(a b) 2,由此推导出重要的勾股定理:如果直角三角形两条直角边长为 a,b,斜边长为 c,则 a2+b2c2 (1)图为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证

30、法”,请你利用图推导勾股定理 (2)如图,在 ABC 中,AD 是 BC 边上的高,AB4,AC5,BC6,设 BDx,求 x 的值 (3)试构造一个图形,使它的面积能够解释(a+b)(a+2b)a2+3ab+2b2,画在如图 4 的网格中,并标 出字母 a,b 所表示的线段 【分析】(1)梯形的面积可以由梯形的面积公式求出,也可利用三个直角三角形面积求出,两次求出的 面积相等列出关系式,化简即可得证; (2)运用勾股定理在 Rt ABD 和 Rt ADC 中求出 AD2,列出方程求解即可; (3)画出边长为 a+b 和 a+2b 的矩形即可 【解答】解:(1)梯形 ABCD 的面积为1 2(

31、 + )( + ) = 1 2 2 + + 1 2 2, 也可以表示为1 2 + 1 2 + 1 2 2,1 2 + 1 2 + 1 2 2 = 1 2 2 + + 1 2 2, 即 a2+b2c2; (2)在 Rt ABD 中,AD2AB2BD242x216x2; 在 Rt ADC 中,AD2AC2DC252(6x)211+12xx2; 所以 16x211+12xx2, 解得 = 9 4; (3)如图, 由此可得(a+b)(a+2b)a2+3ab+2b2 25王老师在一次“探究性学习”课中,设计了如下数表: n 2 3 4 5 a 221 321 421 521 b 4 6 8 10 c 2

32、2+1 32+1 42+1 52+1 (1)请你分别观察 a,b,c 与 n 之间的关系,并用含自然数 n(n1)的代数式表示:a=_,b=_,c=_. (2)猜想:以 a,b,c 为边的三角形是否为直角三角形?并证明你的猜想? (3)观察下列勾股数 32+42=52,52+122=132,72+242=252,92+402=412,分析其中的规律,写出第五组勾股数. 【分析】 (1)探究规律后,利用规律即可解决问题; (2)根据勾股定理的逆定理证明即可; (3)观察发现第一个数的奇数,另外两个数的底数的和是这个奇数的平方,由此即可解决问题; 【解析】(1)由题意:a=n2-1,b=2n,c=n2+1, 故答案为 n2-1,2n,n2+1; (2)猜想:以 a、b、c 为边的三角形是直角三角形 理由:a=n2-1,b=2n,c=n2+1, a2+b2=(n2-1)2+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2=c2, 以 a、b、c 为边的三角形是直角三角形 (3)观察可知:第五组勾股数为:112+602=612

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