1、第一章勾股定理第一章勾股定理 一、选择题一、选择题 1. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 3，5，7 B. 5，7，9 C. 3，5，4 D. 2，2，3 2. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面 10m处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为 24m，则这棵大树折断处到树顶的长度是（ ） A 10m B. 15m C. 26m D. 30m 3. 如图，阴影长方形的面积是（ ） A. 9cm2 B. 24cm2 C. 45cm2 D. 51cm2 4. 如图， ABC 中，ABAC，AD是BAC 的平分线已知 AB5，AD3，则 BC 的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 1
2、0 5. 如图是用硬纸板做成的两个直角边长分别为 a，b，斜边长为 c的全等三角形拼成的图形，观察图形，可以验证（ ） A. a2b2c2 B. （ab）2a22abb2 C. a2b2 （ab）（ab） D. （ab）2a22abb2 6. 已知直角三角形的两条边长分别为 3和 5，那么这个三角形的第三条边长的平方为（ ） A. 16 B. 256 C. 34 D. 16或 34 7. ABC三条边分别为 a，b，c，下列条件不能判断ABC是直角三角形的是（ ） A. a2b2c2 B. ABC C. ABC345 D. a5，b12，c13 8. 如图， 一圆柱高 8cm， 底面周长是 1
3、2cm， 一只蚂蚁从点 A爬到点 B 处吃食， 要爬行的最短路程是 （ ） A 20cm B. 24cm C. 14cm D. 10cm 9. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有 AB、CD、EF、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（） A. CD、EF、GH B. AB、EF、GH C. AB、CD、GH D. AB、CD、EF 10. 如图，在 RtABC中，ACB90 ，BC3，AB5，点 E 为射线 BC 上一点，若ABE是等腰三角形，则ABE的面积不可能是（ ） A. 10 B. 12 C. 253 D. 256 二、填空题二、填空题 11. 在ABC中，ACB9
4、0，若 AC5，AB13，则 BC_ 12. 公元 3 世纪初，中国古代数学家赵爽注周髀算经时，创造了“赵爽弦图”如图，设勾9a，小正方形ABCD的面积是 9，则弦 c长为_ 13. 如图， 某自动感应门的正上方 A 处装着一个感应器， 离地面的高度 AB 为 2.5 米， 一名学生站在 C 处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离 BC 为 1.2米，头顶离感应器的距离 AD 为 1.5 米，则这名学生身高 CD为 _米 14. 如图，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形 A，C，D的面积依次为 7，18，30，则正方形 B的面积为_ 15. 三角形三边长, ,
5、a bc，满足22()2abcab，则这个三角形是 _ 三角形 16. 已知，如图，一轮船以 16 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 12海里/时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行，离开港口 2小时后，则两船相距_ 17. 在 RtABC 中，AC8，BC6，C90 现将ABC按如图那样折叠，使点 A 与点 B 重合，折痕为DE，则 DE的长为_ 三、解答题三、解答题 18. 如图，在正方形网格中，小正方形的边长为 1，A，B，C 为格点判断ABC 的形状，并说明理由 19. 如图是一个滑梯示意图，若将滑梯 AC 水平放置，则刚好与 AB 一样长已知滑梯的高度 C
6、E6m，CD2m，求滑道 AC的长 20. 如图， 在ACD中， AD17， AC15， DC8， 点 B 是 CD延长线上一点， 连接 AB， 若 AB25 求：ABD的面积 21. 为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员如图，笔直公路MN 的一侧点 A 处有一村庄，村庄 A 到公路 MN 的距离为 600 米，假使宣讲车 P 周围 1000 米以内能听到广播宣传，宣讲车 P 在公路 MN 上沿 PN方向行驶时： （1）请问村庄能否听到宣传，请说明理由； （2）如果能听到，已知宣讲车的速度是 200米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？ 22. 如图
7、，将矩形 ABCD沿直线 AE折叠，顶点 D恰好落在 BC 边上 F 点处，已知 CE3cm，AB8cm，求图中阴影部分的面积 23. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度 CE，他们进行了如下操作：测得水平距离 BD的长为 15 米；根据手中剩余线的长度计算出风筝线 BC的长为 25 米；牵线放风筝的小明的身高为 1.6米 （1）求风筝的垂直高度 CE； （2）如果小明想风筝沿 CD方向下降 12米，则他应该往回收线多少米？ 24. 课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”王老师
8、给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；，学生发现这些勾股 数的勾都是奇数，且从 3 起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决 (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、_、_； (2)若第一个数用字母 a(a为奇数， 且 a3)表示， 那么后两个数用含 a 的代数式分别怎么表示？小明发现每组第二个数有这样的规律 4=2312，12=2512，24=2712，于是他很快表示了第二数为 212a ，则用含 a的代数式表示第三个数为_； (3)用所学知识证明你的结论 25. 如图 1 是著名赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾
9、股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于 c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即12ab 4（ba）2，从而得到等式 c212ab 4（ba）2，化简便得结论 a2b2c2这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”现在，请你用“双求法”解决下面两个问题： （1）如图 2，在 RtABC中，ACB90 ，CD是 AB 边上的高，AC3，BC4，求 CD的长度 （2）如图 3，在ABC中，AD 是 BC边上的高，AB4，AC5，BC6，设 BDx，求 x 的值 第一章勾股定理第一章勾股定理 一、选择题一、选择题 1. 下列各组数是勾股
10、数的是（ ） A. 3，5，7 B. 5，7，9 C. 3，5，4 D. 2，2，3 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股数定义进行判断即可 【详解】解：A、222357，不是勾股数，故此选项不合题意； B、222579，不是勾股数，故此选项不合题意； C、222345，且都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意； D、222223+?，不勾股数，故此选项不合题意； 故选：C 【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足222abc的三个正整数，称为勾股数注意：三个数必须是正整数，一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数 记住常用的勾股数再做题可以提高速度 2. 如图，一棵大树在一
11、次强台风中于离地面 10m处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为 24m，则这棵大树折断处到树顶的长度是（ ） A. 10m B. 15m C. 26m D. 30m 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出大树折断部分的高度即可求解 详解】 】解：如图所示： ABC是直角三角形，AB=10m，AC=24m， 2222102426mBCABAC 故选 C 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出 BC 的长度 3. 如图，阴影长方形的面积是（ ） A. 9cm2 B. 24cm2 C. 45cm2 D. 51cm2 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理
12、求出长方形的长，再根据长方形的面积公式计算即可 【详解】解：由勾股定理得，长方形的长为：221068cm， 阴影长方形的面积是：8 3242cm， 故选：B 【点睛】本题考查了勾股定理，熟知直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键 4. 如图， ABC 中，ABAC，AD是BAC 的平分线已知 AB5，AD3，则 BC 的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到ADBC，BDCD，根据勾股定理即可得到结论 【详解】解：ABAC，AD是BAC的平分线， ADBC，BDCD， 5AB ，3AD， 224BDABAD，
13、28BCBD， 故选：C 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键 5. 如图是用硬纸板做成的两个直角边长分别为 a，b，斜边长为 c的全等三角形拼成的图形，观察图形，可以验证（ ） A. a2b2c2 B. （ab）2a22abb2 C. a2b2 （ab）（ab） D. （ab）2a22abb2 【答案】A 【解析】 【分析】根据梯形面积的不同计算方法得出等式，整理后可得答案 【详解】解：由题意得：梯形的面积21122ababab， 梯形的面积又可以看作是三个直角三角形的面积和， 梯形的面积2211112222abcabcab， 221122abc
14、ab， 整理得：222abc， 故选：A 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，勾股定理的证明，熟练掌握梯形的面积公式和三角形的面积公式是解题的关键 6. 已知直角三角形的两条边长分别为 3和 5，那么这个三角形的第三条边长的平方为（ ） A. 16 B. 256 C. 34 D. 16 或 34 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况：当 3 和 5都是直角边时；当 5是斜边长时；分别利用勾股定理计算即可 【详解】解：当 3和 5 都是直角边时，第三边长的平方为：223534， 当 5是斜边长时，第三边长的平方为：225316， 故选：D 【点睛】此题主要考查了勾股定理，当已知条件中没有明
15、确哪条边是斜边时，要注意讨论，避免丢解 7. ABC的三条边分别为 a，b，c，下列条件不能判断ABC是直角三角形的是（ ） A. a2b2c2 B. ABC C. ABC345 D. a5，b12，c13 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可 【详解】解：A、222abc，此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； B、ABC180 ，ABC， A90 ， 此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C、设A3x，则B4x，C5x， ABC180 ， 3x4x5x180 ，解得 x15 ， C5 15 75 ， 此三角形不是直角三角形，
16、故本选项符合题意； D、22251213， 此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】 本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形内角和定理， 如果三角形的三边长 a， b， c满足222abc，那么这个三角形就是直角三角形 8. 如图， 一圆柱高 8cm， 底面周长是 12cm， 一只蚂蚁从点 A爬到点 B 处吃食， 要爬行的最短路程是 （ ） A. 20cm B. 24cm C. 14cm D. 10cm 【答案】D 【解析】 【分析】将圆柱展开，然后利用勾股定理计算即可 【详解】解：如图，将圆柱展开： 圆柱高 8cm，底面周长为 12cm， BC8cm，AC6cm， 根据勾
17、股定理得：AB226810（cm）， 即爬行的最短路程是 10cm， 故选：D 【点睛】此题主要考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度 9. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有 AB、CD、EF、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（） A. CD、EF、GH B. AB、EF、GH C. AB、CD、GH D. AB、CD、EF 【答案】B 【解析】 【分析】设出正方形的边长，利用勾股定理，解出 AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形 【详解】解：设小正方形的边长为 1，
18、则 AB2=22+22=8， CD2=22+42=20， EF2=12+22=5， GH2=22+32=13 因为 AB2+EF2=GH2， 所以能构成一个直角三角形三边的线段是 AB、EF、GH 故选：B 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的应用；解题的关键是解出 AB、CD、EF、GH 各自的长度. 10. 如图，在 RtABC中，ACB90 ，BC3，AB5，点 E 为射线 BC 上一点，若ABE是等腰三角形，则ABE的面积不可能是（ ） A. 10 B. 12 C. 253 D. 256 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理求出 AC，分三种情况：BE=AB，AE=AB，当 AE=
19、BE，分别求出 BE，分别根据三角形的面积公式求出ABE 的面积即判断到选项 【详解】在ABCRt中，ACB90 ，BC3，AB5， 22534AC ， 当5BEAB时， 115 41022ABESBE AC ； 当AEAB时， ACBE， 3BCCE， 116,6 41222ABEBESBE AC ， 当AEBE时， 3AEBCCECE ， 在ACERt中，222AEACCE， 222(3)4CECE， 解得：76CE ， 725366BEBCCE， 11252542263ABESBE AC， 综上所述：ABE的面积是 10或 12 或253 故选：D 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三
20、角形的性质，三角形的面积公式，能够正确分类是解决 问题的关键 二、填空题二、填空题 11. 在ABC中，ACB90，若 AC5，AB13，则 BC_ 【答案】12 【解析】 【分析】根据勾股定理求解即可 【详解】由勾股定理得：222213512BCABAC. 故答案为：12 【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，熟练掌握相关概念是解题的关键. 12. 公元 3 世纪初，中国古代数学家赵爽注周髀算经时，创造了“赵爽弦图”如图，设勾9a，小正方形ABCD的面积是 9，则弦 c长为_ 【答案】15 【解析】 【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解 【详解】勾9a，小正方形 ABCD 的面积是
21、9， 3AB， 股39 3 12ba ， 弦222291215cab， 故答案为：15 【点睛】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想 13. 如图， 某自动感应门的正上方 A 处装着一个感应器， 离地面的高度 AB 为 2.5 米， 一名学生站在 C 处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离 BC 为 1.2米，头顶离感应器的距离 AD 为 1.5 米，则这名学生身高 CD为 _米 【答案】1.6 【解析】 【分析】 过点 D作 DEAB于 E， 则 CD=BE， DE=BC=1.2 米， 由勾股定理得出 AE=0.9 （米） ， 则 BE=AB-AE
22、=1.6（米） ，即可得出答案 【详解】解：过点 D作 DEAB 于 E，如图所示： 则 CD=BE，DE=BC=1.2米=65米， 在 RtADE 中，AD=1.5 米=32米， 由勾股定理得：AE= 222236( )( )25ADDE=0.9（米） ， BE=AB-AE=2.5-0.9=1.6（米） ， CD=BE=1.6米， 故答案为：1.6 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键 14. 如图，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形 A，C，D的面积依次为 7，18，30，则正方形 B的面积为_ 【答案】5 【解析】 【分析】根据
23、勾股定理可知，以直角三角形斜边为边的正方形面积等于以直角三角形两直角边为边的正方形面积之和，依照此可求出正方形 E的面积 【详解】解：由勾股定理可知：DCESSS， 30 1812ES ， 由勾股定理可知：EABSSS， 1275BS ， 故答案为：5 【点睛】 本题考查勾股定理的实际应用， 能够将勾股定理与几何之间的面积关系相结合是解决本题的关键 15. 三角形的三边长, ,a bc，满足22()2abcab，则这个三角形是 _ 三角形 【答案】直角 【解析】 【分析】 利用完全平方公式将左侧展开， 从而得出222abc， 然后根据勾股定理的逆定理即可得出结论 【详解】解：22()2abca
24、b 22222aabbcab 222abc 这个三角形是直角三角形 故答案为：直角 【点睛】此题考查的是直角三角形的判定和完全平方公式，掌握利用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解决此题的关键 16. 已知，如图，一轮船以 16 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 12海里/时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行，离开港口 2小时后，则两船相距_ 【答案】40 海里 【解析】 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程=速度 时间，得两条船分别走了32，24，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离 【详解】解：两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
25、 BAC=90 ， 两小时后，两艘船分别行驶了 16 2=32，12 2=24海里， 根据勾股定理得：223224=40（海里） 故答案为：40海里 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单 17. 在 RtABC 中，AC8，BC6，C90 现将ABC按如图那样折叠，使点 A 与点 B 重合，折痕为DE，则 DE的长为_ 【答案】154 【解析】 【分析】根据勾股定理可求 AB10，由折叠的性质可得 BEAE，ADBD5，DEAB，根据勾股定理可求 BE的长，DE的长 【详解】解：C90，AC8，BC6， AB222286ACBC10， 由折叠的性质得：
26、BEAE，ADBD5，DEAB， 在 RtBEC 中，BE2BC2+CE2， BE236+（8BE）2， BE254， 在 RtBDE 中，DE22222515544BEBD 故答案为：154 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键 三、解答题三、解答题 18. 如图，在正方形网格中，小正方形的边长为 1，A，B，C 为格点判断ABC 的形状，并说明理由 【答案】ABC 是直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算即可解答 【详解】解：ABC 是直角三角形， 理由：由勾股定理得： AB2=12+22=5，AC2=22+42=20，BC2
27、=32+42=25， AB2+AC2=BC2， ABC是直角三角形 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键 19. 如图是一个滑梯示意图，若将滑梯 AC 水平放置，则刚好与 AB 一样长已知滑梯的高度 CE6m，CD2m，求滑道 AC的长 【答案】滑道 AC长 10m 【解析】 【分析】设滑道 AC的长为 xm，根据题意可得出 AE= (x-2)m，再利用勾股定理可列出关于 x 的方程，解出 x即得出答案 【详解】设滑道 AC的长为 xm， 根据题意可知 AB=xm，BE=CD=2m， AE=AB-BE=(x-2)m 在 RtACE中，222ACAE
28、CE 222(2)6xx， 解得：10 x 答：滑道 AC 的长 10m 【点睛】本题考查勾股定理在实际生活中的应用利用勾股定理列出关于 x的方程是解题关键 20. 如图， 在ACD中， AD17， AC15， DC8， 点 B 是 CD延长线上一点， 连接 AB， 若 AB25 求：ABD的面积 【答案】ABD的面积是：90 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理求出C90，根据勾股定理求出 BC，求出 BD，再根据三角形的面积公式求出即可 【详解】解：AD17，AC15，DC8， AC2+CD2AD2， C90， AB25，AC15， 由勾股定理得：BC22251520， BDBCDC20
29、812， ABD的面积是12BDAC112 15290 【点睛】此题考查的是勾股定理的逆定理和勾股定理，掌握利用勾股定理的逆定理判定直角三角形和利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键 21. 为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员如图，笔直公路MN 的一侧点 A 处有一村庄，村庄 A 到公路 MN 的距离为 600 米，假使宣讲车 P 周围 1000 米以内能听到广播宣传，宣讲车 P 在公路 MN 上沿 PN方向行驶时： （1）请问村庄能否听到宣传，请说明理由； （2）如果能听到，已知宣讲车的速度是 200米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？ 【答
30、案】 （1）村庄能听到宣传，见解析（2）村庄总共能听到 8 分钟的宣传 【解析】 【分析】 （1）根据村庄 A到公路 MN的距离为 600米1000米，于是得到结论； （2）根据勾股定理得到 BPBQ800 米，求得 PQ1600 米，于是得到结论 【详解】解： （1）村庄能听到宣传， 理由：村庄 A到公路 MN的距离为 600 米1000米 村庄能听到宣传 （2）如图：假设当宣讲车行驶到 P 点开始影响村庄，行驶 QD点结束对村庄的影响 则 APAQ1000 米，AB600 米 BPBQ221000600800米 PQ1600 米 影响村庄的时间为：1600 2008分钟 村庄总共能听到 8
31、 分钟的宣传 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际，便于更好的理解题意 22. 如图，将矩形 ABCD沿直线 AE折叠，顶点 D恰好落在 BC 边上 F 点处，已知 CE3cm，AB8cm，求图中阴影部分的面积 【答案】30 【解析】 【分析】根据折叠的过程以及矩形的对边相等，得：AFADBC，DEEF然后根据勾股定理求得 CF的长，再设 BFx，即可表示 AF 的长，进一步根据勾股定理进行求解 【详解】解：四边形 ABCD 是矩形， AB=CD，AD=BC， 由折叠可知ADE和AFE 关于 AE 成轴对称， 故 AFAD，EFDEDCCE835cm 在CEF 中，CF22EF
32、CE=4cm， 设 BFxcm，则 AFADBC（x+4）cm 在 RtABF中，由勾股定理，得 82+x2（x+4）2 解得 x6，故 BC10 所以阴影部分的面积为：1082SADE805030（cm2） 【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，矩形的性质，折叠的性质，正确分析图形得到直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题的关键 23. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度 CE，他们进行了如下操作：测得水平距离 BD的长为 15 米；根据手中剩余线的长度计算出风筝线 BC的长为 25 米
33、；牵线放风筝的小明的身高为 1.6米 （1）求风筝的垂直高度 CE； （2）如果小明想风筝沿 CD方向下降 12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】 （1）风筝的高度 CE 为 21.6 米； （2）他应该往回收线 8 米 【解析】 【分析】 （1）利用勾股定理求出 CD的长，再加上 DE 的长度，即可求出 CE的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论 【小问 1 详解】 解：在 RtCDB 中， 由勾股定理得，CD2=BC2-BD2=252-152=400， 所以，CD=20（负值舍去） ， 所以，CE=CD+DE=20+1.6=21.6（米） ， 答：风筝的高度 CE为 21.6 米；
34、【小问 2 详解】 解：由题意得，CM=12 米， DM=8 米， BM= 222281517DMBD（米） ， BC-BM=25-17=8（米） ， 他应该往回收线 8 米 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键 24. 课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；，学生发现这些勾股 数的勾都是奇数，且从 3 起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决 (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、_、_； (2)若第一个数用字母 a(a为奇数
35、， 且 a3)表示， 那么后两个数用含 a 的代数式分别怎么表示？小明发现每组第二个数有这样的规律 4=2312，12=2512，24=2712，于是他很快表示了第二数为 212a ，则用含 a的代数式表示第三个数为_； (3)用所学知识证明你的结论 【答案】 （1）60，61； （2）212a ； （3）见解析. 【解析】 【分析】（1）可以结合（2）中所发现的规律求解； （2）根据题意可得规律 5=2312 ，13=2512，25=2712，则可用含 a的代数式表示出第三个数； （3）通过勾股定理的逆定理进行推算即可. 【详解】（1）根据题意可知下一组勾股数为 11、60、61； （2）根
36、据题意可得规律 5=2312 ，13=2512，25=2712， 则可用含 a 的代数式表示出第三个数为：212a ； （3）22222222221212112442aaaaaaaa, 222221122aaa， 又a 是奇数，且 a3， a、212a 、212a 三个数组成勾股数. 【点睛】本题主要考查新定义下的规律，勾股定理的逆定理，解此题的关键在于根据题意发现规律，然后利用勾股定理逆定理进行证明. 25. 如图 1 是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于 c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即1
37、2ab 4（ba）2，从而得到等式 c212ab 4（ba）2，化简便得结论 a2b2c2这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”现在，请你用“双求法”解决下面两个问题： （1）如图 2，在 RtABC中，ACB90 ，CD是 AB 边上高，AC3，BC4，求 CD的长度 （2）如图 3，在ABC中，AD 是 BC边上的高，AB4，AC5，BC6，设 BDx，求 x 的值 【答案】 （1）CD125 （2）94x 【解析】 【分析】 （1）根据勾股定理先求出 AB，再根据“双求法”求出 CD的长度； （2）在 RtABD和 RtADC 中，分别利用勾股定理表示出2AD，然后得到关于 x的方程，解方程即可 【小问 1 详解】 解：RtABC中，AB22345， 由面积的两种算法可得：113 4522CD ， 解得：CD125； 【小问 2 详解】 在 RtABD 中，2222416ADxx， 在 RtADC 中，22222255611 12ADCDxxx ， 所以221611 12xxx-=-+-， 解得：94x 【点睛】此题主要考查的是勾股定理的应用，熟知直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键
