1、 第第 1 1 章勾股定理章勾股定理 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 32 分）分） 1下列各组数为勾股数的是（ ） A1，2，5 B15，8，17 C9，12，13 D 2下列条件，能判断ABC 是直角三角形的是（ ） Aa：b：c3：4：4 BA+BC CA：B：C3：4：5 Da1，b2，c3 3 一根高 9m 的旗杆在离地 4m 高处折断， 折断处仍相连， 此时在 3.9m 远处玩耍的身高为 1m 的小明 （ ） A没有危险 B有危险 C可能有危险 D无法判断 4如图，若BADDBC90，AB3，AD4，BC12，则 CD（ ） A5 B13 C17 D18 5若A
2、BC 的三边长 a、b、c 满足 a2+b2+c26a+8b+10c50，那么ABC 是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D钝角三角形 6如图，在单位正方形组成的网格图中标有 AB、CD、EF、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ） ACD、EF、GH BAB、EF、GH CAB、CD、GH DAB、CD、EF 7如图：在ABC 中，CE 平分ACB，CF 平分ACD，且 EFBC 交 AC 于 M，若 CM5，则 CE2+CF2等于（ ） A75 B100 C120 D125 8如图是用 4 个全等的直角三角形与 1 个小正方形镶嵌而成的正方形图案已知大正
3、方形面积为 49，小正方形面积为 4，若用 x，y 表示直角三角形的两直角边（xy） ，下列结论：x2+y249；xy2； 2xy+449其中正确的结论是（ ） A B C D 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 32 分）分） 9以下列各组数为边长：3、4、5；5，12，13；3，5，7；9，40，41；10，12，13；其中能构成直角三角形的有 10如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为 1，小正方形的顶点为格点，点 A，B，C 为格点，点 D为 AC 与网格线的交点，则ADBABD 11古代数学的“折竹抵地”问题： “今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意
4、思是：现有竹子高 9 尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为 3 尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC9 尺，BC3 尺，则 AC 尺 12如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从 A 处先往东走 8m，又往北走 3m，遇到障碍后又往西走 4m， 再转向北走 9m 往东拐， 仅走 1m 就到达了 B 问 A、 B 两点之间的距离为 m 13 如图所示是一个圆柱形饮料罐， 底面半径为 5cm， 高为 12cm， 上底面中心有一个小圆孔， 将一根长 24cm的直吸管从小圆孔插入，直到接触到饮料罐的底部，直吸管在罐外的长度 hcm（罐的厚度和小圆孔的大小忽略不计） ，则 h 的取值范围是
5、 14如图是一个长方形球场的示意图，小明要从 A 处走到 C 处，至少要走 m 15如图，在ABC 中，C90，以 A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AC、AB 于点 M、N，再分别以 M、N 为圆心，以大于MN 为半径作弧，两弧交于点 O，作射线 AO，交 BC 于点 E已知 CE3，BE5，则 AC 的长为 16如图，ABC 中，ABC2ACB，AHBC 于点 H，若 AB5，BH1，则 BC 三解答题（共三解答题（共 8 小题，满分小题，满分 56 分）分） 17方格纸中每个小方格都是边长为 1 的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形” （1）在图 1 中画一个格点正
6、方形，使得该正方形的面积为 13； （2）在图 2 中画出格点 D，使四边形 ABCD 为轴对称图形； （3）在图 3 中画出格点 G、H，使得点 E、F、G、H 为顶点的四边形是轴对称图形，有且只有一个内角为直角 （画出一个即可） 18一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中BAC 和ADC 都应为直角，工人师傅量的零件各边尺寸：AD8，AC10，CD6，AB24，BC26，请你判断这个零件是否符合要求，并说明理由 19如图，在正方形网格中，小正方形的边长为 1，点 A，B，C 为网格的交点 （1）判断ABC 的形状，并说明理由； （2）求 AB 边上的高 20如图，在ABC 中，ABAC，
7、ADBC 于点 D，CBE45，BE 分别交 AC，AD 于点 E、F，连接CF （1）判断BCF 的形状，并说明理由； （2）若 AFBC，求证：BF2+EF2AE2 21数学综合实验课上，同学们在测量学校的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多 2 米；当把绳子的下端拉开拉直后，下端刚好接触地面，测得绳子的下端离开旗杆底端 8 米，如图，根据以上数据，同学们就可以准确求出旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？ 22勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可 以用面积法来证明，请将下面说理过程补充完整： 证明：连接 DB，过点 D 作
8、 BC 边上的高 DF，交 BC 的延长线于点 F， 则四边形 DFCE 为长方形，所以 DFEC （用含字母的代数式表示） 因为 S四边形ABCDSACD+ +； S四边形ABCDSADB+ ； 所以 ； 所以 23如图，已知 AB12，ABBC 于 B，ABAD 于 A，AD5，BC10点 E 是 CD 的中点，求 AE 的长 24如图，在ABC 中，ABAC，BAC90，BC8，点 D 是边 BC 上的一个动点，连接 AD，以 AD为直角边向右作等腰 RtADE，使 ADAE，DAE90，点 F 是 DE 的中点，连接 CE （1）如图，连接 CF，求证：DE2CF； （2）如图，连接
9、AF 并延长，交 BC 边所在直线于点 G，若 CG2，求 BD 的长 参考答案参考答案 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 32 分）分） 1解： （1）12+2252，故选项 A 错误； （2）152+82172，故选项 B 正确； （3）92+122132，故选项 C 错误； （4） （）2+（）2（）2，但不都是正整数，故选项 D 错误 故选：B 2解：A、设 a3x，b4x，c4x，此时（3x）2+（4x）2（4x）2，故ABC 不是直角三角形，不符合题意； B、由条件可得A+BC，且A+B+C180，可求得C90，故ABC 为直角三角形，符合题意； C、由条件可得A
10、：B：C3：4：5，且A+B+C180，可求得C75，故ABC 不为直角三角形，不符合题意； D、a1，b2，c3，此时 12+2232，故ABC 不是直角三角形，不符合题意； 故选：B 3解：如图所示： AB945，AC413， 由勾股定理得：BC43.9， 此时在 3.9m 远处耍的身高为 1m 的小明有危险， 故选：B 4解：BAD90，AB3，AD4， BD5， DBC90， CD13， 故选：B 5解：a2+b2+c26a+8b+10c50， a26a+9+b28b+16+c210c+250， （a3）2+（b4）2+（c5）20， 即：a3，b4，c5， 32+4252， ABC
11、是直角三角形 故选：B 6解：设小正方形的边长为 1， 则 AB222+228，CD222+4220， EF212+225，GH222+3213 因为 AB2+EF2GH2， 所以能构成一个直角三角形三边的线段是 AB、EF、GH 故选：B 7解：CE 平分ACB，CF 平分ACD， ACEACB，ACFACD，即ECF（ACB+ACD）90， EFC 为直角三角形， 又EFBC，CE 平分ACB，CF 平分ACD， ECBMECECM，DCFCFMMCF， CMEMMF5，EF10， 由勾股定理可知 CE2+CF2EF2100 故选：B 8解：ABC 为直角三角形， 根据勾股定理：x2+y2
12、AB249， 故本选项正确； 由图可知，xyCE2， 故本选项正确； 由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 列出等式为 4xy+449， 即 2xy+449； 故本选项正确 正确结论有 故选：C 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 32 分）分） 9解：32+4252，52+122132，32+5272，92+402412，102+122132； 所以组数为边长的能构成直角三角形， 故答案为： 10解：如图：连接 AE，BE，设 AE 与 BD 交于点 F， 由题意得： AB212+3210， AE212+225， EB212+225， AEEB
13、，BE2+AE2AB2， ABE 是等腰直角三角形， BAE45， BDEC， ADBACE，AFDAEC， AEAC， AECACE， AFDADF， AFD 是ABF 的一个外角， AFDABDBAE45， ADBABD45， 故答案为：45 11解：设 ACx 尺，则 AB（9x）尺， 根据勾股定理得： x2+32（9x）2， 解得：x4， AC4 尺， 故答案为：4 12解：过点 B 作 BC 垂直 A 所在水平直线于点 C，如图， ， 根据题意可得，A 处与 B 处水平距离为 84+15，竖直距离为 3+912， AC5，BC12， AB13， 故答案为 13 13解：如图，当吸管底
14、部在 O 点时吸管在罐内部分最短， 此时罐内部分就是圆柱形的高， 罐外部分 a241212（cm） ； 当吸管底部在 A 点时吸管在罐内部分最长， 即线段 AB 的长， 在 RtABO 中， AB13（cm） ， 罐外部分 a241311（cm） ， 所以 11h12 故答案是：11h12 14解：连接 AC， 四边形 ABCD 是长方形，AB60m，BC80m， AB2+BC2AC2， 即 AC100（m） ， 故答案为：100 15解：过点 E 作 EDAB 于点 D， 由作图方法可得出 AE 是CAB 的平分线， ECAC，EDAB， ECED3， 在 RtACE 和 RtADE 中，
15、， RtACERtADE（HL） ， ACAD， 在 RtEDB 中，DE3，BE5， BD4， 设 ACx，则 AB4+x， 故在 RtACB 中， AC2+BC2AB2， 即 x2+82（x+4）2， 解得：x6， 即 AC 的长为：6 故答案为：6 16解：截取线段 HDHB，点 D 在线段 BC 上，如右图所示， 则 HDHB1， AHBC， AHBAHD， 在AHB 和AHD 中， ， AHBAHD（SAS） ， ABAD，ABHADH， AB5， AD5， 又ABC2ACB，ADBDAC+C， ADB2ACB， DACC， ADCD， CD5， BCHB+HD+CD1+1+57，
16、故答案为：7 三解答题（共三解答题（共 8 小题，满分小题，满分 56 分）分） 17解： （1）如图 1 所示，正方形 ABCD 即为所求 （2）如图 2 所示，四边形 ABCD 即为所求 （3）如图 3 所示，四边形 EFGH 即为所求 18解：AD8，AC10，CD6，AB24，BC26， AD2+CD2AC2，AB2+AC2BC2， ACD、ABC 是直角三角形， ADC90，BAC90， 故这个零件符合要求 19解： （1）ABC 为直角三角形， 理由：由图可知， AB5，AC2=20，BC2=5，AB2=25 AC2+BC2AB2， ABC 是直角三角形； （2）设 AB 边上的高
17、为 h， 由（1）知，BC，AB5，ABC 是直角三角形， ， 即h， 解得，h2， 即 AB 边上的高为 2 20 （1）解：BCF 为等腰直角三角形 理由：ABAC，ADBC， BDCD， AD 垂直平分 BC， BFCF， BCFCBF45， CFB180454590， BCF 为等腰直角三角形； （2）证明：在 BF 上取一点 H，使 BHEF，连接 CH， 在CHB 和AEF 中， ， CHBAEF（SAS） ， AECH，AEFBHC， CEFCHE， CECH， BDCD，FDBC， CFBF， CFDBFD45， CFB90， EFFH， RtCFH 中，由勾股定理得：CF2+
18、FH2CH2， BF2+EF2AE2 21解：设旗杆高 x 米，则绳子长为（x+2）米， 旗杆垂直于地面， 旗杆，绳子与地面构成直角三角形， 在 RtABC 中，AB2+BC2AC2， x2+82（x+2）2， 解方程，得 x15， 答：旗杆的高度为 15 米 22证明：连接 DB，过点 D 作 BC 边上的高 DF，交 BC 的延长线于点 F， 则四边形 DFCE 为长方形，所以 DFECba （用含字母的代数式表示） 因为 S四边形ABCDSACD+SABC+； S四边形ABCDSADB+SDCB； 所以； 所以 a2+b2c2 故答案为：ba；SABC；SDCB；a2+b2c2 23解：
19、如图，延长 AE 交 BC 于 F ABBC，ABAD， ADBC DC，DAECFE， 又点 E 是 CD 的中点， DECE 在AED 与FEC 中， ， AEDFEC（AAS） ， AEFE，ADFC AD5，BC10 BF5 在 RtABF 中 AF=13 AEAF6.5 24 （1）证明：BACDAE90， BADCAE， 在ABD 和ACF 中， ， ABDACE（SAS） ， BACE， ABAC，BAC90， ABCACB45， ACE45， ACE+ACB90， 即DCE90， 点 F 是 DE 的中点， CFDE， 即 DE2CF； 解： （2）如图，连接 EG， ADAE，点 F 是 DE 的中点， AF 是 DE 的垂直平分线， DGEG， 设 BDx， 当点 G 在边 BC 上时，DG82x6x， ABDACE， BDCEx， 在 RtCEG 中，根据勾股定理，得 CE2+CG2GE2， x2+4（6x）2， 解得 x； 如图，当点 G 在边 BC 延长线上时， EGDG8+2x10 x， 在 RtCEG 中，根据勾股定理，得 CE2+CG2GE2， x2+4（10 x）2， 解得 x 综上 BD 长为或
