1、正多边形和圆形 人教版数学九年级上册 第四章圆的有关性质 4.7正多边形和圆形 第 四 章 圆 的 有 关 性 质 第 7 课 时 主讲人：小XX 正多边形和圆形 知识目标知识目标 1通过作圆的内接正多边形，自学课本，了解正 多边形的有关概念，能推导出与圆、正多边形有关 的计算公式，并进行相关计算 2通过等分圆心角的方法等分圆周，能够画圆的 内接正多边形或者能够用直尺和圆规作图，作出一 些特殊的正多边形 正多边形和圆形 目标突破目标突破 目标一 能用正多边形的计算公式进行相关计算 例1 教材例题变式题 如图2431，有一个亭 子，它的地基是半径为4 m的正八边形，求地基 的中心角和面积(结果保
2、留根号) 解析 正八边形的中心角是 45，由此构造等腰直角 三角形求出一个三角形的面积，从而求出正八边形的 面积 正多边形和圆形 解：解：如图，连接如图，连接 OAOA，OBOB，过点，过点 A A 作作 AMAMOBOB 于点于点 M.M. 中心角中心角O O360 360 8 8 4545，OAMOAM 是等腰直角三角形是等腰直角三角形 OAOAOBOB4 4 m m，AMAMOMOM2 2 2 2 m m， S S OABOAB1 1 2 2OB OBAMAM1 1 2 2 4 42 2 2 24 4 2 2( (m m 2 2) )， ， 地基的面积地基的面积8S8S OABOAB8
3、84 4 2 232 32 2 2( (m m 2 2) ) 正多边形和圆形 【归纳总结】 1与正n边形有关的角： (1)中心角：每个中心角的度数为360 n ； (2)内角：每个内角的度数为（n2）180 n ； (3)外角：每个外角的度数为360 n . 2正多边形的半径R、边心距r、边长a的关系：(a 2) 2r2R2. 3正n边形的周长l与边长a，面积S与边长a、边心距r的关系：周 长lna，面积S1 2arn. 正多边形和圆形 目标二 会画正多边形 例2 教材补充例题 已知O和O上的一点A， 如图2432所示 (1)作O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH； (2)在(1)
4、题所作的图中，如果点E在劣弧AB 上，试证明：EB 是O 内接正十二边形的一边 图 2432 正多边形和圆形 解析 (1)根据正方形和正六边形的作图方法分别作出O 的内接正方形 ABCD 和内接正六边形 AEFCGH； (2)通过计算 EB 所对的圆心角的度数来证明 正多边形和圆形 解： (1)在O 中， 用直尺和圆规作两条互相垂直的直径 AC 和 BD， 连接 AB， BC， CD，DA，得O 的内接正方形 ABCD(如图)；按正六边形的作法用直尺和圆规在 O 中作出正六边形 AEFCGH(如图) (2)证明：如图，连接 OE. AE 是正六边形的一边，AOE 360 6 60. AB 是正
5、方形的一边，AOB 360 4 90， BOEAOBAOE906030. 设 EB 是O 内接正 n 边形的一边，则 360 n 30，解得 n12， EB 是O 内接正十二边形的一边 正多边形和圆形 【归纳总结】等分圆周画正多边形的工具和方法： 1只用量角器：用量角器把 360的圆心角n等分，相应的圆周也被 n等分，顺次连接各分点得到正n边形 2用量角器和圆规：先用量角器画出 360的圆心角的1 n，相应得到圆 周的1 n；再用圆规顺次截取，便得到圆周的 n等分点，顺次连接各分点 得到正n边形 3用圆规和直尺：用尺规等分圆周，可以作正六边形、正方形等特殊 正多边形 正多边形和圆形 总结反思总
6、结反思 知识点一 正多边形与圆的关系 正多边形：_、_的多边形是正多边形 正多边形与圆的关系：把圆分成n(n3)等份，_所得的多边形是这个圆的内 接正n边形 各边相等 各角也相等 顺次连接各分点 正多边形和圆形 知识点二 正多边形的有关概念 正多边形的中心：正多边形的_的圆心叫做正多边形的中心 正多边形的半径：外接圆的_叫做正多边形的半径 正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角正n边形的每个中心角 都等于_ 正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的_叫做正多边形的边心距 外接圆外接圆 半径半径 360360 n n 距离距离 正多边形和圆形 知识点三 正多边形的画法
7、用量角器等分圆， 再作正多边形 在半径为R的圆中，先用量角器画一个等于 的圆心角，这个角所对的弧就 是圆周的 ，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，依次连 接各分点，从而作出半径为R的正n边形 用尺规等分圆，再 作正多边形 在O中用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把O四等分，从而作出 正方形；再次平分正方形的每组对边，就可以作出正八边形 360360 n n 1 1 n n 正多边形和圆形 点拨 (1)画正多边形的原理：在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等 (2)用量角器等分圆是一种简单而常用的方法但边数很多时，容易有较大 的误差 (3)尺规作图是一种比较准确的等分圆的方法
8、，但有很大的局限性，它不能 将圆任意等分，只限于一些特殊的正多边形，如正方形、正八边形、正十六 边形，正三角形、正六边形、正十二边形等 正多边形和圆形 知识点四 正多边形的有关计算 中心角中心角 正正n n边形的每个中心角为边形的每个中心角为360 360 n n 周长周长 正正n n边形的周长边形的周长l ln nnanan n( (a an n为边长为边长) ) 面积面积 正正n n边形的面积边形的面积S Sn n1 1 2 2r r n nl ln n( (r rn n为边心距，为边心距，l ln n为周长为周长) ) 点拨点拨 连接中心和正多边形的每个顶点可将正连接中心和正多边形的每个
9、顶点可将正n n边形分成边形分成n n个全个全 等的等腰三角形， 正等的等腰三角形， 正n n边形的面积为这些三角形的面积和，边形的面积为这些三角形的面积和， 即即S Sn n 2 2a a n nr rn n( (a an n是正是正n n边形的边长，边形的边长，r rn n是正是正n n边形的边心距边形的边心距) ) 正多边形和圆形 我们知道三边都相等的三角形是正三角形，那么各边都相等的多边形是正多边形吗？ 解： 不一定 “各边相等” “各角相等”是正多边形的概念中各自独立的两个 条件一个多边形的各条边相等，它的各个角未必都相等；反过来，一个多边 形的各个角相等，它的各条边也未必都相等 正多边形和圆形 人教版数学九年级上册 第四章圆的有关性质 4.7正多边形和圆形 第 四 章 圆 的 有 关 性 质 第 7 课 时 主讲人：小XX
