1、以练助学 人教版数学九年级上册 第四章圆的有关性质 4.4.1圆周角及其定理 第 四 章 圆 的 有 关 性 质 第 4 课 时 主讲人：小XX 以练助学 知识点1 圆周角 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角 如图，点A、B、C、D、E都是O上的点，则ABC、ACB、BAC、 ACD、BCD、CDE都是圆周角 注意：判断一个角是否是圆周角，关键看两点：角的顶点是否 在圆上；角的两边是否分别与圆相交两个条件，缺一不可 以练助学 知识点2 圆周角定理及其推论 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论：(1)同弧或等弧所对的圆周角相等； (2)半圆(或直径)所对的圆周角是直
2、角，90的圆周角所对的弦是直径 核心提示：圆中常作的辅助线：有直径，常作出直径所对的圆周角，这个圆周角是直角 以练助学 【典例】如图，AB是O的直径，CD是O的弦，ABD58，则BCD等于( ) A16 B32 C58 D64 分析：AB是O的直径，ADB90，A90ABD32，BCDA32. 答案：B 以练助学 A 1 【教材 P88 练习 T1 变式】下列各图中，是圆周角的角有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 以练助学 A 2 【湖北宜昌中考】如图，点 A、B、C 均在O 上，当OBC40 时，A 的度数 是( ) A50 B55 C60 D65 以练助学 D 3 【广东广州
3、中考】如图，AB 是O 的弦，OCAB，交O 于点 C，连接 OA、OB、 BC，若ABC20 ，则AOB 的度数是( ) A40 B50 C70 D80 以练助学 B 4如图，点 A、B、C、P 在O 上，CDOA，CEOB，垂足分别为 D、E，DCE 40 ，则P 的度数为( ) A140 B70 C60 D40 以练助学 5某小区新建一个圆形人工湖，如图所示，弦 AB 是湖上一座桥，已知桥 AB 长为 200 m，测得圆周角ACB45 ，则这个人工湖的直径 AD 长为_m. 200 2 以练助学 6如图，在O 中，弦 AC2 3，B 是圆上一点，且ABC45 ，则O 的半径 r _. 6
4、 以练助学 7如图，O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且ABCD求证：PAPC 证明：连接 ACABCD，AB CD ，AB BD CD BD ，即AD CB ，C A，PAPC 以练助学 B 8如图，把直角三角板的直角顶点 O 放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分 别交于点 M、N，量得 OM8 cm，ON6 cm，则该圆玻璃镜的半径是( ) A 10 cm B5 cm C6 cm D10 cm 以练助学 C 9如图，在O 中，半径 OC弦 AB 于点 D，点 E 在O 上，E22.5 ，AB4， 则半径 OB 等于( ) A 2 B2 C2 2 D3 以练助学 C 10如图，在O 中
5、，AB 是O 的直径，AB10，AC CD DB ，点 E 是点 D 关 于 AB 的对称点，M 是 AB 上的一动点下列结论：BOE60 ；CED1 2 DOB；DMCE；CMDM 的最小值是 10，上述结论中正确的个数是( ) A1 B2 C3 D4 以练助学 11【广东广州中考】如图，O的直径AB10，弦AC8，连接BC (1)尺规作图：作弦CD，使CDBC(点D不与点B重合)，连接AD；(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)所作的图中，求四边形ABCD的周长 以练助学 解：(1)如图，线段 CD 即为所求 (2)连接 BD、OC 交于点 E，设 OEx.AB 是O 的直径，ACB9
6、0 ，BC AB2AC2102826.BCCD，BC CD ，OCBD 于点 E，BEDE. BE2BC2EC2OB2OE2，62(5x)252x2.解得 x7 5.BEDE，BOOA， AD2OE14 5 ，四边形 ABCD 的周长BCCDABAD661014 5 124 5 . 以练助学 12 【核心素养题】如图，O 的半径为 1，A、P、B、C 是O 上的四个点，APC CPB60 . (1)判断ABC 的形状； (2)试探究线段 PA、PB、PC 之间的数量关系，并证明你的结论； (3)当点 P 位于AB 的什么位置时，四边形 APBC 的面积最大？求出最大面积 以练助学 解： (1)
7、APCCPB60 ， BACCPB， ABCAPC， ABCBAC60 ， ABC 为等边三角形 (2)PCPAPB证明： 在 PC 上截取 PDPA， 连接 ADAPC60 ， APD 是等边三角形，ADPAPD，ADP60 ，ADC120 .又APBAPC BPC120 ， ADCAPB又ACPABP， APBADC(AAS)， PBDC又 PDPA，PCPAPB 以练助学 (3)在AB 上任取一点 P，过点 P 作 PEAB，垂足为点 E，过点 C 作 CFAB，垂足为 点 F.SAPB1 2AB PE， SABC 1 2AB CF， S 四边形 APBC1 2AB (PECF) 当点
8、P 为AB 的 中点时， PECFPC 最长， 即 PC 为O 的直径， 此时四边形 APBC 的面积最大 又 O 的半径为 1，易得等边三角形的边长 AB 3，四边形 APBC 的最大面积为 S四边形 APBC1 22 3 3. 以练助学 13如图，已知 AB 是半径为 1 的O 的直径，C 是圆上一点，D 是 BC 延长线上一 点，过点 D 的直线交 AC 于点 E，且AEF 为等边三角形 (1)求证：DFB 是等腰三角形； (2)若 AD 7AF，求证：CFAB 证明：(1)AB 是O 直径，ACB90 .AEF 为等边三角形，CAB EFA60 ，B30 .EFABFDB，BFDB30
9、 ，DFB 是 等腰三角形 以练助学 (2)过点 A 作 AMDF 于点 M.设 AF2a.AEF 是等边三角形， FMEMa，AM 3a.在 RtDAM 中，AD 7AF2 7a， AM 3a，DMAD2AM2 2 7a 2 3a 25a，BF DFDMFM5aa6a，ABAFBF8a.在 RtABC 中，B30 ，ACB 90 ，AC1 2AB4a，CEACAE2a，EFCE2a，ECFEFC AEFECFEFC60 ， EFC30 ， AFCAFEEFC60 30 90 ， CFAB 以练助学 人教版数学九年级上册 第四章圆的有关性质 4.4.1圆周角及其定理 第 四 章 圆 的 有 关 性 质 第 4 课 时 主讲人：小XX
