1、人教版数学九年级上册 第四章圆的有关性质 4.2垂直于弦的直径 第 四 章 圆 的 有 关 性 质 第 2 课 时 主讲人：小XX 前 言 学习目标学习目标 1理解圆的轴对称性及垂径定理的推导，能初步应用垂径定理进行计算和证明； 2通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱。 重点难点重点难点 重点：垂径定理及应用。 难点：垂径定理的证明。 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 探究 你能证明刚才的结论吗？ O O A A D D E E C C B B 如图，CD是O的任
2、一条直径，A是O上点C,D以外任意一点，过点 A作CDAB，交O于点B，垂足为E，连接OA,OB. 在OAB中， OA=OB, OAB是等腰三角形 而OEAB AE=EB 即CD是AB的垂直平分线。这就是说对于圆上任意一点A,在圆上 都有关于直线CD的对称点B,因此O关于直线CD对称。 探究 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。 O O A A D D E E C C B B 【提问】根据轴对称图形性质，你能发现图中有那些相等的线 段（半径除外）和弧？ 线段： AE=BE 即直径CD平分弦AB，并且平分AB,ACB 弧： ， 小结 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
3、 符号语言： CD是直径， CDAB AE=BE，AC=BC，AD=BD. O O A A E E C C D D B B 垂直定律（*） 平分弦的直径垂直于这条弦吗？ 情况一：弦是直径 情况二：弦不是直径 O O C C D D A A B B O O A A E E C B B D D 利用图形轴对称的性质，可 以证明情况二成立 思考 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. CD是直径 AE=BE且AB不是直径 符号语言： CDAB， AC=BC，AD=BD. O O C C D D A A B B E E 垂直定律的推论（*） 1400多年前,我国隋朝建的赵州石拱桥(
4、如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长) 为 37.4 m,拱高为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m). 【解题关键】 将实际问题转化为几何问题。 情景思考 1400多年前,我国隋朝建的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37m, 拱高为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.1m). 解：用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R经过 圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前 面的结论，D是AB 的中点，C是AB的中点，CD就是拱高 3737 18.518.5 R R R R- -7.237.23 在RTADO中，由勾股定理
5、得 2+ 2= 2 解得R27.3m 答：略 思路：通过垂径定理，构造直角三角形（半 径半弦弦心距 ），结合勾股定理，建立方程。 情景思考 半径半径 半弦半弦 弦心距弦心距 在直角三角形中，由勾股定理得：弦心距2+ 半弦2=半径2 弦心距：圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的距离） 半径、半弦、弦心距之间 如图，在O中，弦AB的长为 6 cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为 4 cm，求O的半径 A A B B . . O O E E 3 3 4 4 解： =2+ 2=42+32=5cm = 1 2 = 1 2 6 = 3 在Rt AOE 中 , ,(垂径定理） 过圆心O 作OEAB于E， 试
6、一试 变式一：半径为4cm的O 中，弦AB=2 cm, 那么圆心O 到弦AB 的距离是 . 6cm 变式二：O 的直径为10 cm，圆心O 到弦AB的 距离OE=4cm，则弦AB 的长是 . A A B B O O E E 1 1 4 4 15 E E A A B B O O 5 5 4 4 试一试 变式三：如图，M 与x轴交于A，B 两点，与y轴 交于C，D 两点，若M(2,0)，B(5,0)， 则C点的坐标是 . )5(0, x x y y D D C C A AB BO OM M2 2 5 5 3 3 试一试 变式四：如图，O 的直径CDAB于E，AB12cm，DE2，求O 的半径. 6
7、 6 2 2 r r r r- -2 2 D D C C A A B B E E O O 解方程过程略 试一试 变式五：如图，O 的直径CDAB于E， AB6cm，CE9.求O 的半径. 3 3 r r 9 9- -r r D D C C A A B B E E O O 解方程过程略 试一试 1如图是一个圆弧形门拱，拱高 ，跨度 ，那么这个门拱的半径为（ ） A.2m B.2.5m C.3m D.5m 【答案】B 【详解】 设这个门拱的半径为r，则OB=r1， CD=4m，ABCD， BC= CD=2m， 在RtBOC中， BC +OB =OC ,即2 +(r1) =r ，解得r=2.5m.
8、故选B. 课堂测试 2如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面AB宽 为（ ） A.4m B.5m C.6m D.8m 【答案】D 【详解】 连接OA， 桥拱半径OC为5m， OA=5m， CD=8m， OD=85=3(m)， AD= 2 2= 52 32= 4 (m) AB=2AD=24=8(m) 故选D. 课堂测试 3如图，O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，P=30，则弦AB 的长为（ ） A. 5 B.2 3 C.2 5 D.2 【答案】C 【详解】 解：如图：过点O作OHAB于点H，连接OA， 在RtOHP中，P=30，OP=4， OH=1 2 OP=2 在RtOAH中，OA=3， =2 2=32 22=5 AB=2AH=2 5 故选C H H 课堂测试 人教版数学九年级上册 第四章圆的有关性质 4.2垂直于弦的直径 第 四 章 圆 的 有 关 性 质 第 2 课 时 主讲人：小XX
