1、人教版数学九年级上册 第四章圆的有关性质 4.8弧长和扇形面积 第 四 章 圆 的 有 关 性 质 第 8 课 时 主讲人：小XX 1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.(难点） 2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.（重点） 学习目标 图片欣赏图片欣赏 导入新课 问题1 在运动会的4100100米比赛中，甲和乙分别在第1 1跑道和第2 2跑道，为什么他们的起跑线 不在同一处？ 问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？ 因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的. 导入新课 情境引入情境引入 问题1 半径为R R的圆,周长是多少？ O O R C=2 R 问题2 下图中各圆心角所对的弧长分别
2、是圆周长的几分之几? O O R 180 O O R 90 O O R 45 O O R n 讲授新课 合作探究：与弧长相关的计算合作探究：与弧长相关的计算 (1) 圆心角是180，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的_. 180 360 (2) 圆心角是90，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的_. 90 360 (3) 圆心角是45，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的_. 45 360 (4) 圆心角是n，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的_. 360 n 180 360 90 360 45 360 360 n 讲授新课 用弧长公式进行计算时，要注意公式中n n
3、的意义n n表示1 1圆心角的倍数，它是不带 单位的. 注意注意 算一算 已知弧所对的圆心角为6060，半径是4 4，则弧长为_. 4 3 2 360180 nn R lR 弧长公式弧长公式 知识要点 例1 1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长 度l.(单位：mm，精确到1mm) 解：由弧长公式，可得弧ABAB的长 100900 5001570 (mm), 180 l 因此所要求的展直长度l=2700+1570=2970（mm）. 答：管道的展直长度为2970mm 100 100 A A C C B B D D O O 知识要点 O A 解：设半径
4、OA绕轴心O逆时针 方向旋转的度数为n. 解得 n90 因此，滑轮旋转的角度约为90. 15.7, 180 n R 一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径r=10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕 轴心O逆时针方向旋转多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动， 取3.14）？ 练一练 圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形. 如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB. O O B B A A 圆心角圆心角 弧 O O B B A A 扇形 概念学习 与扇形面积相关的计算与扇形面积相关的计算 下列图形是扇形吗下列图形是扇形吗？ 判一判 问题1 半径为r r的圆,面积
5、是多少？ O O r 2 S=r 问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢? 合作探究 圆心角占 周角的比例 扇形面积占 圆面积的比例 扇形的 面积 2 1 360 180 8 1 360 45 360 45 360 180 90 360 90 360 1 4 = O O r 180 O O r 90 O O r 45 O O r n 360 n 360 n r 2 1 2 p r 2 1 4 p r 2 1 8 2 360 n r 合作探究 半径为r的圆中，圆心角为n n的扇形的面积 公式中n n的意义n n表示1 1圆心角的倍数，它是不带单位的；公式要理解记忆 （即按照
6、上面推导过程记忆）. 注意注意 2 = 360 n r S 扇形 知识要点 扇形面积公式扇形面积公式 _大小不变时，对应 的扇形面积与 _ 有关， _ 越长，面积越大. 圆心角 半径 半径 圆的 不变时，扇形面积与 有关， 越大，面积越大. 圆心角 半径 圆心角 总结：扇形的面积与圆心角、半径有关. O A A B B D D C C E E F F O A B C D 问题 扇形的面积与哪些因素有关？ 知识要点 问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？ 想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？ 11 180221802 nrrnr Srlr 扇形 A A B B O O O O 180 n r
7、 l 2 = 360 n r S 扇形 类比学习 例3 3 如图，圆心角为60的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm） 解：n=60，r=10cm， 扇形的面积为 =2 + 180 n r lr 2 6010 = 360 50 = 3 2 52.36(cm ). 扇形的周长为 2 = 180 n r S 6010 =20+ 180 10 =20+ 3 30.47(cm). 类比学习 1.已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积S扇= 4 3 2.已知扇形的圆心角为120，半径为2，则这个扇形的面积S扇= . 2 4 cm 3 4 3 试
8、一试 例4 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面 上有水部分的面积.（精确到0.01cm） (1)(1) O .O . B B A A C C 讨论：(1)(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？ 阴影部分. 试一试 O. B A C D (2) O. B A C D (3) (2)水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？ 线段DC.过点O作OD垂直符号于AB并长交圆O于C. (3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？ 阴影部分面积=扇形OAB的面积- OAB的面积 试一试 解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足
9、为D，交AB于点C,连接AC. OC0.6, DC0.3, ODOC- DC0.3， ODDC. 又 AD DC， AD是线段OC的垂直平分线， ACAOOC. 从而 AOD60, AOB=120. O. B A C D (3) 试一试 有水部分的面积： SS扇形OAB - SOAB 2 2 1201 0.6 3602 1 0.120.6 30.3 2 0.22(m ) ABOD O B A C D (3) 试一试 O O O O 弓形的面积=扇形的面积三角形的面积 S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形 弓形的面积公式弓形的面积公式 知识要点 2.如图，RtABC中，C=90,
10、A=30,BC=2,O、H分别为AB、AC的中点，将ABC顺时针 旋转120到A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为 （ ） A. B C. D. 1.已知弧所对的圆周角为90,半径是4,则弧长为 . 77 3 38 47 3 38 4 3 3 C C 2 A A B B C C O O H H C C1 1 A A1 1 H H1 1 O O1 1 当堂练习 3.如图，A、B、 C、 D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是 . 2 12 cm A A B B C C D D 当堂练习 解析：点A所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120的扇形弧长与两个半
11、径为 ，圆心角为 90的扇形弧长之和， 即 4.如图，RtABC的边BC位于直线l上，AC ，ACB90，A30.若RtABC由现在的位 置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为_(结果用含的式 子表示) 3 3 1202903 3243(43) . 180180 l (43) 当堂练习 5.（例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm， 求截面上有水部分的面积. O O A A B B D D C C E E 2 2 = 2401 0.60.30.6 3 3602 0.240.09 3 0.91 cm. OAB SS
12、弓形扇形 S 解： 当堂练习 6. 如图，一个边长为10cm的等边三角形模板ABC在水平桌面上绕顶点C按顺时针方向旋转到 ABC的位置，求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少. A B A B C 解 由图可知，由于ACB=60，则等边三角形木板绕点C按顺时针方向旋转了120，即 ACA =120，这说明顶点A经过的路程长等于弧AA 的长. 等边三角形ABC的边长为10cm， 弧AA 所在圆的半径为10cm. l弧AA 1201020 (cm). 1803 答：顶点A从开始到结束时所经过的路程为 20 cm. 3 当堂练习 弧长 计算公式： 180 n R l 扇形 定义 公式 2 360 n R S 扇形 1 1 2 SC R 扇形 阴影部分面积 求法：整体思想 弓形 公式 S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形 割补法 课堂小结 人教版数学九年级上册 第四章圆的有关性质 4.8弧长和扇形面积 第 四 章 圆 的 有 关 性 质 第 8 课 时 主讲人：小XX
