1、第八讲 鸽巢原理 课程目标课程目标 1、知识与技能： （1）初步了解“鸽巢原理”的含义，会用“鸽巢原理”解决简 单的实际问题。 2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、 推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。 3、情感态度与价值观： （1）体会数学与生活的紧密联系，体验学数学、用数学 的乐趣。 （2）理解知识的产生过程，受到历史唯物注意的教育。 （3）感受数学在 实际生活中的作用，培养刻苦钻研、探究新知的良好品质。 课程重点课程重点 引导学会把具体问题转化成“鸽巢问题” 。并运用抽屉原理的知识解决简单的实 际问题。 课程难点课程难点 理解“鸽巢原理” ，找出”
2、鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理。 教学方法建议教学方法建议 探究证明得出结论巩固练习 一、知识梳理 “数学广角”这一单元，向学生渗透一些重要的数学思想方法。和以往的义务教育教材相比，这部分 内容是新增的内容。教材通过几个直观例子，借助实际操作，向学生介绍“鸽巢问题” ，使学生在理解“鸽 巢问题”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化” ，会用“鸽巢问题”加以解决。在 数学问题中，有一类与“存在性”有关的问题。在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在 就是可以了， 并不需要指出是哪个物体 （或人） 。 这类问题依据的理论我们称之为 “抽屉原理” 。 “抽屉原理” 最先
3、是 19 世纪的德国数学家狄利克雷运用于解决数学问题的，所以又称“狄利克雷原理” ，也称之为“鸽 巢问题” 。 “鸽巢问题”的理论本身并不复杂，甚至可以说是显而易见的。但“鸽巢问题”的应用却是千变 万化的， 用它可以解决许多有趣的问题， 并且常常能得到一些令人惊异的结论。 因此， “鸽巢问题” 在数论、 集合论、组合论中都得到了广泛的应用。 二、方法归纳 鸽巣原理是一个重要又基本的组合原理, 在解决数学问题时有非常重要的作用。 什么是鸽巣原理, 先从一个简单的例子入手, 把 3 个苹果放在 2 个盒子里, 共有四种不同的放 法, 如下表 放法 盒子 1 盒子 2 1 3 0 2 2 1 3 1
4、 2 4 0 3 无论哪一种放法, 都可以说“必有一个盒子放了两个或两个以上的苹果” 。 这个结论是在“任意放 法”的情况下, 得出的一个“必然结果” 。 类似的, 如果有 5 只鸽子飞进四个鸽笼里, 那么一定有一个鸽笼飞进了 2 只或 2 只以上的鸽子 。 如果有 6 封信, 任意投入 5 个信箱里, 那么一定有一个信箱至少有 2 封信 我们把这些例子中的 “苹果” 、 “鸽子” 、 “信” 看作一种物体， 把 “盒子” 、 “鸽笼” 、 “信箱” 看作鸽巣, 可 以得到鸽巣原理最简单的表达形式 利用公式进行解题： 物体个数鸽巣个数=商余数 至少个数=商+1 2、摸 2 个同色球计算方法。
5、要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多 1。 物体数颜色数（至少数1）1 极端思想： 用最不利的摸法先摸出两个不同颜色的球，再无论摸出一个什么颜色的球，都能保证一定有两个球是同 色的。 公式： 两种颜色：213（个） 三种颜色：314（个） 四种颜色：415（个） 鸽巢原理 （一） ： 如果把 m 个物体任意放进 n 个抽屉里 （mn， 且 n 是非零自然数） ， 若 mn=b余数， 那么一定有 1 个抽屉里至少放进（b+1）本书。 鸽巢原理（二） ：古国把 kn 个的物体任意分别放进 n 个空抽屉（k 是正整数，n 是非 0 的自然数） ，那 么一定有一个抽屉中至少放进了（k
6、+1)个物体。 三、课堂精讲 例例 1 （1）用枚举法证明。 由此发现， 把 4 枝铅笔分配到 3 个文具盒中， 一共有（ ） 种情况， 在每一种情况中， 总有一个文具盒中至少有 （ ） 枝铅笔。 （2）用数的分解法证明。 由此发现，把 4 分解成 3 个数，与上面的枚举法相似，共有（ ）共有（ ）种情况，每一种情况分 得的 3 个数中，至少有 1 个数是少大于等于（ ）的。 （3）用假设法证明。 把 4 枝铅笔放进 3 个文具盒中， 假设先在每个文具盒中放 1 枝铅笔， 那么 3 个文具盒里就放了 （ ） 枝铅笔，还剩（ ）枝铅笔。把剩下的铅笔再放进任意 1 个文具盒里，则这个文具盒里就有（
7、 ） 枝铅笔了。 以上三种方法都足以证明：把 4 枝铅笔放进 3 个文具盒中，不管怎么放，总有 1 个文具盒里至少放进 （ ）枝铅笔。 例例 2 某班有男生 25 人，女生 18 人，下面说法正确的是（ ）。 A.至少有 2 名男生是在同一个月出生的 B.至少有 2 名女生是在同一个月出生的 C.全班至少有 5 个人是在同一个月出生的 D.以上选项都有误 【规律方法规律方法】 主要考查用抽屉原理的知识解决实际问题。 解析： 一年有 12 个月， 因为 2512=21， 2+1=3， 所以至少有 3 名男生是在同一个月出生的；1812=16，1+1=2，至少有 2 名女生是在同一个月出生的； 4
8、312=37，3+1=4，全班至少有 4 个人是在同一个月出生的。 【变式训练【变式训练 1 1】 【难度分级】【难度分级】 A A 1、填一填： （1）水东小学六年级有 30 名学生是二月份（按 28 天计算）出生的，六年级至少有（ ）名学生的生 日是在二月份的同一天。 （2）有 3 个同学一起练习投篮，如果他们一共投进 16 个球，那么一定有 1 个同学至少投进了（ ）个 球。 （3）把 6 只鸡放进 5 个鸡笼，至少有（ ）只鸡要放进同 1 个鸡笼里。 （4）某班有个小书架，40 个同学可以任意借阅，小书架上至少要有（ ）本书，才可以保证至少有 1 个 同学能借到 2 本或 2 本以上的
9、书。 2某班 48 名同学投票选一名班长（每人只许投一票），候选人是小华、小红和小明三人，计票一段时间 后的统计结果如下： 规定得票最多的人当选，那么后面的计票中小华至少还要得（ ）票才能当选？ A.6 B.7 C.8 D.9 例例 3 把一些苹果平均放在 3 个抽屉里，总有一个抽屉至少放入几个呢？请完成下表： 【规律方法规律方法】主要考查简单的抽屉原理。解析：解决此类抽屉原理问题的一般思路为：放苹果最多的抽屉 至少放进的个数=苹果个数除以抽屉数所得的商+1（有余数的情况下）。 例例 4 4 研究发现，在抽屉原理的问题中，“抽屉”至少放入物体数的求法是用物体数除以（ ）数，当除得 的商没有余数
10、时， 至少放入的物体数就等于 （ ） ； 当除得的商有余数时， 至少放入的物体数就等于 （ ） 。 【规律方法规律方法】主要考查解决简单抽屉原理问题的一般思路。解析：解析：重点考查学生的归纳概括能力，加深对 已学知识的理解。根据简单的抽屉原理：把多于个的物体放到个抽屉中，至少有一个抽屉里的东西的个 数不少于 2；把多于（乘以）个物体放到个抽屉中，至少有一个抽屉里有不少于（）个物 体。 例例 5 5 箱子中有 5 个红球，4 个白球，至少要取出（ ）个才能保证两种颜色的球都有，至少要取（ ） 个才能保证有 2 个白球。 【规律方法规律方法】主要考查灵活运用抽屉原理的知识解决问题。 解析：解析：
11、把两种颜色分别看作 2 个抽屉， 考虑最差情况， 5 个红球全部取出来， 那么再任意取出一个都是白球， 所以至少取出 6 个才能保证两种颜色的球都有；要保证有 2 个白球，在取完所有红球的情况下再取 2 个即 可。 【变式训练【变式训练 2 2】 【难度分级】【难度分级】 A A 1在如下图的盒子中，小华蒙着眼睛往外摸球，至少要摸出多少个，才能保证摸出的球至少有 3 种不同的 颜色？ （三红四蓝四黄五绿） 例例 6 某班同学为地震灾区小朋友捐献图书，所捐图书共分为故事书、科技树和教辅资料书三类，捐书的情 况是：有捐一本的，有捐两本的，还有捐三本的。问至少要有几位同学来捐书才能保证一定有两位同学
12、所 捐书的类型相同？（每种类型的书最多捐一本） 【规律方法规律方法】主要考查考查综合运用排列组合、抽屉原理的知识解决实际问题。 解析：解析：分析捐书的情况，捐一类的：故事书、科技书、教辅资料书共三种；捐两类的：故事书和科技书、 故事书和教辅资料书，科技书和教辅资料书共三种；捐三类的是一种；总共有 7 种不同的捐法。把这 7 种 情况看作 7 个抽屉，要保证有两位同学捐书的类型相同，只要 8 名同学即可。 例例 7 7 “六一”儿童节那天，幼儿园买来了许多的苹果、桃子、桔子和香蕉，每个小朋友可以任意选择两种水 果，那么至少要有（ ）个小朋友才能保证有两人选的水果是相同的；如果每位小朋友拿的两个水
13、果可以 是同一种，那么至少要有（ ）个小朋友才能保证两人拿的水果是相同的。 【规律方法规律方法】主要考查排列与组合的知识；抽屉原理。解析：解析：在已知的四种水果中任意选择两种，共有 6 种不同的选择方法，那么至少要有 7 个小朋友才能保证有两个人选的水果是相同的；如果每位小朋友拿的 两个水果可以是同一种，那么共有 10 种不同的选择方法，至少要有 11 个小朋友才能保证有两人拿的水果 相同。 【变式训练【变式训练 3 3】 【难度分级】【难度分级】 B B 1在下面的方格中，将每一个方格涂上红色或黄色，不论怎么涂，至少有几列的颜色是完全相同的？ 两红 两黄 上红下黄 上黄下红 例例8 8 将红
14、、 黄、 蓝三种颜色的帽子各5顶放入一个盒子里， 要保证取出的帽子有两种颜色， 至少应取出 （ ） 顶帽子；要保证三种颜色都有，则至少应取出（ ）顶；要保证取出的帽子中至少有两顶是同色的，则至 少应取出（ ）顶。 【规律方法规律方法】主要考查综合运用抽屉原理的知识解决问题。解析：解析：解答此题的关键是从极端的情况进行分 析。假设取出的前 5 顶都是同一种颜色的帽子（把一种颜色取完），再取一顶就一定有两种颜色；（2）假 设前 10 次取出的是前两种颜色的帽子（把两种颜色的帽子取完），再取出一顶，就能保证三种颜色都有； （3）把三种颜色看作三个抽屉，保证取出的帽子中至少有两个是同色的，至少应取 4
15、 顶。 例例 9 9 扑克牌里学数学：一副扑克牌（取出两张王牌）。 （1）在剩下的 52 张牌中任意抽出 9 张，至少有多少张是同花色的？ （2）扑克牌一共有 4 种花色，每种花色都有 13 张牌，问至少要抽出几张牌才能保证有一张是红桃？ （3）至少要抽出多少张才能保证有 5 张牌是同一花色的？ 【规律方法规律方法】主要考查综合运用抽屉原理的知识解决实际问题。 解析：解析：（1）任意抽出 9 张牌，假设每种花色的各有 2 张，剩下的一张不管是什么花色，都可以保证至少有 3 张是同花色的；（2）要保证有一张是红桃，考虑到最差情况，将不是红桃的牌都抽光，只要再抽一张就 一定是红桃；（3）要保证 5
16、 张是同花色的，可以假设 4 种花色的都抽取了 4 张，只要再抽一张即可。 四、讲练结合题 ( (一一) )填一填：填一填： 1、鸽巢原理（一） ：如果把 m 个物体任意放进 n 个抽屉里（mn，且 n 是非零自然数） ，那么一定有一个抽 屉里至少放进了放进了（ ）个物体。 2、 （1）把 7 本书放进 3 个抽屉，不管怎么放，总有 1 个抽屉里至少有（ ）本书。 （2）如果把 8 本书放进 3 个抽屉，不管怎么放，总有 1 个抽屉里至少有（ ）本书。 （3）如果把 10 本 书放进 3 个抽屉，不管怎么放，总有 1 个抽屉里至少有（ ）本书。 （4）归纳总结： 综合上面两种情况， 要把 a
17、本书放进 3 个抽屉里， 如果 a3=b （本） .1 （本） 或 a3=b （本） .2 （本） ，那么一定有 1 个抽屉里至少放进（ ）本书。 3、 鸽巢原理 （二） ： 古国把多与 kn 个的物体任意分别放进 n 个空抽屉 （k 是正整数， n 是非 0 的自然数） ， 那么一定有一个抽屉中至少放进了（ ）个物体。 （二）（二） 判断题判断题 ： 1、三个同学一起做游戏，其中一定有两人性别相同。 （ ） 2、六（1）班 45 个同学中至少有 4 个生肖属相相同。 （ ） 3、有 31 只小兔，10 个笼子，如果每只笼子最多放 5 只，那么不管你怎么放，一定会有三个笼子里有一样 多的小兔。
18、 （ ） 4、糖盒子里有外形一样的巧克力糖和水果糖各 10 颗，要想摸出 2 颗水果糖，至少要摸出 3 颗。 （ ） 5、有 4 种花色的扑克牌各 13 张，要取出 2 张花色相同的扑克牌，至少要取 5 张。 （ ） （三）（三）选择题：选择题： 1、给一个正方体木块的 6 个面上分别画三种不同的平面图案，无论怎样画，至少有（ ）个画面的 图案相同。 A.2 B.3 C.4 2、刘阿姨给孩子们买衣服，有红、黄、白三种颜色，但结果总是至少有两个孩子衣服的颜色一样，至少给 （ ）个孩子买衣服。 A.3 B.4 C.2 3、有红、黄、蓝、黑小球各 10 个，装在一个袋子里，为了保证摸出的小球有 3
19、个颜色相同，应至少摸出 （ ）个小球。 A.7 B.8 C.9 4、10 个孩子分进 4 个班，则至少有一个班分到的学生人数不少于（ ）个。 A.2 B.3 C.4 5、小东玩掷塞子游戏，要保证掷出塞子的点数至少有两次相同，他最少要掷（ ）次。 A. 5 B. 6 C. 7 6、 25 人中至少有（ ）人属相是相同的。 A. 2 B. 3 C. 13 D. 24 （四）（四）解决问题：解决问题： （1）把 16 支铅笔最多放入几个铅笔盒里，可以保证至少有 1 个铅笔盒里的铅笔不少于 6 支？ （2）一个袋子里装有红、黄、蓝袜子各 5 只，一次至少取出多少只可以保证每种颜色至少有 1 只？ （3
20、）布袋里有 4 种不同颜色的小球若干个，最少取出多少个小球，就能保证其中一定有 3 个小球的颜色相 同？ （4）有 49 名学生共同参加体操表演，其中最小的 8 岁，最大的 11 岁。参加体操表演的学生中是否一定有 2 名或 2 名以上是在同年同月出生的？ （5）把 280 张卡片分给若干名同学，每人都要分到，但都不得超过 10 张。试说明至少有 6 名同学得到的 卡片数同样多。 五课后自测练习 1、一个小组 13 个人，其中至少有（ ）人是同一个月出生的。 2、6 只鸽子飞回 5 个鸽舍，至少有（ ）只鸽子要飞进同一个鸽舍里。 3、盒子里有同样大小的红球、黄球各 3 个，要想摸出的球一定有
21、2 个是同色的，最少要摸出（ ）个球。 4、49 名中年妇女在广场上载歌载舞，她们中至少有（ ）名妇女是同一个月出生 5、 “世界水日”是每年的（ ）月（ ）日。 6、 盒子里有红，黑，黄，蓝四种颜色的球各 5 个，想摸出的球一定有 2 个是同色的，最少要摸出（ ） 个球。摸出的球一定有 2 个是不同色的，最少要摸出（ ）个球。 7、一个由 6 个边长为 2 厘米的正方形组成的长方形，这个图形的周长是（ ）厘米。 8、一个长方形的周长是 l8 米，如果它的长和宽都是整数米，那么这个长方形的面积多少种可能值?请一一 列举。 9、有7个人住进5个房间，至少要有两个人住同一间房。为什么？（请你用图示
22、的方法说明理由） 10、把9本书放进2个抽屉里，总有一个抽屉至少放进5本书，为什么？ 11、希望小学有367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？ 12、把 25 枚棋子放入下图的三角形内，那么一定有一个小三角形中至少放入（ ）枚。 A.6 B.7 C.8 D.9 13、小花猫钓到了鲤鱼、草鱼、鲫鱼三种鱼共 12 条，放在桶里提回家去，路上遇见了小白猫，小花猫问小 白猫：“你最爱吃什么鱼？”小白猫说：“我最爱吃的是鲤鱼。”小花猫说：“好，你只要从我的桶里随 便拿出 3 条鱼来，就一定会有你最爱吃的鲤鱼，不过你得先告诉我，我一共钓了几条鲤鱼？”小白猫说了 一个数，并从桶里拿出 3 条鱼，
23、果然有鲤鱼，小花猫把 1 条鲤鱼送给了小白猫。那么，小花猫到底钓到了 几条鲤鱼呢？ 第八讲第八讲 鸽巢问题鸽巢问题 【答案】【答案】 课堂精讲课堂精讲 例例 1 （1）4；2 （2）4；2 （3）3；1；2； 2 例例 2 B。 【变式训练【变式训练 1 1】 1、 （1）2 （2）6 （3）2 （4）41 2答案：C。 解析： 根据题意一共 48 票， 已经计了 30 票， 还有 48-30=18 票没计。 现在小华得了 13 票， 小红得了 10 票， 只要小华得到的票数比小红多 1 票就能当选。（18-3）2=71，7+1=8，所以小华至少还要得 8 票才能 当选。 例例 3 3 答案：
24、 放苹果最多的抽屉至少放进的个数=苹果个数除以抽屉数所得的商+1（有余数的情况下）。 例例 4 4 答案：抽屉；商；商+1。 例例 5 5 答案：答案：6；7。 【变式训练【变式训练 2 2】 【难度分级】【难度分级】 A A 1 答案：答案：5+4+1=10（个） 答：至少要摸出 10 个球，才能保证有 3 种不同的颜色。 例例 6 答案：答案：7+1=8（位） 答：至少要 8 位同学来捐书，才能保证一定有两位同学所捐书的类型相同。 例例 7 7 答案：答案：7；11。 【变式训练【变式训练 3 3】 【难度分级】【难度分级】 B B 1.答案：答案：94=21 2+1=3（列） 答：不论如
25、何涂色，至少有 3 列的颜色是完全相同的。 解析：解析： 每一列有四种不同的涂法 （如下图） ， 将9列看作9个物体， 四种不同的涂法看成4个抽屉， 94=21， 即每种涂色的方法各涂出 2 列后，还剩下 1 列，所以至少有 2+1=3（列）的颜色是完全相同的。 两红 两黄 上红下黄 上黄下红 例例 8 8 答案：答案：6；11；4。 例例 9 9 答案：答案：（1）94=21 2+1=3（张） 答：至少有 3 张是同花色的。 （2）133+1=40（张） 答：至少要抽出 40 张牌才能保证有一张是红桃。 （3）44+1=17（张） 答：至少要抽出 17 张才能保证有 5 张牌是同一花色的。
26、四、四、讲练结合题讲练结合题 ( (一一) )填一填：填一填： 1、2 2、 （1）3 （2）3 （3）4 （4）b+1 3、k+1 （二）（二） 判断题判断题 ： 1、 2. 3. 。前 6 个笼子分别放 0、1、2、3、4、5 只，共需要： （5+0）62=15（只） ，还剩 31-15=16 只，这 16 只无论怎么放在剩下的 4 个笼子里， 总和前面有一个相同的， 即一定会有 2+1=3 只笼子里有一样多的小兔 所以原题说法正确 4. 。根据题干分析可得：10+2=12（颗） 答：要想摸出 2 颗水果糖，至少要摸出 12 颗 故答案为 5. 。41+1=5（张） ； （三）选择题：（三
27、）选择题： 1.A 2.B 3.C 4.B 5.C 6.B （四）解决问题：（四）解决问题： （1）3 个笔盒，分别为 5,5,6。抽屉原理，反证每个都5，最多 3*5=15 矛盾 所以要有最少一个 6 以上。 （2）以最坏方法想,取第一次时取得全是红色（五只）第二次取得是全是黄色（五只）第三次取一只这样 5+5+1=11 只。 （3）9 个,2 乘以 4 加 1 等于 9； 如果按最坏的情况来看,就是每种颜色都拿了 2 个,这样就 2 乘以 4 等于 8,再拿一个不管是什么颜色的都一 定有 3 个颜色相同的.所以 2 乘以 4 加 1,答案是 9 个。 （4）抽屉问题， 8 岁到 11 岁有
28、四年（8、9、10、11） ，一年有十二个月、四年就有 48 个月、有 49 名同学、 4948=11 那么，1+1=2(名）所以，一定有两个同学同年同月出生 （5）假设没有 6 人以上分到的卡片数相同，那么最多就 5 人分得的卡片张数相等， 根据题意，那么 1-10 每个数字最多有 5 个人分到那分的卡片数最多为： 15+25+35+45+55+65+75+85+95+105=275 张， 不到 280 张，说明此假设不成立， 所以可得至少有 6 名同学分得的卡片张数相等 五课后自测练习 1、2； 2、2； 3、4 4、5 5、3 ；22 6、5；6 7、28 或 20 （1）一字排列：拼成
29、的长方形的长是 26=12 厘米，宽是 2 厘米， 所以周长是（12+2）2=28（厘米） ； （2）23 排列：拼成的长方形的长是 32=6（厘米） ，宽是 22=4（厘米） ， 所以周长是（6+4）2=20（厘米） ， 答：这个图形的周长是 28 厘米或 20 厘米 故答案为：28 或 20 8、182=9（米） ， 长 8 米、宽 1 米，面积是：81=8（平方米） ； 长 7 米、宽 2 米，面积是：72=14（平方米） ； 长 6 米、宽 3 米，面积是：63=18（平方米） ； 长 5 米、宽 4 米，面积是：54=20（平方米） ； 答：这个长方形的面积有 4 种可能，面积分别是
30、：8 平方米、14 平方米、18 平方米和 20 平方米 9、此题属于典型的抽屉原理的习题，应明确房间数即“抽屉”；人数即“物体个数”；把多于 n 个的物体 放到 n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物 体 【解答】解：75=12（人）， 1+1=2（人）； 答：至少有 2 个人住同一个房间 【点评】解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数” 10、 92=4（本）1（本） 4+1=5（本） 所以把9本书放进2个抽屉里，总有一个抽屉至少要放5本 11、有两个学生的生日是同一天，最平均的话至少367每天一人，但一年365天或366天，所以至少有2人同 天生日。 12、 答案：答案：B。 解析：解析：考查简单的抽屉原理。把大三角形中包含的 4 个小三角形看作 4 个抽屉，把 25 枚棋子放入其中，那 么每个“抽屉”放入的物体数 254=61， 所以不管怎么放， 总有一个小三角形里至少放入 6+1=7 （枚） 棋子。 13、答案：12-（3-1）=10（条） 答：小花猫钓到了 10 条鲤鱼。 解析：解析：考查利用抽屉原理的知识解决问题；培养学生数学阅读的能力。从最不利的情况考虑，先拿出的 2 条鱼都不是鲤鱼，要满足“拿出 3 条鱼来，就一定会有你最爱吃的鲤鱼”，说明不能再有草鱼和鲫鱼，所 以草鱼、鲫鱼这两种鱼加起来最多只有两条，剩下的全部都是鲤鱼。
