1、1 第四讲 圆锥的体积 课程目标课程目标 1、理解并掌握圆锥体积公式的推导过程，学会运用圆锥体积计算公式求圆锥的 体积，能解决一些有关圆锥的实际问题 2、培养学生的观察、分析的综合能力。 课程重点课程重点 理解和掌握圆锥体积的计算公式。 课程难点课程难点 理解圆柱和圆锥等底等高时体积间的数量关系，推导出圆锥体积的计算公式。 教学方法建议教学方法建议 通过电脑演示理解等底等高圆柱和圆锥的体积间的数量关系。 （讲解，比较，练习。） 一、知识梳理 圆锥的体积公式是（ ）； 二、方法归纳 1、 等底等高的圆柱和圆锥， 圆柱的体积是圆锥的 （ ） 倍， 圆锥的体积是圆柱体积的 （ ） 。 2、 一个圆柱
2、和一个圆锥的体积相等， 底面积也相等。 这个圆锥体的高是圆柱体的高的 （ ） 倍。 3、一个圆柱和一个圆锥的体积相等，高也相等。这个圆锥体的底面积是圆柱体的底面积的 （ ）倍。 三、课堂精讲 （一）直接运用圆锥的体积公式：（一）直接运用圆锥的体积公式： 例例 1 计算下面圆锥体的体积。 h=10 分米 【规律方法规律方法】主要是巩固运用圆锥的体积公式。 【变式训练【变式训练 1 1】 d=8 分米 h=12 2 【难度分级】【难度分级】 A A 1、一个圆锥的底面直径和高都是 6cm,它的体积是( )cm 3。 2、一个圆锥的体积是 36dm 3，它的底面积是 18dm2，它的高是（ ）dm。
3、 A、2 3 B、2 C、6 D、18 （二）与圆锥体积有关的实际问题（二）与圆锥体积有关的实际问题 例例 2 一个圆锥形的沙堆，底面直径是 10 米，高是 2.1 米。这堆沙有多少立方米？如果每立 方米沙约重 1.8 吨，那么这堆沙大约有多少吨？ 【规律方法规律方法】先求出圆锥的体积，再根据体积求出这堆沙的重量。 【变式训练【变式训练 2 2】 【难度分级】【难度分级】 A A 在建筑工地上有一个近似于圆锥形状的沙堆，测得底面直径 4 米，高 1.5 米。每立方米沙大 约重 1.7 吨，这堆沙约重多少吨？（得数保留整吨数） （三）圆柱和圆锥：（三）圆柱和圆锥： 例例 3 如图，先将甲容器注满
4、水，再将水倒入乙容器，这时乙容器中的水有多高？（单位： 厘米） 3 【规律方法规律方法】将甲容器注满水，再将水倒入乙容器，水的体积不变，高变为原来的 3 1 。 例例 4 张师傅要把一根圆柱形木料（如右图）削成一个圆锥。削成的圆锥的体积最大是多少 立方分米？ 削成的圆锥的体积比圆柱体体积少多少立方分米？ 【规律方法规律方法】把圆柱削成最大的圆锥，即是等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥 3 倍，圆锥的体积是圆柱体积的 3 1 。一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，圆柱体积是圆锥体 积的 3 倍，则圆柱体积比圆锥体积大 2 倍。 例例 5 5 一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，它们的体积相差 50.
5、24 立方厘米。如果圆锥体的 底面半径是 2 厘米，这个圆锥体的高是多少厘米？ 【规律方法规律方法】 此题主要考查了等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系及圆锥的体积公式的灵 活运用一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，圆柱体积是圆锥体积的 3 倍，则圆柱体积比圆 4 锥体积大 2 倍， 根据它们的体积相差 50.24 立方厘米， 可求出圆锥体积， 求圆锥的高， 根据： 圆锥的体积3圆锥的底面积=圆锥的高，解答即可 【变式训练【变式训练 3 3】 【难度分级】【难度分级】 A A 1、等底等高的圆柱体和圆锥体，已知圆柱的体积是 3 立方米，圆锥的体积是（ ）。 2、已知圆锥的体积是 4 立方米，与它等底
6、等高的圆柱体积是（ ）。 3、一个圆锥体的体积比与它等底等高的圆柱体体积少 40 立方厘米，这个圆锥体的体积是 （ ）。 4、一个圆锥体和圆柱体，底面积和高都相等，它们的体积和是 64 立方分米，这个圆柱的体 积是（ ）。 5、如果一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，它们的体积一共是 48 立方厘米，圆锥的体积是 （ ）立方厘米。已知圆锥的底面积是 9 平方厘米，它的高是（ ）厘米。 （四）根据圆锥的形成求体积（四）根据圆锥的形成求体积 例例 6 一个直角三角形，两条直角边分别是 6 厘米和 9 厘米，沿一条直角边旋转一周后，得 到一个圆锥体，求圆锥体的体积是多少？ 【规律方法规律方法】沿 6cm
7、 边旋转一周后，得到的旋转体是底面半径是 9cm,高为 6cm 的圆锥体， 沿 9cm 边旋转一周后，得到的旋转体是底面半径是 6cm,高为 9cm 的圆锥体。 【变式训练【变式训练 4 4】 【难度分级】【难度分级】 A A 5 一个直角三角形，两条直角边分别是 6 厘米和 10 厘米，沿斜边旋转一周后，得到一个旋转 体，求旋转体的体积是多少？ （五）熔铸问题（五）熔铸问题 例例 7 把一块棱长 10 厘米的正方体铁块熔铸成一个底面直径 20 厘米的圆锥形铁块， 这个圆 锥形铁块的高约是（ ）厘米。（得数保留整数） 【规律方法规律方法】本题的正方体的体积与圆锥的体积不变。 【变式训练【变式训
8、练 5 5】 【难度分级】【难度分级】 A A 把一块长是 12cm,宽是 7cm， 高是 3cm 的长方体铁块熔铸成一个底面直径是 20cm 的圆锥形铁 块。这个圆锥形铁块的高是多少厘米？（得数保留一位小数） （六）排水问题（六）排水问题 例例 8 8 在一个直径是 20 厘米的圆柱形容器里，放入一个高为 10 厘米的圆锥形铁块，全部浸 没在水中，这是水面上升 0.3 厘米。圆锥形铁块的底面积是多少平方厘米？ 【规律方法规律方法】水升高的体积就是圆锥的体积。 6 四、讲练结合题 （一）判断题 1、圆锥体积是圆柱体积的 1 3 . （ ） 2、等底等高的圆柱体体积是圆锥体积的1 3 。（ ）
9、3、等底等高的圆柱比圆锥体积大 24 立方厘米，这个圆柱的体积是 36 立方厘 米。 （ ） 4、一个圆柱和一个圆锥都只有一条高。 （ ） 5、一个圆锥的底面周长和高分别扩大到原来的 2 倍，它的体积扩大到原来的 4 倍。 （ ） 6、 一个正方体和一个圆锥体的底面积、 高都相等， 正方体体积是圆锥体积的 3 倍。 （ ） 7、长方体、正方体、圆柱和圆锥的体积都可以用“底面积高”计算。（ ） 8、圆柱体积是圆锥体积的 3 倍。 （ ） 9、一个圆锥体，底面积不变，高扩大 6 倍，体积也扩大 6 倍。（ ） 10、体积相等的圆柱和圆锥，圆柱的底面积是圆锥底面积的 3 1 ， 所以它们的高相 等。
10、（ ） 二、填空题 1、底面积 8 、高是 12 分米的圆锥的体积是（ ）立方米，与它等底等高圆柱体积 是（ ） 2、一个长方体、一个圆柱体和一个圆锥体的底面积相等、体积也相等，那么圆锥的高是 圆柱的（ ），长方体高是圆锥高的（ ）。 3、一个圆锥体的底面半径是 5 厘米，高是 6 分米，容积是（ ）升。 4、等底等高的圆柱体和圆锥体的体积比是（ ),圆柱的体积比圆锥的体积多 （ ）%，圆锥的体积比圆柱的体积少( - ) 7 5、把一个圆柱体钢坯削成一个最大的圆锥体，要削去 1.8 立方厘米，未削前圆柱的体积是 （ ）。 6、用一个底面积为 94.2 平方厘米，高为 30 厘米的圆锥形容器盛满
11、水，然后把水倒入底 面积为 31.4 平方厘米的圆柱形容器内，水的高为（ ）。 7、把一个体积为 63 立方厘米的圆柱形木材，削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是 （ ）立方厘米。 8、一个棱长是 3 分米的正方形容器装满水后，倒入一个底面积是 3 平方分米的圆锥形容器 里正好装满，这个圆锥的高是（ ）分米。 9、 把一个底面积半径是 4 厘米的圆柱， 切成两个同样大小的圆柱， 表面积增加了 （ ） 平方厘米。 10、 一个圆柱和一个圆锥的体积相等， 底面积相等。 圆锥的高是 6 分米， 圆柱的高是 （ ） 分米。 11、 一个圆柱和一个圆锥它等底等高， 它们体积的和是 44 立方分米， 圆柱
12、的体积是 （ ） 立方分米,圆锥的体积是（ ）立方分米。 12、一个圆锥的体积是 126 立方厘米，底面积是 42 平方厘米，高是（ ）厘米。 三、解答题： 1、一个圆锥形谷堆的底面周长 6.28 米，高 1.8 米，现把它全部装在一个底面半径是 1 米、 高是 5 米的圆柱形粮囤里，这时圆柱形粮囤里可以堆多高？ 2、一个圆锥形的煤堆，底面周长是 18.84m，高是 2.4m。这堆煤的体积是多少？如果每立方 米的煤约重 10 吨，这堆煤约有多少吨？（得数保留整数） 8 3、一个圆锥形状的野营帐篷，它的底面半径是 3 米，高是 2.4 米。 （1） 帐篷的占地面积是多少平方米？ （2） 帐篷里面
13、的空间有多大？ 五课后自测练习 （一）填空题： 1、一个圆锥和它的等底等高的圆柱的体积相差 12 立方厘米, 圆锥的体积是( ) 2、一个圆锥的体积是 62.4 立方厘米, 它的体积是另一个圆锥的 4 倍，如果另一个圆锥 的高是 2.5 厘米, 另一个圆锥的底面积是( ) 3、一个圆柱体削成一个与它等底等高的圆锥体, 削去的部分是圆锥体的( )% 4、圆柱的高有（ ）条，圆锥的高有（ ）条。 5、一个圆锥的底面积是 40 平方厘米，高 12 厘米，体积是（ ）。 6、一个圆锥体的高是 1.5 米，和它等底等体积的圆柱的高是（ ）。 7、一个圆柱体容器中盛满 14.13 升水。把它倒满一个与它等
14、底等高的圆锥体容器，圆柱体 容器中还有（ ）升水。 （二）、判断题。 1、圆柱的体积是圆锥体积的 3 倍 。 （ ） 2、一个圆锥的底面直径是圆柱底面直径的三分之一，如果它们的高相等，那么圆锥的体积 是圆柱的三分之一。 （ ） 3、圆锥体的半径扩大到原来的 2 倍，高不变，它的体积和底面积 都扩大到原来的 4 倍。 （ ） （三）、选择题。 9 1、等底等高的圆柱、正方体、长方体的体积相比较（ ） A正方体体积大 B长方体体积大 C圆柱体体积大 D一样大 2、圆柱体的体积和底面积与一个圆锥体相等, 圆柱体的高是圆锥体的（ ）。 A3 倍 B2 倍 C三分之二 D三分之一 3、圆柱的底面半径和高
15、都扩大 3 倍, 它的体积扩大（）倍。 A.3 B.6 C.9 D.27 4、将一个圆柱体铝块熔铸成圆锥体，它的（ ）不变。 A体积 B表面积 底面积 侧面积 5、一个长方形的长是 6 厘米，宽是 2 厘米。以它的长为轴旋转 一周所得到的圆柱体的体积是（ ）立方厘米。 .75.36 .150.72 .56.5 .226.08 6、一个圆锥的体积、底面积与另一个圆柱的体积、底面积相等。已知这个圆锥的高是 6 厘 米，那么另一个圆柱的高是（ ）厘米。 A.2 B.3 C.12 D.8 7、一个圆锥和一个圆柱体积的比是 4:5，底面积的比是 2:3，如果圆锥的高是 36 厘米，圆 柱的高是（ ）厘米
16、 A.20 B.30 C.10 D.40 （四）图形题 1、求圆柱和圆锥的体积(单位：厘米) 圆柱的半径是 10 厘米，高是 8 厘米 2、求下图的体积（单位：厘米） 10 （五）、应用题。 1、一个底面半径是 4 厘米，高是 9 厘米的圆柱体木材，削成一个最大的圆锥，这个圆锥的 体积是多少立方厘米？ 2、一 个圆锥形的沙堆，体积是 5.652 立方米，高是 1.8 米，底面积是多少平方米？ 3、一个圆锥形沙堆，高是 1.5 米，底面半径是 2 米，每立方米沙重 1.8 吨。这堆沙约重多少 吨？ 4、一个近似圆锥形的麦堆，底面周长 12.56 米，高 1.2 米，如果每立方米小麦重 750 千
17、克， 这堆小麦重多少千克？ 5、一个圆柱形玻璃缸，底面直径 20 厘米。把一个底面半径 8 厘米的圆锥完全放入水中，水 面上升了 3 厘米，求这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 6、有一块正方体木料，棱长是 6 分米，把它削成为一个最大的圆柱体，这个圆柱体的体积 是多少立方分米？削去部分的体积是多少？ 11 7、一个圆锥形沙堆，底面周长是 18.84 米，高 2.8 米。用这堆沙在 10 米宽的公路上铺 4 厘 米厚的路面，能够铺多少米？ 8、一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积相差 6.28 立方分米。圆柱和圆锥的体积各是多少？ 第四讲 圆锥的体积【答案】 12 例例 1 1 502.4 【变式训练
18、【变式训练 1 1】 1、（56.52） 2、（c） 例例 2 2 V 锥=1/3sh=17.5 立方米 17.5x1.8=31.5 吨 【变式训练【变式训练 2 2】 圆锥的体积： 3 1 3.14（42）21.5， = 3 1 1.512.56， =6.28（立方米）， 这堆沙的吨数：1.76.28=10.676（吨）11（吨） 答：这堆沙约重11吨 例例 3 3 133.14（102）212=314（立方厘米）； 3.14（102）2=78.5（平方厘米）， 31478.5=4（厘米）； 答：这时乙容器中的水有 4 厘米 例例 4 4 底面半径为：22=1（分米）； （1）圆锥的体积=1
19、3r2h， =133.14123， =3.14（立方分米）； （2）削去的体积是多少？ 3.142=6.28（立方分米）； 答：（1）削成的圆锥的体积最大是 3.14 立方分米； （2）削去的体积是 6.28 立方分米 例例 5 5 圆锥体积：50.24（3-1）， =50.242， =25.12（立方厘米）， 高：25.123（3.1422）， 13 =75.3612.56， =6（厘米）， 答：圆锥的高是 6 厘米 【变式训练【变式训练 3 3】 1、（1 立方米） 2、（12 立方米） 3、（48 立方分米） 4、（36） （4） 例例 6 6 （1）133.14926， =3.1416
20、2， =508.68（立方厘米）； （2）133.14629， =3.14108， =339.12（立方厘米）； 答：得到的圆锥体是 508.68 立方厘米或 339.12 立方厘米 例例 7 7 V正=a 3 =10 3 =1000（立方厘米）； r=d2=10（厘米）； 因为：V锥=V正=1000 立方厘米，V锥= 3 1 Sh； 所以：h=3V锥S， =31000（3.1410 2）， =3000314， 10（厘米）； 答：这个圆锥形铁块的高大约是 10 厘米 例例 8 8 直径 d=20CM,半径 r=10CM, 圆柱形容器的底面积 S 柱=R 2=3.141010=314(平方厘米
21、） 圆锥形铁块全部侵入时,水面上升了 0.3 厘米,说明 14 圆锥形铁块的体积 V 锥=S 柱0.3=3140.3=94.2 立方厘米, 圆锥形物体的体积公式是 V 锥=1/3S 锥H 锥, 由此可得 S 锥=3V 锥/H 锥=394.2/10=28.26(平方厘米） 四、讲练结合题 （一）判断： 1.（） 2.（） 3、（ ） 4.（） 5.（） 6.（） 7.（） 8.（） 9.（） 10.（） （二）填空题 1、（ 32 ） （96） 2、3 倍 1/3 3、 1.57 4、 3:1 200 5、 5.4 立方厘米 6、 30 立方厘米 7、 21 8、 27 9、100.48 10、
22、 2 11、33 11 12、 9 （三）解答题： 1、圆锥的底面半径 r = 6.28/(3.14*2) = 1 m 设灌装后的圆柱粮囤里粮食高 H 米. 3.1411.81/3 = 3.141H H = 0.6 灌装后的谷物占圆柱体粮囤的高度为 0.6 米 2、体积是 22.608 立方米，重量是 226 吨 3、（1）帐篷的占地面积是多少? 3.143328.26（平方米） （2）帐篷里面的空间有多大? 28.262.41/322.608（立方米） 15 五、课后自测练习 （一）、填空： 1、 6 2、 18.72 平方厘米 3、 200 4、 无数 ；1 5、 160 立方厘米 6、0
23、.5 米 7、9.42 （二）、判断： 1、（） 2、（） 3（ ） （三）选择题、 1、D 2、 D 3、D 4、 A 5、A 6、A 7、C （四）图形题 1、圆柱的体积是 64 立方厘米，圆锥的体积是 2512 立方厘米 2、组合图形的体积是 87.92 立方厘米 （五）解答题 1、圆柱的体积为：3429， =3169， =432（立方厘米）； 圆锥的体积为：432 3 1 =144（立方厘米）； 削去部分的体积是 432 3 2 =288（立方厘米）； 答：这个圆锥的体积是 144 立方厘米，削去部分的体积是 288 立方厘米 2、5.65231.8 =16.9561.8 =9.42（
24、平方米） 3、3 1 3.14 2 1.51.8 = 11.304（吨） 答：这堆沙约重 11.304 吨。 16 4、 3 1 3.14（12.563.142）1.2 750 = 3768（千克） 答：这堆小麦重 3768 千克。 5、 玻璃缸半径：20210（厘米） 缸的底面积：3.141010314（平方厘米） 圆锥体积是：3143942（立方厘米） 半径=62=3 分米 6、 体积=3.1436=169.56 立方分米 削去的体积=666-169.56=46.44 立方分米 7、底面半径=18.84（23.14）=3 米,沙堆体积=3.14332.53=23.55 立方米, 能铺路 23.55（100.02）=117.75 米长 8、 6.28（31）3.14 立方分米圆锥体的体积 3.1439.42 立方分米圆柱体的体积
