1、1 第十五讲 立体几何 课程目标课程目标 1、比较回顾掌握四种例题图形的特征，理解并掌握相关公式的计算 2、能灵活运用立体图形的相关公式来解决实际的问题 3、通过公式推导，熟悉立体图形之间的共同点，提高发现并运用规律的能力 课程重点课程重点 灵活运用基本公式求表面积和体积 课程难点课程难点 灵活运用基本公式求表面积和体积 教学方法建议教学方法建议 （讲解，比较，练习。） 一、知识梳理 四种立体图形的特征 长方体和正方体都是由平面围成的图形，圆柱和圆锥是由平面和曲面一起围成的图形 长方体与正方体 相同点：都有_个顶点，_条棱，_个面，长方体相对的面完全相同，相对 的棱长度相等，正方体 6 个面完
2、全相同，12 条棱长度相等。 不同点：面的形状，面的面 积，棱长与棱长和，长方体与正方体的关系 圆柱与圆锥 圆柱底面是两个完全相同的圆，侧面 是曲面，侧面展开图是长方形或正方形， 有无数条高；圆锥底面是一个圆，侧面是曲面，侧面展开图是扇形，有一条高（顶点到底面 圆心） 长方体与正方体的棱长和、表面积与体积 欧拉公式：点面棱2，棱长和，表面积，侧面积，体积，容积 圆柱与圆锥的表面积（侧面积）与体积（容积） 等底等高的圆柱和圆锥体积比为 3:1 2 二、方法归纳 立体图形表面积与体积的计算公式总结立体图形表面积与体积的计算公式总结 总结：长方体、正方体和圆柱的体积都可以表示为 VS h 三、课堂精
3、讲 例例 1 1 如右图， 在一个棱长为 10 的立方体上截取一个长为 8， 宽为 3， 高为 2 的小长方体， 那么新的几何体的表面积是多少？ 3 【规律方法规律方法】我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍为原立方体 的表面积：10106600 例 2、在一个棱长为 50 厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为 5 厘米的小 正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？ 【规律方法规律方法】 对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后 3 个方向考 虑变化前后的表面积不变：5050615000(平方厘米) 变式训练变式训练 1 1 1右图是一个边长为
4、4 厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个 边长 l 厘米的正方体，做成一种玩具它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、 右面、上面挖去的正方体） 例例 3 3 一个正方体木块，棱长是 1 米，沿着水平方向将它锯成 2 片，每片又锯成 3 长条，每条 又锯成 4 小块， 共得到大大小小的长方体 24 块， 那么这 24 块长方体的表面积之和是多少？ 4 【规律方法规律方法】 锯一次增加两个面， 锯的总次数转化为增加的面数的公式为： 锯的总次数2 增加的面数 原正方体表面积：1166(平方米)，一共锯了(21)(31)(41)6 次， 6112618(平方米) 例例 4
5、 4 如图， 用高都是1米， 底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体 问 这个物体的表面积是多少平方米？(取3.14) 【规律方法规律方法】 从上面看到图形是右上图， 所以上下底面积和为 2 2 3.14 1.514.13(立方米)， 侧面积为2 3.14 (0.5 1 1.5) 1 18.84 (立方米)，所以该物体的表面积是 14.13 18.8432.97(立方米) 变式训练变式训练 2 2 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔， 圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆， 那么一共要涂
6、多少平方厘米？ 1 1 1 0.5 1 1.5 5 例例 5 5 如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略 不计)，求这个油桶的容积(3.14) 【规律方法规律方法】圆的直径为：16.561 3.144(米)，而油桶的高为 2 个直径长，即为： 428(m)，故体积为100.48立方米 变式训练变式训练 3 3 有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成 1 个圆柱体，这个圆柱体 的底面半径为 10 厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(3.14) 例例 6 6 一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积
7、是 _ 立方厘米(取3.14) 16.56m 10cm 6 【规律方法规律方法】由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中 可以看出，瓶中的水构成高为6厘米的圆柱，空气部分构成高为1082厘米的圆柱，瓶子 的容积为这两部分之和， 所以瓶子的容积为： 2 4 ( )(62)3.1432100.48 2 (立方厘米) 变式训练变式训练 4 4 一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图已知它的容积为26.4立方厘米当 瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为 6 厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为 2 厘米问：瓶 内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？ 例例 7 7 如图，A
8、BC是直角三角形，AB、AC的长分别是 3 和 4将ABC绕AC旋转一周， 求ABC扫出的立体图形的体积(3.14) 8 (单位：厘米) 4 10 6 2 6 7 【规律方法规律方法】 如右上图所示，ABC扫出的立体图形是一个圆锥， 这个圆锥的底面半径为 3， 高为 4，体积为： 2 1 341237.68 3 四、讲练结合题 1.1.一一个酒瓶里面深30cm，底面内直径是10cm，瓶里酒深15cm把酒瓶塞紧后使其瓶口向 下倒立这时酒深25cm酒瓶的容积是多少？(取 3) C BA 4 3 8 2.如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为 1 米、2 米、4 米， 要在表面
9、涂刷油漆， 如果大正方体的下面不涂油漆， 则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？ 3.个圆柱体形状的木棒， 沿着底面直径竖直切成两部分 已知这两部分的表面积之和比圆柱 体的表面积大 2 2008cm，则这个圆柱体木棒的侧面积是_ 2 cm(取3.14) 4.4.如图，圆锥形容器中装有水 50 升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容器最多能装水 升 25 30 15 9 五、课后自测练习 1.一一个圆柱体底面周长和高相等如果高缩短 4 厘米，表面积就减少50.24平方厘米求这 个圆柱体的表面积是多少？ 2.2.如图，有一个边长为 20 厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小 相同的小
10、立方体后，表面积变为 2454 平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是 多少厘米？ 3.一一个透明的封闭盛水容器， 由一个圆柱体和一个圆锥体组成， 圆柱体的底面直径和高都是 12 厘米 其内有一些水， 正放时水面离容器顶11厘米， 倒放时水面离顶部 5 厘米， 那么这个容器的容积是多少立方厘米？(3) 1 2 r r 1 2 h h 4cm 10 4.如右图，一个正方体形状的木块，棱长 l 米，沿水平方向将它锯成 3 片，每片又锯成 4 长条，每条又锯成 5 小块，共得到大大小小的长方体 60 块那么，这 60 块长方体 表面积的和是多少平方米? 【答案】 5cm 11cm 11 一课堂精讲 【
11、变式训练 1】 1.1.原正方体的表面积是 44696(平方厘米)每一个面被挖去一个边长是 1 厘米的正方 形，同时又增加了 5 个边长是 1 厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分总的来看，每 一个面都增加了 4 个边长是 1 厘米的正方形 从而，它的表面积是：9646120 平方厘米 【变式训练 2】 【解析】 涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为 2 6 6 10( )24560182098307.72 2 (平方厘米) 【变式训练 3】 【解析】 做成的圆柱体的侧面是由中间的长方形卷成的， 可见这个长方形的长与旁边的圆的 周长相等，则剪下的长方形的长，即圆柱体底面圆的周长为
12、：2 1062.8(厘 米)， 原来的长方形的面积为：10462.81022056（） （）(平方厘米) 【变式训练 4】 液体的体积是不变的， 瓶内空余部分的体积也是不变的， 因此可知液体体积是空余部分体积 的623倍所以酒精的体积为 3 26.462.172 3 1 立方厘米，而62.172立方厘米 62.172毫升0.062172升 二讲练结合 1.观察前后，酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变 当酒瓶倒过来时酒深25cm，因为酒瓶深30cm，这样所剩空间为高5cm的圆柱， 再加上原来15cm高的酒即为酒瓶的容积酒的体积： 1010 15375 22 瓶中剩余空间的体积 1010 (3
13、025)125 22 ，酒瓶容积： 375 1255001500(ml)） 2.该图形从前、后、左、右四面观察到的面积都是 222 12421平方米，从上面观察到的 面积是 2 416平方米， 由于下面不涂油漆， 所以涂刷油漆的面积是21 416100平方米 3.根据题意可知，切开后表面积增加的就是两个长方形纵切面 设圆柱体底面半径为r，高为h，那么切成的两部分比原来的圆柱题表面积大： 2 2 22008(cm )rh，所以 2 502(cm )rh，所以，圆柱体侧面积为： 12 2 2 2 3.14 5023152.56(cm )rh 4.圆锥容器的底面积是现在装水时底面积的 4 倍，圆锥容
14、器的高是现在装水时圆锥高的 2 倍，所以容器容积是水的体积的 8 倍，即508400升 三课后自测练习 1.圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形高缩短4厘米，表面积就 减少50.24平方厘米阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分，值是50.24平方厘米，所 以底面周长是50.24412.56(厘米)，侧面积是：12.56 12.56157.7536(平方厘米)，两 个底面积是： 2 3.1412.563.142225.12(平方厘米)所以表面积为： 157.753625.12182.8736(平方厘米) 2.大立方体的表面积是 202062400 平方厘米在角上挖掉一个小正方体
15、后，外面少了 3 个面，但里面又多出 3 个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了 2 个面，但里面多出 4 个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了 1 个面，但里面多出 5 个面所以，最后的 情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了 6 个面，可以计算出每个面的面积：(24542400) 69 平方厘米，说明小正方体的棱长是 3 厘米 3.设圆锥的高为x厘米由于两次放置瓶中空气部分的体积不变，有： 222 1 5 61166 3 xx ，解得9x ， 所以容器的容积为： 22 1 612695401620 3 V (立方厘米) 4.我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的 2 个面的面积现在一共切了(31) (41)(51)9 刀，而原正方体一个面的面积 1l1(平方米)，所以表面积增加了 92118(平方米)原来正方体的表面积为 616(平方米)，所以现在的这些小长方体 的表积之和为 618=24(平方米)
