1、第第 2 2 课时课时 等比数列前等比数列前 n n 项和公式的应用项和公式的应用 学习目标 1.能够把实际问题转化成数列问题.2.进一步熟悉通过建立数列模型并应用数列 模型解决实际问题的过程 知识点 等比数列前 n 项和的实际应用 1解应用问题的核心是建立数学模型 2一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型 3注意问题是求什么(n，an，Sn) 注意： (1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答 (2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数 n 计算准确 (3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系 (4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度
2、的要求 1有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为 2 个，现在 有 1 个这种细菌和 200 个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( ) A6 秒钟 B7 秒钟 C8 秒钟 D9 秒钟 答案 C 解析 根据题意，每秒钟细菌杀死的病毒数成等比数列， 设需要 n 秒细菌可将病毒全部杀死， 则 1222232n 1200， 12 n 12 200， 2n201，结合 nN*，解得 n8， 即至少需 8 秒细菌将病毒全部杀死 2某工厂去年产值为 a，计划今后 5 年内每年比上年产值增加 10%，则从今年起到第 5 年， 这个厂的总产值为( ) A1.14a B11(1
3、.151)a C1.15a D10(1.161)a 答案 B 解析 从今年起到第 5 年，这个厂的总产值为 a1.1a1.12a1.13a1.14a1.15a1.11.1 51 1.11 11a(1.151) 3画一个边长为 2 的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第 2 个正方形，以第 2 个正方形的一条对角线为边画第 3 个正方形，这样共画了 10 个正方形，则这 10 个正 方形的面积和等于_ 答案 2124 解析 依题意，这 10 个正方形的边长构成以 2 为首项， 2为公比的等比数列an，故 an2 ( 2)n 1， 所以面积 bn2( 2)n 124 2n12n1， 所以面积
4、和 S1022232112 2212 12 2124. 4某住宅小区计划植树不少于 100 棵，若第一天植树 2 棵，以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍，则需要的最少天数 n(nN*)_. 答案 6 解析 设每天植树的棵数组成的数列为an, 由题意可知它是等比数列，且首项为 2，公比为 2, 其前 n 项和 Sn212 n 12 2n 12， 由 2n 12100，得 n6. 一、等比数列前 n 项和在几何中的应用 例 1 如图所示，作边长为 a 的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作 新三角形的内切圆如此下去，前 n 个内切圆的面积和为_ 答案 a2 9 1 1 22n 解
5、析 设第 n 个正三角形的内切圆的半径为 an， 从第二个正三角形开始每一个正三角形的边长是前一个的1 2， 每一个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的1 2， a11 2atan 30 3 6 a，a21 2a1，an 1 2an1， 数列an是以 3 6 a 为首项，1 2为公比的等比数列， an 3 6 1 2 n1a， 设前 n 个内切圆的面积和为 Sn， 则 Sn(a21a22a2n) a21 1 1 2 2 1 4 2 1 2n 1 2 a21 11 4 1 4 2 1 4 n1 4 3 a2 12 1 1 4n a 2 9 1 1 4n a 2 9 1 1 22n
6、. 反思感悟 此类几何问题可以转化为等比数列模型，利用等比数列的有关知识解决，要注意 步骤的规范性 跟踪训练 1 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而 成，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上，设外围 第一个正方形的边长是 m，有人说，如此下去，蜘蛛网的长度也是无限的增大，那么，试问， 侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗？设侏罗纪蜘蛛网的长度为 Sn，则( ) ASn无限大 BSn0， 即 2 000 5 4 n1 5 000 1 4 5 n 0， 化简得 5 4 5 n2 5 4 n70， 设 x 4 5 n，代入上式得 5x2
7、7x20， 解此不等式，得 x1(舍去) 即 4 5 n0， Sn n 也为递增数列，又S8 8 S7 7 ， Sn n 为递增数列 又S7 7 1012，S8 8 11.2512. 则第 10 年年初需要更新该生产线 三、递推公式在实际问题中的应用 例 3 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金 2 000 万元， 将其投入生产， 到当年年底资金增长了 50%， 预计以后每年资金年增长率与第一年的相同 公 司要求企业从第一年开始， 每年年底上缴资金 d 万元， 并将剩余资金全部投入下一年生产 设 第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an万元 (1)用 d 表示
8、 a1，a2，并写出 an1与 an的关系式； (2)若公司希望经过 m(m3)年使企业的剩余资金为 4 000 万元，试确定企业每年上缴资金 d 的值(用 m 表示) 解 (1)由题意， 得 a12 000(150%)d3 000d， a2a1(150%)d3 2a1d4 500 5 2d， an1an(150%)d3 2and. (2)由(1)，得 an3 2an1d 3 2 3 2an2d d 3 2 2a n23 2dd 3 2 n1a 1d 13 2 3 2 2 3 2 n2 . 整理，得 an 3 2 n1(3 000d)2d 3 2 n11 3 2 n1(3 0003d)2d.
9、由题意，得 am4 000， 即 3 2 m1(3 0003d)2d4 000. 解得 d 3 2 m2 1 000 3 2 m1 1 0003 m2m1 3m2m . 故该企业每年上缴资金 d 的值为1 0003 m2m1 3m2m 时，经过 m(m3)年企业的剩余资金为 4 000 万元 反思感悟 用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型数 列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、 还是解递推关系问题，所求结论对应的解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经 过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出
10、结论 跟踪训练 3 某地本年度旅游业收入估计为 400 万元，由于该地出台了一系列措施，进一步 发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加1 4.(参考数据：lg 60.778，lg 5 4 0.097) (1)求前 n 年旅游业的总收入(用代数式表示)； (2)试估计大约从第几年开始，旅游业的总收入超过 8 000 万元 解 (1)设第 n 年的旅游业收入估计为 an万元，则 a1400， a2 11 4 a15 4a1， a3 11 4 a25 4a2， an1 11 4 an5 4an ， an 1 an 5 4，即数列an是公比为 5 4的等比数列， Sna11q n 1q 4
11、00 1 5 4 n 15 4 1 600 5 4 n1 ， 即前 n 年旅游业总收入为 1 600 5 4 n1 万元 (2)由(1)知 Sn1 600 5 4 n1 ， 令 Sn8 000，即 1 600 5 4 n1 8 000， 5 4 n6，即 lg 5 4 nlg 6， nlg 6 lg 5 4 8， 大约第 9 年后，旅游业总收入超过 8 000 万元 1河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库，现为世界非物质文化遗产之一某洞窟的浮雕共 7 层，它们构成一幅优美的图案若从下往上计算，从第二层开始，每层浮雕像个数依次是 下层个数的 2 倍，该洞窟浮雕像总共有 1 016 个，则第 5 层
12、浮雕像的个数为( ) A64 B128 C224 D512 答案 B 解析 设最下层的浮雕像的数量为 a1， 依题意有公比 q2，n7，S7a112 7 12 1 016， 解得 a18，则 an82n 12n2(1n7，nN*)， 所以 a527128. 2公元前 5 世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯 前面 1 000 米处和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的 10 倍当比赛开始后， 若阿基里斯跑了 1 000 米，此时乌龟便领先他 100 米；当阿基里斯跑完下一个 100 米时，乌 龟领先他 10 米；当阿基里斯跑完下一个 10 米时，乌龟仍
13、然领先他 1 米所以，阿基里斯 永远追不上乌龟按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为 10 2 米时，乌龟爬行的 总距离为( ) A.10 41 90 米 B.10 51 900 米 C.10 59 90 米 D.10 49 900 米 答案 B 解析 由题意知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列an， 且 a1100，q 1 10，an10 2； 乌龟爬行的总距离为 Sna1anq 1q 10010 21 10 1 1 10 10 51 900 (米) 3 中国当代数学著作 算法统宗 中有这样一个问题： “三百七十八里关， 初行健步不为难， 次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，
14、请公仔细算相还”其意思为：“有 一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问第一天走了( ) A24 里 B48 里 C96 里 D192 里 答案 D 解析 由题意可知此人每天走的路程构成等比数列an，且公比为1 2， 由题意和等比数列的求和公式可得 a1 1 1 2 6 11 2 378， 解得 a1192， 所以第一天走了 192 里 4国家男子足球队某运动员一脚把球踢到 32 米高处，从此处开始计算，假设足球每次着地 后又弹回到原来高度的一半再落下，则第 4 次着地时，该球所经过的总路程为_米； 则第 5 次着地时，该
15、球所经过的总路程为_米 答案 88 92 解析 足球第 1 次落地经过的路程为 32； 足球第 2 次落地经过的路程为 32321 2264； 足球第 3 次落地经过的路程为 6432 1 2 2280； 足球第 4 次落地经过的路程为 8032 1 2 3288； 足球第 5 次落地经过的路程为 8832 1 2 4292. 5将 n 个大小不同的正方体形状的积木从上到下，从小到大堆成塔状，平放在桌面上上面 一个正方体积木下底面的四个顶点正好是它下面一个正方体积木的上底面各边的中点，按此 规律不断堆放如果最下面的正方体积木的棱长为 1，且这些正方体积木露在外面的面积之 和为 Sn，则 Sn_
16、. 答案 9 8 2n 解析 最底层正方体的棱长为 1，则该正方体的除底面外的表面积为 5125； 第二个正方体的棱长为 1 2 2 2 2 ， 它的侧面积为 4 2 2 2， 第 3 个小正方形的边长为 2 2 2 2 2 2 2， 它的侧面积为 4 2 2 22； 第 n 个小正方形的边长为 2 2 n1， 它的侧面积为 4 2 2 2(n1)4 1 2 n1， 则它们的表面积为 54 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 n1 54 1 2 1 1 2n 1 11 2 9 4 2n 19 8 2n. 1知识清单： (1)构造等比数列 (2)建立数学模型 2方法归纳：构造法、转化法 3常见误区：在实际问题中首项和项数弄错
