1、 重庆市重庆市 2021 年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（A 卷）卷） 一、选择题： （本大题一、选择题： （本大题 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分）分） 1. 2 的相反数是（ ） A. 1 2 B. 1 2 C. 2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的概念解答即可 【详解】2 的相反数是-2， 故选 D 2. 计算 6 3aa的结果是（ ） A. 6 3a B. 5 2a C. 6 2a D. 5 3a 【答案】D 【解析】 【分析】根据单项式除以单项式法则、同底数幂除法法则解题 【详解】解： 6
2、 3aa = 5 3a， 故选：D 【点睛】本题考查同底数幂相除、单项式除以单项式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解 题关键 3. 不等式2x在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆圈表示，把已知解集表示在 数轴上即可 【详解】解：不等式2x在数轴上表示为： 故选：D 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟悉相关性质是解题的关键 4. 如图， ABC 与 BEF位似，点 O是它们的位似中心，其中 OE=2OB，则 ABC 与 DEF 的周长之比是 （ ） A. 1：2
3、B. 1：4 C. 1：3 D. 1：9 【答案】A 【解析】 【分析】利用位似的性质得ABCDEF，OB：OE= 1：2，然后根据相似三角形的性质解决问题 【详解】解：ABC与DEF 位似，点 O为位似中心 ABCDEF，OB：OE= 1：2， ABC与DEF的周长比是：1：2 故选：A 【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键 5. 如图，四边形 ABCD 内接于O，若A=80 ，则C 的度数是（ ） A. 80 B. 100 C. 110 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可 【详解】解：四边形 ABCD 内接于O， C=
4、180 -A=100 ， 故选：B 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键 6. 计算 1472 的结果是（ ） A. 7 B. 6 2 C. 7 2 D. 2 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则，先算乘法再算减法即可得到答案； 【详解】解： 1472 2 7 72 7 22 6 2 ， 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键 7. 如图，点 B，F，C，E共线，B=E，BF=EC，添加一个条件，不能判断 ABCDEF 的是（ ） A. AB=DE B. A=D C. AC=DF D.
5、ACFD 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题 【详解】解：BF=EC， BCEF A. 添加一个条件 AB=DE， 又,BCEFBE ()ABCDEF SAS 故 A 不符合题意； B. 添加一个条件A=D 又,BCEFBE ()ABCDEF AAS 故 B 不符合题意； C. 添加一个条件 AC=DF ，不能判断 ABCDEF ，故 C 符合题意； D. 添加一个条件 ACFD ACBEFD 又,BCEFBE ()ABCDEF ASA 故 D 不符合题意， 故选：C 【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关
6、知识 是解题关键 8. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面 20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升 10s甲、乙 两架无人机所在的位置距离地面的高度 y（单位：m）与无人机上升的时间 x（单位：s）之间的关系如图所 示下列说法正确的是（ ） A. 5s时，两架无人机都上升了 40m B. 10s 时，两架无人机的高度差为 20m C. 乙无人机上升的速度为 8m/s D. 10s 时，甲无人机距离地面的高度是 60m 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合图象运用待定系数法分别求出甲、乙两架无人机距离地面的高度 y（米）和上升的时 间 x（分）之间的关系式，进而对各个选项作出判断即
7、可 【详解】解：设甲的函数关系式为yax 甲 ，把(5，40)代入得：405a，解得8a ， 8yx 甲 ， 设乙的函数关系式为ykxb 乙 ，把(0，20) ，(5，40)代入得： 20 540 b kb ，解得 4 20 k b ， 420yx 乙 ， A、5s 时，甲无人机上升了 40m，乙无人机上升了 20m，不符合题意； B、10s 时，甲无人机离地面8 1080m， 乙无人机离地面4 102060m，相差 20m，符合题意； C、乙无人机上升的速度为 4020 4 5 m/s，不符合题意； D、10s时，甲无人机距离地面的高度是 80m 故选：B 【点睛】本题考查了一次函数的应用，
8、涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质， 读懂图形中的数据是解本题的关键 9. 如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD交于点 O，M是边 AD 上一点，连接 OM，过点 O做 ONOM， 交 CD于点 N若四边形 MOND 的面积是 1，则 AB的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2 【答案】C 【解析】 【分析】先证明()MAONDO ASA，再证明四边形 MOND 的面积等于，DAO的面积，继而解得正 方形的面积，据此解题 【详解】解：在正方形 ABCD 中，对角线 BDAC， 90AOD ONOM 90MON AOMDON 又45 ,MAONDO
9、AODO ()MAONDO ASA MAONDO SS 四边形 MOND的面积是 1， 1 DAO S 正方形 ABCD的面积是 4， 2 4AB 2AB 故选：C 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知 识是解题关键 10. 如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站 MA 和 ND甲在山脚点 C处测得通信基站顶 端 M的仰角为 60 ，测得点 C 距离通信基站 MA 的水平距离 CB 为 30m；乙在另一座山脚点 F处测得点 F 距 离通信基站 ND的水平距离 FE为 50m，测得山坡 DF 的坡度 i=1：1.25若 5 8
10、NDDE，点 C，B，E，F 在同一水平线上，则两个通信基站顶端 M 与顶端 N的高度差为（ ） （参考数据：21.41, 31.73） A. 9.0m B. 12.8m C. 13.1m D. 22.7m 【答案】C 【解析】 【分析】分别解直角三角形RtDEF和Rt MBC，求出 NE和 MB的长度，作差即可 【详解】解：50FEm，DF 的坡度 i=1：1.25， :1:1.25DE EF ，解得40mDE ， 5 25 8 NDDEm， 65NENDDEm， 60MCB，30mBC ， tan6030 3MBBCm， 顶端 M与顶端 N 的高度差为65 30 313.1NEMBm， 故
11、选：C 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形是解题的关键 11. 若关于 x 的一元一次不等式组 3222 25 xx ax 的解集为6x，且关于 y 的分式方程 238 2 11 yay yy 的解是正整数，则所有满足条件的整数 a 的值之和是（ ） A. 5 B. 8 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】先计算不等式组的解集，根据“同大取大”原则，得到 5 6 2 a 解得7a，再解分式方程得到 5 = 2 a y ，根据分式方程的解是正整数，得到5a，且5a是 2的倍数，据此解得所有符合条件的整数 a 的值，最后求和 【详解】解： 3222 25 x
12、x ax 解不等式得，6x， 解不等式得， 5+ 2 a x 不等式组的解集为：6x 5 6 2 a 7a 解分式方程 238 2 11 yay yy 得 238 2 11 yay yy 2(38)2(1)yayy 整理得 5 = 2 a y ， 10,y 则 5 1, 2 a 3,a 分式方程的解是正整数， 5 0 2 a 5a ，且5a是 2的倍数， 57a ，且5a是 2的倍数， 整数 a 的值为-1, 1, 3, 5, 1 1 3 58 故选：B 【点睛】本题考查解含参数的一元一次不等式、解分式方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知 识是解题关键 12. 如图，在平面直角坐标系中
13、，菱形 ABCD的顶点 D 在第二象限，其余顶点都在第一象限，ABX轴， AOAD，AO=AD过点 A作 AECD，垂足为 E，DE=4CE反比例函数0 k yx x 的图象经过点 E，与 边 AB交于点 F，连接 OE，OF，EF若 11 8 EOF S，则 k的值为（ ） A. 7 3 B. 21 4 C. 7 D. 21 2 【答案】A 【解析】 【分析】延长 EA 交 x 轴于点 G，过点 F作 x轴的垂线，垂足分别为 H，则可得DEAAGO，从而可得 DE=AG，AE=OG，若设 CE=a，则 DE=AG=4a，AD=DC=DE+CE=5a，由勾股定理得 AE=OG=3a，故可得点
14、E、A 的坐标，由 AB与 x轴平行，从而也可得点 F的坐标，根据 EOFEOGFOHEGHF SSSS 梯形 ，即可 求得 a 的值，从而可求得 k 的值 【详解】如图，延长 EA交 x轴于点 G，过点 F作 x 轴的垂线，垂足分别为 H 四边形 ABCD是菱形 CD=AD=AB，CDAB ABx 轴，AECD EGx 轴，D+DAE=90 OAAD DAE+GAO=90 GAO=D OA=OD DEAAGO(AAS) DE=AG，AE=OG 设 CE=a，则 DE=AG=4CE=4a，AD=AB=DC=DE+CE=5a 在 RtAED中，由勾股定理得：AE=3a OG=AE=3a，GE=A
15、G+AE=7a A（3a,4a） ，E(3a,7a) ABx 轴，AGx轴，FHx 轴 四边形 AGHF是矩形 FH=AG=3a，AF=GH E点在双曲线0 k yx x 上 2 21ka 即 2 21a y x F点在双曲线 2 21a y x 上，且 F点的纵坐标为 4a 21 4 a x 即 21 4 a OH 9 4 a GHOHOG EOFEOGFOHEGHF SSSS 梯形 11912111 37(74 )4 224248 aa aaaaa 解得： 2 1 9 a 2 17 2121 93 ka 故选：A 【点睛】 本题是反比例函数与几何的综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定与性质
16、，三角形全等的判定与性质等 知识，关键是作辅助线及证明DEAAGO，从而求得 E、A、F 三点的坐标 二、填空题： （本大题二、填空题： （本大题 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13. 计算：() 0 31p-=_ 【答案】2 【解析】 【分析】分别根据绝对值的性质、0 指数幂的运算法则计算出各数，再进行计算即可 【详解】解：() 0 31312p-=-=， 故答案是：2 【点睛】本题考查是绝对值的性质、0 指数幂，熟悉相关运算法则是解答此题的关键 14. 在桌面上放有四张背面完全一样的卡片 卡片的正面分别标有数字1， 0， 1， 3 把四张卡片背面朝上，
17、 随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再从中随机抽取一张则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率 是_ 【答案】 1 4 【解析】 【分析】 画出树状图， 由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上标有的数字之积为负数的结果， 再由概率公式即可求得答案 【详解】画树状图如图： 共有 16个等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字之积为负数的结果有 4个， 两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概率= 41 164 故答案为： 1 4 【点睛】本题考查了列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求 出相应的概率 15. 若关于 x 的方程 4 4 2 x a 的解是2x，则
18、 a 的值为_ 【答案】3 【解析】 【分析】将 x=2代入已知方程列出关于 a 的方程，通过解该方程来求 a 的值即可 【详解】解：根据题意，知 42 4 2 a ， 解得 a=3 故答案是：3 【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次 方程的解 16. 如图， 矩形 ABCD的对角线 AC， BD 交于点 O， 分别以点 A， C 为圆心， AO长为半径画弧，分别交 AB， CD 于点 E，F若 BD4，CAB36 ，则图中阴影部分的面积为_ （结果保留 ） 【答案】 4 5 【解析】 【分析】利用矩形的性质求得 OA=OC=OB=OD=
19、2，再利用扇形的面积公式求解即可 【详解】解：矩形 ABCD的对角线 AC，BD 交于点 O，且 BD=4， AC=BD4，OA=OC=OB=OD=2， 2 2 3624 2 3605 AOE SS 阴影扇形 ， 故答案为： 4 5 【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积等知识，正确的识别图形是解题的关键 17. 如图，三角形纸片 ABC中，点 D，E，F 分别在边 AB，AC，BC上，BF4，CF6，将这张纸片沿直 线 DE翻折，点 A与点 F重合若 DEBC，AFEF，则四边形 ADFE 的面积为_ 【答案】5 3 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到 DE 为ABC的中位线，利用中位线
20、定理求出 DE的长度，再解tRACE求 出 AF的长度，即可求解 详解】解：将这张纸片沿直线 DE翻折，点 A与点 F 重合， DE垂直平分 AF，ADDF，AEEF，ADEEDF ， DEBC， ADEB ，EDFBFD，90AFC， BBFD ， BDDF， BDAD，即 D 为 AB 的中点， DE为ABC的中位线， 1 5 2 DEBC， AFEF， AEF是等边三角形， 在tRACE中，60CAF，6CF ， 2 3 tan60 CF AF ， 3AG ， 四边形 ADFE 的面积为 1 25 3 2 DE AG， 故答案：5 3 【点睛】本题考查解直角三角形、中位线定理、折叠的性质
21、等内容，掌握上述基本性质定理是解题的关键 18. 某销售商五月份销售 A、B、C 三种饮料的数量之比为 3：2：4，A、B、C三种饮料的单价之比为 1：2： 1六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料 的销售总额将比五月份有所增加，A饮料增加的销售占六月份销售总额的 1 15 ，B、C饮料增加的销售额之比 为 2：1六月份 A饮料单价上调 20%且 A 饮料的销售额与 B 饮料的销售额之比为 2：3，则 A 饮料五月份的 销售数量与六月份预计的销售数量之比为_ 【答案】 9 10 【解析】 【分析】 设销售A饮料的数量为3x， 销售B种饮料的数
22、量2x, 销售C种饮料的数量4x， A种饮料的单价y B、 C两种饮料的单价分别为2y、 y 六月份A饮料单价上调20%， 总销售额为m， 可求A饮料销售额为3xy+ 1 15 m， B 饮料的销售额为 91 210 xym，C饮料销售额：17 1 420 xym，可求=15mxy，六月份 A种预计的销售额 4xy，六月份预计的销售数量10 3 x，A 饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比 10 3 : 3 xx计算 即可 【详解】解：某销售商五月份销售 A、B、C三种饮料的数量之比为 3：2：4， 设销售 A 饮料的数量为 3x，销售 B 种饮料的数量 2x, 销售 C种饮料的数量
23、 4x， A、B、C三种饮料的单价之比为 1：2：1, 设 A 种饮料的单价 y B、C 两种饮料的单价分别为 2y、y 六月份 A 饮料单价上调 20%后单价为（1+20%）y,总销售额为 m， A 饮料增加的销售占六月份销售总额的 1 15 A 饮料销售额为 3xy+ 1 15 m， A 饮料的销售额与 B 饮料的销售额之比为 2：3， B 饮料的销售额为 3191 3= 215210 xymxym B 饮料的销售额增加部分为 31 34 215 xymxy C 饮料增加的销售额为 1 31 34 2 215 xymxy C 饮料销售额： 1 31171 34+4 2 215420 xym
24、xyxyxym 191171 3 15210420 xymxymxymm =15mxy 六月份 A 种预计的销售额 1 3154 15 xyxyxy， 六月份预计的销售数量 10 41+20% y 3 xyx A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比 109 3 :9:10= 310 xx 故答案为 9 10 【点睛】本题考查销售问题应用题，用字母表示数，列代数式，整式的加减法，单项式除以单项式，掌握 销售额=销售单价 销售数量是解题关键 三、解答题： （本大题三、解答题： （本大题 7 个小题，没小题个小题，没小题 10 分，共分，共 70 分）分） 19. 计算（1） 2 2xyx
25、 xy； （2） 2 2 4 1 244 aa aaa 【答案】 （1） 22 2xy； （2） 2 2a 【解析】 【分析】 （1）利用完全平方公式和整式的乘法运算法则计算即可； （2）根据分式混合运算的运算法则计算即可 【详解】解： （1） 2 2xyx xy =x22xy+y2+x2+2xy =2x2+y2； （2） 2 2 4 1 244 aa aaa = 2 2(2)(2) ) 22(2) aaaa aaa （ = 2 2(2) 2(2)(2) a aaa = 2 2a 【点睛】本题考查整式的混合运算、分式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握运算法则是 解答的关键 20.
26、“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某校数学兴趣小组的同学调研了七、八年级部 分班级某一天的餐厨垃圾质量从七、八年级中各随机抽取 10个班的餐厨垃圾质量的数据（单位：kg） ， 进行整理和分析 （餐厨垃圾质量用 x 表示， 共分为四个等级： A1x， B 11.5x， C 1.52x， D 2x） ，下面给出了部分信息 七年级 10 个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，0.9，1.1，1.1，1.6，1.7，1.9，2.3 八年级 10 个班的餐厨垃圾质量中 B 等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.0，1.2 七八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表 年级
27、平均数 中位数 众数 方差 A 等级所占百分比 七年级 1.3 1.1 a 0.26 40% 八年级 1.3 b 1.0 0.23 m% 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中 a，b，m的值； （2）该校八年级共 30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合 A 等级的班级数； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条 理由即可） 【答案】 （1）0.8,1.0,20abm； （2）6个； （3）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据题中数据及众数、中位数的定义可解 a，b 的值，由扇形统计图可解得 m 的值； （2）先计算
28、在 10个班中，八年级 A等级的比例，再乘以 30 即可解题； （3）分别根据各年级的众数、中位数、方差等数据结合实际分析解题即可 【详解】解： （1）根据题意得，七年级 10个班的餐厨垃圾质量中，0.8 出现的此时最多，即众数是0.8 ； 由扇形统计图可知% 1 50% 10% 20%20%m ， 八年级的 A等级的班级数为 10 20%=2 个， 八年级共调查 10个班， 故中位数为第 5个和第 6 个数的平均数， A 等级 2 个班，B等级的第 3个数和第 4个数是 1.0和 1.0，故八年级 10 个班的餐厨垃圾质量的中位数为 （1.0+1.0） 2=1.0 20m 0.8,1.0,2
29、0abm； （2）八年级抽取的 10个班级中，餐厨垃圾质量为 A 等级的百分比是 20%， 估计该校八年级各班这一天的餐厨垃圾质量符合 A 等级的班级数为：30 20%6（个） ； 答：估计该校八年级各班这一天的餐厨垃圾质量符合 A 等级的班级数为 6 个 （3）七年级各班落实“光盘行动”情况更好，因为： 七年级各班餐厨垃圾质量的众数 0.8低于八年级各班的餐厨垃圾质量的众数 1.0； 七年级各班餐厨垃圾质量 A 等级的 40%高于八年级各班餐厨垃圾质量 A 等级的 20%； 八年级各班落实“光盘行动”情况更好，因为： 八年级各班餐厨垃圾质量的中位数 1.0 低于七年级各班餐厨垃圾质量的中位数
30、 1.1； 八年级各班餐厨垃圾孩子里那个的方差 0.23 低于七年级各班餐厨垃圾质量的方差 0.26 【点睛】本题考查统计表、扇形统计图、众数、中位数、方差、用样本估计总体等知识，是重要考点，难 度较易，掌握相关知识是解题关键 21. 如图，在ABCD中，ABAD （1）用尺规完成以下基本作图：在 AB 上截取 AE，使得 AE=AD；作BCD的平分线交 AB 于点 F （保留 作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，连接 DE 交 CF于点 P，猜想 CDP按角分类的类型，并证明你的结论 【答案】 （1）见解析； （2）直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）直接利用角平
31、分线的作法得出符合题意的答案； （2）先证明ADE=CDE，再利用平行线的性质“同旁内角互补”，得出CPD=90即可得出答案 【详解】解： （1）解：如图所示：E，F 即为所求； （2） CDP是直角三角形 四边形 ABCD是平行四边形， ABDC，ADBC CDE=AED，ADC+BCD=180 ， AD=AE， ADE=AED CED=ADE= 1 2 ADC CP平分BCD， DCP= 1 2 BCD， CDE+DCP=90 CPD=90 CDP是直角三角形 【点睛】本题主要考查了基本作图以及平行四边形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所 学知识解决问题 22. 在初中阶段的
32、函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应 用的过程以下是我们研究函数 2 2 4 1 x y x 的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题 （1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象； x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 2 2 4 1 x y x 21 26 12 17 1 2 0 3 2 4 0 （2）请根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质； （3） 已知函数 3 3 2 yx 的图象如图所示 根据函数图象， 直接写出不等式 2 2 34 3 21 x x x 的解集（近 似值保留一位小数，误差不超过 0.2）
33、【答案】 （1）从左到右，依次为： 31 1221 , 22 1726 ，图见解析； （2）该函数图象是轴对称图象，对称轴是 y 轴； （3） 0.3,12xx 【解析】 【分析】 （1）直接代入求解即可； （2）根据函数图象，写出函数的性质即可； （3）根据图象交点写出解集即可 【详解】解： （1）表格中的数据，从左到右，依次为： 31 1221 , 22 1726 函数图象如图所示 ； （2）该函数图象是轴对称图象，对称轴是 y 轴； 该函数在自变量的取值范围内，有最大值，当0 x，函数取得最大值 4； 当0 x是，y 随 x 的增大而增大；当0 x是，y随 x的增大而减小； （以上三条性
34、质写出一条即可） （3）当0.2x时， 3 33.3 2 x， 2 2 4 3.8 1 x x ； 当0.4 x时， 3 33.6 2 x， 2 2 4 3.31 1 x x ； 所以0.3x是 2 2 34 3 21 x x x 的一个解； 由图象可知1x 和2x是 2 2 34 3 21 x x x 的另外两个解； 2 2 34 3 21 x x x 的解集为0.3,12xx 【点睛】本题考查函数图象和性质，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象 解题是关键 23. 某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产 A产品，乙车间生产 B 产品，去年两个车间生产产品的数量相同 且全
35、部售出已知 A产品的销售单价比 B产品的销售单价高 100元，1件 A 产品与 1 件 B产品售价和为 500 元 （1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？ （2）随着 5G 时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间 改造为专供用户定制 B 产品的生产车间预计 A 产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加 a%； B 产品产量将在去年的基础上减少 a%，但 B 产品的销售单价将提高 3a%则今年 A、B两种产品全部售出 后总销售额将在去年的基础上增加 29 25 a%求 a 的值 【答案】 （1）A 产品的销售单价为 300元，B产品的销售单价为
36、 200元； （2）20 【解析】 【分析】 （1）设 B 产品的销售单价为 x元，则 A产品的销售单价为（x+100）元，根据题意列出方程解出即 可； （2）设去年每个车间生产产品的数量为 t件，根据题意根据题意列出方程 29 300 1%200 1 3 %1%5001% 25 atatata 解出即可； 【详解】解： （1）设 B 产品的销售单价为 x元，则 A 产品的销售单价为（x+100）元 根据题意，得 100500 xx 解这个方程，得200 x 则100300 x 答：A 产品的销售单价为 300 元，B 产品的销售单价为 200 元 （2）设去年每个车间生产产品的数量为 t件，
37、根据题意，得 29 300 1%200 1 3 %1%5001% 25 atatata 设 a%=m，则原方程可化简 2 50mm 解这个方程，得 12 1 ,0 5 mm（舍去） a=20 答：a 的值是 20 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系， 正确列出一元一次方程； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元二次方程 24. 如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成AB，其中A与B都是两位数，A与B的十位数 字相同， 个位数字之和为10， 则称数M为“合和数”， 并把数M分解成MAB的过程， 称为“合分解” 例如60921
38、29，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10， 609是“合和数” 又如234 18 13，18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10， 234不是“合和数” （1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由； （2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即MA BA的各个数位数字之和与B的各个数位数字 之和的和记为P M；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q M令 () P M G M Q M ，当()G M能被4整除时，求出所有满足条件的M 【答案】 （1）168不是“合和数”，621是“合和数，理由见解析； （2）M有1224，1221，5624，
39、5616 【解析】 【分析】 （1）首先根据题目内容，理解“合和数”的定义：如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解 成AB，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“合和数”， 再判断168，621是否是“合和数”； （2）首先根据题目内容，理解“合分解”的定义引进未知数来表示A个位及十位上的数，同时也可以用来 表示B然后整理出： () () () P M G M Q M ，根据能被 4整除时，通过分类讨论，求出所有满足条件的M 【详解】解： （1） 168不是“合和数”，621是“合和数” 168 12 14，2 410， 168不“合和数”， 6212
40、3 27，十位数字相同，且个位数字3710， 621是“合和数” （2）设A的十位数字为m，个位数字为n（m，n为自然数，且39m，19n ） ， 则10,1010Amn Bmn ()10210, ()()(10)210P MmnmnmQ Mmnmnn ()2105 4 ()2105 P Mmm G Mk Q Mnn （k是整数） 39m， 85 14m ， k是整数， 58m 或5 12m ， 当58m 时， 58 51 m n 或 58 52 m n ， 36 34 1224M或37 33=1221M 当5 12m 时， 512 51 m n 或 512 53 m n ， 76 74562
41、3M或78 725616M 综上，满足条件的M有1224，1221，5624，5616 【点睛】本题考查了新定义问题，解题的关键是：首先要理解题中给出的新定义和会操作题目中所涉及的 过程，结合所学知识去解决问题，充分考察同学们自主学习和运用新知识的能力 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 yxbxc经过 A（0，1） ，B（4，1） 直线 AB 交 x 轴于点 C，P是直线 AB下方抛物线上的一个动点过点 P作 PDAB，垂足为 D，PEx 轴，交 AB 于点 E （1）求抛物线的函数表达式； （2）当 PDE 的周长取得最大值时，求点 P 的坐标和 PDE周长的最大值； （3）把抛
42、物线 2 yxbxc平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点 PM 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点 A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形的点 M的坐 标，并把求其中一个点 M的坐标的过程写出来 【答案】 （1） 2 7 1 2 yxx； （2）t=2时， PDE周长取得最大值，最大值为 24 5 5 8， 点 P的坐标为 （2，4） ； （3）满足条件的点 M 的坐标有（2，4） ， （6，12） ， （2，12） ，过程见解析 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法求函数表达式即可； （2） 先求出直线AB的函数表达式和点C坐标， 设P 2 7
43、,1 2 t tt ， 其中0t4， 则E 22 7 27 ,1 2 tt tt ， 证明PDEAOC，根据周长之比等于相似比可得 223 556 51024 5 22828 555 ltt ，根据二次函数求最值的方法求解即可； （3）分以下情况若 AB是平行四边形的对角线；若 AB 是平行四边形的边，1）当 MNAB时；2）当 NMAB 时，利用平行四边形的性质分别进行求解即可 【详解】解（1）抛物线 2 yxbxc经过点 A（0，1） ，点 B（4，1） ， 1 1641 c bc ， 解得 7 2 1 b c ， 该抛物线的函数表达式为 2 7 1 2 yxx； （2）A（0，-1） ，
44、B（4，1） ， 直线 AB的函数表达式为 1 1 2 yx， C（2，0） ， 设 P 2 7 ,1 2 t tt ，其中 0t4， 点 E在直线 1 1 2 yx上，PEx轴， E 22 7 27 ,1 2 tt tt ，OCA=DEP， PE= 2 2 28228ttt ， PDAB， EDP=COA， PDEAOC， AO=1，OC=2， AC= 5， AOC的周长为 3+ 5， 令 PDE的周长为 l，则 35AC lPE ， 223 556 51024 5 22828 555 ltt ， 当 t=2时， PDE 周长取得最大值，最大值为 24 5 5 8， 此时点 P的坐标为（2，
45、4） ， （3）如图所示，满足条件的点 M 的坐标有（2，4） ， （6，12） ， （2，12） 由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为 2 4yxx，对称轴为直线2x 若 AB 是平行四边形的对角线， 当 MN 与 AB 互相平分时，四边形 ANBM 是平行四边形， 即 MN 经过 AB的中点 C（2，0） ， 点 N的横坐标为 2， 点 M 的横坐标为 2， 点 M 的坐标为（2，-4） ； 若 AB 是平行四边形的边， 1）MNAB时，四边形 ABNM是平行四边形， A（0，-1） ，B（4，1） ，点 N 的横坐标为 2， 点 M 的横坐标为 24=2， 点 M 的坐标为（2，12）
46、 ； 2）当 NMAB 时，四边形 ABMN 是平行四边形， A（0，-1） ，B（4，1） ，点 N 的横坐标为 2， 点 M 的横坐标为 2+4=6， 点 M 的坐标为（6，12） ， 综上，满足条件的点 M的坐标有（2，4） ， （6，12） ， （2，12） 【点睛】本题考查待定系数法求函数的表达式、相似三角形的判定与性质、求二次函数的最值、平行四边 形的性质等知识，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，运用平行四边形的性质，结合数形结合和分类 讨论的思想方法进行探究、推导和计算 四、解答题： （本大题四、解答题： （本大题 1 个小题，共个小题，共 8 分）分） 26. 在ABC中，ABAC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE 的位置， 使得180DAEBAC （1）如图1，当90BAC时，连接BE，交AC于点F若BE平分ABC，2BD ，求AF的长； （2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，CE若120BAC，当BDCD，150AEC时， 请直接写出 BDDG CE 的值 【答案】 （1） 2； （2） 1 2 AGCD，证明见解析； （3） 6 2 BDDG CE 【解析】 【分析】 （1）连接CE，过点F作
