1、 2021 年广东省中考数学试卷年广东省中考数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 下列实数中，最大的数是（ ） A. B. 2 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据实数的大小比较法则比较数的大小即可 【详解】解：3.14，21.414，22， 223 ， 故选：A 【点睛】本题考查了实数的大小比较，关键要熟记：正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负 实数，两个负实数绝对值大的反而小 2. 据国家卫生健康委员会发布，截至
2、2021年 5月 23 日，31 个省（区、市）及新疆生产建设兵团累计报告 接种新冠病毒疫苗 51085.8 万剂次，将“51085.8 万”用科学记数法表示为（ ） A. 9 0.510858 10 B. 7 51.0858 10 C. 4 5.10858 10 D. 8 5.10858 10 【答案】D 【解析】 【分析】 根据科学记数法的表示形式10na， 其中1 | 10a， n为整数， 一定要将题目中的“51085.8 万” 转化为数字 510858000，即可将题目中的数据用科学记数法表示出来 【详解】51085.8万=510858000 8 5.10858 10=? ， 故选：D
3、 【点睛】本题主要考察科学计数法的表示形式，科学记数法的表示形式10na，其中1 | 10a，n 为整 数，此题容易将题目中的“万”遗漏，掌握科学记数法的表示形式是解题关键 3. 同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为 7的概率是（ ） A 1 12 B. 1 6 C. 1 3 D. 1 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用列表法，可求得两枚骰子向上的点数之和所有可能的结果数及两枚骰子向上的点数之和为 7 的结果数，根据概率计算公式即可求得所求的概率 【详解】列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9
4、4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 由表知， 两枚骰子向上的点数之和所有可能的结果数为 36 种， 两枚骰子向上的点数之和为 7的结果数为 6， 故两枚骰子向上的点数之和为 7 的概率是： 61 366 故选：B 【点睛】本题考查了用列表法或树状图求等可能事件的概率，用列表法或树状图可以不重不漏地把事件所 有可能的结果数及某一事件的结果数表示出来，具有直观的特点 4. 已知93,274 mn ，则 23 3 mn （ ） A. 1 B. 6 C. 7 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】利用同底数幂乘法逆用转换求解即可 【详解】
5、解：93,274 mn ， 232323 333(3 )(3 )927 =3 4=12 mnmnmnmn ， 故选：D 【点睛】本题主要考查同底数幂乘法的逆用，熟练掌握其运算法则即表现形式是解题关键 5. 若 22 391240aaabb，则ab（ ） A. 3 B. 9 2 C. 4 3 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据一个实数的绝对值非负，一个非负实数的算术平方根非负，且其和为零，则它们都为零，从 而可求得 a、b 的值，从而可求得 ab 的值 【详解】30a， 22 91240aabb ，且 22 391240aaabb 30a， 222 9124(32 )0aabbab 即
6、30a，且320ab 3a ， 3 3 2 b 3 39 3 22 ab 故选：B 【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，一般地，几个非负数的和为零，则这几个非负数都为 零 6. 下列图形是正方体展开图的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体的展开图的特征，11种不同情况进行判断即可 【详解】解：根据正方体的展开图的特征，只有第 2 个图不是正方体的展开图，故四个图中有 3 个图是正方 体的展开图 故选：C 【点睛】考查正方体的展开图的特征，“一线不过四，田凹应弃之”应用比较广泛简洁 7. 如图，AB是O的直径，点 C为圆
7、上一点， 3,ACABC的平分线交AC于点 D，1CD，则O 的直径为（ ） A. 3 B. 2 3 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】过 D 作 DEAB 垂足为 E，先利用圆周角的性质和角平分线的性质得到 DE=DC=1，再说明 Rt DEBRt DCB 得到 BE=BC，然后再利用勾股定理求得 AE，设 BE=BC=x，AB=AE+BE=x+ 3，最后 根据勾股定理列式求出 x，进而求得 AB 【详解】解：如图：过 D作 DEAB，垂足为 E AB 是直径 ACB=90 ABC的角平分线 BD DE=DC=1 Rt DEB和 Rt DCB 中 DE=DC、BD=BD Rt
8、 DEBRt DCB（HL） BE=BC 在 Rt ADE 中，AD=AC-DC=3-1=2 AE= 2222 213ADDE 设 BE=BC=x，AB=AE+BE=x+ 3 在 Rt ABC中，AB2=AC2+BC2 则（x+ 3） 2=32+x2，解得 x= 3 AB= 3+3=23 故填：2 3 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、角平分线的性质以及勾股定理等知识点，灵活应用相关知识成为解 答本题的关键 8. 设610的整数部分为 a，小数部分为 b，则 210ab的值是（ ） A. 6 B. 2 10 C. 12 D. 9 10 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据10的整数部分可确定
9、a的值，进而确定b的值，然后将a与b的值代入计算即可得到 所求代数式的值 【详解】3 104 ， 2 6103 ， 6 10 的整数部分2a， 小数部分6102410b ， 2102 21041041041016 106ab 故选：A 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定610的整数部分a与小数部分b的值是解题关键 9. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出 的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为 a，b，c，记 2 abc p ，则其面积 ()()()Sp pa pb pc这个公式也被称为海伦-秦九韶公式若 5,4pc，则此三角形面
10、积的最 大值为（ ） A. 5 B. 4 C. 2 5 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得 a+b=6，5(5)(5)55Sabab，把 b=6-a 代入 S的表达式中得： 2 565Saa ，由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得 S的最大值 【详解】p=5，c=4， 2 abc p a+b=2p-c=6 5(5)(5)(5 4)55Sabab 由 a+b=6，得 b=6-a，代入上式，得： 2 5(6)5565Saaaa 设 2+6 5yaa ，当 2+6 5yaa 取得最大值时，S也取得最大值 22 +65(3)4yaaa 当 a=3 时，y取得最大值 4 S的最大
11、值为542 5 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出 a+b=6，把面积最大值问题转化为二次函数的最大 值问题 10. 设 O为坐标原点， 点 A、 B 为抛物线 2 yx=上的两个动点， 且OAOB 连接点 A、 B， 过 O 作OCAB 于点 C，则点 C到 y 轴距离的最大值（ ） A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】设 A(a，a )，B(b，b)，求出 AB 的解析式为 1 ()1yax a =-+，进而得到 OD=1，由OCB=90 可 知，C 点在以 OD 的中点 E 为圆心，以 11 22 rOD=为半径的圆
12、上运动，当 CH 为圆 E 半径时最大，由此 即可求解 【详解】解：如下图所示：过 C点作 y 轴垂线，垂足为 H，AB与 x轴的交点为 D， 设 A(a，a )，B(b，b)，其中 a0，b0， OAOB， 1 OAOB kk ， 22 1 ab ab ?-， 即1ab， 22 1 AB ab kaba aba - =+ =- - ， 设 AB的解析式为： 1 ()yaxm a =-+，代入 A(a，a )， 解得：1m， 1OD， OCAB，即90OCB ， C 点在以 OD的中点 E为圆心，以 11 22 rOD=为半径的圆上运动， 当 CH为圆 E 的半径时，此时 CH 的长度最大，
13、故 CH的最大值为 1 2 r ， 故选：A 【点睛】本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出 AB 与 y 轴交点的纵坐标始终为 1，结合90OCB，由此确定点 E 的轨迹为圆进而求解 二、填空题：本大题二、填空题：本大题 7 小题小题 11. 二元一次方程组 22 22 xy xy 的解为_ 【答案】 2 2 x y 【解析】 【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解 【详解】解： 22 22 xy xy ， 由式得：22xy ，代入式， 得：2( 22 )2yy-+= ， 解得 2y ， 再将 2y 代入式， 2 22x-?- ， 解得2x ， 2 2 x y ， 故填
14、： 2 2 x y 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的基本解法，本题属于基础题，比较简单 12. 把抛物线 2 21yx向左平移 1个单位长度， 再向下平移 3个单位长度， 得到的抛物线的解析式为_ 【答案】 2 24yxx 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可 【详解】解：抛物线 2 21yx向左平移 1 个单位长度， 再向下平移 3个单位长度， 得到的抛物线的解析式为： 2 2(1)1 3yx ， 即： 2 24yxx 故答案为： 2 24yxx 【点睛】 本题主要考查函数图像的平移，熟记函数图像的平移方式“上加下减， 左加右减”是解题的关键 13. 如图，等腰直
15、角三角形ABC中，90 ,4ABC 分别以点 B、点 C为圆心，线段BC长的一半为 半径作圆弧，交AB、BC、AC于点 D、E、F，则图中阴影部分的面积为_ 【答案】4 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质可求出 AC 的长，根据 S阴影=S ABC-2S扇形CEF即可得答案 【详解】等腰直角三角形ABC中，90 ,4ABC ， AC=AB= 2 2 2 2 BC ，B=C=45 ， S阴影=S ABC-2S 扇形CEF= 2 1452 2 2360 AC AB =4， 故答案为：4 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质及扇形面积，熟练掌握面积公式是解题关键 14. 若一元二次方程 2
16、0 xbxc（b，c 为常数）的两根1 2 ,x x满足 12 31,13xx ，则符合条件 的一个方程为_ 【答案】 2 40 x （答案不唯一） 【解析】 【分析】设 2 yxbxc与 0y 交点为 12 ,x x，根据题意 12 31,13xx 关于 y 轴对称和二次函 数的对称性，可找到 12 xx、的值（ 12 xx，只需满足互为相反数且满足1 | 3x即可）即可写出一个符合条 件的方程 【详解】设 2 yxbxc与 0y 交点为 12 ,x x， 根据题意 12 31,13xx 则1 | 3x 2 yxbxc的对称轴为0 x 故设 12 2,2xx 则方程为： 2 40 x 故答案
17、为： 2 40 x 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，熟悉二次函数的性质和找到两 根的对称性类比二次函数的对称性是解题的关键 15. 若 113 6 x x 且01x，则 2 2 1 x x _ 【答案】 65 36 【解析】 【分析】根据 113 6 x x ，利用完全平方公式可得 2 125 () 36 x x ，根据 x 的取值范围可得 1 x x 的值，利 用平方差公式即可得答案 【详解】 113 6 x x ， 22 11125 ()()4 36 xxx xxx ， 01x， 1 x x ， 1 x x = 5 6 ， 2 2 1 x x 11 ()(
18、)xx xx =13 5 () 66 = 65 36 ， 故答案为： 65 36 【点睛】本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键 16. 如图，在ABCD中， 4 5,12,sin 5 ADABA过点 D作DEAB，垂足为 E，则sinBCE _ 【答案】 9 10 50 【解析】 【分析】首先根据题目中的sin A，求出 ED的长度，再用勾股定理求出 AE，即可求出 EB，利用平行四边 形的性质，求出 CD，在 RtDEC 中，用勾股定理求出 EC，再作 BFCE，在BEC 中，利用等面积法求 出 BF的长，即可求出sinBCE 【详解】DEAB， ADE为直角三角形，
19、 又 4 5,sin 5 ADA， 4 sin 55 DEDE A AD = , 解得 DE=4, 在 RtADE 中，由勾股定理得： 2222 543AEADDE , 又AB=12, 1239BEABAE=-=-= , 又四边形 ABCD为平行四边形， CD=AB=12,AD=BC=5 在 RtDEC 中，由勾股定理得： 2222 1244 10ECCDDE=+=+= , 过点 B作 BFCE，垂足为 F,如图 在EBC中： SEBC= 11 9418 22 EB DE =创=gg ; 又SEBC 11 4 10=2 10 22 CE BFBFBF=?ggg 2 1018BF = , 解得
20、9 10 10 BF = , 在 RtBFC中， 9 109 10 sin5 1050 BF BCF BC ?=? , 故填： 9 10 50 【点睛】本题考查解直角三角形，平行四边形的性质，勾股定理，三角形的等面积法求一边上的高线，解 题关键在于熟练掌握解直角三角形的计算， 平行四边形的性质， 勾股定理的计算和等面积法求一边上的高 17. 在ABC中，90 , 2,3ABCABBC 点 D 为平面上一个动点，45ADB， 则线段CD长 度的最小值为_ 【答案】 52 【解析】 【分析】由已知45ADB，2AB ，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角 的一半可知，点D在以O
21、为圆心OB为半径的圆上，线段CD长度的最小值为CO OD 【详解】如图： 以 1 2 AB为半径作圆，过圆心O作,ONAB OMBC， 以O为圆心OB为半径作圆，则点D在圆O上， 45ADB 90AOB 2AB 1ANBN 22 112AO 1 1 2 ONOMAB,3BC 22 1(3 1)5OC 52COOD 线段CD长度的最小值为: 52 故答案为： 52 【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图 形是解题的关键 三、解答题（一） ：本大题共三、解答题（一） ：本大题共 3 小题小题 18. 解不等式组 2432 7 4 2 xx x
22、x 【答案】1x2 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可. 【详解】解： 2432 7 4 2 xx x x 由得：x2； 由得：x1， 则不等式组解集为1x2 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 19. 某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛用简单随机抽样的方法，从该年级全体 600名学生中抽 取 20 名，其竞赛成绩如图： （1）求这 20名学生成绩的众数，中位数和平均数； （2）若规定成绩大于或等于 90 分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数 【答案】 （1）众数：90，中位数：90，平均数：90.5；
23、 （2）450 人 【解析】 【分析】 （1）根据条形统计图，计算众数、中位数和平均数； （2）利用样本估计总体思想求解可得 【详解】解： （1）由列表中 90 分对应的人数最多，因此这组数据的众数应该是 90， 由于人数总和是 20 人为偶数，将数据从小到大排列后，第 10 个和第 11 个数据都是 90 分，因此这组数据的 中位数应该是 90， 众数：90，中位数：90， 平均数 80285 390 895 5 1002 90.5 20 答：这 20 名学生成绩的众数 90，中位数 90，和平均数 90.5； （2）20名中有8 5 2 15 人为优秀， 优秀等级占比： 153 204 该
24、年级优秀等级学生人数为： 3 600450 4 （人） 答：该年级优秀等级学生人数为 450 人 【点睛】本题考查中位数、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解题的关键是明确题意，利用数 形结合的思想解答问题 20. 如图， 在Rt ABC中，90A ， 作BC的垂直平分线交AC于点 D， 延长AC至点 E， 使C E A B （1）若1AE ，求ABD的周长； （2）若 1 3 ADBD，求tanABC的值 【答案】 （1）1； （2） 2 【解析】 【分析】 (1)作出 BC的垂直平分线， 连接 BD， 由垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到 DB=DC， 由此即可求出 AB
25、D 的周长； (2)设ADx，3BDx ， 进而求出4ACADCDx， 在 Rt ABD中使用勾股定理求得AB 2 2x ， 由此即可求出tanABC的值 【详解】解：(1)如图，连接BD，设BC垂直平分线交BC于点 F， DF为BC垂直平分线， BDCD， ABD CABADBD ABADDCABAC ABCE， 1 ABD CACCEAE (2)设ADx ，3BD x， 又BDCD ， 4ACADCDx， 在RtABD中， 2222 (3 )2 2ABBDADxxx 4 tan2 2 2 ACx ABC ABx 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角函数的定义及勾股定理等知识，熟练掌
26、握垂直平分线上 的点到线段的两个端点距离相等是解决本题的关键 四、解答题（二） ：本大题共四、解答题（二） ：本大题共 3 小题小题 21. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数0ykxb k的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，且与 反比例函数 4 y x 图象的一个交点为1,Pm （1）求 m的值； （2）若2PAAB，求 k的值 【答案】 （1）4； （2）2k 或6k 【解析】 【分析】 （1）将 P 点的坐标代入反比例函数解析式 4 y x ，计算即可求得 m； （2） 分两种情况讨论， 当一次函数过一、 二、 三象限时，画出图像， 将2PAAB转化为两个三角形相似， 过过
27、P作PHx轴交 x 轴于点 H，证明ABOAPHV: V，即可求出 k 和 b 的值；当一次函数过一、三、 四象限时， 画出图像， 将2PAAB转化为两个三角形相似， 过点P作PQy轴于点Q， 证明BAOBPQV: V 即可求出 k 和 b 的值 【详解】解： （1）P为反比例函数 4 y x 上一点， 代入得 4 4 1 m ， 4m （2）令 0y ，即0kxb， b x k ，,0 b A k ， 令0,xyb，(0, )Bb， 2PAAB 由图象得，可分为以下两种情况， B在 y 轴正半轴时，0b， 2PAAB， 过 P 作PHx轴交 x 轴于点 H，又 11 BOAH， 111 PA
28、OB AO， 111 ,AOBAHP 1111 11 1 2 ABAOBO APAHPH 1 11 42 22 BOPH， 111 1 1 1 ABAO B POH = , 即 1111 ,ABB P AOOH= , 2b， 1 1AOOH， 1,2 b k k B在 y 轴负半轴时，0b ，过 P 作PQ y 轴， 2222222 ,PQB Q AOB QA B OA B Q， 222 AOBPQB， 2222 22 1 3 A BAOB O PBPQB Q ， 2 11 33 b AOPQ k ， 22 11 2 32 B OB QOQb， 0b ， 2b ，代入 1 3 b k 6k ，
29、 综上，2k 或6k 【点睛】本题考查了反比例函数，一次函数的图像与性质和相似三角形，添加辅助线构造相似三角形，将 题目中线段的倍数关系转化为相似三角形的相似比是解题关键 22. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗市场上豆沙 粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜 10元，某商家用 8000元购进的猪肉粽和用 6000元购进的豆沙粽盒数相 同在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价 50元时，每天可售出 100盒；每盒售价提高 1元时，每天少售 出 2盒 （1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； （2）设猪肉粽每盒售价 x元()0,565xy表示该商家每天销售猪肉粽的利
30、润（单位：元） ，求 y关于 x 的函数解析式并求最大利润 【答案】 （1）猪肉粽每盒进价 40 元，豆沙粽每盒进价 30 元； （2） 2 22808000(5065)yxxx ， 最大利润为 1750元 【解析】 【分析】 （1）设猪肉粽每盒进价 a 元，则豆沙粽每盒进价10a元，根据某商家用 8000 元购进的猪肉粽 和用 6000 元购进的豆沙粽盒数相同列方程计算即可； （2）根据题意当50 x时，每天可售 100盒，猪肉粽每盒售 x元时，每天可售1002(50)x盒，列出 二次函数关系式，根据二次函数的性质计算最大值即可 【详解】解： （1）设猪肉粽每盒进价 a元，则豆沙粽每盒进价1
31、0a元 则 80006000 10aa 解得：40a，经检验40a是方程的解 猪肉粽每盒进价 40元，豆沙粽每盒进价 30 元 答：猪肉粽每盒进价 40 元，豆沙粽每盒进价 30元 （2）由题意得，当50 x时，每天可售 100 盒 当猪肉粽每盒售 x元时，每天可售1002(50)x盒每盒的利润为(40 x) (40) 1002(50)yxx， 2 22808000 xx 配方得： 2 2(70)1800yx 当65x时，y取最大值为 1750元 2 22808000(5065)yxxx ，最大利润为 1750元 答：y 关于 x的函数解析式为 2 22808000(5065)yxxx ，且最
32、大利润为 1750 元 【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数解析式是 解决本题的关键 23. 如图， 边长为 1的正方形ABCD中， 点 E为AD的中点 连接BE， 将ABE沿BE折叠得到 ,FBE BF 交AC于点 G，求CG的长 【答案】 3 2 7 CG 【解析】 【分析】根据题意，延长BF交CD于 H连EH，通过证明Rt EDHRt EFH HL、DHEAEB 得到 3 4 CH ，再由HGCBGA得到 3 4 CGACCG，进而即可求得CG的长 【详解】解：延长BF交CD于 H连EH， FBE由ABE沿BE折叠得到， EAEF，90EF
33、BEAB， E为AD中点，正方形ABCD边长为 1， 1 2 EAED， 1 2 EDEF， 四边形ABCD是正方形， 90DEFBEFH， 在RtEDH和Rt EFH中， EDEF EHEH ， Rt EDHRt EFH HL， DEHFEH ， 又AEBFEB ， 90DEHAEB， 90ABEAEB， ABEDEH ， DHEAEB， 1 2 DHAE DEAB ， 1 4 DH ， 13 1 44 CHCDDH ， CHAB， HGCBGA， 3 4 CGCH AGAB ， 33 44 CGAGACCG， 1AB ，1CB ，90CBA， 2AC ， 3 2 4 CGCG， 3 2 7
34、 CG 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质以及正方形的性质，熟练掌 握相关几何知识是解决本题的关键 五、解答题（三） ：本大题共五、解答题（三） ：本大题共 2 小题小题 24. 如图，在四边形ABCD中，/90AB CDABCDABC，点 E、F 分别在线段BC、AD上， 且/EF CDABAFCDDF， （1）求证：CFFB； （2）求证：以AD为直径的圆与BC相切； （3）若2120EFDFE，求ADE的面积 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3） 8 3 3 【解析】 【 分 析 】 (1) 设DCFDFC， 进 而 求 得90ABFAFB，
35、 再 由 1 8 09 0C F BC F DB F A 即可求得CFFB； (2)取AD中点 O，过点 O作OM BC，由梯形中位线定理得到 1 2 OMABCD，利用 AFABDFDC，得到2ADOA，进而OAOMOD，由此即可证明； (3)过点D， 点A分别向EF作垂线交EF于点M， N， 得到 ADEEFDEFA SSS， 分别求出 2 3 33 EF BE ， 32 3CEEF 再代入求解即可 【详解】解：(1)CDDF，设DCFDFC ， 1802FDC， CDAB， 180180()22BAF， 又AB AF， 1802 90 2 ABFAFB ， 180180909()0CFB
36、CFDBFA， CFBF (2)如图，取AD中点 O，过点 O作OMBC ， CDAB，BCD=90， 90DCB， 又OM BC， OMAB， M为BC中点， 1 2 OMABCD， ADAFDF， 又,AFAB DF DC， 2ADABCDOM， 又2AD OA， OAOMOD， 以AD为直径的圆与BC相切 (3)DFE=120 ，CDEFAB， 6012060CDABADAFE， 又DCDF DCF为等边三角形，60DFCFCD， CDEF， 60CFEFCD， 由(2)得：90CFB， 30EFB， 30BFAFBA， 2EF ，在RtBFE中，三边之比为1: 3:2， 2 3 33
37、EF BE ， 在Rt CEF中，三边之比为1: 3:2， 32 3CEEF， 如图，过点 D，点 A分别向EF作垂线交EF于点 M，N， 90CEMEMDECD?， 四边形CDME为矩形， 2 3CEDM ， 同理，四边形 BENA 为矩形， 2 3 3 BEAN， ADEEFDEFA SSS 11 22 EF DMEF AN 1 () 2 EFDNAN 12 22 33 23 8 3 3 【点睛】本题考查了等腰三角形等腰对等角、梯形中位线定理、割补法求四边形的面积、圆的切线的证明 方法等，熟练掌握各图形的基本性质是解决本题的关键 25. 已知二次函数 2 yaxbxc的图象过点1,0，且对
38、任意实数 x，都有 22 412286xaxbxcxx （1）求该二次函数的解析式； （2）若（1）中二次函数图象与 x轴的正半轴交点为 A，与 y 轴交点为 C；点 M是（1）中二次函数图象上 的动点问在 x 轴上是否存在点 N，使得以 A、C、M、N 为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出所 有满足条件的点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1） 2 23yxx； （2）存在，1,0或5,0或72,0或27,0 【解析】 【分析】 （1）令 2 412286xxx，解得 12 3xx，可得函数 2 yaxbxc 必过 (3,0)，再结 合 2 yaxbxc 必过 ( 1,0)
39、得出2ba，3ca，即可得到 2 23yaxaxa，再根据 2 42123xaxxaa，可看成二次函数 2 23yaxaxa与一次函数 412yx 仅有一个交点，且 整体位于412yx的上方， 可得0a， 2 42123xaxxaa有两个相等的实数根，再根据0 ， 可解得a的值，即可求出二次函数解析式 （2）结合（1）求出点 C的坐标，设 2 ,23 ,( ,0)M m mmN n，当AC为对角线时，当AM为对 角线时，当AN为对角线时,根据中点坐标公式分别列出方程组，解方程组即可得到答案 【详解】解： （1）令 2 412286xxx，解得 12 3xx， 当3x 时， 2 4122860
40、xxx， 2 yaxbxc 必过 (3,0)， 又 2 yaxbxc 必过 ( 1,0) ， 02 9303 abcba abcca ， 2 23yaxaxa， 即 2 42123xaxxaa， 即可看成二次函数 2 23yaxaxa与一次函数 412yx仅有一个交点，且整体位于412yx的上 方 0a， 2 42123xaxxaa有两个相等的实数根 0 2 (24)4 (123 )0aaa， 2 (1)0a ， 1a ， 2b ，3c ， 2 23yxx （2）由（1）可知：(3,0)A，(0, 3)C，设 2 ,23 ,( ,0)M m mmN n， 当AC为对角线时， ACMN ACnN
41、 xxxx yyyy 2 30 0( 3)230 mn mm ，解得 1 0m （舍） ， 2 2m ， 1n ，即 1(1,0) N 当AM为对角线时， AMCN AMCN xxxx yyyy 2 30 02330 mn mm ，解得 1 0m （舍） 2 2m ， 5n ，即 2(5,0) N 当AN为对角线时， ANCM ANCM xxxx yyyy 2 30 00323 nm mm ，解得 12 17,17mm ， 72n 或 27n ， 43( 7 2,0),( 27,0)NN 综上所述：N点坐标为1,0或5,0或72,0或27,0 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及到二次函数与不等式组，考查了平行四边形的存在性 问题，利用中点公式，分类讨论是解题关键
