1、 2021 年北京市中考数学试卷年北京市中考数学试卷 一一 选择题（共选择题（共 16 分，每题分，每题 2 分）第分）第 18 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ） A. 长方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 三棱柱 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项 【详解】解：由图形可得该几何体是圆柱； 故选 B 【点睛】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键 2. 党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务2014 2018年，中央财政累计投入“全
2、面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金 1692 亿元， 将 169200000000用科学记数法 表示应为（ ） A. 12 0.1692 10 B. 12 1.692 10 C. 11 1.692 10 D. 10 16.92 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法可直接进行求解 【详解】解：由题意得：将 169200000000用科学记数法表示应为 11 1.692 10； 故选 C 【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键 3. 如图，点O在直线AB上，OCOD若120AOC，则BOD 的大小为（ ） A. 30 B. 40
3、 C. 50 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得60COB，90COD，进而问题可求解 【详解】解：点O在直线AB上，OCOD， 180AOCCOB，90COD， 120AOC， 60COB， 9030BODCOB； 故选 A 【点睛】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键 4. 下列多边形中，内角和最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式可直接进行排除选项 【详解】解：A、是一个三角形，其内角和为 180； B、是一个四边形，其内角和为 360； C、是一个五边形，其内角和为 54
4、0； D、是一个六边形，其内角和为 720； 内角和最大的是六边形； 故选 D 【点睛】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键 5. 实数, a b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. 2a B. ab C. 0ab D. 0ba 【答案】B 【解析】 【分析】由数轴及题意可得32,01ab ，依此可排除选项 【详解】解：由数轴及题意可得：32,01ab ， ,0,0ab abba， 只有 B 选项正确， 故选 B 【点睛】本题主要考查实数的运算及数轴，熟练掌握实数的运算及数轴是解题的关键 6. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上一
5、枚硬币反面向上的概率是（ ） A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可画出树状图，然后进行求解概率即可排除选项 【详解】解：由题意得： 一枚硬币正面向上一枚硬币反面向上的概率是 21 42 P ； 故选 C 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键 7. 已知 2222 431849,441936,452025,462116若n为整数且20211nn，则n的值为 （ ） A. 43 B. 44 C. 45 D. 46 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可直接进行求解 【详解】解： 2222 431849,4419
6、36,452025,462116， 22 44202145 ， 44202145， 44n； 故选 B 【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键 8. 如图， 用绳子围成周长为10m的矩形， 记矩形的一边长为 mx ， 它的邻边长为 my ， 矩形的面积为 2 mS 当 x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与, x S与x满足的函数关系分别是（ ） A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 反比例函数关系，二次函数关系 C. 一次函数关系，反比例函数关系 D. 反比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意及矩形的面积及周长公式可直接列
7、出函数关系式， 然后由函数关系式可直接进行排除选项 【详解】解：由题意得： 210 xy，整理得：5, 05yxx ， 2 55 , 05Sxyxxxxx ， y与 x成一次函数的关系，S与 x成二次函数的关系； 故选 A 【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应用是解题的关键 二二 填空题（共填空题（共 16 分，每题分，每题 2 分）分） 9. 若7x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_ 【答案】7x 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解 【详解】解：由题意得： 70 x， 解得：7x； 故答案为7x 【点睛】本题主要考查二次根
8、式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键 10. 分解因式： 22 55xy_ 【答案】5 xyxy 【解析】 【分析】根据提公因式法及平方差公式可直接进行求解 【详解】解： 2222 5555xyxyxyxy； 故答案为5 xyxy 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键 11. 方程 21 3xx 的解为_ 【答案】3x 【解析】 【分析】根据分式方程的解法可直接进行求解 【详解】解： 21 3xx 23xx， 3x ， 经检验：3x 是原方程的解 故答案为：x=3 【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键 12. 在
9、平面直角坐标系xOy中，若反比例函数(0) k yk x 的图象经过点1,2A和点1,Bm，则m的 值为_ 【答案】2 【解析】 【分析】由题意易得2k ，然后再利用反比例函数的意义可进行求解问题 【详解】解：把点1,2A代入反比例函数0 k yk x 得：2k ， 12m ，解得：2m， 故答案为-2 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键 13. 如图，,PA PB是O的切线， ,A B是切点若 50P ，则AOB_ 【答案】130 【解析】 【分析】由题意易得90PAOPBO，然后根据四边形内角和可求解 【详解】解：,PA PB是O的切线，
10、 90PAOPBO， 由四边形内角和可得：180AOBP ， 50P ， 130AOB； 故答案为 130 【点睛】本题主要考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键 14. 如图，在矩形ABCD中，点,E F分别在 ,BC AD上，AF EC只需添加一个条件即可证明四边形 AECF是菱形，这个条件可以是_（写出一个即可） 【答案】AFAE（答案不唯一） 【解析】 【分析】由题意易得四边形AECF是平行四边形，然后根据菱形的判定定理可进行求解 【详解】解：四边形ABCD是矩形， /AD BC， AFEC， 四边形AECF是平行四边形， 若要添加一个条件使其为菱形，则可添加AF
11、AE或 AE=CE或 CE=CF或 AF=CF，理由：一组邻边相等 的平行四边形是菱形； 故答案为AFAE（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查菱形的判定定理、矩形的性质及平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定定理、矩 形的性质及平行四边形的判定是解题的关键 15. 有甲乙两组数据，如表所示： 甲 11 12 13 14 15 乙 12 12 13 14 14 甲乙两组数据的方差分别为 22 ,ss 甲乙 ，则 2 s甲_ 2 s乙（填“”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】根据甲、乙两组数据分别求出甲、乙的平均数，然后再利用方差公式进行求解比较即可 【详解】解：由题意得： 11 12 1
12、3 14 15 13 5 x 甲 ， 12 12 13 14 14 13 5 x 乙 ， 22 2 222 11 1312 1313 1314 1315 13 2 5 s 甲 ， 22222 2 12 1312 1313 1314 1314 13 4 55 s 乙 ， 4 2 5 ， 22 ss 乙甲 ； 故答案 【点睛】本题主要考查平均数及方差，熟练掌握平均数及方差计算是解题的关键 16. 某企业有 ,A B两条加工相同原材料的生产线在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为 41a小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为23b小时第一天，该企业将 5 吨 原材料分配到,A
13、B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线 的吨数与分配到B生产线的吨数的比为_第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配 了 5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料若两条生产线都能在 一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则 m n 的值为_ 【答案】 . 23 . 1 2 【解析】 【分析】设分配到A生产线的吨数为 x 吨，则分配到 B 生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得 412 53xx ， 然 后 求 解 即 可 ， 由 题 意 可 得 第 二 天 开 工 时 ， 由 上 一 问 可 得 方 程 为
14、4 212 33mn ，进而求解即可得出答案 【详解】解：设分配到A生产线的吨数为 x 吨，则分配到 B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得： 412 53xx ，解得：2x， 分配到 B生产线的吨数为 5-2=3（吨） ， 分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为 23； 第二天开工时，给A生产线分配了2m吨原材料，给B生产线分配了3n吨原材料， 加工时间相同， 4 212 33mn ， 解得： 1 2 mn， 1 2 m n ； 故答案为2:3， 1 2 【点睛】本题主要考查一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的 应用及比例的基本性质是解题的关键
15、 三三 解答题（共解答题（共 68 分，第分，第 1720 题，每题题，每题 5 分，第分，第 2122 题，每题题，每题 6 分，第分，第 23 题题 5 分，第分，第 24 题题 6 分，第分，第 25 题题 5 分，第分，第 26 题题 6分，第分，第 2728 题，每题题，每题 7 分）解答应写出文字说明 分）解答应写出文字说明 演算演算 步骤或证明过程步骤或证明过程 17. 计算： 0 2sin60122()5 【答案】3 34 【解析】 【分析】根据特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算可直接进行求解 【详解】解：原式= 3 22 35 13 34 2 【点睛】本题主要考查特殊三角
16、函数值、零次幂及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值、零次幂及 二次根式的运算是解题的关键 18. 解不等式组： 451 34 2 xx x x 【答案】24x 【解析】 【分析】根据一元一次不等式组的解法可直接进行求解 【详解】解： 451 34 2 xx x x 由可得：2x， 由可得：4x， 原不等式组的解集为24x 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键 19. 已知 22 210ab ，求代数式 2 2abbab的值 【答案】1 【解析】 【分析】先对代数式进行化简，然后再利用整体思想进行求解即可 【详解】解： 2 2abbab =
17、222 22aabbabb = 22 2ab， 22 210ab ， 22 21ab， 代入原式得：原式=1 【点睛】本题主要考查整式的乘法运算及完全平方公式，熟练掌握利用整体思想进行整式的化简求值是解 题的关键 20. 淮南子天文训中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆， 在地面上沿着杆的影子的方向取一点B， 使,B A两点间的距离为 10步 （步是古代的一种长度单位） ， 在点B 处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使,C B两点间的距离为 10 步， 在点C处立一根杆取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向 （1） 上述
18、方法中， 杆在地面上的影子所在直线及点, ,A B C的位置如图所示 使用直尺和圆规， 在图中作CA 的中点D（保留作图痕迹） ； （2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直 线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明 证明：在ABC中，BA_，D是CA的中点， CADB（_） （填推理的依据） 直线DB表示的方向为东西方向， 直线CA表示的方向为南北方向 【答案】 （1）图见详解； （2）BC，等腰三角形的三线合一 【解析】 【分析】 （1）分别以点 A、C 为圆心，大于 AC 长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两点，与 AC 的交点即为
19、所求点 D； （2）由题意及等腰三角形的性质可直接进行作答 【详解】解： （1）如图所示： （2）证明：在ABC中，BABC，D是CA的中点， CADB（等腰三角形的三线合一） （填推理的依据） 直线DB表示的方向为东西方向， 直线CA表示的方向为南北方向； 故答案为BC，等腰三角形的三线合一 【点睛】本题主要考查垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的尺规作图及等 腰三角形的性质是解题的关键 21. 已知关于x的一元二次方程 22 430 xmxm （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若0m，且该方程的两个实数根的差为 2，求m的值 【答案】 （1）见详解； （2）
20、1m 【解析】 【分析】 （1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证； （2）设关于x的一元二次方程 22 430 xmxm的两实数根为1 2 ,x x，然后根据一元二次方程根与系数的 关系可得 2 1212 4 ,3xxm xxm，进而可得 2 12 4xx，最后利用完全平方公式代入求解即可 【详解】 （1）证明：由题意得： 2 1,4 ,3abm cm ， 2222 4164 1 34bacmmm ， 2 0m ， 2 40m ， 该方程总有两个实数根； （2） 解： 设关于x的一元二次方程 22 430 xmxm的两实数根为1 2 ,x x， 则有： 2 1212 4 ,3xxm
21、 xxm， 12 2xx， 22 22 121212 416124xxxxx xmm， 解得：1m， 0m， 1m 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及 根与系数的关系是解题的关键 22. 如图， 在四边形ABCD中，90ACBCAD， 点E在BC上， /,AE DC EFAB， 垂足为F （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）若AE平分 4 ,5,cos 5 BAC BEB，求BF和AD的长 【答案】 （1）见详解； （2）4BF ，3AD 【解析】 【分析】 （1）由题意易得 ADCE，然后问题可求证； （2）由（1）及题意
22、易得 EF=CE=AD，然后由 4 5,cos 5 BEB可进行求解问题 详解】 （1）证明：90ACBCAD， ADCE， /AE DC， 四边形AECD是平行四边形； （2）解：由（1）可得四边形AECD是平行四边形， CEAD， EFAB，AE平分BAC，90ACB， EFCE， EF=CE=AD， 4 5,cos 5 BEB， 4 cos54 5 BFBEB ， 22 3EFBEBF ， 3ADEF 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数，熟练掌握 平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数是解题的关键 23. 在平面直角
23、坐标系xOy中， 一次函数 (0)ykxb k 的图象由函数 1 2 yx的图象向下平移 1 个单位 长度得到 （1）求这个一次函数的解析式； （2）当2x时，对于x的每一个值，函数(0)ymx m的值大于一次函数y kxb 的值，直接写出m 的取值范围 【答案】 （1） 1 1 2 yx； （2） 1 1 2 m 【解析】 【分析】 （1）由图象的平移及题意可直接求得一次函数的解析式； （2） 由题意可先假设函数0ymx m与一次函数y kxb 的交点横坐标为2， 则由 （1） 可得：1m， 然后结合函数图象可进行求解 【详解】解： （1）由一次函数0ykxb k的图象由函数 1 2 yx的
24、图象向下平移 1个单位长度得到可 得：一次函数的解析式为 1 1 2 yx； （2）由题意可先假设函数0ymx m与一次函数y kxb 的交点横坐标为2，则由（1）可得： 1 221 2 m ，解得：1m， 函数图象如图所示： 当2x时，对于x的每一个值，函数0ymx m的值大于一次函数y kxb 的值时，根据一次函 数的 k 表示直线的倾斜程度可得当 1 2 m 时，符合题意，当 1 2 m 时，则函数0ymx m与一次函数 ykxb 的交点在第一象限，此时就不符合题意， 综上所述： 1 1 2 m 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键 24.
25、如图，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，AD BC于点E （1）求证：BADCAD； （2）连接BO并延长，交AC于点F，交O于点G，连接GC若O的半径为 5，3OE ，求GC和 OF的长 【答案】 （1）见详解； （2）6GC ， 25 11 OF 【解析】 【分析】 （1）由题意易得BD CD ，然后问题可求证； （2） 由题意可先作图， 由 （1） 可得点 E为 BC的中点， 则有 1 ,/ 2 OECG OE CG， 进而可得AOFCGF， 然后根据相似三角形的性质可进行求解 【详解】 （1）证明：AD是O的直径，ADBC， BD CD ， BADCAD； （2）解：由题意可得如图所
26、示： 由（1）可得点 E为 BC的中点， 点 O是 BG的中点， 1 ,/ 2 OECG OE CG， AOFCGF， OAOF CGGF ， 3OE ， 6CG ， O的半径为 5， 5OAOG， 5 6 OF GF ， 525 1111 OFOG 【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三角形 中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键 25. 为了解甲乙两座城市的邮政企业 4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了 25 家 邮政企业，获得了它们 4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理描述和分析下面给出了 部分信息
27、a甲城市邮政企业 4 月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成 5组： 68,810,1012,1214,1416xxxxx ） ： b 甲城市邮政企业 4月份收入的数据在1012x这一组的是： 10.0， 10.0， 10.1， 10.9， 11.4， 11.5， 11.6， 11.8 c甲乙两座城市邮政企业 4月份收入的数据的平均数中位数如下： 平均数 中位数 甲城市 10.8 m 乙城市 11.0 11.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值； （2）在甲城市抽取的邮政企业中，记 4 月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 1 p在乙城市抽 取的邮政企业中，记
28、4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 2 p比较 12 ,p p的大小，并说明 理由； （3）若乙城市共有 200 家邮政企业，估计乙城市的邮政企业 4 月份的总收入（直接写出结果） 【答案】 （1）10.1m； （2） 12 pp，理由见详解； （3）乙城市的邮政企业 4 月份的总收入为 2200 百万 元 【解析】 【分析】 （1）由题中所给数据可得甲城市的中位数为第 13个数据，然后问题可求解； （2）由甲、乙两城市的中位数可直接进行求解； （3）根据乙城市的平均数可直接进行求解 【详解】解： （1）由题意可得 m为甲城市的中位数，由于总共有 25家邮政企业，所以第 13 家邮
29、政企业的 收入作为该数据的中位数， 68x有 3 家，810 x有 7家，1012x有 8家， 中位数落1012x上， 10.1m； （2）由（1）可得：甲城市中位数低于平均数，则 1 p最大为 12 个；乙城市中位数高于平均数，则 2 p至少 为 13 个， 12 pp； （3）由题意得： 200 112200（百万元） ； 答：乙城市的邮政企业 4月份的总收入为 2200百万元 【点睛】本题主要考查中位数、平均数及统计与调查，熟练掌握中位数、平均数及统计与调查是解题的关 键 26. 在平面直角坐标系xOy中，点1,m和点3 n,在抛物线 2 0yaxbx a上 （1）若3,15mn，求该抛
30、物线的对称轴； （2）已知点 123 1, 2, 4,yyy在该抛物线上若0mn，比较 123 ,y yy的大小，并说明理由 【答案】 （1）1x； （2） 213 yyy，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）由题意易得点1,3和点3,15，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行 求解即可； （2）由题意可分当0,0mn时和当0,0mn时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可 【详解】解： （1）当3,15mn时，则有点1,3和点3,15，代入二次函数 2 0yaxbx a得： 3 9315 ab ab ，解得： 1 2 a b ， 抛物线解析式为 2 2yxx， 抛物线的对
31、称轴为1 2 b x a ； （2）由题意得：抛物线 2 0yaxbx a始终过定点0,0，则由0mn可得： 当0,0mn时， 由抛物线 2 0yaxbx a始终过定点0,0可得此时的抛物线开口向下， 即0a ， 与0a矛盾； 当0,0mn时， 抛物线 2 0yaxbx a始终过定点0,0， 此时抛物线的对称轴的范围为 13 22 x， 点 123 1, 2, 4,yyy在该抛物线上， 它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为 35 13 57 1,2,4 22 22 22 xxx ， 0a，开口向上， 由抛物线的性质可知离对称轴越近越小， 213 yyy 【点睛】本题主要考查二次函数综合，熟练掌
32、握二次函数的图象与性质是解题的关键 27. 如图，在ABC中， ,ABACBACM 为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线 段AD顺时针旋转得到线段AE，连接,BE DE （1）比较BAE与CAD的大小；用等式表示线段,BE BM MD之间的数量关系，并证明； （2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明 【答案】 （1）BAECAD，BMBEMD，理由见详解； （2）DNEN，理由见详解 【解析】 【分析】 （1）由题意及旋转的性质易得BACEAD，AEAD，然后可证ABEACD， 进而问题可求解； （2）过点 E作 EHAB，垂足为点 Q，交
33、AB 于点 H，由（1）可得ABEACD，BECD，易证 BHBECD， 进而可得HMDM， 然后可得DMNDHE， 最后根据相似三角形的性质可求证 【详解】 （1）证明：BACEAD， BAEBADBADCAD， BAECAD， 由旋转的性质可得AEAD， ABAC， ABEACD SAS， BECD， 点 M 为 BC 的中点， BMCM， CMMD CDMDBE， BMBEMD； （2）证明：DNEN，理由如下： 过点 E作 EHAB，垂足为点 Q，交 AB 于点 H，如图所示： 90EQBHQB ， 由（1）可得ABEACD， ABEACD，BECD， ABAC， ABCCABE， B
34、QBQ， BQEBQH ASA， BHBECD， MBMC， HMDM， MNAB， /MN EH， DMNDHE， 1 2 DMDN DHDE ， DNEN 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的 性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质是 解题的关键 28. 在平面直角坐标系xOy中，O的半径为 1，对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点 A旋转可以得到O的弦BC （,B C分别是 ,B C的对应点） ， 则称线段BC是O的以点A为中心的“关 联线段” （1）如图，点 112
35、233 ,A B C B C B C的横纵坐标都是整数在线段 112233 ,BC B C B C中，O的以点A为 中心的“关联线段”是_； （2）ABC是边长为 1 的等边三角形，点0,At，其中0t 若BC是O的以点A为中心的“关联线 段”，求t的值； （3）在ABC中，1,2ABAC若BC是O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小 值和最大值，以及相应的BC长 【答案】 （1） 22 B C； （2） 3t ； （3） 当 m i n 1OA时， 此时 3BC ； 当 m a x 2OA时， 此时 6 2 BC 【解析】 【分析】 （1）以点 A为圆心，分别以 112233 ,
36、AB AC AB ACAB AC为半径画圆，进而观察是否与O有交 点即可； （2）由旋转的性质可得ABC 是等边三角形，且BC 是 O的弦，进而画出图象，则根据等边三角形 的性质可进行求解； （3）由BC是O的以点A为中心的“关联线段”，则可知,B C 都在O上，且 1,2ABABACAC，然后由题意可根据图象来进行求解即可 【详解】解： （1）由题意得： 通过观察图象可得：线段 22 B C能绕点 A 旋转 90得到O的“关联线段”， 1133 ,BC B C都不能绕点 A 进行 旋转得到； 故答案为 22 B C； （2）由题意可得：当BC是O的以点A为中心的“关联线段”时，则有ABC 是
37、等边三角形，且边长 也为 1，当点 A在 y轴的正半轴上时，如图所示： 设BC 与 y 轴的交点为 D，连接OB，易得B C y 轴， 1 2 B DDC， 22 3 2 ODOBB D， 22 3 2 ADABB D， 3OA， 3t ； 当点 A在 y轴的正半轴上时，如图所示： 同理可得此时的 3OA ， t 3 ； （3）由BC是O的以点A为中心的“关联线段”，则可知,B C 都在O上，且 1,2ABABACAC，则有当以 B 为圆心，1 为半径作圆，然后以点 A为圆心，2 为半径作圆，即 可得到点 A的运动轨迹，如图所示： 由运动轨迹可得当点 A 也在O上时为最小，最小值为 1，此时
38、AC 为O的直径， 90ABC ， 30ACB ， cos303BCBCAC ； 由以上情况可知当点,A B O 三点共线时，OA的值为最大，最大值为 2，如图所示： 连接,OC B C ，过点 C 作CPOA 于点 P， 1,2OCACOA ， 设OPx，则有2APx ， 由勾股定理可得： 22222 C PACAPOCOP ，即 2 22 221xx ， 解得： 1 4 x ， 15 4 C P ， 3 4 B POBOP， 在Rt BPC中， 22 6 2 B CB PC P ， 6 2 BC ； 综上所述：当 min 1OA时，此时 3BC ；当 max 2OA时，此时 6 2 BC 【点睛】本题主要考查旋转的综合、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、 圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质是解题的关键
