1、探究动点背景下的线段最值问题探究动点背景下的线段最值问题 【专题综述】 图形运动问题是中考数学命题的热点题型，其中有一类动点背景下线段长度的最值问题，常常使学生感到 比较为难.本文谈谈破解这类问题的方法. 动点背景下线段长度的最值问题一般有两种解法: 1、代数解法.通过设未知量，建立函数关系或列方程列不等式等，用函数最值、二次方程判别式、解不等式 来求解. 2、几何方法.常通取特殊点，如线段中点、端点;与动点的特殊位置相关的特殊线段，如三角形的高、中线、 圆的直径等;特殊图形，如直角三角形、等边三角形、矩形等，用几何公理、定理来求解. 一般而言，用几何方法抓住特殊情形处理，比代数方法更有独特魅
2、力. 【方法解读】 一、从动点所在特殊位置入手 图形中动点的运动有一定的范围，其较为特殊的位置有:线段上动点的两端点、线段中点等;若点在线段外运 动，则与某线段共线就是特殊位置.这些特殊位置正是产生最值的关键点. 例 1 如图 1，在四边形ABCD中，90A ，3 3AB ，3AD，点M，N分别为线段BC，AB 上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为. 分析 DM，MN的长度随点M，N分别在线段BC，AB上运动而变化，点E，F分别为DM，MN 的中点却保持不变.题设中EF与不变量A，AB，AD无直接数量关系，但连结DN，则由三角形的中 位线
3、定理可知 1 2 EFDN，如图 1 所示，从而可知DN最大时，EF最大.因为N在线段AB上，当点N 与其端点B重合时DN最大，如图 2 所示.此时，由勾股定理知6BD ，所以EF长度的最大值为3. 例 2 如图 3，在O中，直径6AB，BC是弦，30ABC，点P是BC上的一个动点，点Q在O 上，且OPPQ.求PQ长的最大值. 分析 点P在BC运动时，OP，PQ的位置和大小都变化，但OPPQ，圆的半径不变，连结OQ，则 OPQ保持直角三角形不变. 在Rt OPQ中， 2222 3PQOQOPOP, 所以OP最小时PQ的长的最大.由垂径定理知，此时点P正好是CB的中点，如图 4 所示，Q点与C点
4、重 合. 分析 连结OQ. OPPQ， OPQ为直角三角形. 又OPCB， 1 3 2 OBAB，30ABC， 3 2 OP 由勾股定理，得 22 33 3 3( ) 22 PQ 即PQ长的最大值 3 3 2 . 二、从动点产生的特殊线段入手 在图形中，点的运动会引起相应线段位置和长度大小的变化，位置的变化会使线段成为具有某种特殊性质 抓住这些线段变化的特殊性:如三角形的高、中线、圆的直径等，往往会找到最值的答案. 例 3 如图 5，在直角ABC中，90C，3AC ，4BC ，P为AB上(不与AB重合)一动点，过 点P分别作PEAC于点E，PFBC与F，则EF的最小值 . 分析 因为点P在AB
5、上运动时，PEAC于点E，PFBC与F，90C，所以四边形CFDE是 矩形， 且这些关系不变.连结PC， 则E F C P， 要求EF的最小值， 就是求CP的最小值.显然当CDAB， 即CD是斜边AB的高时，CD最小.又由勾股定理，得5AB，根据三角形面积不变，得 AC BCCD AB，解得 12 5 CP ，所以EF的最小值为12 5 . 例 4 如图 6，在圆O上有定点C和动点P位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交 于点G.已知:圆O半径为 5 2 ， 4 tan 3 ABC，则CG的最大值是(). (A)5 (B) 15 4 (C) 25 3 (D) 20 3 分析
6、点P在AB上运动时，PC的位置和大小会随之变化， 但CABCPG，90ACBPCG 保持不变，故有 ABCPGC， BCAC CGPC ，即 BC CGPC AC ， 由 3 tan 4 AC ABC PC ，知 4 3 CGPC，当PC最大时，CQ取到最大值 易知，当PC经过圆心，即PC为圆O的直径时，PC最大(此时CG是圆O的切线). 圆O半径为 5 2 ， PC的最大值为5, 315 5 44 CG . CG的最大值 15 4 ，故选 B. 三、抓住动点问题的特性，从构造特殊图形入手 某些动点问题中，难以找到图形变化时与相关线段最值的特殊情形若要用几何解法，应联系整个问题所含 条件添加辅
7、助线，构造特殊图形，然后借助特殊图形的性质将问题进行有效转化. 例 5 如图 7，ABC中，45B ，60BAC，2 2AB . D是BC上的一个动点以AD为直径 画圆与AB，AC相交于E，F两点，求EF的最小值. 分析 点D在BC上运动，AD的位置改变引起圆O的位置和大小变化，而所求EF的 值与不变量B，BAC以及AB的关系不明显. 连结OE，OF，构造含120角的特殊等腰三角形，如图 8 所示，过O点作OHEF垂足为H，由圆周 角定理可知 1 60 2 EOHEOFBAC . 在Rt EOH中， 由垂径定理可知23EFEHOE.所以当OE最小时，EF的值最小， 而 1 2 OEAD， 由垂
8、线段的性质可知，当AD为ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF最小. 在Rt ADB中， 45ABC，2 2AB ， 2ADBD，即此时圆的直径为 2. 在Rt EOH中， 33 sin1 22 EHOEEOH 23EFEH， 即EF的最小值为3. 四、从图形运动中相对保持不动的点入手 若图形中的动点不止一个，这种情形相对单一动点问题要复杂一般会引起变化的量增加或整个图形发生运 动，难以找到原图中保存不变的量，这时可着眼于图中的相对不变量.相对不变量是指在整个图形运动变化 中，保持某种特性不变的量与动点下线段最值所对应的仍是图中特殊相对不变量透过图形运动的整体，抓 住特殊相对不变量
9、才是解题的关键. 例 6 如图 9，在ABC中，90ACB，3BC ，8AC ，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上. 当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动中OB的最大值是多少? 分析 当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，这样改变了ABC的位置，点B的位置也随之改 变，OB的长度随之发生变化.虽然BC、AC的长度不变，但些相对不变的量与OB没有直接的关系. 仔细观察图 9，AC是Rt COA的斜边，AC长度不变， 则点O与其中点D的连线段OD的长度保持不变， 这个隐含的相对不变的特殊量与OB有关. 于是，连结DB，则OBDB OD, 所以，当O、D、B三点共线时OB值最大，
10、即BOODDB. 在Rt BCA中，4CD ，3CB，5DB . 则OB的最大值为5 49:. 综上可知，解决动点背景下线段长度的最值问题时，一般可用几何方法从特殊情形出发考虑. 1、在分析动点位置变化的同时，重点抓住图形中不变的量，不变的关系和性质，以不变应万变，动中求静. 2、线段的最大值和最小值，常与下列知识相关:两点之间线段最短，垂线段最短，直径是圆中最大的弦，三 角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边等等.所以要抓住特殊情形，联系与问题相关的 结论进行有效转化. 【强化训练】 1.（2017 四川省内江市）如图，已知直线 l1l2，l1、l2之间的距离为 8，点 P 到
11、直线 l1的距离为 6，点 Q 到 直线 l2的距离为 4， PQ=4 30， 在直线 l1上有一动点 A， 直线 l2上有一动点 B， 满足 ABl2， 且 PA+AB+BQ 最小，此时 PA+BQ= 【答案】16 【解析】 AB=PC=8，ABPC，四边形 ABCP 是平行四边形，PA=BC，CD=10， PA+BQ=CB+BQ=QC= 22 DQCD =156 100=16故答案为：16 考点：1轴对称最短路线问题；2平行线的性质；3动点型；4最值问题；5综合题 2.（2017 山东省东营市）如图，已知菱形 ABCD 的周长为 16，面积为8 3，E 为 AB 的中点，若 P 为对角 线
12、 BD 上一动点，则 EP+AP 的最小值为 【答案】2 3 【解析】 考点：1轴对称最短路线问题；2菱形的性质；3动点型；4最值问题 3（2017 山东省威海市）如图，ABC 为等边三角形，AB=2若 P 为ABC 内一动点，且满足PAB= ACP，则线段 PB 长度的最小值为 【答案】 2 3 3 【解析】 试题分析：ABC 是等边三角形，ABC=BAC=60 ，AC=AB=2，PAB=ACP，PAC+ ACP=60 ，APC=120 ，当 PBAC 时，PB 长度最小，设垂足为 D，如图所示： 此 时PA=PC ， 则AD=CD= 1 2 AC=1 ， PAC= ACP=30， ABD=
13、 1 2 ABC=30， PD=ADtan30 = 3 3 AD= 3 3 ，BD=3AD=3，PB=BDPD=3 3 3 = 2 3 3 故答案为： 2 3 3 考点：1点与圆的位置关系；2等边三角形的性质；3最值问题；4圆周角定理；5动点型 4. （2017 甘肃省天水市）如图所示，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是边 BC 上的一点，且 BE=1，P 是对角 线 AC 上的一动点，连接 PB、PE，当点 P 在 AC 上运动时，PBE 周长的最小值是 【答案】6 【解析】 考点：1轴对称最短路线问题；2正方形的性质；3最值问题；4动点型 5（2017 贵州省贵阳市）如图，在矩形纸片
14、ABCD 中，AB=2，AD=3，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 AD 边 上的一个动点，将AEF 沿 EF 所在直线翻折，得到AEF，则 AC 的长的最小值是 【答案】101 【解析】 考点：1翻折变换（折叠问题）；2矩形的性质；3动点型；4最值问题；5综合题 6.（2016 山东省枣庄市）如图，把EFP 放置在菱形 ABC D 中，使得顶点 E，F，P 分别在线段 AB，AD， AC 上，已知 EP=FP=6，EF=6 3，BAD=60 ，且 AB6 3 （1）求EPF 的大小； （2）若 AP=10，求 AE+AF 的值； （3）若EFP 的三个顶点 E、F、P 分别在线段 AB、
15、AD、AC 上运动，请直接写出 AP 长的最大值和最小值 【答案】（1）120 ；（2）10 3；（3）AP 的最大值为 12，AP 的最小值为 6 【分析】（1）根据锐角三角函数求出FPG，最后求出EPF （2）先判断出 RtPMERtPNF，再根据锐角三角函数求解即可，（3）根据运动情况及菱形的性质判断 求出 AP 最大和最小值 【解析】（1）过点 P 作 PGEF 于点 G，如图 1 所示 PE=PF=6，EF6 3，FG=EG=3 3，FPG=EPG= 1 2 EPF 在 RtFPG 中，sinFPG= FG PF = 3 3 6 = 3 2 ，FPG=60 ，EPF=120 ； （2
16、）过点 P 作 PMAB 于点 M，作 PNAD 于点 N，如图 2 所示 （3） 如图， 当EFP 的三个顶点分别在 AB， AD， AC 上运动， 点 P 在 P1， P 之间运动， P1O=PO=3， AO=9， AP 的最大值为 12，AP 的最小值为 6 【点评】此题是菱形的性质题，主要考查了菱形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数，解本题的关 键是作出辅助线 考点：1菱形的性质；2最值问题；3动点型 7（2016 山东省枣庄市）如图，已知抛物线 2 yaxbxc（a0）的对称轴为直线 x=1，且抛物线经 过 A（1，0），C（0，3）两点，与 x 轴交于点 B （1）若直线 y=
17、mx+n 经过 B、C 两点，求直线 BC 和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴 x=1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求出点 M 的 坐标； （3）设点 P 为抛物线的对称轴 x=1 上的一个动点，求使BPC 为直角三角形的点 P 的坐标 【答案】（1）y=x+3， 2 23yxx ；（2）M（1，2）；（3）P（1，2）或（1，4）或（1， 317 2 ） 或（1， 317 2 ） 【分析】（1）先把点 A，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到 a 和 b，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴 方程可得 a 和 b 的关系，再联立得到方程组，解方程组
18、，求出 a，b，c 的值即可得到抛物线解析式；把 B、 C 两点的坐标代入直线 y=mx+n，解方程组求出 m 和 n 的值即可得到直线解析式； （2）设直线 BC 与对称轴 x=1 的交点为 M，则此时 MA+MC 的值最小把 x=1 代入直线 y=x+3 得 y 的 值，即可求出点 M 坐标； （3）设 P （1，t） ， 又因为 B （3，0） ， C （0，3） ，所以可得 2 BC=18， 2 PB= 2 4t， 2 PC= 2 610tt， 再分三种情况分别讨论求出符合题意 t 值即可求出点 P 的坐标 【解析】（1）依题意得： 1 2 0 3 b a abc c - ，解得： 1
19、 2 3 a b c ，抛物线解析式为 2 23yxx 对称轴为 x=1， 且抛物线经过 A （1， 0） ， 把 B （3， 0） 、 C （0， 3） 分别代入直线 y=mx+n， 得 30 3 mn n ， 解得： 1 3 m n ，直线 y=mx+n 的解析式为 y=x+3； （3）设 P（1，t），又B（3，0），C（0，3）， 2 BC=18， 2 PB= 22 ( 1 3)t = 2 4t， 2 PC= 22 ( 1)(3)t= 2 610tt； 若点 B 为直角顶点，则 222 BCPBPC，即： 22 184610ttt解之得：t=2； 若点 C 为直角顶点，则 222 BC
20、PCPB，即： 22 186104ttt，解之得：t=4； 若点 P 为直角顶点，则 222 PBPCBC，即： 22 610418ttt，解之得： 1 317 2 t ， 2 317 2 t ； 综上所述 P 的坐标为（1，2）或（1，4）或（1， 317 2 ） 或（1， 317 2 ） 【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、 利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题 考点：1二次函数综合题；2最值问题；3分类讨论；4动点型；5压轴题 8.（2017 山东省烟台市）如图 1，抛物线 2 2yaxbx与 x
21、轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，AB=4， 矩形 OBDC 的边 CD=1，延长 DC 交抛物线于点 E （1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，点 P 是直线 EO 上方抛物线上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线交直线 EO 于点 G，作 PH EO，垂足为 H设 PH 的长为 l，点 P 的横坐标为 m，求 l 与 m 的函数关系式（不必写出 m 的取值范围）， 并求出 l 的最大值； （3）如果点 N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点 M，使得以 M，A，C，N 为顶点的四边形 是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由
22、 【答案】（1） 2 24 2 33 yxx ；（2）l= 2 2149 2 () 3448 m，l 的最大值为 49 2 48 ；（3）M 的坐 标为（2，10 3 ）或（4，10 3 ）或（2，2） 【解析】 （3）分 AC 为边和 AC 为对角线，当 AC 为边时，过 M 作对称轴的垂线，垂足为 F，则可证得MFN AOC，可求得 M 到对称轴的距离，从而可求得 M 点的横坐标，可求得 M 点的坐标；当 AC 为对角线时，设 AC 的中点为 K，可求得 K 的横坐标，从而可求得 M 的横坐标，代入抛物线解析式可求得 M 点坐标 试题解析：（1）矩形 OBDC 的边 CD=1，OB=1，A
23、B=4，OA=3，A（3，0），B（1，0），把 A、B 两点坐标代入抛物线解析式可得： 20 9320 ab ab ，解得： 2 3 4 3 a b ，抛物线解析式为 2 24 2 33 yxx ； （2）在 2 24 2 33 yxx 中，令 y=2 可得 2= 2 24 2 33 xx，解得 x=0 或 x=2，E（2，2）， 直线 OE 解析式为 y=x，由题意可得 P（m， 2 24 2 33 mm），PGy 轴，G（m，m），P 在直线 OE 的上方，PG= 2 24 2 33 mm（m）= 2 21 2 33 mm= 2 2149 () 3424 m，直线 OE 解析式为 y=x
24、， PGH=COE=45 ， l= 2 2 PG= 2 2 2 2149 () 3424 m= 2 2149 2 () 3448 m， 当 m= 1 4 时，l 有最大值，最大值为 49 2 48 ； 抛物线对称轴为 x=1，设 M 点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得 x=2 或 x=4，当 x=2 时，y=10 3 ， 当 x=4 时，y=10 3 ，M 点坐标为（2，10 3 ）或（4，10 3 ）； 当 AC 为对角线时，设 AC 的中点为 K，A（3，0），C（0，2），K（ 3 2 ，1），点 N 在对称 轴上，点 N 的横坐标为1，设 M 点横坐标为 x，x+（1）=2 （
25、 3 2 ）=3，解得 x=2，此时 y=2， M（2，2）； 综上可知点 M 的坐标为（2，10 3 ）或（4，10 3 ）或（2，2） 考点：1二次函数综合题；2二次函数的最值；3最值问题；4存在型；5分类讨论；6动点型；7压 轴题 9.（2016 四川省眉山市）已知如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B、C 分别为坐标轴上上的三个点， 且 OA=1，OB=3，OC=4 （1）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （2）在平面直角坐标系 xOy 中是否存在一点 P，使得以以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形？若存在， 请求出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由； （3
26、）若点 M 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PMAM|的最大值时点 M 的坐标，并直 接写出|PMAM|的最大值 【答案】（1） 2 39 3 44 yxx ；（2）存在，P（5，3）；（3）M（1，0）或（5， 9 2 ）时，|PM AM|的值最大，为 5 【分析】（1）设抛物线的解析式为 2 yaxbxc，把 A，B，C 三点坐标代入求出 a，b，c 的值，即可 确定出所求抛物线解析式； （2）在平面直角坐标系 xOy 中存在一点 P，使得以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形，理由为：根据 OA，OB，OC 的长，利用勾股定理求出 BC 与 AC 的长相等，只有当 B
27、P 与 AC 平行且相等时，四边形 ACBP 为菱形，可得出 BP 的长，由 OB 的长确定出 P 的纵坐标，确定出 P 坐标，当点 P 在第二、三象限时，以点 A、B、C、P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形； （3）利用待定系数法确定出直线 PA 解析式，当点 M 与点 P、A 不在同一直线上时，根据三角形的三边关 系|PMAM|PA，当点 M 与点 P、A 在同一直线上时，|PMAM|=PA，当点 M 与点 P、A 在同一直线上时， |PMAM|的值最大，即点 M 为直线 PA 与抛物线的交点，联立直线 AP 与抛物线解析式，求出当|PMAM| 的最大值时 M 坐标，确定出|PM
28、AM|的最大值即可 【解析】 （1） 设抛物线的解析式为 2 yaxbxc， A （1， 0） 、 B （0， 3） 、 C （4， 0） ， 0 3 1640 abc c abc ， 解得：a= 3 4 ，b= 9 4 ，c=3，经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为 2 39 3 44 yxx ； 点 P 到 x 轴的距离等于 OB，点 P 的坐标为（5，3），当点 P 在第二、三象限时，以点 A、B、C、P 为顶 点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，则当点 P 的坐标为（5，3）时，以点 A、B、C、P 为顶点的四 边形为菱形； 的值最大，即点 M 为直线 PA 与抛物线的交点，解方
29、程组： 2 33 44 39 3 44 yx yxx ，得 1 0 x y 或 5 9 2 x y ， 点 M 的坐标为（1，0）或（5， 9 2 ）时，|PMAM|的值最大，此时|PMAM|的最大值为 5 【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的性质，待定系数法确定抛物线解析式、一 次函数解析式，菱形的判定，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键 考点：1二次函数综合题；2存在型；3动点型；4最值问题；5压轴题 10. （2016 广西梧州市）如图，抛物线 2 4yaxbx（a0）与 x 轴交于 A（4，0）、B（1，0）两点， 过点 A 的直线 y=x+4 交
30、抛物线于点 C （1）求此抛物线的解析式； （2）在直线 AC 上有一动点 E，当点 E 在某个位置时，使BDE 的周长最小，求此时 E 点坐标； （3）当动点 E 在直线 AC 与抛物线围成的封闭线 ACBDA 上运动时，是否存在使BDE 为直角三 角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的 E 点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1） 2 34yxx；（2）E（ 32 13 ， 20 13 ）；（3）E（3，1）或（13 4 ， 51 16 ） 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式； （2）先判断出周长最小时 BEAC，即作点 B 关于直线 AC 的对称点 F，连接 DF，交
31、AC 于点 E，联立方 程组即可； （3）三角形 BDE 是直角三角形时，由于 BDBG，因此只有DBE=90 或BDE=90 ，两种情况，利用直 线垂直求出点 E 坐标 （2） 如图1， 作点B关于直线AC的对称点F， 连接DF交AC于点E， 由 （1） 得， 抛物线解析式为 2 34yxx ，D（0，4），点 C 是直线 y=x+4与抛物线的交点，联立得： 2 34 4 yxx yx ，解得， 4 0 x y （舍）或 2 6 x y ，C（2，6），A（4，0），直线 AC 解析式为 y=x+4，直线 BFAC， 且 B（1，0），直线 BF 解析式为 y=x+1，设点 F（m，m+1）
32、，G（ 1 2 m ， 1 2 m ），点 G 在直 线 AC 上， 11 4 22 mm ，m=4，F（4，5），D（0，4），直线 DF 解析式为 9 4 4 yx， 直线 AC 解析式为 y=x+4，直线 DF 和直线 AC 的交点 E（ 32 13 ， 20 13 ）； 当BDE=90 时， BEBD 交 AC 于 B，直线 BE 解析式为 11 44 yx，点 E 在直线 AC：y=x+4 的图象上，E（3，1）； 当BDE=90 时， BEBD交AC于D， 直线BE的解析式为 1 4 4 yx， 点E在抛物线 2 34yxx 上，直线 BE 与抛物线的交点为（0，4）和（13 4 ， 51 16 ），E（13 4 ， 51 16 ），即：满足条件的点 E 的坐标为 E（3，1）或（13 4 ， 51 16 ） 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，极值，对称性，直角三角形的性质，解本题的 关键是求函数图象的交点坐标 考点：1二次函数综合题；2最值问题；3动点型；4存在型；5分类讨论；6压轴题
