1、专题专题 05 05 扇形面积的计算扇形面积的计算 一选择题 1如图，在矩形 ABCD 中，AB4，AD2，分别以点 A、C 为圆心，AD、CB 为半径画弧，交 AB 于点 E， 交 CD 于点 F，则图中阴影部分的面积是（ ） A42 B8 C82 D84 解：矩形 ABCD， ADCB2， S阴影S矩形S半圆2 42282， 故选：C 2如图所示，O 是以坐标原点 O 为圆心，4 为半径的圆，点 P 的坐标为（，），弦 AB 经过点 P， 则图中阴影部分面积的最小值等于（ ） A24 B48 C D 解：由题意当 OPAB 时，阴影部分的面积最小， P（，）， OP2，OAOB4， PAP
2、B2， tanAOPtanBOP， AOPBOP60 ， AOB120 ， S阴S扇形OABS AOB42， 故选：D 3如图，点 C 是以 AB 为直径的半圆 O 的三等分点，AC2，则图中阴影部分的面积是（ ） A B2 C D 解：连接 OC， 点 C 是以 AB 为直径的半圆 O 的三等分点， ACB90 ，AOC60 ，COB120 ， ABC30 ， AC2， AB2AO4，BC2， OCOB2， 阴影部分的面积S扇形S OBC 2 1， 故选：A 4运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB 是O 的直径，CD、EF 是O 的弦，且 ABCDEF， AB10，CD6，EF8则图中
3、阴影部分的面积是（ ） A B10 C24+4 D24+5 解：作直径 CG，连接 OD、OE、OF、DG CG 是圆的直径， CDG90 ，则 DG8， 又EF8， DGEF， ， S扇形ODGS扇形OEF， ABCDEF， S OCDS ACD，S OEFS AEF， S阴影S扇形OCD+S扇形OEFS扇形OCD+S扇形ODGS半圆52 故选：A 5如图，在等边 ABC 中，AB2，以点 A 为圆心，AB 为半径画，使得BAD105 ，过点 C 作 CEAD，则图中阴影部分的面积为（ ） A2 B1 C22 D2+1 解：等边 ABC 中，BAD105 ， CAE105 60 45 ， C
4、EAD，ACAB2， AECE2， S ACE2， S扇形ACD， 阴影部分的面积为 S扇形ACDS ACE2， 故选：A 6如图，O 的直径 AB2，C 是弧 AB 的中点，AE，BE 分别平分BAC 和ABC，以 E 为圆心，AE 为 半径作扇形 EAB， 取 3，则阴影部分的面积为（ ） A 4 B7 4 C6 D 解：O 的直径 AB2， C90 ， C 是弧 AB 的中点， ， ACBC， CABCBA45 ， AE，BE 分别平分BAC 和ABC， EABEBA22.5 ， AEB180 （BAC+CBA）135 ， 连接 EO， EABEBA， EAEB， OAOB， EOAB，
5、 EO 为 Rt ABC 内切圆半径， S ABC（AB+AC+BC）EOACBC，EO1， AE2AO2+EO212+（1）242， 扇形 EAB 的面积（2）， ABE 的面积 ABEO1， 弓形 AB 的面积扇形 EAB 的面积 ABE 的面积， 阴影部分的面积O 的面积弓形 AB 的面积（） 4， 故选：A 7如图，在扇形 AOB 中，AOB90 ，点 C 为 OA 的中点，CEOA 交弧 AB 于点 E，以点 O 为圆心， OC 的长为半径作弧 CD 交 OB 于点 D，若 OA2，则阴影部分的面积为（ ） A B C+ D 解：连接 OE、AE， 点 C 为 OA 的中点， CEO
6、30 ，EOC60 ， AEO 为等边三角形， S扇形AOE， S阴影S扇形AOBS扇形COD（S扇形AOES COE） （ 1） + + 故选：C 8如图，在扇形 AOB 中，AOB90 ，点 D 在 OB 上，点 E 在 OB 的延长线上，当正方形 CDEF 的边长为 2时，则阴影部分的面积为（ ） A24 B48 C28 D44 解：连接 OC，如图所示： 在扇形 AOB 中AOB90 ， COD45 ， ODCD， OC4， 阴影部分的面积扇形 BOC 的面积 ODC 的面积 （2）224 故选：A 9如图，在 Rt ABC 中，ABC90 ，AB6cm，BC8cm，分别以AC 的长为
7、半径作圆，将 Rt ABC 截去两个扇形，则余下阴影部分的面积为（ ）cm2 A B24 C24 D24 解：Rt ABC 中，ABC90 ，AB6cm，BC8cm， AC10cm， ABC 的面积是： ABBC 8 624cm2 S阴影部分 6 8cm2 故阴影部分的面积是：24cm2 故选：D 10如图，在 ABC 中，CACB，ACB90 ，AB2，点 D 为 AB 的中点，以点 D 为圆心作圆心角为 90 的扇形 DEF，点 C 恰在弧 EF 上，则图中阴影部分的面积为（ ） A B C D 解：连接 CD，作 DMBC，DNAC CACB，ACB90 ，点 D 为 AB 的中点， D
8、CAB1，四边形 DMCN 是正方形，DM 则扇形 FDE 的面积是： CACB，ACB90 ，点 D 为 AB 的中点， CD 平分BCA， 又DMBC，DNAC， DMDN， GDHMDN90 ， GDMHDN， 则在 DMG 和 DNH 中， ， DMGDNH（ASA）， S四边形DGCHS四边形DMCN 则阴影部分的面积是： 故选：D 二填空题 11如图，正方形 ABCD 中，AB2，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90 得到线段 CE，线段 BD 绕点 B 顺 时针旋转 90 得到线段 BF，连接 EF，则图中阴影部分的面积是 解： 过 F 作 FMBE 于 M，则FMEFMB9
9、0 ， 四边形 ABCD 是正方形，AB2， DCB90 ，DCBCAB2，DBC45 ， 由勾股定理得：BD2， 将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90 得到线段 CE，线段 BD 绕点 B 顺时针旋转 90 得到线段 BF， DCE90 ，BFBD2，FBE90 45 45 ， BMFM2，ME2， 阴影部分的面积 SS BCD+S BFE+S扇形DCES扇形DBF + 6， 故答案为：6 12如图，O 的半径是 4，圆周角C60 ，点 E 时直径 AB 延长线上一点，且DEB30 ，则图中阴 影部分的面积为 解：连接 OD， C60 ， AOD2C120 ， DOB60 ， DEB30
10、 ， ODE90 ， OD4， OE2OD8，DEOD4， 阴影部分的面积是 SS ODES扇形DOB8， 故答案为：8 13 如图， Rt ABC 中， B90 ， AB6， BC8， 将Rt ABC 绕点 C按顺时针方向旋转 90 ， 得到 Rt ABC， 则边 AB 扫过的面积（图中阴影部分）是 解：B90 ，AB6，BC8， AC10， 边 AB 扫过的面积9， 故答案为：9 14 如图， 在 Rt AOB 中， AOB90 ， OA3， OB2， 将 Rt AOB 绕点 O 顺时针旋转 90 后得 Rt FOE， 将线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 90 后得线段 ED，分别以 O，
11、E 为圆心，OA、ED 长为半径画弧 AF 和弧 DF，连接 AD，则图中阴影部分面积是 解：作 DHAE 于 H， AOB90 ，OA3，OB2， AB ， 由旋转的性质可知，OEOB2，DEEFAB， DHEBOA， DHOB2， 阴影部分面积 ADE 的面积+ EOF 的面积+扇形 AOF 的面积扇形 DEF 的面积 5 2+ 2 3+ 8， 故答案为：8 15如图，在边长为 6 的菱形 ABCD 中，DAB60 ，以点 D 为圆心，菱形的高 DF 为半径画弧，交 AD 于点 E，交 CD 于点 G，则图中阴影部分的面积是 解：四边形 ABCD 是菱形，DAB60 ， ADAB6，ADC
12、180 60 120 ， DF 是菱形的高， DFAB， DFADsin6063， 图中阴影部分的面积菱形 ABCD 的面积扇形 DEFG 的面积6 318 9 故答案为：189 16如图，在菱形 ABCD 中，B60 ，AB2，扇形 AEF 的半径为 2，圆心角为 60 ，则阴影部分的面积 是 解：四边形 ABCD 是菱形， BD60 ，ABADDCBC2， BCDDAB120 ， 1260 ， ABC、 ADC 都是等边三角形， ACAD2， AB2， ADC 的高为，AC2， 扇形 BEF 的半径为 1，圆心角为 60 ， 4+560 ，3+560 ， 34， 设 AF、DC 相交于 H
13、G，设 BC、AE 相交于点 G， 在 ADH 和 ACG 中， ， ADHACG（ASA）， 四边形 AGCH 的面积等于 ADC 的面积， 图中阴影部分的面积是：S扇形AEFS ACD 2， 故答案为： 三解答题 17如图，已知O 是 ABC 的外接圆，AC 是直径，A30 ，BC2，点 D 是 AB 的中点，连接 DO 并 延长交O 于点 P，过点 P 作 PFAC 于点 F （1）求劣弧 PC 的长；（结果保留 ） （2）求阴影部分的面积（结果保留 ） 解：（1）点 D 是 AB 的中点，PD 经过圆心， PDAB， A30 ， POCAOD60 ，OA2OD， PFAC， OPF30
14、 ， OFOP， OAOC，ADBD， BC2OD， OABC2， O 的半径为 2， 劣弧 PC 的长； （2）OFOP， OF1， PF ， S阴影S扇形S OPF 1 18如图，在 Rt ABC 中，ACB90 ，以直角边 BC 为直径的O 交斜边 AB 于点 D点 E 为边 AC 的 中点，连接 DE 并延长交 BC 的延长线于点 F （1）求证：直线 DEO 的切线； （2）若B30 ，AC4，求阴影部分的面积 （1）证明：连接 OD、CD， OCOD， OCDODC， 又BC 是O 的直径， BDC90 ， ACD 是直角三角形， 又点 E 是斜边 AC 的中点， ECED， EC
15、DEDC 又ECD+OCDACB90 度， EDC+ODCODE90 ， 直线 DE 是O 的切线； （2）解：由（1）已证：ODF90 ， B30 ， DOF60 ， F30 ， 在 Rt ABC 中，AC4， BC 4， ， 在 Rt ODF 中， 阴影部分的面积为： 19如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，连接 AC，BC （1）求证：ABCD； （2）若 CD4，B60 ，求扇形 OAC（阴影部分）的面积 （1）证明：AB 是O 的直径，弦 CDAB， ， ABCD； （2）解：OCOB，B60 ， BOC 为等边三角形， BOC60 ， AOC120 ， AB 是O 的直径，弦 CDAB， CECD2 ， 在 Rt COE 中，OC4， 扇形 OAC（阴影部分）的面积 20如图，已知 AB，CD 是O 的两条直径，AECD 交O 于点 E，连结 BE 交 CD 于点 F （1）求证：弧 BD弧 ED； （2）若O 的半径为 6，AE6，求图中阴影部分的面积 （1）证明：AB，CD 是O 的两条直径， AOCBOD， ， AECD， ， ； （2）解：连接 OE，作 OHAE 于 H， 则 AHHEAE3， cosOAH ， OAH30 ， OHOA3，AOH60 ， AOE120 ， 图中阴影部分的面积 6 3129
