2021年江西省景德镇市乐平市四校中考数学一模试卷（含答案解析）

1、2021 年江西省景德镇市乐平市四校中考数学一模试卷年江西省景德镇市乐平市四校中考数学一模试卷 一选择题（每题一选择题（每题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 1北京与巴黎的时差为7 时（负数表示同一时刻北京晚的时数） ，如果北京时间为 1 月 24 日 8 时，那么 巴黎时间为（ ） A1 月 25 日 1 时 B1 月 24 日 1 时 C1 月 24 日 15 时 D1 月 24 日 3 时 2下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3下列计算正确的是（ ） Aaa2a2 Ba2+a4a8 C （ab）3ab3 Da3aa2 4不等式组的解集是（ ）

2、A1x2 B2x1 Cx1 或 x2 D2x1 5如图，下面哪个条件能判断 DEBC 的是（ ） A12 B4C C1+3180 D3+C180 6为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，随机对居住在该小区的 40 名居民一周的体育锻炼时间进 行了统计，结果如表： 锻炼时间（时） 3 4 5 6 7 人数（人） 6 13 14 5 2 这 40 名居民一周体育锻炼时间的众数和中位数是（ ） A14，5 B14，6 C5，5 D5，6 二填空题（满分二填空题（满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 7目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是 5 纳米，而我国能制造芯片的最小工艺水平是 16

3、纳米，已知 1 纳米10 9 米，用科学记数法将 16 纳米表示为 米 8 中国魏晋时期的数学家刘徽首创 “割圆术” ， 奠定了中国圆周率计算在世界上的领先地位 刘微提出： “割 之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣” ，由此求得圆周率 的近 似值如图，设半径为 r 的圆内接正 n 边形的周长为 C，圆的直径为 d，当 n6 时，3，则 当n12时， （结果精确到0.01， 参考数据： sin15cos750.259， sin75cos15 0.966） 9如图，在正ABC 中，点 D 在边 AB 上，点 E 在边 AC 上，将ADE 折叠，使点 A 落在 BC

4、边上的点 F 处，则BDF+CEF 10已知，则 xy 11设 m、n 是方程 x2+x10010 的两个实数根，则 m2+2m+n 的值为 12如图，在O 中，AC 为直径，过点 O 作 ODAB 于点 E，交O 于点 D，连接 BC，若 AB，ED ，则 BC 三解答题三解答题 13 （1）计算（） 1（2020）0 +|1|； （2）先化简，再求值（1+），其中 x2 14如图，ADBC，BDCD，点 C 在 AE 的垂直平分线上，若 AB5cm，BD3cm，求 BE 的长 15一个不透明袋子中有 1 个红球，1 个绿球和 n 个白球，这些球除颜色外无其他差别， （1）当 n1 时，从袋

5、中随机摸出 1 个球，摸到红球和摸到白球的可能性 （填“相同”或“不相 同” ） ； （2） 从袋中随机摸出一个球， 记录其颜色， 然后放回， 大量重复该实验， 发现摸到绿球的频率稳定于， 则 n 的值是 ； （3）在（2）的情况下，如果一次摸出两个球，请用树状图或列表法求摸出的两个球颜色不同的概率 16 请用无刻度直尺完成下列作图， 不写画法， 保留画图痕迹 （用虚线表示画图过程， 实线表示画图结果） （1）如图 1，在ABCD 中，E 是边 AD 上一点，在边 BC 上画点 F，使 CFAE； （2）如图 2，ABC 内接于O，D 是的中点，画ABC 的中线 AE； （3）如图 3，在AB

6、CD 中，E 是边 AD 上一点，且 DEDC，画BAD 的平分线 AF； （4）如图 4，BC 是O 的直径，A 是O 内一点，画ABC 的高 AD 17如图，已知正方形 ABCD 的边长为 8，点 E 为 BC 的中点，连接 AE，过 E 作 EFAE 交 CD 于点 F， 连接 AF，求 AF 的长 18如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 的顶点 A、B 在函数 y（x0）的图象上，顶点 C、D 在函数 y（x0）的图象上，其中 0mn，对角线 BDy 轴，且 BDAC 于点 P已知点 B 的横 坐标为 4 （1）当 m4，n20 时， 点 B 的坐标为 ，点 D 的坐标为 ，B

7、D 的长为 若点 P 的纵坐标为 2，求四边形 ABCD 的面积 若点 P 是 BD 的中点，请说明四边形 ABCD 是菱形 （2）当四边形 ABCD 为正方形时，直接写出 m、n 之间的数量关系 19我区的数学爱好者申请了一项省级课题中学学科核心素养理念下渗透数学美育的研究 ，为了了 解学生对数学美的了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，按照“理解、了解、不太了解、不知道” 四个类型，课题组绘制了如图两幅不完整的统计图，请根据统计图中提供的信息，回答下列问题： （1）本次调查共抽取了多少名学生？并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中， “理解”所占扇形的圆心角是多少度？ （3）我区七年级

8、大约 8000 名学生，请估计“理解”和“了解”的共有学生多少名？ 20甲、乙两地相距 300 千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发 1.5 小时， 如图，线段 OA 表示货车离甲地的距离 y（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系；折线 BCD 表示轿 车离甲地的距离 y（千米）与时间 x（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题： （1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离； （2）求线段 CD 对应的函数表达式； （3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距 15 千米 21如图，在 RtABC 中，ACB90，AB10，AC6，点 D 为 BC 边上的一个

9、动点，以 CD 为直径 的O 交 AD 于点 E，过点 C 作 CFAB，交O 于点 F，连接 CE、CF、EF （1）当CFE45时，求 CD 的长； （2）求证：BACCEF； （3）是否存在点 D，使得CFE 是以 EF 为腰的等腰三角形，若存在，求出此时 CD 的长；若不存在， 试说明理由 22如图，在平面直角坐标系中，ABOC 的顶点 A（0，2） ，点 B（4，0） ，点 O 为坐标原点，点 C 在第 一象限，若将AOB 沿 x 轴向右运动得到EFG（点 A、O、B 分别与点 E、F、G 对应） ，运动速度为每 秒 2 个单位长度，边 EF 交 OC 于点 P，边 EG 交 OA

10、于点 Q，设运动时间为 t（0t2）秒 （1）在运动过程中，线段 AE 的长度为 （直接用含 t 的代数式表示） ； （2）若 t1，求出四边形 OPEQ 的面积 S； （3）在运动过程中，是否存在四边形 OPEQ 为菱形？若存在，直接写出此时四边形 OPEQ 的面积；若 不存在，请说明理由 23在平面直角坐标系中，我们定义直线 yaxa 为抛物线 yax2+bx+c（a、b、c 为常数，a0）的“梦 想直线” ；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在 y 轴上的三角形为其“梦想三角形” 已知抛物线 y ax2+bx+c 与其“梦想直线”交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 x

11、轴负半轴交于点 C，tanABO ，B（1，0） ，点 A 横坐标为2，BC4 （1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标； （2）如图，点 M 为线段 CB 上一动点，将ACM 以 AM 所在直线为对称轴翻折，点 C 的对称点为 N， 若AMN 为该抛物线的“梦想三角形” ，求点 N 的坐标； （3）当点 E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点 F，使得以点 A、 C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 E、F 的坐标；若不存在，请说明理由 2021 年江西省景德镇市乐平市四校中考数学一模试卷年江西省景德镇市乐平市四校中考数学一模试卷 参考答案

12、与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（每题一选择题（每题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 1北京与巴黎的时差为7 时（负数表示同一时刻北京晚的时数） ，如果北京时间为 1 月 24 日 8 时，那么 巴黎时间为（ ） A1 月 25 日 1 时 B1 月 24 日 1 时 C1 月 24 日 15 时 D1 月 24 日 3 时 【分析】由于同一时刻北京比巴黎晚的时数为 7 时，则巴黎的时间北京的时间晚的时数 【解答】解：由题意得，871 则巴黎时间为 1 月 24 日 1 时 故选：B 2下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形

13、以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； C是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意 故选：A 3下列计算正确的是（ ） Aaa2a2 Ba2+a4a8 C （ab）3ab3 Da3aa2 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，积的乘方以及同底数幂的除法法则逐一判 断即可 【解答】解：aa2a3，故选项 A 不合题意； a2与 a4不是同类项，所以不能合并，故选项 B 不合题意； （ab

14、）3a3b3，故选项 C 不合题意； a3aa2，正确，故选项 D 符合题意 故选：D 4不等式组的解集是（ ） A1x2 B2x1 Cx1 或 x2 D2x1 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集 【解答】解：， 由得，x2， 由得，x1， 故此不等式组的解集为：1x2 故选：A 5如图，下面哪个条件能判断 DEBC 的是（ ） A12 B4C C1+3180 D3+C180 【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行 判断即可 【解答】解：当12 时，EFAC； 当4C 时，EFAC； 当1+3180时，DEBC； 当3+C180

15、时，EFAC； 故选：C 6为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，随机对居住在该小区的 40 名居民一周的体育锻炼时间进 行了统计，结果如表： 锻炼时间（时） 3 4 5 6 7 人数（人） 6 13 14 5 2 这 40 名居民一周体育锻炼时间的众数和中位数是（ ） A14，5 B14，6 C5，5 D5，6 【分析】根据中位数、众数的意义，分别求出这组数据的中位数、众数后，再进行选择即可 【解答】解：一周锻炼 5 小时出现的次数最多，是 14 人次，因此众数是 5 小时； 将这 40 人的锻炼时间从小到大排列后，处在第 20、21 位的两个数都是 5 小时，因此中位数是 5 小时； 故

16、选：C 二填空题（满分二填空题（满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 7目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是 5 纳米，而我国能制造芯片的最小工艺水平是 16 纳米，已知 1 纳米10 9 米，用科学记数法将 16 纳米表示为 1.610 8 米 【分析】由 1 纳米10 9 米，可得出 16 纳米1.610 8 米，此题得解 【解答】解：1 纳米10 9 米， 16 纳米1.610 8 米 故答案为：1.610 8 8 中国魏晋时期的数学家刘徽首创 “割圆术” ， 奠定了中国圆周率计算在世界上的领先地位 刘微提出： “割 之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无

17、所失矣” ，由此求得圆周率 的近 似值如图，设半径为 r 的圆内接正 n 边形的周长为 C，圆的直径为 d，当 n6 时，3，则 当 n12 时， 3.11 （结果精确到 0.01， 参考数据： sin15cos750.259， sin75cos15 0.966） 【分析】圆的内接正十二边形被半径分成顶角为 30的十二个等腰三角形，作辅助线构造直角三角形， 根据中心角的度数以及半径的大小，求得 l24rsin15，d2r，进而得到答案 【解答】解：如图，圆的内接正十二边形被半径分成 12 个如图所示的等腰三角形，其顶角为 30，即 AOB30， 作 OHAB 于点 H，则AOH15， AOBO

18、r， RtAOH 中，sinAOH，即 sin15， AHrsin15，AB2AH2rsin15， l122rsin1524rsin15， 又d2r， 故答案为：3.11 9如图，在正ABC 中，点 D 在边 AB 上，点 E 在边 AC 上，将ADE 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，则BDF+CEF 120 【分析】先由正三角形的性质得ABC60，再由折叠，得DFEA60，再根据三角 形内角和及“一线三等角”可得结论 【解答】解：ABC 为正三角形 ABC60 折叠 ADEFDE DFEA60 B+BDF+BFD180，DFE+BFD+CFE180 BDF+BFD120，BFD

19、+CFE120 BDFCFE CFE+CEF+C180 CFE+CEF120 BDF+CEF120 故答案为：120 10已知，则 xy 1 【分析】方程组两个方程左右两边相减即可求出所求 【解答】解：， 得：xy1， 故答案为：1 11设 m、n 是方程 x2+x10010 的两个实数根，则 m2+2m+n 的值为 1000 【分析】由于 m、n 是方程 x2+x10010 的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到 m+n1，并 且 m2+m10010，然后把 m2+2m+n 可以变为 m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果 【解答】解：m、n 是方程 x2+x10010 的两个实数根

20、， m+n1， 并且 m2+m10010， m2+m1001， m2+2m+nm2+m+m+n100111000 故答案为：1000 12如图，在O 中，AC 为直径，过点 O 作 ODAB 于点 E，交O 于点 D，连接 BC，若 AB，ED ，则 BC 【分析】设 OAODr，在 RtAOE 中，根据 AO2OE2+AE2，构建方程求出 r，再利用三角形的中位 线定理即可解决问题 【解答】解：ODAB， AEEBAB， 设 OAODr， 在 RtAOE 中，AO2OE2+AE2， r2（）2+（r）2， r， OE， OAOC，AEEB， BC2OE， 故答案为 三解答题三解答题 13 （

21、1）计算（） 1（2020）0 +|1|； （2）先化简，再求值（1+），其中 x2 【分析】 （1）先根据负整数指数幂、零次幂、算术平方根和绝对值的化简法则化简，再按照实数的加减 运算计算即可； （2）先将原式括号内的部分通分、除法变成乘法同时进行因式分解，再约分化简，然后将 x2 代入计 算即可得出答案 【解答】解： （1） （） 1（2020）0 +|1| 412+1 ； （2） （1+） ， 将 x2 代入可得：原式 14如图，ADBC，BDCD，点 C 在 AE 的垂直平分线上，若 AB5cm，BD3cm，求 BE 的长 【分析】因为 ADBC，BDDC，点 C 在 AE 的垂直平分

22、线上，由垂直平分线的性质得 ABACCE， 即可得到结论 【解答】解：ADBC，BDDC， ABAC； 又点 C 在 AE 的垂直平分线上， ACEC， ABACCE5； BDCD3， BEBD+CD+CE3+3+511cm 15一个不透明袋子中有 1 个红球，1 个绿球和 n 个白球，这些球除颜色外无其他差别， （1）当 n1 时，从袋中随机摸出 1 个球，摸到红球和摸到白球的可能性 相同 （填“相同”或“不 相同” ） ； （2） 从袋中随机摸出一个球， 记录其颜色， 然后放回， 大量重复该实验， 发现摸到绿球的频率稳定于， 则 n 的值是 2 ； （3）在（2）的情况下，如果一次摸出两个

23、球，请用树状图或列表法求摸出的两个球颜色不同的概率 【分析】 （1）n1，袋子中有 1 个红球、1 个绿球和 1 个白球，则从袋中随机摸出 1 个球，摸到红球与 摸到白球的概率都为； （2）利用频率估计概率得到摸到红球的概率为 0.25，则根据概率公式得到0.25，然后解方程即 可； （3）画树状图展示所有可能的结果数，找出两次摸出的球颜色不同的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解： （1）当 n1 时，从袋中随机摸出 1 个球，摸到红球和摸到白球的可能性相同； 故答案为：相同； （2）利用频率估计概率得到摸到绿球的概率为 0.25， 则0.25，解得 n2， 经检验，n2 是分式方程的根

24、 故答案为 2； （3）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中两次摸出的球颜色不同的结果共有 10 种， 所以两次摸出的球颜色不同的概率 16 请用无刻度直尺完成下列作图， 不写画法， 保留画图痕迹 （用虚线表示画图过程， 实线表示画图结果） （1）如图 1，在ABCD 中，E 是边 AD 上一点，在边 BC 上画点 F，使 CFAE； （2）如图 2，ABC 内接于O，D 是的中点，画ABC 的中线 AE； （3）如图 3，在ABCD 中，E 是边 AD 上一点，且 DEDC，画BAD 的平分线 AF； （4）如图 4，BC 是O 的直径，A 是O 内一点，画ABC 的高 AD 【

25、分析】 （1）如图 1，连接 AC，BD 交于点 O，作直线 OE 交 BC 于 F，线段 CF 即为所求作 （2）如图 2，连接 OD 交 BC 于点 E，连接 AE，线段 AE 即为所求作 （3）如图 3，连接 AC，BD 交于点 O，作直线 OE 交 BC 于 F，作射线 AF 即可 （4） 如图 4， 延长 BA 交O 于 E， 延长 CA 交O 于 F， 连接 CE， BF， 延长 CE 交 BF 的延长线于点 T， 作直线 AT 交 BC 于点 D，线段 AD 即为所求作 【解答】解： （1）如图 1 中，线段 CF 即为所求作 （2）如图 2 中，线段 AE 即为所求作 （3）如

26、图 3 中，射线 AF 即为所求作 （4）如图 4 中，线段 AD 即为所求作 17如图，已知正方形 ABCD 的边长为 8，点 E 为 BC 的中点，连接 AE，过 E 作 EFAE 交 CD 于点 F， 连接 AF，求 AF 的长 【分析】证明ABEECF，可得，由此求出 CF，DF，再利用勾股定理求出 AF 即可 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ADCDBC8，DCB90， E 为 BC 的中点， BEEC4， EFAE， AEF90， AEB+FEC90，EAB+AEB90， BAECEF ABEECF， ， ， CF2， DFCDCF826， AF10 18如图，在平面直角

27、坐标系中，四边形 ABCD 的顶点 A、B 在函数 y（x0）的图象上，顶点 C、D 在函数 y（x0）的图象上，其中 0mn，对角线 BDy 轴，且 BDAC 于点 P已知点 B 的横 坐标为 4 （1）当 m4，n20 时， 点 B 的坐标为 （4，1） ，点 D 的坐标为 （4，5） ，BD 的长为 4 若点 P 的纵坐标为 2，求四边形 ABCD 的面积 若点 P 是 BD 的中点，请说明四边形 ABCD 是菱形 （2）当四边形 ABCD 为正方形时，直接写出 m、n 之间的数量关系 【分析】 （1）用待定系数法即可求解；四边形 ABCD 的面积ACBD，即可求解；证明四边 形 ABC

28、D 为平行四边形，而 BDAC，即可证明； （2）当四边形 ABCD 为正方形时，设 PAPBPCPDt（t0） ，求出点 A、B 的坐标，进而求解 【解答】解： （1）当 x4 时，y1， 点 B 的坐标为（4，1） ； 当 y2 时，2，解得：x2， 点 A 的坐标为（2，2） ； 当 n20 时，y，当 x4 时，y5，故点 D（4，5） ， BD514， 故答案为（4，1） ； （4，5） ；4； BDy 轴，BDAC，点 P 的纵坐标为 2， A（2，2） ，C（10，2） AC8， 四边形 ABCD 的面积ACBD8416； 四边形 ABCD 为菱形，理由如下： 由得：点 B 的坐

29、标为（4，1） ，点 D 的坐标为（4，5） ， 点 P 为线段 BD 的中点， 点 P 的坐标为（4，3） 当 y3 时，3，解得：x， 点 A 的坐标为（，3） ； 当 y3 时，3，解得：x， 点 C 的坐标为（，3） PA4，PC4， PAPC PBPD， 四边形 ABCD 为平行四边形 又BDAC， 四边形 ABCD 为菱形； （2）四边形 ABCD 能成为正方形 当四边形 ABCD 为正方形时，设 PAPBPCPDt（t0） 当 x4 时，y， 点 B 的坐标为（4，） ， 点 A 的坐标为（4t，+t） 点 A 在反比例函数 y的图象上， （4t） （+t）m，化简得：t4， 点

30、 D 的纵坐标为+2t+2（4）8， 点 D 的坐标为（4，8） ， 4（8）n，整理，得：m+n32 即四边形 ABCD 能成为正方形，此时 m+n32 19我区的数学爱好者申请了一项省级课题中学学科核心素养理念下渗透数学美育的研究 ，为了了 解学生对数学美的了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，按照“理解、了解、不太了解、不知道” 四个类型，课题组绘制了如图两幅不完整的统计图，请根据统计图中提供的信息，回答下列问题： （1）本次调查共抽取了多少名学生？并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中， “理解”所占扇形的圆心角是多少度？ （3）我区七年级大约 8000 名学生，请估计“理解”和“

31、了解”的共有学生多少名？ 【分析】 （1）根据统计图中的数据可以求得本次抽取的学生数；补全条形统计图即可； （2）根据统计图中的数据可以求得“理解”所占扇形的圆心角为360108； （3）由 8000（40%+）5600（名）即可 【解答】解： （1）本次调查共抽取学生为：400（名） ， 不太了解的学生为：40012016020100（名） ， 补全条形统计图如下： （2） “理解”所占扇形的圆心角是：360108； （3）8000（40%+）5600（名） ， 所以“理解”和“了解”的共有学生 5600 名 20甲、乙两地相距 300 千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货

32、车晚出发 1.5 小时， 如图，线段 OA 表示货车离甲地的距离 y（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系；折线 BCD 表示轿 车离甲地的距离 y（千米）与时间 x（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题： （1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离； （2）求线段 CD 对应的函数表达式； （3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距 15 千米 【分析】 （1）根据函数图象中的数据，可以得到货车的速度和轿车到达乙地的时间，然后即可计算出轿 车到达乙地时，货车与甲地的距离； （2）根据函数图象中的数据，可以得到线段 CD 对应的函数表达式； （3）根据题意和函数图象中的数据，可以计

33、算出在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距 15 千 米 【解答】解： （1）由图象可得， 货车的速度为 300560（千米/小时） ， 则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是 604.5270（千米） ， 即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是 270 千米； （2）设线段 CD 对应的函数表达式是 ykx+b， 点 C（2.5，80） ，点 D（4.5，300） ， ， 解得， 即线段 CD 对应的函数表达式是 y110 x195（2.5x4.5） ； （3）当 x2.5 时，两车之间的距离为：602.58070， 7015， 在轿车行进过程，两车相距 15 千米时间是在 2.54.5 之

34、间， 由图象可得，线段 OA 对应的函数解析式为 y60 x， 则|60 x（110 x195）|15， 解得 x13.6，x24.2， 轿车比货车晚出发 1.5 小时，3.61.52.1（小时） ，4.21.52.7（小时） ， 在轿车行进过程，轿车行驶 2.1 小时或 2.7 小时，两车相距 15 千米， 答：在轿车行进过程，轿车行驶 2.1 小时或 2.7 小时，两车相距 15 千米 21如图，在 RtABC 中，ACB90，AB10，AC6，点 D 为 BC 边上的一个动点，以 CD 为直径 的O 交 AD 于点 E，过点 C 作 CFAB，交O 于点 F，连接 CE、CF、EF （1

35、）当CFE45时，求 CD 的长； （2）求证：BACCEF； （3）是否存在点 D，使得CFE 是以 EF 为腰的等腰三角形，若存在，求出此时 CD 的长；若不存在， 试说明理由 【分析】 （1）由等腰直角三角形的性质得出DACADC，则可得出 ACCD6； （2）由平行线的性质得出BFCB，由圆周角定理可得出答案； （3）分两种情况：当 EFCE 时，当 EFCF 时，由全等三角形的性质及勾股定理可得出答案 【解答】解： （1）CFE45，CFECDE， CDE45， ACB90， DAC45， DACADC， ACCD6； （2）证明：ACB90， BAC+B90， CFAB， BFCB

36、， 又FCBDEF， BAC+DEF90， CD 为O 的直径， CED90， DEF+CEF90， BACCEF； （3）如图 1，当 EFCE 时，则EFCECF， 四边形 CEDF 为圆内接四边形， ADGECF， 又CDECFE， ADGCDE， CD 为O 的直径， DFC90， FCAB， FGA90， FGAACD， ADAD， AGDACD（AAS） ， DGCD， 在 RtBDG 中，设 CDx， BG2+DG2BD2， 42+x2（8x）2， x3， 即 CD3； 如图 2，当 EFCF 时，则CEFECF， 四边形 CEDF 为圆内接四边形， ADGECF， 又CEFCD

37、FBDG， ADGBDG， FCAB，DFC90， FGA90， FGAACD， GDGD， BGDAGD（ASA） ， BDAD， 在 RtACD 中，设 CDx， CD2+AC2AD2， x2+62（8x）2， x， 即 CD； 综合以上可得 CD 的长为 3 或 22如图，在平面直角坐标系中，ABOC 的顶点 A（0，2） ，点 B（4，0） ，点 O 为坐标原点，点 C 在第 一象限，若将AOB 沿 x 轴向右运动得到EFG（点 A、O、B 分别与点 E、F、G 对应） ，运动速度为每 秒 2 个单位长度，边 EF 交 OC 于点 P，边 EG 交 OA 于点 Q，设运动时间为 t（0

38、t2）秒 （1）在运动过程中，线段 AE 的长度为 2t （直接用含 t 的代数式表示） ； （2）若 t1，求出四边形 OPEQ 的面积 S； （3）在运动过程中，是否存在四边形 OPEQ 为菱形？若存在，直接写出此时四边形 OPEQ 的面积；若 不存在，请说明理由 【分析】 （1）根据题意即可得到结论； （2）根据平移的性质得到 ABEG，OAEF，推出四边形 OPEQ 是平行四边形，得到 AEBG2，根 据全等三角形的性质得到 AQOQOA1，于是得到结论； （3）根据菱形的性质得到 EQOQ，根据相似三角形的性质得到 AQt，求得 OQ2t，列方程得到 t，于是得到结论 【解答】解：

39、（1）在运动过程中，线段 AE 的长度为 2t， 故答案为：2t； （2）将AOB 沿 x 轴向右运动得到EFG， ABEG，OAEF， 四边形 ABOC 是平行四边形， ABOC， EGOC， OQPE， 四边形 OPEQ 是平行四边形， A（0，2） ，点 B（4，0） ， OA2，OB4， t1， AEBG2， OG2， AEOG， ACOB， AEQOGQ，EAQGOQ， AEQOGQ（ASA） ， AQOQOA1， 四边形 OPEQ 的面积 S122； （3）存在， 由（2）知四边形 OPEQ 是平行四边形， 若四边形 OPEQ 是菱形， 则 EQOQ， AEOB，ABEG， AEQ

40、ABOEGO， EAQAOB， QEAABO， ， AE2t， ， AQt， OQ2t， QEOQ， AE2+AQ2OQ2， （2t）2+t2（2t）2， 解得：t， AE1，OQ， 当 t时，四边形 OPEQ 为菱形， 四边形 OPEQ 的面积AEOQ35 23在平面直角坐标系中，我们定义直线 yaxa 为抛物线 yax2+bx+c（a、b、c 为常数，a0）的“梦 想直线” ；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在 y 轴上的三角形为其“梦想三角形” 已知抛物线 y ax2+bx+c 与其“梦想直线”交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 x 轴负半轴交于点 C，tanABO

41、，B（1，0） ，点 A 横坐标为2，BC4 （1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标； （2）如图，点 M 为线段 CB 上一动点，将ACM 以 AM 所在直线为对称轴翻折，点 C 的对称点为 N， 若AMN 为该抛物线的“梦想三角形” ，求点 N 的坐标； （3）当点 E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点 F，使得以点 A、 C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 E、F 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）由“梦想直线”的定义，用待定系数法即可求解； （2）当 N 点在 y 轴上时，过 A 作 ADy 轴于点 D，则可知 AN

42、AC，结合 A 点坐标，则可求得 ON 的 长，可求得 N 点坐标；当 M 点在 y 轴上即，M 点在原点时，过 N 作 NPx 轴于点 P，由条件可求得 NMP60，在 RtNMP 中，可求得 MP 和 NP 的长，则可求得 N 点坐标； （3）当 AC 为平行四边形的一边时，过 F 作对称轴的垂线 FH，过 A 作 AKx 轴于点 K，可证EFH ACK， 可求得 DF 的长， 则可求得 F 点的横坐标， 从而可求得 F 点坐标， 由 HE 的长可求得 E 点坐标； 当 AC 为平行四边形的对角线时，设 E（1，t） ，由 A、C 的坐标可表示出 AC 中点，从而可表示出 F 点的坐标，代

43、入直线 AB 的解析式可求得 t 的值，可求得 E、F 的坐标 【解答】解： （1）tanABO，由直线的表达式知，a， 故一次函数的表达式为 yx+； 当 x2 时，yx+2，故点 A（2，2） ， 点 B（1，0） ，BC4，则点 C（3，0） ，则 c3， 故抛物线的表达式为 yx2+bx+c 将点 A、B 的坐标代入上式得，解得， 故抛物线的表达式为 yx2x+2； 抛物线的对称轴为直线 x1，故抛物线的顶点坐标为： （1，） ； （2）当点 N 在 y 轴上时，AMN 为梦想三角形， 如图 1，过 A 作 ADy 轴于点 D，则 AD2， 由点 A、C 的坐标知，AC， 由翻折的性质

44、可知 ANAC， 在 RtAND 中，由勾股定理可得 DN3， 由抛物线的表达式知，点 D 的坐标为（0，2） ，故 OD2， ON23 或 ON2+3， 当 ON2+3 时，则 MNODCM，与 MNCM 矛盾，不合题意， N 点坐标为（0，23） ； 当 M 点在 y 轴上时，则 M 与 O 重合，过 N 作 NPx 轴于点 P，如图 2， 在 RtAMD 中，AD2，OD2， tanDAM， DAM60， ADx 轴， AMCDAO60， 又由折叠可知NMAAMC60， NMP60，且 MNCM3， MPMN，NPMN， 此时 N 点坐标为（，） ； 综上可知 N 点坐标为（0，23）或

45、（，） ； （3）当 AC 为平行四边形的边时，如图 3，过 F 作对称轴的垂线 FH，过 A 作 AKx 轴于点 K， 则有 ACEF 且 ACEF， ACKEFH， 在ACK 和EFH 中， ， ACKEFH（AAS） ， FHCK1，HEAK2， 抛物线对称轴为 x1， F 点的横坐标为 0 或2， 点 F 在直线 AB 上， 当 F 点横坐标为 0 时，则 F（0，） ，此时点 E 在直线 AB 下方， E 到 x 轴的距离为 EHOF2，即 E 点纵坐标为， E（1，） ； 当 F 点的横坐标为2 时，则 F 与 A 重合，不合题意，舍去； 当 AC 为平行四边形的对角线时， C（3，0） ，且 A（2，2） ， 线段 AC 的中点坐标为（2.5，） ， 设 E（1，t） ，F（x，y） ， 则 x12（2.5） ，y+t2， x4，y2t， 代入直线 AB 解析式可得 2t（4）+，解得 t， E（1，） ，F（4，） ； 综上可知存在满足条件的点 F，此时 E（1，） 、F（0，）或 E（1，） 、F（4， ）