1、 第 1 页（共 20 页） 2019-2020 学年江西省景德镇市高二（上）期末数学试卷（理科）学年江西省景德镇市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题： （每小题一、选择题： （每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）设集合 Ax|x25x+60，Bx|2x10，则 AB（ ） A BR CA DB 2 （5 分）在等差数列an中，已知 a4+a816，则该数列前 11 项和 S11（ ） A58 B88 C143 D176 3 （5 分）命题“已知直线 l1：ax+y+10 和 l2：x+by+20，若 ab1，则 l1l2” ，该命题 的逆命题、否命题、逆否命题中正
2、确的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 4 （5 分）已知命题 p 和 q，若pq 为真，pq 为假，则下列一定为真命题的是（ ） Ap Bq Cp Dq 5 （5 分）已知函数 f（x）|sinx1|，则以下说法正确的是（ ） Af（x）的周期是 Bf（x）的值域是0，1 Cf（x）是奇函数 Df（x）的递减区间是，kZ 6 （5 分）抛物线 y4x2的焦点坐标为（ ） A （0，1） B （0，1） C （0，） D （，0） 7 （5 分） 已知变量 x， y 满足约束条件， 则目标函数的最大值 （ ） A B C D 8 （5 分）已知点 P 为ABC 内一点，且满足，则（ ） A2
3、 B3 C4 D5 9 （5 分）已知平面四边形 ABCD 中，ABBDDA2，现将ABD 沿 BD 折起，当二面角 ABDC 的大小在内变化，那么直线 AB 与 CD 所成角 的余弦值的取值范围是（ ） 第 2 页（共 20 页） A B C D 10 （5 分）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 BC 中点，则直线 MD 与平面 AB1C 所成角的正弦值是（ ） A B C D 11 （5 分）过双曲线 C：（a0，b0）的右顶点作 x 轴的垂线与 C 的一条渐 近线相交于 A若以 C 的右焦点为圆心、半径为 2 的圆经过 A、O 两点（O 为坐标原点） ，
4、则双曲线 C 的方程为（ ） A B C D 12 （5 分）已知 F 是椭圆 C：的右焦点，点 P 在椭圆 C 上，线段 PF 与圆相切于点 Q，且，则椭圆 C 的离心率等于（ ） A B C D 二、填空题： （每题二、填空题： （每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知，若，则 14 （5 分）已知：条件 p：和 q：x2（2a+1）x+a（a+1）0，若p 是q 的必 要不充分条件，则实数 a 的取值范围是 15 （5 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线的上支和焦点为 F 第 3 页（共 20 页） 的抛物线 y22px（p0）交于 A，B 两点，若|AF|
5、+|BF|8|OF|，则双曲线的渐近线方程 为 16 （5 分）已知 a，b 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则以下命题正确的是 （写序号） （1）若 a，b，则 ab； （2）若 a，b，则 ab； （3）若 a，b 不平行，则 a，b 不可能垂直同一平面； （4）若 a，ab，b，则 三、解答题： （三、解答题： （17 题题 10 分，其它每题分，其它每题 12 分）分） 17 （10 分）写出命题“若 m2，则方程 x2+mx+10 有实数根”的逆命题、否命题、逆否 命题，并判断其真假 18 （12 分）给定两个命题，p：存在实数 x，使得 x2+ax+10 成立；q：函数在 x
6、 （1，+）上单调递减 （1）若命题 p 为假命题，求 a 的取值范围； （2）如果 pq 为假，pq 为真，求 a 的取值范围 19 （12 分）如图，五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为矩形，EF平面 ABCD，EAED ADEF2，AB4，M 为 BC 中点 （1）求证：FM平面 BDE； （2）若平面 ADE平面 ABCD，求点 F 到平面 BDE 的距离 20 （12 分）已知曲线 C 上任意一点到定点（1，0）的距离比到 y 轴的距离大 1，O 为坐标 原点，A，B 是曲线 C 上异于 O 的两点 （1）求出曲线 C 的方程； （2）若直线 OA，OB 的斜率之积等于，判
7、断直线 AB 是否过定点，如果过定点，请 求出定点坐标；如果不过定点，请说明理由 第 4 页（共 20 页） 21 （12 分）在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 ABB1A1平面 AA1C1C，D 为 BB1的中点， ，AA1C160，ABAA1 （1）在 CC1上是否存在一点 H，使得 B1HA1D，若存在，求出 CH：HC1的值，不存 在，说明理由； （2）在线段 B1C 上有一点 P，且 B1P：PC1：2，求二面角 PAA1D 的余弦值 22 （12 分）已知圆的圆心为 A，圆内一条过点的动弦 CD （与 x 轴不重合） ，过点 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E （1）求出
8、点 E 的轨迹方程； （2）若过点 B 的直线 l 交 E 的轨迹方程于不同两点 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，O 为坐标 原点，且 OMON，点 P 为椭圆上一点，求点 P 到直线 l 的距离的最大值 第 5 页（共 20 页） 2019-2020 学年江西省景德镇市高二（上）期末数学试卷（理科）学年江西省景德镇市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （每小题一、选择题： （每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）设集合 Ax|x25x+60，Bx|2x10，则 AB（ ） A BR CA DB 【分析】求出集合 A，B
9、，计算即可 【解答】解：Ax|x25x+60（2，3） ，Bx|2x10（0.5，+） ， 则 ABB， 故选：D 【点评】考查集合的并集，基础题 2 （5 分）在等差数列an中，已知 a4+a816，则该数列前 11 项和 S11（ ） A58 B88 C143 D176 【分析】根据等差数列的定义和性质得 a1+a11a4+a816，再由 S11 运算求得结果 【解答】解：在等差数列an中，已知 a4+a816， a1+a11a4+a816， S1188， 故选：B 【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前 n 项和公式的应用，属于 中档题 3 （5 分）命题“已知直线 l1
10、：ax+y+10 和 l2：x+by+20，若 ab1，则 l1l2” ，该命题 的逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】分别利用定义逆命题；否命题；逆否命题即可得出进而判断出真假 【解答】解：原命题“已知直线 l1：ax+y+10 和 l2：x+by+20，若 ab1，则 l1l2” ， 由直线平行充要条件是斜率相等且在 y 轴截距不等，当 a，b2 时，直线重合，所 以原命题是假命题， 第 6 页（共 20 页） 该命题的逆命题：已知直线 l1：ax+y+10 和 l2：x+by+20，若 l1l2，则 ab1” ，真 命题， 否命题：已知直线 l1
11、：ax+y+10 和 l2：x+by+20，若 ab1，则 l1不平行 l2”真命题， 逆否命题：已知直线 l1：ax+y+10 和 l2：x+by+20，若 l1不平行 l2，则 ab1，假命 题， 其中正确的个数为 2 个 故选：C 【点评】本题考查了逆命题、否命题、逆否命题的定义，属于基础题 4 （5 分）已知命题 p 和 q，若pq 为真，pq 为假，则下列一定为真命题的是（ ） Ap Bq Cp Dq 【分析】分别假设四个选项为真命题，要符合题意，分别得到那些结论，综上所述确定 一定是真命题的是哪个 【解答】解：对于 A 选项，若p 为真命题，则 p 为假命题，无论 q 是真命题还是
12、假命 题，都符合pq 为真，pq 为假 对于 B 选项，若q 为真命题，则 q 为假命题，要符合pq 为真，只能p 为真命题， 那么 p 为假命题，才符合题意， 对于 C 选项，若 p 为真命题，则p 为假命题，要符合 pq 为假，只能 q 为假命题，不 符合pq 为真， 对于 D 选项，若 q 为真命题，则q 为假命题，要符合 pq 为假，只能 p 为假命题， p 为真命题，符合pq 为真， 所以综上可得一定为真命题的是p 故选：A 【点评】本题考查复合命题的真假判断，是基础题解题时要认真审题，注意熟练掌握 基本概念 5 （5 分）已知函数 f（x）|sinx1|，则以下说法正确的是（ ）
13、Af（x）的周期是 Bf（x）的值域是0，1 Cf（x）是奇函数 Df（x）的递减区间是，kZ 第 7 页（共 20 页） 【分析】直接利用函数的图象的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果 【解答】解：函数 f（x）|sinx1|的图象，相当于将函数 f（x）sinx 的图象向下平移 1 个单位，再将函数我的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方 所以：函数的周期与 f（x）sinx 的图象的周期相同，周期为 2 函数的值域为0，2 函数为非奇非偶函数 函数的单调性与函数 f（x）sinx 的单调性相反函数的单调递减区间为 ，kZ 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦
14、型函数的性质的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 6 （5 分）抛物线 y4x2的焦点坐标为（ ） A （0，1） B （0，1） C （0，） D （，0） 【分析】根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及 p 的值， 有抛物线焦点坐标公式计算可得答案 【解答】解：根据题意，抛物线的方程为 y4x2，则其标准方程为 x2y， 其焦点在 y 轴正半轴上，且 p， 则其焦点坐标为（0，） ； 故选：C 【点评】本题考查抛物线的标准方程，注意先将抛物线的方程变形为标准方程 7 （5 分） 已知变量 x， y 满足约束条件， 则目标函数的最大值 （
15、 ） A B C D 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数，数形结合得到最优 解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 第 8 页（共 20 页） 因为目标函数； 联立 ，解得 C（3，1） ， 由图可知，当目标函数过点 C 时， 与定点 P（1，0）的连线斜率最小，z 有最大值为： 故选：C 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 8 （5 分）已知点 P 为ABC 内一点，且满足，则（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】 由ABP 与ABC 为同底不同高的三角形， 则高之比即为两三角形的面积之比， 而由
16、平面向量的平行四边形法则及平行线的性质易得两三角形的高之比， 由此得出结论 【解答】解：延长 CP 交 AB 于点 D，过点 P 作 PMAC 交 AB 于点 M，PNAB 交 AC 于点 N， ， ， 又 MPAC，由平行线分线段成比例性质可知， 第 9 页（共 20 页） 故选：B 【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的运用，及三角形面积的性质，考查逻辑推 理能力，属于中档题 9 （5 分）已知平面四边形 ABCD 中，ABBDDA2，现将ABD 沿 BD 折起，当二面角 ABDC 的大小在内变化，那么直线 AB 与 CD 所成角 的余弦值的取值范围是（ ） A B C D 【分析】取
17、BD 中点 O，连结 AO，CO，以 O 为原点，OC 为 x 轴，OD 为 y 轴，过点 O 作平面 BCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 AB 与 CD 所 成角的余弦值取值范围 【解答】解：取 BD 中点 O，连结 AO，CO， ABBDDA2BCCD， COBD，AOBD，且 CO1，AO， AOC 是二面角 ABDC 的平面角， 以 O 为原点，OC 为 x 轴，OD 为 y 轴，过点 O 作平面 BCD 的垂线为 z 轴，建立空间直 角坐标系， B（0，1，0） ，C（1，0，0） ，D（0，1，0） ， 设二面角 ABDC 的平面角为 ，则 ，AOC
18、， A（cos，0，sin） ， （cos，1，sin） ，（1，1，0） ， 则 cos， ，cos0，得|1|0，1 第 10 页（共 20 页） cos0， 故选：C 【点评】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，训练了利用空间向量求解空间角， 考查计算能力，是中档题 10 （5 分）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 BC 中点，则直线 MD 与平面 AB1C 所成角的正弦值是（ ） A B C D 【分析】根据题意，以 D1为原点，D1A1，D1C1，D1D 分别为 x，y，z 建立空间直角坐标 系，求出平面 AB1C 的法向量，利用夹角公式求出即可
19、【解答】解：以 D1为原点，D1A1，D1C1，D1D 分别为 x，y，z 建立空间直角坐标系， 显然平面 AB1C 的法向量， D（0，0，1） ，M（） ， cos， 第 11 页（共 20 页） 由直线 MD 与平面 AB1C 所成角的正弦值等于|cos，|， 故选：D 【点评】考查向量法求法向量，利用夹角公式求直线和平面所成的角，中档题 11 （5 分）过双曲线 C：（a0，b0）的右顶点作 x 轴的垂线与 C 的一条渐 近线相交于 A若以 C 的右焦点为圆心、半径为 2 的圆经过 A、O 两点（O 为坐标原点） ， 则双曲线 C 的方程为（ ） A B C D 【分析】求出双曲线的右
20、顶点和右焦点以及渐近线方程，可得 A，再由圆的性质可得|AF| |OF|c2，解方程可得 a，b，进而得到双曲线方程 【解答】解：双曲线的右顶点为（a，0） ，右焦点 F 为（c，0） ， 由 xa 和一条渐近线 yx，可得 A（a，b） ， 以 C 的右焦点为圆心、半径为 2 的圆经过 A、O 两点（O 为坐标原点） ， 则|AF|OF|c2， 即有2， c2a2+b24， 解得 a1，b， 第 12 页（共 20 页） 即有双曲线的方程为 x21， 故选：A 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用和圆的性质，考查运算 能力，属于基础题 12 （5 分）已知 F 是椭圆 C
21、：的右焦点，点 P 在椭圆 C 上，线段 PF 与圆相切于点 Q，且，则椭圆 C 的离心率等于（ ） A B C D 【分析】利用已知条件，画出图形，设出圆的圆心，利用椭圆的定义，转化求解椭圆的 离心率即可 【解答】解：由题意，椭圆的图形如图：F 是椭圆 C：的右焦点， 点 P 在椭圆 C 上，线段 PF 与圆相切于点 Q，且，圆的圆心 为：D（，0） ，圆的半径为：， 所以 F1P2b，FQ， 所以 PF， 所以：+2b2a，可得 c2b2a22ab+b2， 可得 2a3b，即 4a29（a2c2） ， 所以 e 则椭圆 C 的离心率： 故选：C 第 13 页（共 20 页） 【点评】本题考
22、查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，考查转化思想以及计算能力， 是中档题 二、填空题： （每题二、填空题： （每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知，若，则 【分析】由，可得 （ ）0，即可得出 【解答】解：， （ ）2+10，解得 故答案为： 【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题 14 （5 分）已知：条件 p：和 q：x2（2a+1）x+a（a+1）0，若p 是q 的必 要不充分条件，则实数 a 的取值范围是 ， 【分析】求出命题 p，q 的解集，若p 是q 的必要不充分条件，即 q 是 p 的必要不充 分条件， （0，（
23、a，a+1） ，求出即可 【解答】解： ：，则，x（0， x2（2a+1）x+a（a+1）0， 得 x（a，a+1） ， 若p 是q 的必要不充分条件， 即 q 是 p 的必要不充分条件， 即（0，（a，a+1） ， a0，a+1， 第 14 页（共 20 页） 得， 故答案为： 【点评】考查充分，必要条件的判断，考查了不等式的运算，中档题 15 （5 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线的上支和焦点为 F 的抛物线 y22px（p0）交于 A，B 两点，若|AF|+|BF|8|OF|，则双曲线的渐近线方程 为 y 【分析】由题意将双曲线与抛物线联立求出两根之和，再由抛物线的性质可得到焦
24、点的 距离等于到准线的距离求出横坐标之和，进而求出 a，b 的关系，求出渐近线的方程 【解答】 解： 设 A （x1， y1） ， B （x2， y2） ， 联立抛物线与双曲线的方程：， 整理可得：a2x22pb2x+a2b20，所以 x1+x2， 因为|AF|+|BF|8|OF|，由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离可得： x1+x2+p8，x1+x23p， 所以3，可得， 所以渐近线的方程为：yx， 故答案为：yx 【点评】考查抛物线的性质，属于基础题 16 （5 分）已知 a，b 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则以下命题正确的是 （3） （4） （写序号） （1）若 a
25、，b，则 ab； （2）若 a，b，则 ab； （3）若 a，b 不平行，则 a，b 不可能垂直同一平面； （4）若 a，ab，b，则 【分析】直接利用线面垂直和线面平行的应用求出结果 【解答】解：已知 a，b 是两条不同的直线， 是两个不同的平面， 第 15 页（共 20 页） （1）若 a，b，则 a 和 b 可能异面也可能相交，故错误 （2）若 a，b，则 a 和 b 可能异面也可能相交，故错误 （3）若 a，b 不平行，则 a，b 不可能垂直同一平面；即经过一点有且只有一条直线垂直 于该平面 （4）若 a，ab，b，则 由于 a，ab，可得 b，由于 b，进一 步求出 ，故正确 故答案
26、为： （3） （4） 【点评】本题考查的知识要点：直线与平面的平行和垂直问题的应用，主要考查学生的 运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 三、解答题： （三、解答题： （17 题题 10 分，其它每题分，其它每题 12 分）分） 17 （10 分）写出命题“若 m2，则方程 x2+mx+10 有实数根”的逆命题、否命题、逆否 命题，并判断其真假 【分析】直接利用四个命题的应用求出结果 【解答】解：逆命题：若 x2+mx+10 有实数根，则 m2（假命题） ， 否命题：若 m2，则方程 x2+mx+10 没有实数根（假命题） ， 逆否命题：若方程 x2+mx+10 没有实数根，则 m2（真
27、命题） 【点评】本题考查的知识要点：四个命题的应用，主要考查学生转换能力及思维能力， 属于基础题 18 （12 分）给定两个命题，p：存在实数 x，使得 x2+ax+10 成立；q：函数在 x （1，+）上单调递减 （1）若命题 p 为假命题，求 a 的取值范围； （2）如果 pq 为假，pq 为真，求 a 的取值范围 【分析】根据不等式的性质分别判定命题 p，q 的真假，利用复合命题之间的关系即可得 到结论 【解答】解：已知两个命题，p：存在实数 x，使得 x2+ax+10 成立；q：函数在 x（1，+）上单调递减 （1）若命题 p 为假命题，则p 为真命题即：对任意实数 x，x2+ax+1
28、0 恒成立， 所以a2402a2 故 a 的取值范围是：a|2a2； 第 16 页（共 20 页） （2）若 p 真：则0，可得 a2 或 a2， 若 q 真：则 a1， 由题意如果 pq 为假，pq 为真，可知：p 真 q 假，或 p 假 q 真 当 p 真 q 假时，2a1， 当 p 假 q 真时，a2， 故 a 的取值范围是：a|2a1 或 a2 【点评】本题主要考查复合命题之间的关系，根据不等式的性质分别判定命题 p，q 的真 假是解决本题的关键，比较基础 19 （12 分）如图，五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为矩形，EF平面 ABCD，EAED ADEF2，AB4，M
29、为 BC 中点 （1）求证：FM平面 BDE； （2）若平面 ADE平面 ABCD，求点 F 到平面 BDE 的距离 【分析】 （1）取 BD 中点 N，连接 MN，EN证明四边形 EFMN 为平行四边形，推出 FM EN，即可证明 FM平面 BDE （2）以 AD 中点为坐标原点，OA，OM，OE 为 x，y，z 轴构建空间直角坐标系，求出平 面 BDE 的法向量，利用向量的数量积求解 F 到平面 BDE 的距离即可 【解答】 （1）证明：取 BD 中点 N，连接 MN，EN 因为 MNCD 且 MN，EFCD 且 EF， 所以 MNEF 且 MNEF， 则四边形 EFMN 为平行四边形，所
30、以 FMEN， 所以 FM平面 BDE （2）以 AD 中点为坐标原点，OA，OM，OE 为 x，y，z 轴构建空间直角坐标系， E（0，0，） ，D（1，0，0） ，B（1，4，0）可得（1，0，） ，（2，4， 0） ，（0，2，0） ， 第 17 页（共 20 页） 设平面 BDE 的法向量 （x，y，z） ，不妨取 x1，则平面 BDE 的法向量 （1，） ， 则 F 到平面 BDE 的距离 d 【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，空间点到平面的距离的求法的求 法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题 20 （12 分）已知曲线 C 上任意一点到定点（1，0）的距离比到
31、y 轴的距离大 1，O 为坐标 原点，A，B 是曲线 C 上异于 O 的两点 （1）求出曲线 C 的方程； （2）若直线 OA，OB 的斜率之积等于，判断直线 AB 是否过定点，如果过定点，请 求出定点坐标；如果不过定点，请说明理由 【分析】 （1）根据抛物线的定义，求得曲线 C 的方程； （2）设直线 AB 的方程，代入抛物线方程，根据韦达定理定理及，求得 n 16，即可直线 AB 恒过定点 【解答】解： （1）由题意可知，曲线为以（1，0）为焦点的抛物线， 所以曲线 C 的方程：y24x （2）直线 AB 恒过定点（16，0） 理由如下： 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，设直线
32、 AB 的方程：xmy+n，则 ，所以，所以 y1y264， 由 xmy+n 联立 y24x，得：y24my4n0， 所以 y1y24n， 所以 n16，即过定点（16，0） 第 18 页（共 20 页） 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义及标准方程，考查转化 思想，计算能力，属于中档题 21 （12 分）在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 ABB1A1平面 AA1C1C，D 为 BB1的中点， ，AA1C160，ABAA1 （1）在 CC1上是否存在一点 H，使得 B1HA1D，若存在，求出 CH：HC1的值，不存 在，说明理由； （2）在线段 B1C 上有一点 P，
33、且 B1P：PC1：2，求二面角 PAA1D 的余弦值 【分析】 （1）令 AB1，由三角形的相似推得 AB1A1D，若 B1HA1D，运用线面垂直 的判定定理和性质定理、面面垂直的性质，即可得到结论； （2）以 AB，AA1，AH 为 x，y，z 轴构建空间直角坐标系，令 AB1，分别求得平面 PAA1 的法向量和平面 DAA1的法向量，再由向量的夹角公式，计算可得所求值 【解答】解： （1）令 AB1，则 ACAA1， AA1B1DB1A1，AB1A1D， 若 B1HA1D，则 A1D面 AB1HA1DAH， 又侧面 ABB1A1平面 AA1C1C，ABAA1， AB平面 AA1C1C，A
34、BAH， AHAA1，H 为 CC1的中点，即 CH：HC11：1 （2）以 AB，AA1，AH 为 x，y，z 轴构建空间直角坐标系，令 AB1， 则 C（0，） ，B1（1，0） ，A1（0，0） ， 可得+（，） ， 设平面 PAA1的法向量为 （x，y，z） ，由 0 且 0，即x+y+z 0 且y0， 第 19 页（共 20 页） 可取 （，0，1） ，又因为面 AA1D 的法向量 （0，0，1） ， 所以二面角 PAA1D 的余弦值 cos|cos ， | 【点评】本题考查空间线面和面面垂直的判断和性质，考查空间二面角的求法，运用法 向量法是解题的关键，考查化简运算能力和推理能力，
35、属于中档题 22 （12 分）已知圆的圆心为 A，圆内一条过点的动弦 CD （与 x 轴不重合） ，过点 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E （1）求出点 E 的轨迹方程； （2）若过点 B 的直线 l 交 E 的轨迹方程于不同两点 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，O 为坐标 原点，且 OMON，点 P 为椭圆上一点，求点 P 到直线 l 的距离的最大值 【分析】 （1）利用已知条件，判断 E 的轨迹，转化求解轨迹方程即可 （2）设出 MN 的方程与椭圆方程联立结合韦达定理以及向量的数量积为 0，求出 MN 方 程，然后设出直线 l 的方程，通过相切求解 l 的方程，利用点到直线
36、的距离求解即可 【解答】解： （1）由题意可知：圆，即（x+）2+y216， BE+AEAD4，所以 E 轨迹以 A，B 为焦点的椭圆，除去与 x 轴的两个交点 2a4， c，可得 b1， 所以点 E 的轨迹方程为（y0） （2）设直线 MN：xmy+联立， 得： （m2+4）y2+2my10， 所以 y1+y2，y1y2 因为 OMON 可得 x1x2+y1y20 第 20 页（共 20 页） 由求得 m， 由于椭圆对称性，不妨取 m，则直线 MN：xy+， 数形结合可知，直线 MN 平行的直线与椭圆相切，切点之一为所求点 P， 所以设与直线 MN 平行的直线 l：xy+n 联立， ， 由0 可得 n， 所以此时 P 到直线 l 的距离 d 【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想 以及计算能力，是难题
