1、2019 年江西省景德镇市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 Ax| y ，x Z，则集合 A 中元素个数为（ ）A3 B4 C5 D62 （5 分）若 1+ai（b+ i） （ 1+i） （a，b R，i 为虚数单位） ，则复数 abi 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （5 分）袋子中有四张卡片，分别写有“瓷、都、文、明”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“瓷” “都”两个字都
2、取到记为事件 A，用随机模拟的方法估计事件 A 发生的概率利用电脑随机产生整数 0，1，2，3 四个随机数，分别代表“瓷、都、文、明”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下 18 组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计事件 A 发生的概率为（ ）A B C D4 （5 分）设函数 f（x ） ，若角 的终边经过 P（4，3） ，则ff（sin）的值为（ ）A B1 C2 D45 （5 分）已知实数 x，y 满足
3、不等式组 ，若 zaxy（a0）的最小值为 9，则实数 a 的值等于（ ）A3 B5 C8 D96 （5 分）若直线 l：ax by+20（a0，b0）过点（1，2） ，当 取最小值时直线 l 的斜率为（ ）第 2 页（共 26 页）A2 B C D27 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A B C D48 （5 分）已知正四面体 ABCD 的内切球的表面积为 36，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体 ABCD，则所得截面的面积为（ ）A27 B27 C54 D549 （5 分）已知 f（x ）2sin（x+）同时满足
4、下列三个条件：|f（x 1）f（x 2）|4 时，|x 1x 2|的最小值为yf（x + ）是偶函数：f（0） f（ ）若 f（x）在0 ， t）有最小值，则实数 t 的取值范围可以是（ ）A （0， B （0， C （ ， D （ ， 10 （5 分）已知 P 为双曲线 C： （a，b0）上一点，F 1，F 2 分别为 C 的左右焦点，PF 2F 1F2，若PF 1F2 的外接圆面积与其内切圆面积之比为 25：4，则双曲线C 的离心率为（ ）A B2 C 或 D2 或 311 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足，对任意 x（0，+） ，都有 f'（
5、x）f '（x ） ，非零实数 a，b 满足 f（a）f （b）f（b）f （a） ，则下列关系式中正确的是（ ）Aab Bab Ca 2b 2 Da 2b 212 （5 分）已知C ：（x2） 2+（y2） 22，O 为坐标原点， OT 为C 的一条切线，点 P 为 C 上一点且满足 （其中 ，R） ，若关于 ， 的方程第 3 页（共 26 页）t 存在两组不同的解，则实数 t 的取值范围为（ ）A ） B （ ） C ） D （ ）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）已知（x 2 ） n 的展开式中第 5 项为常数
6、项，则该式中所有项系数的和为 14 （5 分）已知两个单位向量 ， 的夹角为 30， m +（1m） ， 0，则m 15 （5 分）公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为 0.618，这一数值也可以表示为 m2sin18，若 m2+n4，则 16 （5 分）函数 f（x ）（x 33a 2x+2a）（e x1）的图象经过四个象限，则实数 a 的取值范围是 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17
7、-21 题为必做题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选做题，考生根据要求作答.17已知首项为 1 的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 S3 为 a4 与 a5 的等差中项数列bn满足 bn2 （1）求数列a n与b n的通项公式；（2）求数列a nbn的前 n 项和为 Tn18如图，在四棱锥 PABCD 中，PACDAD AB1，BAD60，ABCD，平面 PAD平面 ABCD，PA AB（1）求证：PA平面 ABCD；（2）求平面 PBC 与平面 PDC 夹角的余弦值，19如图甲是某商店 2018 年（按 360 天计算）的日盈利额（单位：万元）的统计图第 4 页（共
8、26 页）（1）请计算出该商店 2018 年日盈利额的平均值（精确到 0.1，单位：万元）：（2）为了刺激消费者，该商店于 2019 年 1 月举行有奖促销活动，顾客凡购买一定金额的高品后均可参加抽奖随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店对前 5 天抽奖活动的人数进行统计如表：（y 表示第 x 天参加抽奖活动的人数）x 1 2 3 4 5y 50 60 70 80 100经过进一步统计分析，发现 y 与 x 具有线性相关关系（）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ：（）该商店采取转盘方式进行抽奖（如图乙） ，其中转盘是个八等分的圆每位顾客最多
9、两次抽奖机会，若第一次抽到奖，则抽奖终止，若第一次未抽到奖，则再提供一次抽奖机会抽到一等奖的奖品价值 128 元，抽到二等奖的奖品价值 32 元若该商店此次抽奖活动持续 7 天，试估计该商店在此次抽奖活动结束时共送出价值为多少元的奖品（精确到 0.1，单位：万元）？（3）用（1）中的 2018 年日盈利额的平均值去估计当月（共 31 天）每天的日盈利额若商店每天的固定支出约为 1000 元，促销活动日的日盈利额比平常增加 20%，则该商店当月的纯利润约为多少万元？（精确到 0.1，纯利润盈利额固定支出抽奖总奖金数）参考公式及数据： ， ， xiyi1200， 55第 5 页（共 26 页）20
10、已知 F1，F 2 是离心率为 的椭圆 E： + 1（ab0）两焦点，若存在直线l，使得 F1，F 2 关于 l 的对称点的连线恰好是圆C：x 2+y22mx4my +5m2 10（mR，m 0）的一条直径（1）求椭圆 E 的方程；（2）过椭圆 E 的上顶点 A 作斜率为 k1，k 2 的两条直线 AB，AC，两直线分别与椭圆交于 B，C 两点，当 k1k22 时，直线 BC 是否过定点？若是求出该定点，若不是请说明理由21函数 f（x） aexx 2（2a+b）x（1）若 a2，f（x ）在 R 上递增，求 b 的最大值；（2）若 b2ln2，存在 x0（0，ln 2） ，使得对任意 x（0
11、，ln2） ，都有 f（x）f（x 0）恒成立，求 a 的取值范围（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的方程为 x+10，曲线 C 是以坐标原点 O 为顶点，直线 l 为准线的抛物线以坐标原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系（1）分别求出直线 l 与曲线 C 的极坐标方程：（2）点 A 是曲线 C 上位于第一象限内的一个动点，点 B 是直线 l 上位于第二象限内的一个动点，且AOB ，请求出 的最大值选修 4-5：不等式选讲23已知函数
12、f（x ）|x 1|2x+3|（1）解关于 x 的不等式 f（x）x+1：（2）设函数 f（x ）的最大值为 m，若 + + 2m4，求 的最大值第 6 页（共 26 页）2019 年江西省景德镇市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 Ax| y ，x Z，则集合 A 中元素个数为（ ）A3 B4 C5 D6【分析】集合 A 表示函数 y ，x Z 的定义域，求出 A 即可【解答】解：集合 A 为函数 y ，x Z 的定义域，由（x1） （
13、5x）0 得，A1，2，3，4，5故集合 A 有 5 个元素故选：C【点评】本题考查了集合的表示法，函数的定义域的求法，属于基础题2 （5 分）若 1+ai（b+ i） （ 1+i） （a，b R，i 为虚数单位） ，则复数 abi 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得 a，b 的值，则答案可求【解答】解：1+ai（b+ i） （1+ i）（b1）+（b+1）i ， ，即 a3，b2复数 abi 在复平面内对应的点的坐标为（ 3，2） ，所在的象限为第四象限故选：D【点评】本
14、题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分）袋子中有四张卡片，分别写有“瓷、都、文、明”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“瓷” “都”两个字都取到记为事件 A，用随机模拟的方法估计事件 A 发生的概率利用电脑随机产生整数 0，1，2，3 四个随机数，分别代表“瓷、都、文、明”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下 18 组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001第 7 页（共 26 页）231 130 133 231 031 320 122 10
15、3 233由此可以估计事件 A 发生的概率为（ ）A B C D【分析】估计事件 A 发生的随机数有 5 个，由此可以估计事件 A 发生的概率【解答】解：利用电脑随机产生整数 0，1，2，3 四个随机数，分别代表“瓷、都、文、明”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下 18 组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233估计事件 A 发生的随机数有：021，001，130，031，103，共 5 个，由此可以估计事件 A 发生的概率为 p 故选
16、：C【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4 （5 分）设函数 f（x ） ，若角 的终边经过 P（4，3） ，则ff（sin）的值为（ ）A B1 C2 D4【分析】由任意角的正弦函数值，以及分段函数的解析式，计算可得所求值【解答】解：角 的终边经过 P（4，3） ，可得 sin ，f（x） ，可得 f（sin ）f （ ）341，f（1）2，即 ff（sin）的值为 2故选：C【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，考查任意角的三角函数的定义，考查运算能力，属于基础题第 8 页（共 26 页）5 （5 分）已知实数 x，y 满
17、足不等式组 ，若 zaxy（a0）的最小值为 9，则实数 a 的值等于（ ）A3 B5 C8 D9【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由实数 x，y 满足不等式组 ，作出可行域如图，化目标函数 zaxy （a0）为 yaxz，由图可知，当直线 yax +z 过 A（2，1）时，直线在 y 轴上的截距最大，zax y（a0）的最小值为 9，可得：2a19可得 a5故选：B【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题6 （5 分）若直线 l：ax by+20（a0，b0）过
18、点（1，2） ，当 取最小值时直线 l 的斜率为（ ）A2 B C D2【分析】由已知可得，a+2b2，从而有 （ ） （a+2b） ，展开后利用基本不等式可求【解答】解：axby +20（a0，b0）过点（1，2） ，第 9 页（共 26 页）a2b+20 即 a+2b2，当 （ ） （a+2b） 4当且仅当 且 a+2b2 即 a1，b 时取等号，此时直线的斜率为 2故选：A【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行 1 的代换技巧的应用7 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A B C D4【分析】由已知中的程序语句可知：该程
19、序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得a4，i1满足条件 i2019，执行循环体， a ，i 2满足条件 i2019，执行循环体， a ，i 3满足条件 i2019，执行循环体， a4，i 4观察规律可知，a 的取值周期为 3，由于 20196733，可得：当 i2018 时，满足条件 i2019，执行循环体，a ，i2019此时，不满足条件 i2019，退出循环，输出 a 的值为 故选：B【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题8 （5
20、 分）已知正四面体 ABCD 的内切球的表面积为 36，过该四面体的一条棱以及球第 10 页（共 26 页）心的平面截正四面体 ABCD，则所得截面的面积为（ ）A27 B27 C54 D54【分析】由内切球的表面积，可得内切球半径 r3，结合正四面体的性质，可求出正四面体的棱长为 6 ，代入公式，即可求解【解答】解：设内切球半径为 r，由题意得 4r236 ，内切球半径为 a，由三角形的性质得 BE ，BO ，在ABO中，AO ，又 ，OO ，OO3， 3，解得 a6 BE ，AO ，在ABE 中，S 54 过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体 ABCD，所得截面的面积为
21、54 故选：C【点评】本题考查截面面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题9 （5 分）已知 f（x ）2sin（x+）同时满足下列三个条件：|f（x 1）f（x 2）|4 时，|x 1x 2|的最小值为yf（x + ）是偶函数：第 11 页（共 26 页）f（0） f（ ）若 f（x）在0 ， t）有最小值，则实数 t 的取值范围可以是（ ）A （0， B （0， C （ ， D （ ， 【分析】根据可得周期为 ，可得 ；由可得其中一个 ，那么 f（x ）2sin（2x+ ） ，根据 f（x）在0，t）上有最小
22、值，即可求解实数 t 的取值范围【解答】解：由题意：|f（x 1）f（x 2）| 4 时，|x 1x 2|的最小值为 ，可得周期为，即 2；yf（x + ）是偶函数，即有 f（x+ ）2sin（2x + +） ，即 +k+ ，kZ，可得 k ，k Z，f（0） f（ ） ，即 2sin2sin （ +） ，化为 cos0，可取 ，即有 f（x）2sin（2x + ） ，根据 f（x）在0，t）上有最小值，x0， t） ，2x+ ，2t+ ） ，可得 t0，且 2t+ ，即 t ，故选：D【点评】本题考查了正弦函数的图象及性质的综合应用和计算能力属于中档题10 （5 分）已知 P 为双曲线 C：
23、 （a，b0）上一点，F 1，F 2 分别为 C 的左右焦点，PF 2F 1F2，若PF 1F2 的外接圆面积与其内切圆面积之比为 25：4，则双曲线C 的离心率为（ ）A B2 C 或 D2 或 3【分析】通过 PF2F 1F2，PF 1F2 为直角三角形，故外心在斜边中线上求出外接圆半径，设内切圆半径为 r，根据三角形的面积公式转化求解即可第 12 页（共 26 页）【解答】解：由于PF 1F2 为直角三角形，故外心在斜边中线上由于 ，所以 ，故外接圆半径为 设内切圆半径为 r，根据三角形的面积公式，有 ，解得 ，由题意两圆半径比为 5：2，故 ，化简得（e+1） （e2） （
24、e3）0，解得 e2 或 e3，故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力11 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足，对任意 x（0，+） ，都有 f'（x）f '（x ） ，非零实数 a，b 满足 f（a）f （b）f（b）f （a） ，则下列关系式中正确的是（ ）Aab Bab Ca 2b 2 Da 2b 2【分析】令 g（x）f（x）+f（x ） ，可得 g（x）为偶函数，然后结合已知导数及偶函数的性质可判断 g（x）在（0，+）上单调递减， （，0）上单调递增，即可求解【解答】解：令 g（x）f（x）+f（
25、x ） ，则 g（x）f（x）+f （x ）g（x） ，即g（x）为偶函数，g（x）f（x）f（ x）0，任意 x（0， +） ，f'（x）f '（x） ，g（x）f（x）f（ x）0，g（x）在（0，+）上单调递减， （，0）上单调递增f（a）f（b）f（b）f （a） ，f（a）+f（a）f（b）+f （b） ，即 g（a）g（b）|a |b|即 a2 b2故选：D【点评】本题主要考查了函数的导数与单调性的关系的应用及偶函数对称区间上单调性关系的应用第 13 页（共 26 页）12 （5 分）已知C ：（x2） 2+（y2） 22，O 为坐标原点， OT 为C 的一条切线，
26、点 P 为 C 上一点且满足 （其中 ，R） ，若关于 ， 的方程t 存在两组不同的解，则实数 t 的取值范围为（ ）A ） B （ ） C ） D （ ）【分析】求得圆的圆心和半径，运用向量数量积的性质可得 32+6（ 1）+4（ 1） 210 在 有两解，由二次方程实根的分布求得 01 ，再由向量数量积的定义和不等式的性质可得所求范围【解答】解：C ：（x2） 2+（y2） 22，可得圆心 C（2，2） ，半径为 ，|OC|2 ，OT 为 C 的一条切线，可得|CT| ，| OT| ， 0， |CT| 22， |OT| 26， +（1） ，2 2 2+（1） 2 2+2（1）
27、，即 26 2+8（1） 2+12（1） ，化为 32+6（1）+4（1） 210 在 有两解，可得 ，解得 01 ，又 （ ） + 2 t，即 t 2，0 ） 故选：A【点评】本题考查向量的数量积的运用，考查转化思想和化简运算能力，属于难题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）已知（x 2 ） n 的展开式中第 5 项为常数项，则该式中所有项系数的和为 32 第 14 页（共 26 页）【分析】根据第 5 项为常数项求得 n5，再令 x1，可得（x 2 ） n 的所有项系数的和【解答】解：已知（x 2 ） n 的展开式中第 5 项为 （3） 4x2n1
28、0 为常数项，2n100，n5，则该式中所有项系数的和为（13） 532，故答案为：32【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题14 （5 分）已知两个单位向量 ， 的夹角为 30， m +（1m） ， 0，则m 4+2 【分析】根据题意，由数量积的计算公式可得 m +（1m ） m +（1 m） 20，又由 ， 是单位向量且其夹角为 30，则有 +（1m ）0，解可得 m 的值，即可得答案【解答】解：根据题意， m +（1m ） ，且 0，则 m +（1m） m +（1m ） 20，又由 ， 是单位向量且其夹角为 3
29、0，则有 +（1m）0，解可得 m4+2 ；故答案为：4+2【点评】本题考查向量数量积的计算，注意掌握向量数量积的计算公式，属于基础题15 （5 分）公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为 0.618，这一数值也可以表示为 m2sin18，若 m2+n4，则 2 【分析】根据三角函数同角三角函数关系表示 n，利用辅助角公式结合两角和差的正弦公式进行化简即可【解答】解：m2sin18，由 m2+n4，得 n4m 244sin 2184cos 218，第 15 页（共 26 页）则 2，故答案为：2【点评】本题主要考查三角函数值
30、的化简和求解，利用辅助角公式以及两角和差的正弦公式进行化简是解决本题的关键16 （5 分）函数 f（x ）（x 33a 2x+2a）（e x1）的图象经过四个象限，则实数 a 的取值范围是 （，1）（1，+） 【分析】先判断 g（x）e x1，的取值范围函数符号，结合 h（x）x 33a 2x+2a 的符号与 f（x）的关系，求函数的导数，研究函数的极值关系，利用数形结合进行求解即可【解答】解：设 g（x）e x1，则当 x0 时，g（x ） 0，当 x0 时，g（x ）0，当 x+，f（x）+ ，即当函数 f（x）一定经过第一象限，设 h（x）x 33a 2x+2a，当 x，h（x ），g（
31、x ），即 f（x）+，即 f（x）一定经过第一和第二象限，要使 f（x）的图象经过四个象限，则等价为当 x0 时，f（x）0 有解，即 h（x）0 有解，此时函数图象经过第四象限，当 x0 时，f（ x）0 有解，即 h（x）0 有解，此时函数图象经过第三象限，当 a0 时，h（x）x 3，不满足条件当 a0 时，函数 h（x）3x 23a 23（x a） （x+a） ，若 a0，则函数在 xa 处取得极小值，在 xa 处取得极大值，此时 h（0）2a0，满足 x0 时，h（x）0 有解，此时只要保证当 x0 时，h（x）0 有解即可，此时只要极小值 h（a）2a 3+2a0， （黑色曲线）
32、得 a21，得 a1 或 a1（舍） ，即可，若 a0，则函数在 xa 处取得极小值，在 xa 处取得极大值，此时 h（0）2a0，满足 x0 时，h（x）0 有解，此时只要保证当 x0 时，h（x）0 有解即可，此时只要极大值 h（a）2a 3+2a0， （红色曲线）第 16 页（共 26 页）得 a21，得 a1（舍）或 a1，即可，综上 a1 或 a1，即实数 a 的取值范围是（，1）（1，+） ，故答案为：（，1）（1，+） ，【点评】本题主要考查函数与方程的应用，结合函数符号关系，判断 h（x）x 33a 2x+2a 的符号与导数的关系是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，有一定的
33、难度三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必做题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选做题，考生根据要求作答.17已知首项为 1 的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 S3 为 a4 与 a5 的等差中项数列bn满足 bn2 （1）求数列a n与b n的通项公式；（2）求数列a nbn的前 n 项和为 Tn【分析】 （1）利用已知条件建立等量关系式，求出数列的通项公式（2）利用乘公比错位相减法求出数列的和【解答】解：（1）设公差为 d，首项为 1 的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 S3 为 a4 与 a5 的等差中项
34、则：2（3+3d）1+3 d+（1+4d） ，解得：d4，第 17 页（共 26 页）故：a n1+4（n1）4n3，所以： 故：数列b n满足 bn2 2 n（2）根据已知条件： ，则： ，2 ，得： ，整理得：T n（4n7）2 n+1+14【点评】本题考查等差数列性质的运用，通项公式的求解，错位相减法求数列前 n 项和，考查计算化简，分析求解的能力，属基础题18如图，在四棱锥 PABCD 中，PACDAD AB1，BAD60，ABCD，平面 PAD平面 ABCD，PA AB（1）求证：PA平面 ABCD；（2）求平面 PBC 与平面 PDC 夹角的余弦值，【分析】 （1）在四边形 ABC
35、D 中证明 BDAD ，由平面 PAD面 ABCD 得 BD平面PAD，所以 BDPA，又 PAAB，可得 PA平面 ABCD；（2）以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求出平面 PBC 与平面 PDC 的法向量，然后计算其夹角，由二面角的平面角与法向量的关系得到答案【解答】 （1）证明：AB2AD2，BAD60，BD BD 2+AD2AB 2，BD AD 平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，第 18 页（共 26 页）BD平面 PAD，又 PA平面 PAD，BDPA又 PAAB，ABBDB ，AB 平面 ABCD，BD 平面 ABCD，PA平面 ABCD（2）解
36、：以 A 为坐标原点，分别以 AB，AP 所在的直线为 x 轴、z 轴，在底面 ABCD 内过点 A 作 AB 的垂线为 y 轴建立空间直角坐标系则 P（0，0，1） ，B（2，0，0） ，C （ ， ，0） ，D（ ， ，0） ， （ ， ，1） ， （2，0，1） ， （ ， ，1） ，设平面 PBC 的法向量为 （x 1，y 1，z 1） ，则 ，即 ，取 y11 可得 （ ，1，2 ） ，设平面 PCD 的法向量为 （x 2，y 2，z 2） ，则 ，即 ，取 y22 可得 （0，2， ） ，cos ， 由图可知平面 PBC 与平面 PDC 夹角为钝角，所以平面 PBC 与平面 PCD
37、 成夹角的余弦值为 第 19 页（共 26 页）【点评】本题考查空间中垂直关系得性质与证明，二面角的平面角的求法，在找角不熟悉的情况下利用空间向量求解夹角是一个好办法19如图甲是某商店 2018 年（按 360 天计算）的日盈利额（单位：万元）的统计图（1）请计算出该商店 2018 年日盈利额的平均值（精确到 0.1，单位：万元）：（2）为了刺激消费者，该商店于 2019 年 1 月举行有奖促销活动，顾客凡购买一定金额的高品后均可参加抽奖随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店对前 5 天抽奖活动的人数进行统计如表：（y 表示第 x 天参加抽奖活动的人数）x 1 2 3 4
38、5y 50 60 70 80 100经过进一步统计分析，发现 y 与 x 具有线性相关关系（）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ：第 20 页（共 26 页）（）该商店采取转盘方式进行抽奖（如图乙） ，其中转盘是个八等分的圆每位顾客最多两次抽奖机会，若第一次抽到奖，则抽奖终止，若第一次未抽到奖，则再提供一次抽奖机会抽到一等奖的奖品价值 128 元，抽到二等奖的奖品价值 32 元若该商店此次抽奖活动持续 7 天，试估计该商店在此次抽奖活动结束时共送出价值为多少元的奖品（精确到 0.1，单位：万元）？（3）用（1）中的 2018 年日盈利额的平均值去估计当月（共
39、31 天）每天的日盈利额若商店每天的固定支出约为 1000 元，促销活动日的日盈利额比平常增加 20%，则该商店当月的纯利润约为多少万元？（精确到 0.1，纯利润盈利额固定支出抽奖总奖金数）参考公式及数据： ， ， xiyi1200， 55【分析】 （1）由总天数 360 列方程，求出统计图中 a 的值，然后计算日盈利额的平均值即可；（2） （）算出 ，结合参考公式和数据，即可求出线性回归方程；（）由转盘分布可知，顾客每次抽到一二三等奖的概率均为 ，无奖的概率为 ，设一位参加抽奖的顾客获得的奖品价值 X 元，则 X 的取值可能为 128、32、0，然后分别求出其概率，列出分布列求出方程，由线性
40、回归方程估算出第 6、7 两天的人数，然后加上前 5 天人数得到抽奖总人数，再乘以每位顾客中奖奖品价值的期望值即可；（3）由（1）中的日盈利额的平均值乘以天数 31，再加上促销日额外多出的盈利额即为总盈利额，再减去固定总支出，以及（2）中得出的抽奖总奖金数即可【解答】解：（1）由题意可知：10+20+2a+60+70+100360，解得 a50日盈利额的平均值为：（万元） （2） （） ， 第 21 页（共 26 页） ， ；（）由转盘分布可知，顾客每次抽到一二三等奖的概率均为 ，无奖的概率为 设一位参加抽奖的顾客获得的奖品价值 X 元，则 X 的分布列为：P（X128） ，P（X32） ，P
41、（X0），X 128 32 0P故 E（X）128 （元）由于 y 关于 x 的线性回归方程为 y12x+36，得：x6 时，y108x7 时，y20则此次活动参加抽奖的总人数约为 50+60+70+80+100+120588，该商店在此次抽奖活动结束时共送出的奖品总价值为 58839229322.3（万元） （3）当月的纯利润约为 1.331+1.320%7310.12.336.72（万元） ，故该商店当月的纯利润约为 36.7 万元【点评】本题考查了最小二乘法求线性回归方程，离散型随机变量的期望，用统计知识分析估算实际问题，属于中档题20已知 F1，F 2 是离心率为 的椭圆 E： + 1
42、（ab0）两焦点，若存在直线l，使得 F1，F 2 关于 l 的对称点的连线恰好是圆C：x 2+y22mx4my +5m2 10（mR，m 0）的一条直径（1）求椭圆 E 的方程；（2）过椭圆 E 的上顶点 A 作斜率为 k1，k 2 的两条直线 AB，AC，两直线分别与椭圆交第 22 页（共 26 页）于 B，C 两点，当 k1k22 时，直线 BC 是否过定点？若是求出该定点，若不是请说明理由【分析】 （1）由对称可知，椭圆焦距 2c 等于圆的直径，从而得到 c，再由离心率e ，求出 a，b，得出椭圆方程（2）设直线 lBC：ykx+m， （m 1） ，联立椭圆得到韦达定理，再由 k1k2
43、2，列出关系式，代入韦达定理，可解出 m，从而得到直线所过定点【解答】解：（1）将圆 C 的方程配方得（ xm） 2+（y2m） 21，所以其圆心为（m，2m） ，半径为 1由题意知，椭圆 E 焦距为 2c 等于圆 C 直径，所以 c1，又 e ，所以 a ，b 2a 2c 21，椭圆的方程为 （2）因为 k1k220，所以直线 BC 斜率存在，A（0，1） ，设直线 lBC：ykx+m， （m1） ，B（x 1，y 1） ，C（x 2，y 2） ，消 y，得（2k 2+1）x 2+4kmx+2m220， ， （*）又 k1k2 ，整理得（y 11） （y 21）+2x 1x20，即（kx 1
44、+m1） （kx 2+m1） +2x1x20，所以（k 2+2）x 1x2+k（m1） （x 1+x2）+（m1） 20（*）代入得 +（m1） 20，整理得 5m+3 0，解得 m ，所以直线 BC 过定点（0， ） 【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，直线过定点问题，综合程度较高属于中档题第 23 页（共 26 页）21函数 f（x） aexx 2（2a+b）x（1）若 a2，f（x ）在 R 上递增，求 b 的最大值；（2）若 b2ln2，存在 x0（0，ln 2） ，使得对任意 x（0，ln2） ，都有 f（x）f（x 0）恒成立，求 a 的取值范围【分析】 （1）因为
45、 f（x ）在 R 上递增，所以 f'（x）0 任意 xR 恒成立，由 f''（x）得出 f'（x）的单调性和最小值，即可求得答案；（2）分析题意得 f（x ）在（0，ln 2）有最大值点，求导分类讨论 f'（x）的正负从而研究 f（x）的单调性，研究 f（x）最大值是否存在即可【解答】解：当 a2 时，f（ x）2e xx 2（4+b）x，f（x）在 R 上递增，f'（x）2e x2x（4+ b）0 任意 xR 恒成立，f''（x）2e x2，当 x（， 0）时，f''（x）0；当 x（0，+）时，f'&
46、#39;（x）0，f'（x）在（，0）单调递减，在（0，+ ）单调递增，当 x0 时 f'（x）最小，f'（0）2b0，即 b2b 的最大值为：2（2）当 b2ln2 时，依题意 f（x）ae xx 2（2a2ln 2）x 在（0，ln 2）有最大值点，f'（x）ae x2x（2a2ln 2） ，且 f（0）a+2ln2，f'（ln 2）0，当 a0， f'（x ）ae x2x（2a2ln 2）在 R 递减，在（0，ln2） ，f'（x）f'（ln2）0，f（x）在（0 ，ln2）上递增，不合题意；当 a 0，f''（x）ae x2 在（0，ln 2）上递增，且 f''（ ）0，f'（x）在（， ）上递减，在（ ，+ ）上递增，（i）当 0a1， ，即 f'（x）在（0，ln 2）上递减，f'（x）f'（ln2）0，即 f（x）在（0，ln2）上递增，不合题意；
