1、 第 1 页（共 18 页） 2019-2020 学年江西省景德镇市高二（上）期末数学试卷（文科）学年江西省景德镇市高二（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设全集 U1，2，3，4，5，Ax|x24x+30，xN，则UA（ ） A1，2，3 B3，4，5 C4，5 Dx|x0 或 x3 2 （5 分）命题“x0（0，+） ，lnx0x01”的否定是（ ） Ax（0，+） ，lnx
2、x1 Bx（0，+） ，lnxx1 Cx0（0，+） ，lnx0x01 Dx0（0，+） ，lnx0x01 3 （5 分） ”mn0”是”方程 mx2+ny21 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）定义在 R 上的偶函数 f（x）在0，+）上是增函数，又 f（3）0，则不等式 （x3）f（x）0 的解集为（ ） A （，3） B （，3） C （，3）（3，3） D （，3）（0，3） 5 （5 分）椭圆的长轴长为 10，其焦点到中心的距离为 4，则这个椭圆的标准方程为（ ） A+1 B+1 C+1 或
3、+1 D+1 或+1 6 （5 分）若双曲线的实轴长为 2，则其渐近线方程为（ ） Ayx B C Dy2x 7 （5 分）以下命题（其中 a，b 表示直线， 表示平面） 第 2 页（共 18 页） 若 ab，b，则 a 若 a，b，则 ab 若 ab，b，则 a 若 a，b，则 ab 其中正确命题的个数是（ ） A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 8 （5 分）若直线 l：axby+20（a0，b0）过点（1，2） ，当取最小值时直线 l 的斜率为（ ） A B C2 D 9 （5 分）已知点 P 为抛物线 y24x 上的动点，点 P 在 y 轴上的射影是 B，A 点坐标为（3， 4）
4、，则|PA|+|PB|的最小值是（ ） A B C4 D5 10 （5 分）已知函数 f（x），若函数 g（x）f（x）a 有 3 个零点， 则实数 a 的取值范围是（ ） A0，4） B0，2） C （，4 D （，2 11 （5 分）已知三棱锥 PABC 的外接球 O 半径为 2，球心 O 到ABC 所在平面的距离为 1，则三棱锥 PABC 体积的最大值为（ ） A B C D3 12 （5 分）已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且（ab） sinAcsinC bsinB，若ABC 的面积为 3，则ABC 的周长的最小值为（ ） A4 B3 C6 D3 二、填空题
5、：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知，则与方向相同的单位向量 14 （5 分）已知直线 3x+4y+a0 与圆 x2+y21 相切，则 a 的值为 15 （5 分）在正项等比数列an中，若，sin（log3a1+log3a2+log3a7）的值 为 16 （5 分）阿波罗尼斯（约公元前 262190 年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距 第 3 页（共 18 页） 离之比为常数 k（k0，k1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆若平面内两 定点 A、B 间的距离为 2，动点 P 满足，当 P，A，B 不共线时
6、，三角形 PAB 面 积的最大值是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，第小题，第 17 题题 10 分，分，第第 18 题至第题至第 22 题，每题题，每题 12 分，共分，共 70 分分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）设命题 p：实数 x 满足 x23ax+2a20，其中 a0；命题 q：实数 x 满足 x2 7x+60 （1）当 a1 时，若 pq 为真，求 x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围 18 （12 分）设 p： “xR，sinxa+2” ；q： “f（
7、x）（2a1）x是单调递增函数” （1）若 p 为真命题，求实数 a 的取值范围； （2）若 pq 为真命题，且 pq 为假命题，求实数 a 的取值范围 19 （12 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点 F 为圆 x2+y22x0 的圆心 （1）求抛物线 C 的标准方程； （2）过抛物线的焦点 F 的直线 l 与抛物线相交于 AB 两点，且|AB|5，求直线 l 的方程 20 （12 分）已知函数 f（x）x3+ax2+bx1，曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程为 y 8x+1 （1）求函数 f（x）的解析式； （2）求 yf（x）在区间（1，4）上的极值 21 （12 分）设
8、M（2，1）是椭圆上的点，F1，F2是焦点，离心率 （1）求椭圆的标准方程； （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2）是椭圆上的两点，且，问线段 AB 的垂直 平分线是否过定点？若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，说明理由 22 （12 分）已知函数 f（x）x22lnx （1）求函数 f（x）在点 A（1，y0）处的切线方程； （2）求函数 f（x）在上的值域； （3）若存在，使得 f（x1）+f（x2）+f（xn1）f（xn） 第 4 页（共 18 页） 成立，求 n 的最大值 （其中自然常数 e2.71828） 第 5 页（共 18 页） 2019-2020 学年江西省景德镇市
9、高二（上）期末数学试卷（文科）学年江西省景德镇市高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解参考答案与试题解析析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设全集 U1，2，3，4，5，Ax|x24x+30，xN，则UA（ ） A1，2，3 B3，4，5 C4，5 Dx|x0 或 x3 【分析】求出集合的等价条件，结合补集的定义进行求解即可 【解答】解：Ax|x24x+30，xNx|1x3，xN1，2，3，
10、则UA4，5， 故选：C 【点评】本题主要考查集合的基本运算，结合补集的定义是解决本题的关键 2 （5 分）命题“x0（0，+） ，lnx0x01”的否定是（ ） Ax（0，+） ，lnxx1 Bx（0，+） ，lnxx1 Cx0（0，+） ，lnx0x01 Dx0（0，+） ，lnx0x01 【分析】根据特称命题否定的方法，结合已知中的原命题，可得答案 【解答】解：命题“x0（0，+） ，lnx0x01”的否定是“x（0，+） ，lnxx 1” 故选：B 【点评】本题考查的知识点是命题的否定，难度不大，属于基础题 3 （5 分） ”mn0”是”方程 mx2+ny21 表示焦点在 y 轴上的椭
11、圆”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】将方程 mx2+ny21 转化为，然后根据椭圆的定义判断 【解答】解：将方程 mx2+ny21 转化为， 根据椭圆的定义，要使焦点在 y 轴上必须满足，且，即 mn0 第 6 页（共 18 页） 反之，当 mn0，可得出0，此时方程对应的轨迹是椭圆 综上证之， ”mn0”是”方程 mx2+ny21 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的充要条件 故选：C 【点评】本题考查椭圆的定义，难度不大，解题认真推导 4 （5 分）定义在 R 上的偶函数 f（x）在0，+）上是增函数，又 f（3）0，则不等式 （x3
12、）f（x）0 的解集为（ ） A （，3） B （，3） C （，3）（3，3） D （，3）（0，3） 【分析】根据偶函数 f（x）在0，+）上是增函数，得到在（，0）递减，又 f（ 3）f（3）0，对不等式（x3）f（x）0 分类讨论得出结论 【解答】解：在 R 上的偶函数 f（x）在0，+）上是增函数，在（，0）递减，又 f（3）f（3）0， 不等式（x3）f（x）0 讨论如下： 当 x3 时，f（x）0f（3） ，显然不成立； 当 x3 时，f（x）0f（3） ，所以 x3， 综上，x3， 或者图象法： 可得 x3， 故选：A 【点评】考查函数的奇偶性和单调性的应用，还考查了分类讨论思
13、想，中档题 5 （5 分）椭圆的长轴长为 10，其焦点到中心的距离为 4，则这个椭圆的标准方程为（ ） 第 7 页（共 18 页） A+1 B+1 C+1 或+1 D+1 或+1 【分析】由已知条件求出 a，b，再由焦点在 x 轴和焦点在 y 轴两种情况进行分类讨论， 能求出椭圆的标准方程 【解答】解：椭圆的长轴长为 10，其焦点到中心的距离为 4， ，解得 a5，b225169， 当椭圆焦点在 x 轴时，椭圆方程为， 当椭圆焦点在 y 轴时，椭圆方程为 故选：D 【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合 理运用 6 （5 分）若双曲线的实轴长为 2，则其渐
14、近线方程为（ ） Ayx B C Dy2x 【分析】直接利用双曲线的标准方程求出实轴长，即可求出 a，然后求解渐近线方程 【解答】解：双曲线的实轴长为 2，可得 a1，所以双曲线 x2y21 （a0）的实轴长为 2，则其渐近线方程为：yx 故选：A 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查 7 （5 分）以下命题（其中 a，b 表示直线， 表示平面） 第 8 页（共 18 页） 若 ab，b，则 a 若 a，b，则 ab 若 ab，b，则 a 若 a，b，则 ab 其中正确命题的个数是（ ） A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 【分析】若 ab，b，则 a，或 a；若 a，
15、b，则 a 与 b 平行、异面或相 交；若 ab，b，则 a，或 a；若 a，b，则 ab，或 a 与 b 异面 【解答】解：若 ab，b，则 a，或 a，故不正确； 若 a，b，则 a 与 b 平行、异面或相交，故不正确； 若 ab，b，则 a，或 a，故不正确； 若 a，b，则 ab，或 a 与 b 异面，故不正确 故选：D 【点评】本题考查平面的性质及其基本推论，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答 8 （5 分）若直线 l：axby+20（a0，b0）过点（1，2） ，当取最小值时直线 l 的斜率为（ ） A B C2 D 【分析】由题意可得，a+2b2，则1+，利用基本不等式可求 取
16、得最小值时 a，b 的关系，进而可求直线的斜率 【解答】解：由题意可得，a+2b2， 则1+， 当且仅当即 a时取等号，此时直线的斜率 k 故选：B 【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题 9 （5 分）已知点 P 为抛物线 y24x 上的动点，点 P 在 y 轴上的射影是 B，A 点坐标为（3， 4） ，则|PA|+|PB|的最小值是（ ） A B C4 D5 【分析】由题意求出抛物线的准线和焦点坐标，由抛物线的性质到准线的距离等于焦点 第 9 页（共 18 页） 的距离，当三点共线时取得最小值，进而求出最小值 【解答】解：由题意抛物线的准线方程为 x1，焦点 F（1，0
17、） ，且可判断 A 在抛物线 外部， 设 P 在准线的射影为 K，由抛物线的性质到准线的距离等于焦点的距离，则 PFPK， 所以|PA|+|PB|PK|1+|PA|PA|+PF|1|AF|1，当且仅当 A，P，F 三点共线时取得 最小值， 而|AF|2，所以|PA|+|PB|的最小值为 21， 故选：B 【点评】考查抛物线的性质，属于中档题 10 （5 分）已知函数 f（x），若函数 g（x）f（x）a 有 3 个零点， 则实数 a 的取值范围是（ ） A0，4） B0，2） C （，4 D （，2 【分析】根据题意，分析可得方程 f（x）a0，即 f（x）a 有 3 个根，结合 f（x）的
18、解析式分段分析 f（x）的图象，作出其草图，据此分析可得答案 【解答】解：根据题意，函数 g（x）f（x）a 有 3 个零点，则方程 f（x）a0，即 f（x）a 有 3 个根， 当 x0 时，f（x）x33x，此时 f（x）3x233（x21） ， 分析可得：在区间（，1）上，f（x）0，f（x）为增函数， 在（1，0）上，f（x）0，f（x）为减函数， 在区间（，0上，f（x）有最大值 f（1）2 当 x0 时，f（x）lnx 为减函数， 作出函数 f（x）的图象如图： 要使 af（x）有三个不同的根，即函数 yf（x）与直线 ya 有 3 个交点， 则 a 满足 0a2，即实数 a 的取
19、值范围是0，2） ， 故选：B 第 10 页（共 18 页） 【点评】本题考查函数的零点与方程的关系，涉及分段函数的图象，关键是分析 f（x） 的图象，属于基础题 11 （5 分）已知三棱锥 PABC 的外接球 O 半径为 2，球心 O 到ABC 所在平面的距离为 1，则三棱锥 PABC 体积的最大值为（ ） A B C D3 【分析】推导出ABC 的年接圆的半径 rABC 是等边三角形时，ABC 的面积 最大，求出等边ABC 的边长为 3，点 P 到平面 ABC 的距离的最大值为 hR+d2+1 3，由此能求出三棱锥 PABC 体积的最大值 【解答】解：三棱锥 PABC 的外接球 O 半径为
20、 R2，球心 O 到ABC 所在平面的 距离为 d1， ABC 的年接圆的半径 r ABC 是等边三角形时，ABC 的面积最大， 设等边ABC 的边长为 a，则，解得 a3， SABC， 球心 O 到ABC 所在平面的距离为 1， 点 P 到平面 ABC 的距离的最大值为 hR+d2+13， 三棱锥 PABC 体积的最大值为： 故选：A 【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位 置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 第 11 页（共 18 页） 12 （5 分）已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且（ab） sinAcsinC
21、 bsinB，若ABC 的面积为 3，则ABC 的周长的最小值为（ ） A4 B3 C6 D3 【分析】由已知利用正弦定理可得 a2+b2c2ab，由余弦定理可得 cosC，可得 sinC 的值，利用三角形的面积公式可求 ab12，由余弦定理，基本不等式即可求解 【解答】解：（ab） sinAcsinCbsinB， 由正弦定理可得（ab）ac2b2，可得 a2+b2c2ab， 由余弦定理可得 cosC，可得 sinC， ABC 的面积为 3absinCab，解得 ab12， 由余弦定理可得 c2a2+b2ab2ababab12， 即 c2， 当且仅当 ab2 时等号成立， ABC 的周长为 a
22、+b+c6，当且仅当 ab2时等号成立， 即ABC 的周长的最小值为 6 故选：C 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式在解三 角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （ 5 分 ） 已知， 则 与方 向 相同 的单 位 向量 （） 【分析】先求出（4，3） ，由此能求出与方向相同的单位向量 【解答】解：， （4，3） ， 与方向相同的单位向量 （4，3）（） 故答案为： （） 【点评】本题考查单位向量的求法，考查平面向量坐标法则、单位
23、向量的定义等基础知 识，考查运算求解能力，是基础题 第 12 页（共 18 页） 14 （5 分）已知直线 3x+4y+a0 与圆 x2+y21 相切，则 a 的值为 5 【分析】根据题意，由直线与圆相切的判断方法，可得1，解可得 a 的值， 即可得答案 【解答】解：根据题意，直线 3x+4y+a0 与圆 x2+y21 相切， 必有1，变形可得：|a|5， 解可得：a5， 故答案为：5 【点评】本题考查直线与圆相切的性质，注意直线与圆相切的判断方法，属于基础题 15 （5 分）在正项等比数列an中，若，sin（log3a1+log3a2+log3a7）的值 为 【分析】由题意利用等差数列的性质
24、求得 a4的值，再利用对数的运算性质花简要求的式 子，再利用诱导公式，得到结果 【解答】解：在正项等比数列an中，若，a4 sin（log3a1+log3a2+log3a7）sin（log3a1a2a7）sin（log3） sin（log3）sinsin， 故答案为： 【点评】本题主要考查等差数列的性质，对数的运算性质应用，诱导公式，属于中档题 16 （5 分）阿波罗尼斯（约公元前 262190 年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距 离之比为常数 k（k0，k1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆若平面内两 定点 A、B 间的距离为 2，动点 P 满足，当 P，A，B 不共线时，三角形
25、 PAB 面 积的最大值是 【分析】设 A（1，0） ，B（1，0） ，P（x，y） ，则3，化简得（x+） 2+y2 ，当点 P 到 AB（x 轴）距离最大时，PAB 面积的最大值 【解答】解：设 A（1，0） ，B（1，0） ，P（x，y） ， 第 13 页（共 18 页） 则3，化简得（x+）2+y2， 如图，当点 P 到 AB（x 轴）距离最大时，PAB 面积的最大值， PAB 面积的最大值是2； 故答案为： 【点评】本题考查轨迹方程求解、直线与圆的位置关系，属于中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，第小题，第 17 题题 10 分，第分，第 18 题至第题至第
26、22 题，每题题，每题 12 分，共分，共 70 分分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）设命题 p：实数 x 满足 x23ax+2a20，其中 a0；命题 q：实数 x 满足 x2 7x+60 （1）当 a1 时，若 pq 为真，求 x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）当 a1 时，分别解出 p，q 对应的不等式，若 pq 为真，即既满足 p，又 满足 q 的 x 的值，解不等式组即可； （2）根据p 是q 的必要不充分条件，由互为逆否的两个命题等价知，q 是 p 的必
27、要不 充分条件，即 p 对应的集合是 q 对应集合的真子集，列出不等式组，解出即可 【解答】解： （1）当 a1 时，若 p 真，则 x23x+20，解得 1x2； q 真，则解得 1x6 pq 为真，则 p 真且 q 真，；1x2， 故 x 的取值范围为（1，2） （2）p 是q 的必要不充分条件，则 q 是 p 的必要不充分条件， p 真，有 ax2a，故，解得 1a3 第 14 页（共 18 页） a 的取值范围是1，3 【点评】本题考查了简易逻辑的基本知识，一元二次不等式的解法，考查了推理能力和 计算能力，属于中档题 18 （12 分）设 p： “xR，sinxa+2” ；q： “f（
28、x）（2a1）x是单调递增函数” （1）若 p 为真命题，求实数 a 的取值范围； （2）若 pq 为真命题，且 pq 为假命题，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）根据 p： “xR，sinxa+2” ；若 p 是真命题，用分离参数法，转化为最值 问题求解即可； （2）根据 pq 为真命题，且 pq 为假命题，则 p，q 必然一真一假，分 p 真 q 假和 p 假 q 真两种情况，分别列出不等式组，解出即可 【解答】解： （1）p 为真命题，则 a（sinx2）max，a1； 故 p 为真命题，a 的取值范围是1，+） （2）“pq”为真命题， “pq”为假命题， 则 p，q 一真一假
29、若 q 为真命题，则 f（x）（2a1）x是单调递增函数，2a11 即 a1； p 真 q 假，解得1a1； p 假 q 真，则 a 无解 综上，实数 a 的取值范围是1，1 【点评】本题考查了不等式的解法、函数的单调性、分类讨论方法、转化的思想方法， 简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于中档题 19 （12 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点 F 为圆 x2+y22x0 的圆心 （1）求抛物线 C 的标准方程； （2）过抛物线的焦点 F 的直线 l 与抛物线相交于 AB 两点，且|AB|5，求直线 l 的方程 【分析】 （1）求出焦点 F，得到 p，再求出抛物线的方程； （2）
30、设直线 l 的方程为：xmy+1，联立解方程组，结合焦点弦长度求出 m，再求出直 线 l 的方程 【解答】解： （1）圆 x2+y22x0 的标准方程为（x1）2+y21，圆心坐标为（1，0） ， 即焦点坐标为 F（1，0） ，p2，得到抛物线 C 的方程 y24x； 第 15 页（共 18 页） （2）设直线 l 的方程为：xmy+1， 联立解方程组，消去 y 整理得：x2（4m2+2）x+10， ， |AB|， 得 m， 所以所求直线 l 的方程为：y2x2 或 y2x+2 【点评】考查抛物线的性质，抛物线的方程，直线和抛物线的关系，弦长公式的应用， 中档题 20 （12 分）已知函数 f
31、（x）x3+ax2+bx1，曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程为 y 8x+1 （1）求函数 f（x）的解析式； （2）求 yf（x）在区间（1，4）上的极值 【分析】 （1）求出函数的导数，利用切线的斜率列出方程，切点在切线上也在曲线上， 列出方程，求解 a，b 即可 （2）利用导函数切线极值点，判断函数的单调性推出函数的极值即可 【解答】解： （1）因为 f（x）x3+ax2+bx1， 所以，f（x）3x2+2ax+b 所以，曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程的 斜率 又因为 k8， 所以，2a+b11 又因为 f（1）1+a+b181+1 所以，a+b7 联立解得 a4，b3 所
32、以，f（x）x34x23x1 （2）由（1）知， 第 16 页（共 18 页） 令 f（x）0 得， 当，f（x）0，f（x）单调递增； 当，f（x）0，f（x）单调递减； 当 3x4，f（x）0，f（x）单调递增 所以 f（x）在区间（1，4）上的极小值为 f（3）19， 极大值为 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的切线方程的应用，考查转 化思想以及计算能力 21 （12 分）设 M（2，1）是椭圆上的点，F1，F2是焦点，离心率 （1）求椭圆的标准方程； （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2）是椭圆上的两点，且，问线段 AB 的垂直 平分线是否过定点？若过定点，
33、求出此定点的坐标，若不过定点，说明理由 【分析】 （1）由于椭圆的离心率为，所以椭圆的 标准方程为，将点 M 的坐标代入椭圆的标准方程得，得 b23，因此，椭圆的方程为； （2）由题意知，直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 ykx+m，则 k0，与椭圆 方程联立，由韦达定理可得2，所以 ，则线段 AB 的中点坐标为（，） ， 则线段 AB 的垂直平分线方程为 y，此时，线段 AB 的 垂直平分线过定点（，0） 第 17 页（共 18 页） 【解答】解： （1）由于椭圆的离心率为， 所以，椭圆的标准方程为， 将点 M 的坐标代入椭圆的标准方程得，得 b23， 因此，椭圆的方程为； （
34、2）由题意知，直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 ykx+m，则 k0， 将直线 AB 的方程与椭圆方程联立，得（2k2+1）x2+4kmx+2m260， 由韦达定理可得2， 所以， 则线段 AB 的中点坐标为 （，） ， 则线段AB的垂直平分线方程为y， 即y， 即 y，此时，线段 AB 的垂直平分线过定点（，0） ， 综上所述，线段 AB 的垂直平分线过定点（，0） 【点评】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）x22lnx （1）求函数 f（x）在点 A（1，y0）处的切线方程； （2）求函数 f（x）在上的值域； （
35、3）若存在，使得 f（x1）+f（x2）+f（xn1）f（xn） 成立，求 n 的最大值 （其中自然常数 e2.71828） 【分析】 （1）求导后求出斜率，求出切点，即可得到切线方程； （2）利用导数研究函数在所给区间的单调性，进而求得值域； （3）结合（2）的结论，可得 e22f（e）f（xn）f（x1）+f（x2）+f（xn1） 第 18 页（共 18 页） （n1）f（1）n1，进而得解 【解答】解： （1），f（1）0，y0f（1）1， 所求切线方程为 y1； （2）由（1）知，令 f（x）0，解得 x1 或 x 1（舍） ， 易知，函数 f（x）在上单调递减，在（1，e上单调递增， f（x）minf（1）1， 又，故 ， 所求值域为1，e22； （3）由（2）知，当时，f（x）1，e22， 由于 e22f（e）f（xn）f（x1）+f（x2）+f（xn1）（n1）f（1）n1， ne217， 取 x1x2x3x4x51， 则 故实数 n 的最大值为 6 【点评】本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数在闭区间上的最值，考查转化思 想及逻辑推理能力，属于中档题
