1、2019 年江西省景德镇市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 Ax| y ，x Z，则集合 A 中元素个数为（ ）A3 B4 C5 D62 （5 分）若 1+ai（b+ i） （ 1+i） （a，b R，i 为虚数单位） ，则复数 abi 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （5 分）袋子中有四张卡片，分别写有“瓷、都、文、明”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“瓷” “都”两个字都
2、取到记为事件 A，用随机模拟的方法估计事件 A 发生的概率利用电脑随机产生整数 0，1，2，3 四个随机数，分别代表“瓷、都、文、明”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下 18 组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计事件 A 发生的概率为（ ）A B C D4 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）A BC D第 2 页（共 23 页）5 （5 分）设函数 f（x ） ，若角 的终
3、边经过 P（4，3） ，则ff（sin）的值为（ ）A B1 C2 D46 （5 分）已知实数 x，y 满足不等式组 ，若 z5xy 的最小值为（ ）A3 B9 C22 D257 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A B C D48 （5 分）若直线 l：ax by+20（a0，b0）过点（1，2） ，当 取最小值时直线 l 的斜率为（ ）A2 B C D29 （5 分）已知正四面体 ABCD 的内切球的表面积为 36，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体 ABCD，则所得截面的面积为（ ）A27 B27
4、C54 D5410 （5 分）已知 f（x ）sin（2x+ ）在0，t）上有最小值，则实数 t 的取值范围可以是（ ）A （0， B （0， C （ ， D （ ， 11 （5 分）已知 F 是抛物线 x24y 的焦点，点 P 在抛物线上，点 A（0，1） ，则的最小值是（ ）A B C1 D12 （5 分）函数 f（x ）定义域为 R，且函数 g（x）f （x）+f（x）满足：对任意第 3 页（共 23 页）x（0，+） ，g（x）0，非零实数 a，b 满足 f（a）f （b）f（b）f（a） ，则下列关系式中正确的是（ ）Aab Bab Ca 2b 2
5、 Da 2b 2二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）过年时小明的舅舅在家庭微信群里发了一个 10 元的红包，红包被随机分配为2.51 元，3.32 元，1.24 元，0.26 元，2.67 元，共五份现已知小明与爸爸都各自抢到了一个红包，则两人抢到红包的金额总和不小于 4 元的概率为 14 （5 分）已知两个单位向量 ， 的夹角为 30， m +（1m） ， 0，则m 15 （5 分）公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为 0.618，这一数
6、值也可以表示为 m2sin18，若 m2+n4，则 16 （5 分）函数 f（x ）（x 33a 2x+2a）（e x1）的图象经过四个象限，则实数 a 的取值范围是 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必做题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选做题，考生根据要求作答.17已知首项为 1 的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 S3 为 a4 与 a5 的等差中项数列bn满足 bn2 （1）求数列a n与b n的通项公式；（2）求数列a nbn的前 n 项和为 Tn18如
7、图，在三棱锥 PABC 中，PA面 ABC，AC AB，PAAD2DC2，AEAB（1）求证：DE平面 PAE；（2）求三棱锥 DPBE 的体积第 4 页（共 23 页）19某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加一次抽奖随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商场对前 5 天抽奖活动的人数进行统计，y 表示第 x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表如下：x 1 2 3 4 5y 50 60 70 80 100经过进一步统计分析，发现 y 与 x 具有线性相关关系（1）若从这 5 天随机抽取两天，求至少有 1 天参加抽奖人数超过 70 的概率；（2）请根据上表提供的
8、数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ，并估计该活动持续 7 天，共有多少名顾客参加抽奖？参考公式及数据： ， ， xiyi1200， 5520已知椭圆 E： + 1（ab0）的离心率为 ，F 1，F 2 分别是它的左、右焦点，|F1F2|2（1）求椭圆 E 的方程；（2）过椭圆 E 的上顶点 A 作斜率为 k1，k 2 的两条直线 AB，AC，两直线分别与椭圆交于 B，C 两点，当 k1k21 时，直线 BC 是否过定点？若是求出该定点，若不是请说明理由21函数 f（x） aexx 2（2a+b）x（1）若 a2，f（x ）在 R 上递增，求 b 的最大值；（2）若 b2ln
9、2，a1，证明：对任意 x0，f（x）0 恒成立（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的方程为 x+10，曲线 C 是以坐标原点 O 为顶点，直线 l 为准线的抛物线以坐标原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系（1）分别求出直线 l 与曲线 C 的极坐标方程：（2）点 A 是曲线 C 上位于第一象限内的一个动点，点 B 是直线 l 上位于第二象限内的第 5 页（共 23 页）一个动点，且AOB ，请求出 的最大值选做题23已知函数 f（x ）|x 1|2x+3|（1）解关
10、于 x 的不等式 f（x）x+1：（2）设函数 f（x ）的最大值为 m，若 + + 2m4，求 的最大值第 6 页（共 23 页）2019 年江西省景德镇市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 Ax| y ，x Z，则集合 A 中元素个数为（ ）A3 B4 C5 D6【分析】集合 A 表示函数 y ，x Z 的定义域，求出 A 即可【解答】解：集合 A 为函数 y ，x Z 的定义域，由（x1） （5x）0 得，A1，2，3，4，5故集合
11、 A 有 5 个元素故选：C【点评】本题考查了集合的表示法，函数的定义域的求法，属于基础题2 （5 分）若 1+ai（b+ i） （ 1+i） （a，b R，i 为虚数单位） ，则复数 abi 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得 a，b 的值，则答案可求【解答】解：1+ai（b+ i） （1+ i）（b1）+（b+1）i ， ，即 a3，b2复数 abi 在复平面内对应的点的坐标为（ 3，2） ，所在的象限为第四象限故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相
12、等的条件，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分）袋子中有四张卡片，分别写有“瓷、都、文、明”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“瓷” “都”两个字都取到记为事件 A，用随机模拟的方法估计事件 A 发生的概率利用电脑随机产生整数 0，1，2，3 四个随机数，分别代表“瓷、都、文、明”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下 18 组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001第 7 页（共 23 页）231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计事件 A 发生的概
13、率为（ ）A B C D【分析】估计事件 A 发生的随机数有 5 个，由此可以估计事件 A 发生的概率【解答】解：利用电脑随机产生整数 0，1，2，3 四个随机数，分别代表“瓷、都、文、明”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下 18 组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233估计事件 A 发生的随机数有：021，001，130，031，103，共 5 个，由此可以估计事件 A 发生的概率为 p 故选：C【点评】本题考查概率的求法，考查古典
14、概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）A BC D【分析】直接利用三视图和几何体的转换求出结果第 8 页（共 23 页）【解答】解：根据几何体得三视图：俯视图的外边是一个圆，故排除 A、C由于俯视图的下面还有一个圆和四边形，故排除 D故选：B【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型5 （5 分）设函数 f（x ） ，若角 的终边经过 P（4，3） ，则ff（sin）的值为（ ）A B1 C2 D4【分析】由任意角的正弦函数值，
15、以及分段函数的解析式，计算可得所求值【解答】解：角 的终边经过 P（4，3） ，可得 sin ，f（x） ，可得 f（sin ）f （ ）341，f（1）2，即 ff（sin）的值为 2故选：C【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，考查任意角的三角函数的定义，考查运算能力，属于基础题6 （5 分）已知实数 x，y 满足不等式组 ，若 z5xy 的最小值为（ ）A3 B9 C22 D25【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，结合数形结合即可得到结论【解答】解：作不等式组对应的平面区域如图：由 z5xy 得 y5xz，平移直线 y5x z 由图象可知当直线 y5
16、xz 经过点 A 时，直线 y5xz 的截距最大，第 9 页（共 23 页）此时 z 最小由 ，解得 A（2，1） ，此时 z5xy 的最小值为：9故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键7 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A B C D4【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得a4，i1满足条件 i2019，执行循环体， a ，i 2满足条件 i2019，执行循环体， a
17、，i 3满足条件 i2019，执行循环体， a4，i 4观察规律可知，a 的取值周期为 3，由于 20196733，第 10 页（共 23 页）可得：当 i2018 时，满足条件 i2019，执行循环体，a ，i2019此时，不满足条件 i2019，退出循环，输出 a 的值为 故选：B【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题8 （5 分）若直线 l：ax by+20（a0，b0）过点（1，2） ，当 取最小值时直线 l 的斜率为（ ）A2 B C D2【分析】由已知可得，a+2b2，从而有 （ ） （a+2b） ，展开后利用
18、基本不等式可求【解答】解：axby +20（a0，b0）过点（1，2） ，a2b+20 即 a+2b2，当 （ ） （a+2b） 4当且仅当 且 a+2b2 即 a1，b 时取等号，此时直线的斜率为 2故选：A【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行 1 的代换技巧的应用9 （5 分）已知正四面体 ABCD 的内切球的表面积为 36，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体 ABCD，则所得截面的面积为（ ）A27 B27 C54 D54【分析】由内切球的表面积，可得内切球半径 r3，结合正四面体的性质，可求出正四面体的棱长为 6 ，代入公式，即可求解【解答
19、】解：设内切球半径为 r，由题意得 4r236 ，内切球半径为 a，由三角形的性质得 BE ，BO ，在ABO中，AO ，又 ，第 11 页（共 23 页）OO ，OO3， 3，解得 a6 BE ，AO ，在ABE 中，S 54 过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体 ABCD，所得截面的面积为 54 故选：C【点评】本题考查截面面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题10 （5 分）已知 f（x ）sin（2x+ ）在0，t）上有最小值，则实数 t 的取值范围可以是（ ）A （0， B （0， C （ ， D
20、 （ ， 【分析】根据正弦函数的图象可以得出 2t+ 的范围中一定含有 可得【解答】解：0xt， 2x+ 2t+ ，根据正弦函数的图象可得：2t+ ，解得 t 故选：D【点评】本题考查了三角函数的最值，属中档题11 （5 分）已知 F 是抛物线 x24y 的焦点，点 P 在抛物线上，点 A（0，1） ，则的最小值是（ ）第 12 页（共 23 页）A B C1 D【分析】过点 P 作 PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得 |PF|PM| ，则 sinPAM ，PAM 为锐角，得出 PA 和抛物线相切时， 最小；利用直线的斜率公式、导数的几何意义求出切点的坐标，即可求得
21、 的最小值【解答】解：由题意可得，抛物线 x24y 的焦点 F（0，1） ，准线方程为 y1过点 P 作 PM 垂直于准线， M 为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|PM| ，则 sinPAM，PAM 为锐角；故当PAM 最小时， 最小，故当 PA 和抛物线相切时， 最小设切点 P（2 ，a） ，由 y x2 的导数为 y x，则 PA 的斜率为 2 ，求得 a1，可得 P（2，1） ，|PM |2，|PA| 2 ，sinPAM ，即 的最小值是 故选：A【点评】本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、导数的几何意义，属于中档题第 13 页（共 23 页）12 （5 分）函数
22、 f（x ）定义域为 R，且函数 g（x）f （x）+f（x）满足：对任意x（0，+ ） ，g（x ）0，非零实数 a，b 满足 f（a） f （b）f（b）f（a） ，则下列关系式中正确的是（ ）Aab Bab Ca 2b 2 Da 2b 2【分析】由已知结合偶函数的定义可知函数 g（x）为偶函数，且 g（a）g（b） ，然后由对任意 x（ 0，+） ，g（x）0，即函数 g（x）在（0，+）上单调递减，根据偶函数的对称性可知，函数 g（x）在（，0）上单调递增，即可判断【解答】解：g（x）f（x）+f（x ） ，g（x）f（x）+f（x ）g（x） ，即函数 g（x）为偶函数，
23、f（a）f（b）f（b）f （a） ，f（a）+f（a）f（b）+f （b） ，即 g（a）g（b） ，对任意 x（0， +） ，g（x）0，即函数 g（x）在（0，+）上单调递减，根据偶函数的对称性可知，函数 g（x）在（，0）上单调递增，|a |b|即 a2 b2故选：D【点评】本题主要考查了函数的导数与函数的单调性的关系及偶函数的性质及定义的简单应用二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）过年时小明的舅舅在家庭微信群里发了一个 10 元的红包，红包被随机分配为2.51 元，3.32 元，1.24 元，0.26 元，2.67 元，共五份现已知小明与爸爸
24、都各自抢到了一个红包，则两人抢到红包的金额总和不小于 4 元的概率为 【分析】基本事件总数 n 20，两人抢到红包的金额总和不小于 4 元包含的基本事件（a，b）有 8 个，由此能求出两人抢到红包的金额总和不小于 4 元的概率【解答】解：过年时小明的舅舅在家庭微信群里发了一个 10 元的红包，红包被随机分配为 2.51 元，3.32 元，1.24 元，0.26 元，2.67 元，共五份已知小明与爸爸都各自抢到了一个红包，基本事件总数 n 20，两人抢到红包的金额总和不小于 4 元包含的基本事件（a，b）有：第 14 页（共 23 页）（2，51，3.32） ， （2，51，2，6
25、7） ， （3.32，2.51） ， （3.32，1.24） ， （3.32，2.67） ，（1.24，3.32） ， （2.67，2.51） ， （2.67，3.32） ，共 8 个，两人抢到红包的金额总和不小于 4 元的概率为 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14 （5 分）已知两个单位向量 ， 的夹角为 30， m +（1m） ， 0，则m 4+2 【分析】根据题意，由数量积的计算公式可得 m +（1m ） m +（1 m） 20，又由 ， 是单位向量且其夹角为 30，则有 +（1m ）0，解可得 m 的
26、值，即可得答案【解答】解：根据题意， m +（1m ） ，且 0，则 m +（1m） m +（1m ） 20，又由 ， 是单位向量且其夹角为 30，则有 +（1m）0，解可得 m4+2 ；故答案为：4+2【点评】本题考查向量数量积的计算，注意掌握向量数量积的计算公式，属于基础题15 （5 分）公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为 0.618，这一数值也可以表示为 m2sin18，若 m2+n4，则 2 【分析】根据三角函数同角三角函数关系表示 n，利用辅助角公式结合两角和差的正弦公式进行化简即可【解答】解：m2sin18，
27、由 m2+n4，得 n4m 244sin 2184cos 218，则 2，故答案为：2【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求解，利用辅助角公式以及两角和差的正弦第 15 页（共 23 页）公式进行化简是解决本题的关键16 （5 分）函数 f（x ）（x 33a 2x+2a）（e x1）的图象经过四个象限，则实数 a 的取值范围是 （，1）（1，+） 【分析】先判断 g（x）e x1，的取值范围函数符号，结合 h（x）x 33a 2x+2a 的符号与 f（x）的关系，求函数的导数，研究函数的极值关系，利用数形结合进行求解即可【解答】解：设 g（x）e x1，则当 x0 时，g（x ） 0，当
28、x0 时，g（x ）0，当 x+，f（x）+ ，即当函数 f（x）一定经过第一象限，设 h（x）x 33a 2x+2a，当 x，h（x ），g（x ），即 f（x）+，即 f（x）一定经过第一和第二象限，要使 f（x）的图象经过四个象限，则等价为当 x0 时，f（x）0 有解，即 h（x）0 有解，此时函数图象经过第四象限，当 x0 时，f（ x）0 有解，即 h（x）0 有解，此时函数图象经过第三象限，当 a0 时，h（x）x 3，不满足条件当 a0 时，函数 h（x）3x 23a 23（x a） （x+a） ，若 a0，则函数在 xa 处取得极小值，在 xa 处取得极大值，此时 h（0）2
29、a0，满足 x0 时，h（x）0 有解，此时只要保证当 x0 时，h（x）0 有解即可，此时只要极小值 h（a）2a 3+2a0， （黑色曲线）得 a21，得 a1 或 a1（舍） ，即可，若 a0，则函数在 xa 处取得极小值，在 xa 处取得极大值，此时 h（0）2a0，满足 x0 时，h（x）0 有解，此时只要保证当 x0 时，h（x）0 有解即可，此时只要极大值 h（a）2a 3+2a0， （红色曲线）得 a21，得 a1（舍）或 a1，即可，综上 a1 或 a1，即实数 a 的取值范围是（，1）（1，+） ，故答案为：（，1）（1，+） ，第 16 页（共 23 页）【点评】本题主要
30、考查函数与方程的应用，结合函数符号关系，判断 h（x）x 33a 2x+2a 的符号与导数的关系是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，有一定的难度三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必做题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选做题，考生根据要求作答.17已知首项为 1 的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 S3 为 a4 与 a5 的等差中项数列bn满足 bn2 （1）求数列a n与b n的通项公式；（2）求数列a nbn的前 n 项和为 Tn【分析】 （1）利用已知条件建立等量关系式，求出数列的通项公式（2）利用乘公比错位
31、相减法求出数列的和【解答】解：（1）设公差为 d，首项为 1 的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 S3 为 a4 与 a5 的等差中项则：2（3+3d）1+3 d+（1+4d） ，解得：d4，故：a n1+4（n1）4n3，所以： 第 17 页（共 23 页）故：数列b n满足 bn2 2 n（2）根据已知条件： ，则： ，2 ，得： ，整理得：T n（4n7）2 n+1+14【点评】本题考查等差数列性质的运用，通项公式的求解，错位相减法求数列前 n 项和，考查计算化简，分析求解的能力，属基础题18如图，在三棱锥 PABC 中，PA面 ABC，AC AB，PAAD2DC2，AEAB（
32、1）求证：DE平面 PAE；（2）求三棱锥 DPBE 的体积【分析】 （1）由题意得ABE 为正三角形，得DAE30，结合余弦定理，可得DE1，得到 AE2+DE2AD 2，即 AEDE，又根据线面垂直的性质定理可得PADE ，再根据线面垂直的判断定理，即可得证（2）由题意得 ，则 VDPBE V PBDE ，代入数据，即可求解【解答】 （1）证明：ABAC，AB ，AC AD+DC3，tanB ，则 B60又AEAB ，ABE 为正三角形，DAEDABBAE30，又 AD2，AE ，由余弦定理可知 ，第 18 页（共 23 页）AE 2+DE2AD 2，根据勾股定理可知 AEDE又PA平面
33、ABC，PADE，则 DE平面 PAE（2）解：DEBDEA +BEA150， ，即三棱锥的体积为 【点评】本题考查空间几何元素垂直关系的证明，考查空间几何体体积的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握程度，属中档题19某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加一次抽奖随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商场对前 5 天抽奖活动的人数进行统计，y 表示第 x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表如下：x 1 2 3 4 5y 50 60 70 80 100经过进一步统计分析，发现 y 与 x 具有线性相关关系（1）若从这 5 天随机抽取两天，求至少有 1 天参加抽奖
34、人数超过 70 的概率；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ，并估计该活动持续 7 天，共有多少名顾客参加抽奖？参考公式及数据： ， ， xiyi1200， 55第 19 页（共 23 页）【分析】 （1）列出 5 天中随机抽取 2 天的所有情况，共 10 种结果，选出满足条件的情况，代入公式，即可求解；（2）求出 ， 的值，结合题中条件，求出 ，代入即可求出回归直线方程，并预测第6，7 天参与抽奖的人数，即可求出总人数【解答】解：（1）设第 i 天的人数为 yi（i 1，2，3，4 ，5） ，从这 5 天中随机抽取 2天的情况为：（y 1，y 2） ，
35、 （y 1，y 3） ， （y 1，y 4） ， （y 1，y 5） ， （y 2，y 3） ， （y 2，y 4） ， （y 2，y 5） ， （y 3，y 4） ，（y 3，y 5） ， （y 4，y 5） ，共 10 种结果；这 5 天中只有第 4，5 天的人数超 70 人，至少有 1 天参加抽奖人数超过 70 人的情况为：（y 1，y 4） ， （y 1，y 5） ， （y 2，y 4） ， （y 2，y 5） ， （y 3，y 4） ， （y 3，y 5） ， （y 4，y 5）共 7 种结果则所求事件的概率为 P ；（2）依题意 ， ，1200， ， ， ，当 x6 时， ，x 7
36、 时时， ，则此次活动参加抽奖的人数约为 50+60+70+80+100+108+120588线性回归方程 ，若该活动持续 7 天，共有 588 名顾客参加抽奖【点评】本题考查古典概型，回归直线的求解与应用，考查计算能力，是中档题20已知椭圆 E： + 1（ab0）的离心率为 ，F 1，F 2 分别是它的左、右焦点，|F1F2|2第 20 页（共 23 页）（1）求椭圆 E 的方程；（2）过椭圆 E 的上顶点 A 作斜率为 k1，k 2 的两条直线 AB，AC，两直线分别与椭圆交于 B，C 两点，当 k1k21 时，直线 BC 是否过定点？若是求出该定点，若不是请说明理由【分析】 （1）由题意
37、 ，结合 a，b，c 的关系即可求解（2）设直线 lBC：ykx+m（m 1） ，B（x 1，y 1） ，C（x 2，y 2） ，联立方程可得（2k 2+1）x 2+4kmx+2m220，又 ，结合韦达定理可得（kx 1+m1） （ kx2+m1）+x 1x20，化简计算即可求解【解答】解：（1）因为 ，所以c1， ，b 2a 2c 21，椭圆的方程为 ；（2）因为 k1k20，所以直线 BC 斜率存在设直线 lBC：ykx+m（m1） ，B（x 1，y 1） ，C（x 2，y 2） ，联立方程 ，消 y 得（2k 2+1）x 2+4kmx+2m220， （*）又 ，理得（y 11） （y 2
38、1）+x 1x20，即（kx 1+m1） （kx 2+m1） +x1x20，所以（k 2+1）x 1x2+k（m1） （x 1+x2）+（m1） 20（*）代入得，整理得 3m+1 0 得 ，所以直线 BC 过定点 【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，直线恒过定点问题，意在考查学生对这些基础知识的理解程度和掌握水平，属中档题21函数 f（x） aexx 2（2a+b）x第 21 页（共 23 页）（1）若 a2，f（x ）在 R 上递增，求 b 的最大值；（2）若 b2ln2，a1，证明：对任意 x0，f（x）0 恒成立【分析】 （1）由 f（x ）在 R 上递增可得 f（x）0 在 R 上恒
39、成立，结合 f（x）的单调性，可求得 f（x ）的最小值，即可求 b 的最大值（2）f（x） aexx 2（2a2ln 2）x ，可看成关于 a 的一次函数，结合 f（x）的单调性及 a1 可得 f（x ）a（e x2x）x 2+2ln2xe x2x+2xln2，令 h（x）e x2x+2xln2，结合 h（x ）的单调性，即可证明【解答】解：（1）当 a2 时，f（x ）2e xx 2（4+b）x因为 f（x）在 R 上递增，所以 f（x） 2ex2x（4+b）0 恒成立，令 g（x）2e x2x （4+ b） ，则 g（x）2（e x1） ，当 x0 时，g（x ）0，g（x ）单调递增，
40、x0，g（x ）0，g（x）单调递减g（x）f（ x）2e x2x（4+b）在 x0 处得最小值，所以 f（0）2b0 即 b2，所以 b 最大值为2；（2）因为 b2ln2，所以 f（x）ae xx 2（2a2ln2）x 将 f（x）看成关于 a 的一次函数即 f（x）a（e x2x ）x 2+2ln2x令 g（x）e x2x ，所以 g（x ）e x2当 xln2，g（ x）单调递增，xln2，g（x）单调递减所以 g（x）g（ln2）22ln 20，即此关于 a 的一次函数递增，又因为 a1，f（a）f（1）e x2xx 2+2xln2，所以 f（x）a （e x2x）x 2+2ln2x
41、e xx 22x+2xln2，令 h（x）e xx 22x +2xln2，所以 h（x）e x2x 2+2ln2g（x）2+2ln 20，所以 h（x）在（0，+）上递增，即 h（x）h（0）1，所以 f（x）h（x）0 恒成立【点评】本题考查函数，导数的综合应用，难点在于将 f（x）看成关于 a 的一次函数，运用一次函数的性质进行求解，考查分析计算，化简证明的能力，属难题（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.第 22 页（共 23 页）22在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的方程为 x+10，曲线 C 是以坐标原点 O
42、 为顶点，直线 l 为准线的抛物线以坐标原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系（1）分别求出直线 l 与曲线 C 的极坐标方程：（2）点 A 是曲线 C 上位于第一象限内的一个动点，点 B 是直线 l 上位于第二象限内的一个动点，且AOB ，请求出 的最大值【分析】 （1）利用直角坐标和极坐标的转化关系，即可得答案（2）设 A（ 1， ） ，则 ，所以， ，化简整理，即可得出结果【解答】解：（1）直线 l 的极坐标方程为 cos1，曲线 C 的平面直角坐标方程为 y24x，所以，曲线 C 的极坐标方程为 sin24cos；（2）设 A（ 1， ） ，则 ，不妨令 ，则 tan1，所
43、以，所以， ，当 tan2 时， 取最大值为 【点评】本题考查直角坐标与极坐标之间的转化，以及极坐标的应用，着重考查计算化简的能力，属中档题选做题23已知函数 f（x ）|x 1|2x+3|（1）解关于 x 的不等式 f（x）x+1：第 23 页（共 23 页）（2）设函数 f（x ）的最大值为 m，若 + + 2m4，求 的最大值【分析】 （1）分三段去绝对值进行讨论，解出不等式取并集即可；（2）先由绝对值不等式求出 f（x ）的最大值为 m，然后再由柯西不等式求出 + +的最大值【解答】解（1）若 x1 时，不等式即（x1）（2x +3）x+1，解得 x ，此时无解，若 x1 时，不等式即
44、（x1）（2x +3）x+1，解得 x ，此时 x ，若 x ，不等式即（x 1）+（2x +3）x +1，解得 xR，此时 x ，综上所述，x（ ， （2）f（x） |x1| |2x+3| （ |x1| x+ |）|x |（x1）（x+ ）|+0 ，其中等号当且仅当 ，即 x 时取到，故m 1由柯西不等式，得：12+（ ） 2+（ ） 2（ ） 2+（ ） 2+（ ） 2（1 + + ） 2）（ + ） 2，故（ + + ） 2 ， + + ，即 + + 的最大值为 等号当且仅当 ，即 a ，b ，c 时取到【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，三角绝对值不等式求最值，柯西不等式求最值，属于中档题
