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2019-2020学年江西省景德镇市高二(上)期末数学试卷(文科)含详细解答

1、 第 1 页(共 18 页) 2019-2020 学年江西省景德镇市高二(上)期末数学试卷(文科)学年江西省景德镇市高二(上)期末数学试卷(文科) 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 (5 分)设全集 U1,2,3,4,5,Ax|x24x+30,xN,则UA( ) A1,2,3 B3,4,5 C4,5 Dx|x0 或 x3 2 (5 分)命题“x0(0,+) ,lnx0x01”的否定是( ) Ax(0,+) ,lnx

2、x1 Bx(0,+) ,lnxx1 Cx0(0,+) ,lnx0x01 Dx0(0,+) ,lnx0x01 3 (5 分) ”mn0”是”方程 mx2+ny21 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 (5 分)定义在 R 上的偶函数 f(x)在0,+)上是增函数,又 f(3)0,则不等式 (x3)f(x)0 的解集为( ) A (,3) B (,3) C (,3)(3,3) D (,3)(0,3) 5 (5 分)椭圆的长轴长为 10,其焦点到中心的距离为 4,则这个椭圆的标准方程为( ) A+1 B+1 C+1 或

3、+1 D+1 或+1 6 (5 分)若双曲线的实轴长为 2,则其渐近线方程为( ) Ayx B C Dy2x 7 (5 分)以下命题(其中 a,b 表示直线, 表示平面) 第 2 页(共 18 页) 若 ab,b,则 a 若 a,b,则 ab 若 ab,b,则 a 若 a,b,则 ab 其中正确命题的个数是( ) A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 8 (5 分)若直线 l:axby+20(a0,b0)过点(1,2) ,当取最小值时直线 l 的斜率为( ) A B C2 D 9 (5 分)已知点 P 为抛物线 y24x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是 B,A 点坐标为(3, 4)

4、,则|PA|+|PB|的最小值是( ) A B C4 D5 10 (5 分)已知函数 f(x),若函数 g(x)f(x)a 有 3 个零点, 则实数 a 的取值范围是( ) A0,4) B0,2) C (,4 D (,2 11 (5 分)已知三棱锥 PABC 的外接球 O 半径为 2,球心 O 到ABC 所在平面的距离为 1,则三棱锥 PABC 体积的最大值为( ) A B C D3 12 (5 分)已知ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且(ab) sinAcsinC bsinB,若ABC 的面积为 3,则ABC 的周长的最小值为( ) A4 B3 C6 D3 二、填空题

5、:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分)已知,则与方向相同的单位向量 14 (5 分)已知直线 3x+4y+a0 与圆 x2+y21 相切,则 a 的值为 15 (5 分)在正项等比数列an中,若,sin(log3a1+log3a2+log3a7)的值 为 16 (5 分)阿波罗尼斯(约公元前 262190 年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距 第 3 页(共 18 页) 离之比为常数 k(k0,k1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆若平面内两 定点 A、B 间的距离为 2,动点 P 满足,当 P,A,B 不共线时

6、,三角形 PAB 面 积的最大值是 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,第小题,第 17 题题 10 分,分,第第 18 题至第题至第 22 题,每题题,每题 12 分,共分,共 70 分分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 (10 分)设命题 p:实数 x 满足 x23ax+2a20,其中 a0;命题 q:实数 x 满足 x2 7x+60 (1)当 a1 时,若 pq 为真,求 x 的取值范围; (2)若p 是q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围 18 (12 分)设 p: “xR,sinxa+2” ;q: “f(

7、x)(2a1)x是单调递增函数” (1)若 p 为真命题,求实数 a 的取值范围; (2)若 pq 为真命题,且 pq 为假命题,求实数 a 的取值范围 19 (12 分)已知抛物线 C:y22px(p0)的焦点 F 为圆 x2+y22x0 的圆心 (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)过抛物线的焦点 F 的直线 l 与抛物线相交于 AB 两点,且|AB|5,求直线 l 的方程 20 (12 分)已知函数 f(x)x3+ax2+bx1,曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程为 y 8x+1 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求 yf(x)在区间(1,4)上的极值 21 (12 分)设

8、M(2,1)是椭圆上的点,F1,F2是焦点,离心率 (1)求椭圆的标准方程; (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)是椭圆上的两点,且,问线段 AB 的垂直 平分线是否过定点?若过定点,求出此定点的坐标,若不过定点,说明理由 22 (12 分)已知函数 f(x)x22lnx (1)求函数 f(x)在点 A(1,y0)处的切线方程; (2)求函数 f(x)在上的值域; (3)若存在,使得 f(x1)+f(x2)+f(xn1)f(xn) 第 4 页(共 18 页) 成立,求 n 的最大值 (其中自然常数 e2.71828) 第 5 页(共 18 页) 2019-2020 学年江西省景德镇市

9、高二(上)期末数学试卷(文科)学年江西省景德镇市高二(上)期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解参考答案与试题解析析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 (5 分)设全集 U1,2,3,4,5,Ax|x24x+30,xN,则UA( ) A1,2,3 B3,4,5 C4,5 Dx|x0 或 x3 【分析】求出集合的等价条件,结合补集的定义进行求解即可 【解答】解:Ax|x24x+30,xNx|1x3,xN1,2,3,

10、则UA4,5, 故选:C 【点评】本题主要考查集合的基本运算,结合补集的定义是解决本题的关键 2 (5 分)命题“x0(0,+) ,lnx0x01”的否定是( ) Ax(0,+) ,lnxx1 Bx(0,+) ,lnxx1 Cx0(0,+) ,lnx0x01 Dx0(0,+) ,lnx0x01 【分析】根据特称命题否定的方法,结合已知中的原命题,可得答案 【解答】解:命题“x0(0,+) ,lnx0x01”的否定是“x(0,+) ,lnxx 1” 故选:B 【点评】本题考查的知识点是命题的否定,难度不大,属于基础题 3 (5 分) ”mn0”是”方程 mx2+ny21 表示焦点在 y 轴上的椭

11、圆”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】将方程 mx2+ny21 转化为,然后根据椭圆的定义判断 【解答】解:将方程 mx2+ny21 转化为, 根据椭圆的定义,要使焦点在 y 轴上必须满足,且,即 mn0 第 6 页(共 18 页) 反之,当 mn0,可得出0,此时方程对应的轨迹是椭圆 综上证之, ”mn0”是”方程 mx2+ny21 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的充要条件 故选:C 【点评】本题考查椭圆的定义,难度不大,解题认真推导 4 (5 分)定义在 R 上的偶函数 f(x)在0,+)上是增函数,又 f(3)0,则不等式 (x3

12、)f(x)0 的解集为( ) A (,3) B (,3) C (,3)(3,3) D (,3)(0,3) 【分析】根据偶函数 f(x)在0,+)上是增函数,得到在(,0)递减,又 f( 3)f(3)0,对不等式(x3)f(x)0 分类讨论得出结论 【解答】解:在 R 上的偶函数 f(x)在0,+)上是增函数,在(,0)递减,又 f(3)f(3)0, 不等式(x3)f(x)0 讨论如下: 当 x3 时,f(x)0f(3) ,显然不成立; 当 x3 时,f(x)0f(3) ,所以 x3, 综上,x3, 或者图象法: 可得 x3, 故选:A 【点评】考查函数的奇偶性和单调性的应用,还考查了分类讨论思

13、想,中档题 5 (5 分)椭圆的长轴长为 10,其焦点到中心的距离为 4,则这个椭圆的标准方程为( ) 第 7 页(共 18 页) A+1 B+1 C+1 或+1 D+1 或+1 【分析】由已知条件求出 a,b,再由焦点在 x 轴和焦点在 y 轴两种情况进行分类讨论, 能求出椭圆的标准方程 【解答】解:椭圆的长轴长为 10,其焦点到中心的距离为 4, ,解得 a5,b225169, 当椭圆焦点在 x 轴时,椭圆方程为, 当椭圆焦点在 y 轴时,椭圆方程为 故选:D 【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法,解题时要认真审题,注意分类讨论思想的合 理运用 6 (5 分)若双曲线的实轴长为 2,则其渐

14、近线方程为( ) Ayx B C Dy2x 【分析】直接利用双曲线的标准方程求出实轴长,即可求出 a,然后求解渐近线方程 【解答】解:双曲线的实轴长为 2,可得 a1,所以双曲线 x2y21 (a0)的实轴长为 2,则其渐近线方程为:yx 故选:A 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,是基本知识的考查 7 (5 分)以下命题(其中 a,b 表示直线, 表示平面) 第 8 页(共 18 页) 若 ab,b,则 a 若 a,b,则 ab 若 ab,b,则 a 若 a,b,则 ab 其中正确命题的个数是( ) A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 【分析】若 ab,b,则 a,或 a;若 a,

15、b,则 a 与 b 平行、异面或相 交;若 ab,b,则 a,或 a;若 a,b,则 ab,或 a 与 b 异面 【解答】解:若 ab,b,则 a,或 a,故不正确; 若 a,b,则 a 与 b 平行、异面或相交,故不正确; 若 ab,b,则 a,或 a,故不正确; 若 a,b,则 ab,或 a 与 b 异面,故不正确 故选:D 【点评】本题考查平面的性质及其基本推论,是基础题,解题时要认真审题,仔细解答 8 (5 分)若直线 l:axby+20(a0,b0)过点(1,2) ,当取最小值时直线 l 的斜率为( ) A B C2 D 【分析】由题意可得,a+2b2,则1+,利用基本不等式可求 取

16、得最小值时 a,b 的关系,进而可求直线的斜率 【解答】解:由题意可得,a+2b2, 则1+, 当且仅当即 a时取等号,此时直线的斜率 k 故选:B 【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值,属于基础试题 9 (5 分)已知点 P 为抛物线 y24x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是 B,A 点坐标为(3, 4) ,则|PA|+|PB|的最小值是( ) A B C4 D5 【分析】由题意求出抛物线的准线和焦点坐标,由抛物线的性质到准线的距离等于焦点 第 9 页(共 18 页) 的距离,当三点共线时取得最小值,进而求出最小值 【解答】解:由题意抛物线的准线方程为 x1,焦点 F(1,0

17、) ,且可判断 A 在抛物线 外部, 设 P 在准线的射影为 K,由抛物线的性质到准线的距离等于焦点的距离,则 PFPK, 所以|PA|+|PB|PK|1+|PA|PA|+PF|1|AF|1,当且仅当 A,P,F 三点共线时取得 最小值, 而|AF|2,所以|PA|+|PB|的最小值为 21, 故选:B 【点评】考查抛物线的性质,属于中档题 10 (5 分)已知函数 f(x),若函数 g(x)f(x)a 有 3 个零点, 则实数 a 的取值范围是( ) A0,4) B0,2) C (,4 D (,2 【分析】根据题意,分析可得方程 f(x)a0,即 f(x)a 有 3 个根,结合 f(x)的

18、解析式分段分析 f(x)的图象,作出其草图,据此分析可得答案 【解答】解:根据题意,函数 g(x)f(x)a 有 3 个零点,则方程 f(x)a0,即 f(x)a 有 3 个根, 当 x0 时,f(x)x33x,此时 f(x)3x233(x21) , 分析可得:在区间(,1)上,f(x)0,f(x)为增函数, 在(1,0)上,f(x)0,f(x)为减函数, 在区间(,0上,f(x)有最大值 f(1)2 当 x0 时,f(x)lnx 为减函数, 作出函数 f(x)的图象如图: 要使 af(x)有三个不同的根,即函数 yf(x)与直线 ya 有 3 个交点, 则 a 满足 0a2,即实数 a 的取

19、值范围是0,2) , 故选:B 第 10 页(共 18 页) 【点评】本题考查函数的零点与方程的关系,涉及分段函数的图象,关键是分析 f(x) 的图象,属于基础题 11 (5 分)已知三棱锥 PABC 的外接球 O 半径为 2,球心 O 到ABC 所在平面的距离为 1,则三棱锥 PABC 体积的最大值为( ) A B C D3 【分析】推导出ABC 的年接圆的半径 rABC 是等边三角形时,ABC 的面积 最大,求出等边ABC 的边长为 3,点 P 到平面 ABC 的距离的最大值为 hR+d2+1 3,由此能求出三棱锥 PABC 体积的最大值 【解答】解:三棱锥 PABC 的外接球 O 半径为

20、 R2,球心 O 到ABC 所在平面的 距离为 d1, ABC 的年接圆的半径 r ABC 是等边三角形时,ABC 的面积最大, 设等边ABC 的边长为 a,则,解得 a3, SABC, 球心 O 到ABC 所在平面的距离为 1, 点 P 到平面 ABC 的距离的最大值为 hR+d2+13, 三棱锥 PABC 体积的最大值为: 故选:A 【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位 置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 第 11 页(共 18 页) 12 (5 分)已知ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且(ab) sinAcsinC

21、 bsinB,若ABC 的面积为 3,则ABC 的周长的最小值为( ) A4 B3 C6 D3 【分析】由已知利用正弦定理可得 a2+b2c2ab,由余弦定理可得 cosC,可得 sinC 的值,利用三角形的面积公式可求 ab12,由余弦定理,基本不等式即可求解 【解答】解:(ab) sinAcsinCbsinB, 由正弦定理可得(ab)ac2b2,可得 a2+b2c2ab, 由余弦定理可得 cosC,可得 sinC, ABC 的面积为 3absinCab,解得 ab12, 由余弦定理可得 c2a2+b2ab2ababab12, 即 c2, 当且仅当 ab2 时等号成立, ABC 的周长为 a

22、+b+c6,当且仅当 ab2时等号成立, 即ABC 的周长的最小值为 6 故选:C 【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式,基本不等式在解三 角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 ( 5 分 ) 已知, 则 与方 向 相同 的单 位 向量 () 【分析】先求出(4,3) ,由此能求出与方向相同的单位向量 【解答】解:, (4,3) , 与方向相同的单位向量 (4,3)() 故答案为: () 【点评】本题考查单位向量的求法,考查平面向量坐标法则、单位

23、向量的定义等基础知 识,考查运算求解能力,是基础题 第 12 页(共 18 页) 14 (5 分)已知直线 3x+4y+a0 与圆 x2+y21 相切,则 a 的值为 5 【分析】根据题意,由直线与圆相切的判断方法,可得1,解可得 a 的值, 即可得答案 【解答】解:根据题意,直线 3x+4y+a0 与圆 x2+y21 相切, 必有1,变形可得:|a|5, 解可得:a5, 故答案为:5 【点评】本题考查直线与圆相切的性质,注意直线与圆相切的判断方法,属于基础题 15 (5 分)在正项等比数列an中,若,sin(log3a1+log3a2+log3a7)的值 为 【分析】由题意利用等差数列的性质

24、求得 a4的值,再利用对数的运算性质花简要求的式 子,再利用诱导公式,得到结果 【解答】解:在正项等比数列an中,若,a4 sin(log3a1+log3a2+log3a7)sin(log3a1a2a7)sin(log3) sin(log3)sinsin, 故答案为: 【点评】本题主要考查等差数列的性质,对数的运算性质应用,诱导公式,属于中档题 16 (5 分)阿波罗尼斯(约公元前 262190 年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距 离之比为常数 k(k0,k1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆若平面内两 定点 A、B 间的距离为 2,动点 P 满足,当 P,A,B 不共线时,三角形

25、 PAB 面 积的最大值是 【分析】设 A(1,0) ,B(1,0) ,P(x,y) ,则3,化简得(x+) 2+y2 ,当点 P 到 AB(x 轴)距离最大时,PAB 面积的最大值 【解答】解:设 A(1,0) ,B(1,0) ,P(x,y) , 第 13 页(共 18 页) 则3,化简得(x+)2+y2, 如图,当点 P 到 AB(x 轴)距离最大时,PAB 面积的最大值, PAB 面积的最大值是2; 故答案为: 【点评】本题考查轨迹方程求解、直线与圆的位置关系,属于中档题 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,第小题,第 17 题题 10 分,第分,第 18 题至第题至第

26、22 题,每题题,每题 12 分,共分,共 70 分分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 (10 分)设命题 p:实数 x 满足 x23ax+2a20,其中 a0;命题 q:实数 x 满足 x2 7x+60 (1)当 a1 时,若 pq 为真,求 x 的取值范围; (2)若p 是q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围 【分析】 (1)当 a1 时,分别解出 p,q 对应的不等式,若 pq 为真,即既满足 p,又 满足 q 的 x 的值,解不等式组即可; (2)根据p 是q 的必要不充分条件,由互为逆否的两个命题等价知,q 是 p 的必

27、要不 充分条件,即 p 对应的集合是 q 对应集合的真子集,列出不等式组,解出即可 【解答】解: (1)当 a1 时,若 p 真,则 x23x+20,解得 1x2; q 真,则解得 1x6 pq 为真,则 p 真且 q 真,;1x2, 故 x 的取值范围为(1,2) (2)p 是q 的必要不充分条件,则 q 是 p 的必要不充分条件, p 真,有 ax2a,故,解得 1a3 第 14 页(共 18 页) a 的取值范围是1,3 【点评】本题考查了简易逻辑的基本知识,一元二次不等式的解法,考查了推理能力和 计算能力,属于中档题 18 (12 分)设 p: “xR,sinxa+2” ;q: “f(

28、x)(2a1)x是单调递增函数” (1)若 p 为真命题,求实数 a 的取值范围; (2)若 pq 为真命题,且 pq 为假命题,求实数 a 的取值范围 【分析】 (1)根据 p: “xR,sinxa+2” ;若 p 是真命题,用分离参数法,转化为最值 问题求解即可; (2)根据 pq 为真命题,且 pq 为假命题,则 p,q 必然一真一假,分 p 真 q 假和 p 假 q 真两种情况,分别列出不等式组,解出即可 【解答】解: (1)p 为真命题,则 a(sinx2)max,a1; 故 p 为真命题,a 的取值范围是1,+) (2)“pq”为真命题, “pq”为假命题, 则 p,q 一真一假

29、若 q 为真命题,则 f(x)(2a1)x是单调递增函数,2a11 即 a1; p 真 q 假,解得1a1; p 假 q 真,则 a 无解 综上,实数 a 的取值范围是1,1 【点评】本题考查了不等式的解法、函数的单调性、分类讨论方法、转化的思想方法, 简易逻辑的判定方法,考查了推理能力,属于中档题 19 (12 分)已知抛物线 C:y22px(p0)的焦点 F 为圆 x2+y22x0 的圆心 (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)过抛物线的焦点 F 的直线 l 与抛物线相交于 AB 两点,且|AB|5,求直线 l 的方程 【分析】 (1)求出焦点 F,得到 p,再求出抛物线的方程; (2)

30、设直线 l 的方程为:xmy+1,联立解方程组,结合焦点弦长度求出 m,再求出直 线 l 的方程 【解答】解: (1)圆 x2+y22x0 的标准方程为(x1)2+y21,圆心坐标为(1,0) , 即焦点坐标为 F(1,0) ,p2,得到抛物线 C 的方程 y24x; 第 15 页(共 18 页) (2)设直线 l 的方程为:xmy+1, 联立解方程组,消去 y 整理得:x2(4m2+2)x+10, , |AB|, 得 m, 所以所求直线 l 的方程为:y2x2 或 y2x+2 【点评】考查抛物线的性质,抛物线的方程,直线和抛物线的关系,弦长公式的应用, 中档题 20 (12 分)已知函数 f

31、(x)x3+ax2+bx1,曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程为 y 8x+1 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求 yf(x)在区间(1,4)上的极值 【分析】 (1)求出函数的导数,利用切线的斜率列出方程,切点在切线上也在曲线上, 列出方程,求解 a,b 即可 (2)利用导函数切线极值点,判断函数的单调性推出函数的极值即可 【解答】解: (1)因为 f(x)x3+ax2+bx1, 所以,f(x)3x2+2ax+b 所以,曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程的 斜率 又因为 k8, 所以,2a+b11 又因为 f(1)1+a+b181+1 所以,a+b7 联立解得 a4,b3 所

32、以,f(x)x34x23x1 (2)由(1)知, 第 16 页(共 18 页) 令 f(x)0 得, 当,f(x)0,f(x)单调递增; 当,f(x)0,f(x)单调递减; 当 3x4,f(x)0,f(x)单调递增 所以 f(x)在区间(1,4)上的极小值为 f(3)19, 极大值为 【点评】本题考查函数的导数的应用,函数的极值以及函数的切线方程的应用,考查转 化思想以及计算能力 21 (12 分)设 M(2,1)是椭圆上的点,F1,F2是焦点,离心率 (1)求椭圆的标准方程; (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)是椭圆上的两点,且,问线段 AB 的垂直 平分线是否过定点?若过定点,

33、求出此定点的坐标,若不过定点,说明理由 【分析】 (1)由于椭圆的离心率为,所以椭圆的 标准方程为,将点 M 的坐标代入椭圆的标准方程得,得 b23,因此,椭圆的方程为; (2)由题意知,直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 ykx+m,则 k0,与椭圆 方程联立,由韦达定理可得2,所以 ,则线段 AB 的中点坐标为(,) , 则线段 AB 的垂直平分线方程为 y,此时,线段 AB 的 垂直平分线过定点(,0) 第 17 页(共 18 页) 【解答】解: (1)由于椭圆的离心率为, 所以,椭圆的标准方程为, 将点 M 的坐标代入椭圆的标准方程得,得 b23, 因此,椭圆的方程为; (

34、2)由题意知,直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 ykx+m,则 k0, 将直线 AB 的方程与椭圆方程联立,得(2k2+1)x2+4kmx+2m260, 由韦达定理可得2, 所以, 则线段 AB 的中点坐标为 (,) , 则线段AB的垂直平分线方程为y, 即y, 即 y,此时,线段 AB 的垂直平分线过定点(,0) , 综上所述,线段 AB 的垂直平分线过定点(,0) 【点评】本题主要考查了椭圆方程,以及直线与椭圆的位置关系,是中档题 22 (12 分)已知函数 f(x)x22lnx (1)求函数 f(x)在点 A(1,y0)处的切线方程; (2)求函数 f(x)在上的值域; (

35、3)若存在,使得 f(x1)+f(x2)+f(xn1)f(xn) 成立,求 n 的最大值 (其中自然常数 e2.71828) 【分析】 (1)求导后求出斜率,求出切点,即可得到切线方程; (2)利用导数研究函数在所给区间的单调性,进而求得值域; (3)结合(2)的结论,可得 e22f(e)f(xn)f(x1)+f(x2)+f(xn1) 第 18 页(共 18 页) (n1)f(1)n1,进而得解 【解答】解: (1),f(1)0,y0f(1)1, 所求切线方程为 y1; (2)由(1)知,令 f(x)0,解得 x1 或 x 1(舍) , 易知,函数 f(x)在上单调递减,在(1,e上单调递增, f(x)minf(1)1, 又,故 , 所求值域为1,e22; (3)由(2)知,当时,f(x)1,e22, 由于 e22f(e)f(xn)f(x1)+f(x2)+f(xn1)(n1)f(1)n1, ne217, 取 x1x2x3x4x51, 则 故实数 n 的最大值为 6 【点评】本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数在闭区间上的最值,考查转化思 想及逻辑推理能力,属于中档题