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2019-2020学年江西省景德镇市高二(上)期末数学试卷(理科)含详细解答

1、 第 1 页(共 20 页) 2019-2020 学年江西省景德镇市高二(上)期末数学试卷(理科)学年江西省景德镇市高二(上)期末数学试卷(理科) 一、选择题: (每小题一、选择题: (每小题 5 分,共分,共 60 分)分) 1 (5 分)设集合 Ax|x25x+60,Bx|2x10,则 AB( ) A BR CA DB 2 (5 分)在等差数列an中,已知 a4+a816,则该数列前 11 项和 S11( ) A58 B88 C143 D176 3 (5 分)命题“已知直线 l1:ax+y+10 和 l2:x+by+20,若 ab1,则 l1l2” ,该命题 的逆命题、否命题、逆否命题中正

2、确的个数为( ) A0 B1 C2 D3 4 (5 分)已知命题 p 和 q,若pq 为真,pq 为假,则下列一定为真命题的是( ) Ap Bq Cp Dq 5 (5 分)已知函数 f(x)|sinx1|,则以下说法正确的是( ) Af(x)的周期是 Bf(x)的值域是0,1 Cf(x)是奇函数 Df(x)的递减区间是,kZ 6 (5 分)抛物线 y4x2的焦点坐标为( ) A (0,1) B (0,1) C (0,) D (,0) 7 (5 分) 已知变量 x, y 满足约束条件, 则目标函数的最大值 ( ) A B C D 8 (5 分)已知点 P 为ABC 内一点,且满足,则( ) A2

3、 B3 C4 D5 9 (5 分)已知平面四边形 ABCD 中,ABBDDA2,现将ABD 沿 BD 折起,当二面角 ABDC 的大小在内变化,那么直线 AB 与 CD 所成角 的余弦值的取值范围是( ) 第 2 页(共 20 页) A B C D 10 (5 分)如图,在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,M 为 BC 中点,则直线 MD 与平面 AB1C 所成角的正弦值是( ) A B C D 11 (5 分)过双曲线 C:(a0,b0)的右顶点作 x 轴的垂线与 C 的一条渐 近线相交于 A若以 C 的右焦点为圆心、半径为 2 的圆经过 A、O 两点(O 为坐标原点) ,

4、则双曲线 C 的方程为( ) A B C D 12 (5 分)已知 F 是椭圆 C:的右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF 与圆相切于点 Q,且,则椭圆 C 的离心率等于( ) A B C D 二、填空题: (每题二、填空题: (每题 5 分,共分,共 20 分)分) 13 (5 分)已知,若,则 14 (5 分)已知:条件 p:和 q:x2(2a+1)x+a(a+1)0,若p 是q 的必 要不充分条件,则实数 a 的取值范围是 15 (5 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线的上支和焦点为 F 第 3 页(共 20 页) 的抛物线 y22px(p0)交于 A,B 两点,若|AF|

5、+|BF|8|OF|,则双曲线的渐近线方程 为 16 (5 分)已知 a,b 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则以下命题正确的是 (写序号) (1)若 a,b,则 ab; (2)若 a,b,则 ab; (3)若 a,b 不平行,则 a,b 不可能垂直同一平面; (4)若 a,ab,b,则 三、解答题: (三、解答题: (17 题题 10 分,其它每题分,其它每题 12 分)分) 17 (10 分)写出命题“若 m2,则方程 x2+mx+10 有实数根”的逆命题、否命题、逆否 命题,并判断其真假 18 (12 分)给定两个命题,p:存在实数 x,使得 x2+ax+10 成立;q:函数在 x

6、 (1,+)上单调递减 (1)若命题 p 为假命题,求 a 的取值范围; (2)如果 pq 为假,pq 为真,求 a 的取值范围 19 (12 分)如图,五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 为矩形,EF平面 ABCD,EAED ADEF2,AB4,M 为 BC 中点 (1)求证:FM平面 BDE; (2)若平面 ADE平面 ABCD,求点 F 到平面 BDE 的距离 20 (12 分)已知曲线 C 上任意一点到定点(1,0)的距离比到 y 轴的距离大 1,O 为坐标 原点,A,B 是曲线 C 上异于 O 的两点 (1)求出曲线 C 的方程; (2)若直线 OA,OB 的斜率之积等于,判

7、断直线 AB 是否过定点,如果过定点,请 求出定点坐标;如果不过定点,请说明理由 第 4 页(共 20 页) 21 (12 分)在三棱柱 ABCA1B1C1中,侧面 ABB1A1平面 AA1C1C,D 为 BB1的中点, ,AA1C160,ABAA1 (1)在 CC1上是否存在一点 H,使得 B1HA1D,若存在,求出 CH:HC1的值,不存 在,说明理由; (2)在线段 B1C 上有一点 P,且 B1P:PC1:2,求二面角 PAA1D 的余弦值 22 (12 分)已知圆的圆心为 A,圆内一条过点的动弦 CD (与 x 轴不重合) ,过点 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E (1)求出

8、点 E 的轨迹方程; (2)若过点 B 的直线 l 交 E 的轨迹方程于不同两点 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,O 为坐标 原点,且 OMON,点 P 为椭圆上一点,求点 P 到直线 l 的距离的最大值 第 5 页(共 20 页) 2019-2020 学年江西省景德镇市高二(上)期末数学试卷(理科)学年江西省景德镇市高二(上)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题: (每小题一、选择题: (每小题 5 分,共分,共 60 分)分) 1 (5 分)设集合 Ax|x25x+60,Bx|2x10,则 AB( ) A BR CA DB 【分析】求出集合 A,B

9、,计算即可 【解答】解:Ax|x25x+60(2,3) ,Bx|2x10(0.5,+) , 则 ABB, 故选:D 【点评】考查集合的并集,基础题 2 (5 分)在等差数列an中,已知 a4+a816,则该数列前 11 项和 S11( ) A58 B88 C143 D176 【分析】根据等差数列的定义和性质得 a1+a11a4+a816,再由 S11 运算求得结果 【解答】解:在等差数列an中,已知 a4+a816, a1+a11a4+a816, S1188, 故选:B 【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质,等差数列的前 n 项和公式的应用,属于 中档题 3 (5 分)命题“已知直线 l1

10、:ax+y+10 和 l2:x+by+20,若 ab1,则 l1l2” ,该命题 的逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数为( ) A0 B1 C2 D3 【分析】分别利用定义逆命题;否命题;逆否命题即可得出进而判断出真假 【解答】解:原命题“已知直线 l1:ax+y+10 和 l2:x+by+20,若 ab1,则 l1l2” , 由直线平行充要条件是斜率相等且在 y 轴截距不等,当 a,b2 时,直线重合,所 以原命题是假命题, 第 6 页(共 20 页) 该命题的逆命题:已知直线 l1:ax+y+10 和 l2:x+by+20,若 l1l2,则 ab1” ,真 命题, 否命题:已知直线 l1

11、:ax+y+10 和 l2:x+by+20,若 ab1,则 l1不平行 l2”真命题, 逆否命题:已知直线 l1:ax+y+10 和 l2:x+by+20,若 l1不平行 l2,则 ab1,假命 题, 其中正确的个数为 2 个 故选:C 【点评】本题考查了逆命题、否命题、逆否命题的定义,属于基础题 4 (5 分)已知命题 p 和 q,若pq 为真,pq 为假,则下列一定为真命题的是( ) Ap Bq Cp Dq 【分析】分别假设四个选项为真命题,要符合题意,分别得到那些结论,综上所述确定 一定是真命题的是哪个 【解答】解:对于 A 选项,若p 为真命题,则 p 为假命题,无论 q 是真命题还是

12、假命 题,都符合pq 为真,pq 为假 对于 B 选项,若q 为真命题,则 q 为假命题,要符合pq 为真,只能p 为真命题, 那么 p 为假命题,才符合题意, 对于 C 选项,若 p 为真命题,则p 为假命题,要符合 pq 为假,只能 q 为假命题,不 符合pq 为真, 对于 D 选项,若 q 为真命题,则q 为假命题,要符合 pq 为假,只能 p 为假命题, p 为真命题,符合pq 为真, 所以综上可得一定为真命题的是p 故选:A 【点评】本题考查复合命题的真假判断,是基础题解题时要认真审题,注意熟练掌握 基本概念 5 (5 分)已知函数 f(x)|sinx1|,则以下说法正确的是( )

13、Af(x)的周期是 Bf(x)的值域是0,1 Cf(x)是奇函数 Df(x)的递减区间是,kZ 第 7 页(共 20 页) 【分析】直接利用函数的图象的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果 【解答】解:函数 f(x)|sinx1|的图象,相当于将函数 f(x)sinx 的图象向下平移 1 个单位,再将函数我的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方 所以:函数的周期与 f(x)sinx 的图象的周期相同,周期为 2 函数的值域为0,2 函数为非奇非偶函数 函数的单调性与函数 f(x)sinx 的单调性相反函数的单调递减区间为 ,kZ 故选:D 【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦

14、型函数的性质的应用, 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 6 (5 分)抛物线 y4x2的焦点坐标为( ) A (0,1) B (0,1) C (0,) D (,0) 【分析】根据题意,将抛物线的方程变形为标准方程,分析可得其焦点位置以及 p 的值, 有抛物线焦点坐标公式计算可得答案 【解答】解:根据题意,抛物线的方程为 y4x2,则其标准方程为 x2y, 其焦点在 y 轴正半轴上,且 p, 则其焦点坐标为(0,) ; 故选:C 【点评】本题考查抛物线的标准方程,注意先将抛物线的方程变形为标准方程 7 (5 分) 已知变量 x, y 满足约束条件, 则目标函数的最大值 (

15、 ) A B C D 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数,数形结合得到最优 解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案 【解答】解:由约束条件作出可行域如图, 第 8 页(共 20 页) 因为目标函数; 联立 ,解得 C(3,1) , 由图可知,当目标函数过点 C 时, 与定点 P(1,0)的连线斜率最小,z 有最大值为: 故选:C 【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题 8 (5 分)已知点 P 为ABC 内一点,且满足,则( ) A2 B3 C4 D5 【分析】 由ABP 与ABC 为同底不同高的三角形, 则高之比即为两三角形的面积之比, 而由

16、平面向量的平行四边形法则及平行线的性质易得两三角形的高之比, 由此得出结论 【解答】解:延长 CP 交 AB 于点 D,过点 P 作 PMAC 交 AB 于点 M,PNAB 交 AC 于点 N, , , 又 MPAC,由平行线分线段成比例性质可知, 第 9 页(共 20 页) 故选:B 【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的运用,及三角形面积的性质,考查逻辑推 理能力,属于中档题 9 (5 分)已知平面四边形 ABCD 中,ABBDDA2,现将ABD 沿 BD 折起,当二面角 ABDC 的大小在内变化,那么直线 AB 与 CD 所成角 的余弦值的取值范围是( ) A B C D 【分析】取

17、BD 中点 O,连结 AO,CO,以 O 为原点,OC 为 x 轴,OD 为 y 轴,过点 O 作平面 BCD 的垂线为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线 AB 与 CD 所 成角的余弦值取值范围 【解答】解:取 BD 中点 O,连结 AO,CO, ABBDDA2BCCD, COBD,AOBD,且 CO1,AO, AOC 是二面角 ABDC 的平面角, 以 O 为原点,OC 为 x 轴,OD 为 y 轴,过点 O 作平面 BCD 的垂线为 z 轴,建立空间直 角坐标系, B(0,1,0) ,C(1,0,0) ,D(0,1,0) , 设二面角 ABDC 的平面角为 ,则 ,AOC

18、, A(cos,0,sin) , (cos,1,sin) ,(1,1,0) , 则 cos, ,cos0,得|1|0,1 第 10 页(共 20 页) cos0, 故选:C 【点评】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法,训练了利用空间向量求解空间角, 考查计算能力,是中档题 10 (5 分)如图,在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,M 为 BC 中点,则直线 MD 与平面 AB1C 所成角的正弦值是( ) A B C D 【分析】根据题意,以 D1为原点,D1A1,D1C1,D1D 分别为 x,y,z 建立空间直角坐标 系,求出平面 AB1C 的法向量,利用夹角公式求出即可

19、【解答】解:以 D1为原点,D1A1,D1C1,D1D 分别为 x,y,z 建立空间直角坐标系, 显然平面 AB1C 的法向量, D(0,0,1) ,M() , cos, 第 11 页(共 20 页) 由直线 MD 与平面 AB1C 所成角的正弦值等于|cos,|, 故选:D 【点评】考查向量法求法向量,利用夹角公式求直线和平面所成的角,中档题 11 (5 分)过双曲线 C:(a0,b0)的右顶点作 x 轴的垂线与 C 的一条渐 近线相交于 A若以 C 的右焦点为圆心、半径为 2 的圆经过 A、O 两点(O 为坐标原点) , 则双曲线 C 的方程为( ) A B C D 【分析】求出双曲线的右

20、顶点和右焦点以及渐近线方程,可得 A,再由圆的性质可得|AF| |OF|c2,解方程可得 a,b,进而得到双曲线方程 【解答】解:双曲线的右顶点为(a,0) ,右焦点 F 为(c,0) , 由 xa 和一条渐近线 yx,可得 A(a,b) , 以 C 的右焦点为圆心、半径为 2 的圆经过 A、O 两点(O 为坐标原点) , 则|AF|OF|c2, 即有2, c2a2+b24, 解得 a1,b, 第 12 页(共 20 页) 即有双曲线的方程为 x21, 故选:A 【点评】本题考查双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的运用和圆的性质,考查运算 能力,属于基础题 12 (5 分)已知 F 是椭圆 C

21、:的右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF 与圆相切于点 Q,且,则椭圆 C 的离心率等于( ) A B C D 【分析】利用已知条件,画出图形,设出圆的圆心,利用椭圆的定义,转化求解椭圆的 离心率即可 【解答】解:由题意,椭圆的图形如图:F 是椭圆 C:的右焦点, 点 P 在椭圆 C 上,线段 PF 与圆相切于点 Q,且,圆的圆心 为:D(,0) ,圆的半径为:, 所以 F1P2b,FQ, 所以 PF, 所以:+2b2a,可得 c2b2a22ab+b2, 可得 2a3b,即 4a29(a2c2) , 所以 e 则椭圆 C 的离心率: 故选:C 第 13 页(共 20 页) 【点评】本题考

22、查椭圆的简单性质的应用,离心率的求法,考查转化思想以及计算能力, 是中档题 二、填空题: (每题二、填空题: (每题 5 分,共分,共 20 分)分) 13 (5 分)已知,若,则 【分析】由,可得 ( )0,即可得出 【解答】解:, ( )2+10,解得 故答案为: 【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础 题 14 (5 分)已知:条件 p:和 q:x2(2a+1)x+a(a+1)0,若p 是q 的必 要不充分条件,则实数 a 的取值范围是 , 【分析】求出命题 p,q 的解集,若p 是q 的必要不充分条件,即 q 是 p 的必要不充 分条件, (0,(

23、a,a+1) ,求出即可 【解答】解: :,则,x(0, x2(2a+1)x+a(a+1)0, 得 x(a,a+1) , 若p 是q 的必要不充分条件, 即 q 是 p 的必要不充分条件, 即(0,(a,a+1) , a0,a+1, 第 14 页(共 20 页) 得, 故答案为: 【点评】考查充分,必要条件的判断,考查了不等式的运算,中档题 15 (5 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线的上支和焦点为 F 的抛物线 y22px(p0)交于 A,B 两点,若|AF|+|BF|8|OF|,则双曲线的渐近线方程 为 y 【分析】由题意将双曲线与抛物线联立求出两根之和,再由抛物线的性质可得到焦

24、点的 距离等于到准线的距离求出横坐标之和,进而求出 a,b 的关系,求出渐近线的方程 【解答】 解: 设 A (x1, y1) , B (x2, y2) , 联立抛物线与双曲线的方程:, 整理可得:a2x22pb2x+a2b20,所以 x1+x2, 因为|AF|+|BF|8|OF|,由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离可得: x1+x2+p8,x1+x23p, 所以3,可得, 所以渐近线的方程为:yx, 故答案为:yx 【点评】考查抛物线的性质,属于基础题 16 (5 分)已知 a,b 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则以下命题正确的是 (3) (4) (写序号) (1)若 a

25、,b,则 ab; (2)若 a,b,则 ab; (3)若 a,b 不平行,则 a,b 不可能垂直同一平面; (4)若 a,ab,b,则 【分析】直接利用线面垂直和线面平行的应用求出结果 【解答】解:已知 a,b 是两条不同的直线, 是两个不同的平面, 第 15 页(共 20 页) (1)若 a,b,则 a 和 b 可能异面也可能相交,故错误 (2)若 a,b,则 a 和 b 可能异面也可能相交,故错误 (3)若 a,b 不平行,则 a,b 不可能垂直同一平面;即经过一点有且只有一条直线垂直 于该平面 (4)若 a,ab,b,则 由于 a,ab,可得 b,由于 b,进一 步求出 ,故正确 故答案

26、为: (3) (4) 【点评】本题考查的知识要点:直线与平面的平行和垂直问题的应用,主要考查学生的 运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 三、解答题: (三、解答题: (17 题题 10 分,其它每题分,其它每题 12 分)分) 17 (10 分)写出命题“若 m2,则方程 x2+mx+10 有实数根”的逆命题、否命题、逆否 命题,并判断其真假 【分析】直接利用四个命题的应用求出结果 【解答】解:逆命题:若 x2+mx+10 有实数根,则 m2(假命题) , 否命题:若 m2,则方程 x2+mx+10 没有实数根(假命题) , 逆否命题:若方程 x2+mx+10 没有实数根,则 m2(真

27、命题) 【点评】本题考查的知识要点:四个命题的应用,主要考查学生转换能力及思维能力, 属于基础题 18 (12 分)给定两个命题,p:存在实数 x,使得 x2+ax+10 成立;q:函数在 x (1,+)上单调递减 (1)若命题 p 为假命题,求 a 的取值范围; (2)如果 pq 为假,pq 为真,求 a 的取值范围 【分析】根据不等式的性质分别判定命题 p,q 的真假,利用复合命题之间的关系即可得 到结论 【解答】解:已知两个命题,p:存在实数 x,使得 x2+ax+10 成立;q:函数在 x(1,+)上单调递减 (1)若命题 p 为假命题,则p 为真命题即:对任意实数 x,x2+ax+1

28、0 恒成立, 所以a2402a2 故 a 的取值范围是:a|2a2; 第 16 页(共 20 页) (2)若 p 真:则0,可得 a2 或 a2, 若 q 真:则 a1, 由题意如果 pq 为假,pq 为真,可知:p 真 q 假,或 p 假 q 真 当 p 真 q 假时,2a1, 当 p 假 q 真时,a2, 故 a 的取值范围是:a|2a1 或 a2 【点评】本题主要考查复合命题之间的关系,根据不等式的性质分别判定命题 p,q 的真 假是解决本题的关键,比较基础 19 (12 分)如图,五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 为矩形,EF平面 ABCD,EAED ADEF2,AB4,M

29、为 BC 中点 (1)求证:FM平面 BDE; (2)若平面 ADE平面 ABCD,求点 F 到平面 BDE 的距离 【分析】 (1)取 BD 中点 N,连接 MN,EN证明四边形 EFMN 为平行四边形,推出 FM EN,即可证明 FM平面 BDE (2)以 AD 中点为坐标原点,OA,OM,OE 为 x,y,z 轴构建空间直角坐标系,求出平 面 BDE 的法向量,利用向量的数量积求解 F 到平面 BDE 的距离即可 【解答】 (1)证明:取 BD 中点 N,连接 MN,EN 因为 MNCD 且 MN,EFCD 且 EF, 所以 MNEF 且 MNEF, 则四边形 EFMN 为平行四边形,所

30、以 FMEN, 所以 FM平面 BDE (2)以 AD 中点为坐标原点,OA,OM,OE 为 x,y,z 轴构建空间直角坐标系, E(0,0,) ,D(1,0,0) ,B(1,4,0)可得(1,0,) ,(2,4, 0) ,(0,2,0) , 第 17 页(共 20 页) 设平面 BDE 的法向量 (x,y,z) ,不妨取 x1,则平面 BDE 的法向量 (1,) , 则 F 到平面 BDE 的距离 d 【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用,空间点到平面的距离的求法的求 法,考查空间想象能力以及计算能力,是中档题 20 (12 分)已知曲线 C 上任意一点到定点(1,0)的距离比到

31、y 轴的距离大 1,O 为坐标 原点,A,B 是曲线 C 上异于 O 的两点 (1)求出曲线 C 的方程; (2)若直线 OA,OB 的斜率之积等于,判断直线 AB 是否过定点,如果过定点,请 求出定点坐标;如果不过定点,请说明理由 【分析】 (1)根据抛物线的定义,求得曲线 C 的方程; (2)设直线 AB 的方程,代入抛物线方程,根据韦达定理定理及,求得 n 16,即可直线 AB 恒过定点 【解答】解: (1)由题意可知,曲线为以(1,0)为焦点的抛物线, 所以曲线 C 的方程:y24x (2)直线 AB 恒过定点(16,0) 理由如下: 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,设直线

32、 AB 的方程:xmy+n,则 ,所以,所以 y1y264, 由 xmy+n 联立 y24x,得:y24my4n0, 所以 y1y24n, 所以 n16,即过定点(16,0) 第 18 页(共 20 页) 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查抛物线的定义及标准方程,考查转化 思想,计算能力,属于中档题 21 (12 分)在三棱柱 ABCA1B1C1中,侧面 ABB1A1平面 AA1C1C,D 为 BB1的中点, ,AA1C160,ABAA1 (1)在 CC1上是否存在一点 H,使得 B1HA1D,若存在,求出 CH:HC1的值,不存 在,说明理由; (2)在线段 B1C 上有一点 P,

33、且 B1P:PC1:2,求二面角 PAA1D 的余弦值 【分析】 (1)令 AB1,由三角形的相似推得 AB1A1D,若 B1HA1D,运用线面垂直 的判定定理和性质定理、面面垂直的性质,即可得到结论; (2)以 AB,AA1,AH 为 x,y,z 轴构建空间直角坐标系,令 AB1,分别求得平面 PAA1 的法向量和平面 DAA1的法向量,再由向量的夹角公式,计算可得所求值 【解答】解: (1)令 AB1,则 ACAA1, AA1B1DB1A1,AB1A1D, 若 B1HA1D,则 A1D面 AB1HA1DAH, 又侧面 ABB1A1平面 AA1C1C,ABAA1, AB平面 AA1C1C,A

34、BAH, AHAA1,H 为 CC1的中点,即 CH:HC11:1 (2)以 AB,AA1,AH 为 x,y,z 轴构建空间直角坐标系,令 AB1, 则 C(0,) ,B1(1,0) ,A1(0,0) , 可得+(,) , 设平面 PAA1的法向量为 (x,y,z) ,由 0 且 0,即x+y+z 0 且y0, 第 19 页(共 20 页) 可取 (,0,1) ,又因为面 AA1D 的法向量 (0,0,1) , 所以二面角 PAA1D 的余弦值 cos|cos , | 【点评】本题考查空间线面和面面垂直的判断和性质,考查空间二面角的求法,运用法 向量法是解题的关键,考查化简运算能力和推理能力,

35、属于中档题 22 (12 分)已知圆的圆心为 A,圆内一条过点的动弦 CD (与 x 轴不重合) ,过点 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E (1)求出点 E 的轨迹方程; (2)若过点 B 的直线 l 交 E 的轨迹方程于不同两点 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,O 为坐标 原点,且 OMON,点 P 为椭圆上一点,求点 P 到直线 l 的距离的最大值 【分析】 (1)利用已知条件,判断 E 的轨迹,转化求解轨迹方程即可 (2)设出 MN 的方程与椭圆方程联立结合韦达定理以及向量的数量积为 0,求出 MN 方 程,然后设出直线 l 的方程,通过相切求解 l 的方程,利用点到直线

36、的距离求解即可 【解答】解: (1)由题意可知:圆,即(x+)2+y216, BE+AEAD4,所以 E 轨迹以 A,B 为焦点的椭圆,除去与 x 轴的两个交点 2a4, c,可得 b1, 所以点 E 的轨迹方程为(y0) (2)设直线 MN:xmy+联立, 得: (m2+4)y2+2my10, 所以 y1+y2,y1y2 因为 OMON 可得 x1x2+y1y20 第 20 页(共 20 页) 由求得 m, 由于椭圆对称性,不妨取 m,则直线 MN:xy+, 数形结合可知,直线 MN 平行的直线与椭圆相切,切点之一为所求点 P, 所以设与直线 MN 平行的直线 l:xy+n 联立, , 由0 可得 n, 所以此时 P 到直线 l 的距离 d 【点评】本题考查轨迹方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查转化思想 以及计算能力,是难题