1、考前考前 20 天终极冲刺高考模拟考试卷（天终极冲刺高考模拟考试卷（7） 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。求的。 1已知集合 2 |23 0Ax xx ， |0Bx xa ，且 | 31ABxx剟，则(a ) A3 B1 C1 D3 2已知i为虚数单位，若复数z满足|24zzi ，则z在复平面内对应的点的坐标为( ) A(3,4) B( 3,4) C(3, 4) D( 3, 4) 3某校有 500 人参加某次模拟考试，其中数学考
2、试成绩近似服从正态分布(105N， 2)( 0)，试卷满分 150 分，统计结果显示数学成绩优秀（不低于 120 分）的人数占总人数的 1 5 ，则此次数学成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为( ) A75 B100 C150 D200 4已知函数( )25 x f xex 的零点位于区间( ,1)m m，mZ上，则 4 2log | ( m m ) A 1 4 B 1 4 C 1 2 D 3 4 5在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满是 cos 2 cos bA ac B ，则角(B ) A 6 B 4 C 3 D 2 3 6 等比数列 n a的各项均为实数，其前n
3、项和为 n S，已知 3 14S ， 6 63 4 S ，则 5 (a ) A2 B 1 2 C4 D 1 4 7设函数( )f x是定义在(0,)上的可导函数，其导函数为( )fx，且有2 ( )( )0f xxfx，则不等式 2 (2021)(2021)xf xf（1）0的解集为( ) A(2020,) B(0,2022) C(0,2020) D(2022,) 8在四棱锥PABCD中，3DCAB，过直线AB的平面将四棱锥截成体积相等的两个部分，设该平面与 棱PC交于点E，则( PE PC ) A 1 2 B 2 2 C 3 2 D 2 3 二、二、选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每
4、小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的对分，部分选对的对 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 92014 年 7 月 18 日，教育部公布了修订的国家学生体质健康标准 学生体测成绩达到或超过良好，才 有资格参与评优与评奖中学男生 100 米体能测试的良好成绩小于 14.15 秒某中学为了解高一男生的体能 情况，通过随机抽样，获得了 100 名男生的 100 米体能测试的成绩（单位：秒） ，将数据按照11.5，12)， 12，12.5)
5、，15.5，16分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图 由直方图推断，下列选项正确的是( ) A直方图中a的值为 0.4 B由直方图估计本校高一男生 100 米体能测试成绩的众数为 13.75 秒 C由直方图估计本校高一男生 100 米体能测试成绩的中位数为 13.7 秒 D由直方图估计本校高一男生 100 米体能测试成绩良好率超过了80% 10若非零实数a，b满足ab，则下列结论正确的是( ) A2abab B 22 2abab C 22 |2()abab D 11 ()()4ab ab 11已知函数( ) |sin|3 |sin()| 2 f xxx ，则( ) A( )f x在 2
6、 ，上的最小值是 1 B( )f x的最小正周期是 2 C直线() 2 k xkZ 是( )f x图象的对称轴 D直线 2 yx 与( )f x的图象恰有 2 个公共点 12已知 n S是数列 n a的前n项和，且 12 1aa， 12 2(3) nnn aaan ，则下列结论正确的是( ) A数列 1 nn aa 为等比数列 B数列 1 2 nn aa 为等比数列 C 1 2( 1) 3 nn n a D 10 20 2 (41) 3 S 三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 3525 0125 (3)(1)(1)(1)xxa
7、axaxax，则 3 a 14小赵、小钱、小孙、小李四名同学报名参加了龙虎山、三清山、井冈山、庐山四个景点的旅游，且每 人只参加了其中一个景点的旅游，记事件A为“4 个人去的景点互不相同” ，事件B为“只有小赵去了龙虎 山景点” ，则(|)P A B 15已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别是 1 F、 2 F，M是C的渐近线与圆 22 xya的 一个交点（点M位于第一象限） ，直线 2 F M与C在第四象限相交于点N，O是坐标原点，若 11 | |MNNFOF，则C的离心率为 16不共线向量OA，OB满足| | 1OAOB若对于给定的实数R，存在唯一的
8、点P，满足 ( ,)OPOAOBR 且| 2OP ，则 2 | 的最小值是 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17从 1 a， 2 a， 5 a成等比数列， 5 25S ， 2 2 2 nn SS nn ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题 中并作答 已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 4 7a ，_， 1 2 2 n a nn ba ，求数列 n b的前n项和为 n T 18如图，在四边形ABCD中，BCD是等腰直角三角形，90BCD，90ADB， 5 sin
9、5 ABD， 2BD ，AC与BD交于点E （1）求sinACD； （2）求ABE的面积 19在如图所示的空间几何体中，两等边三角形ACD与ABC互相垂直，4ACBE，BE和平面ABC 所成的角为60，且点E在平面ABC上的射影落在ABC的平分线上 （1）求证：/ /DE平面ABC； （2）求平面ABE与平面ACD所成夹角的余弦值 20已知 6 只小白鼠中有且仅有 2 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的小白鼠血液化验呈 阳性即为患病，阴性为不患病现将 6 只小白鼠随机排序并化验血液，每次测 1 只，且得到前一只小白鼠 的血液化验结果之后才化验下一只小白鼠的血液，直到能确定哪两只小白鼠
10、患病为止，并用X表示化验总 次数 （1）在第一只小白鼠验血结果为阳性的条件下，求3X 的概率； （2）求X的分布列与数学期望 21已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，过右焦点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，且 当直线l与x轴垂直时，| 3MN （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的上顶点为B，线段MN的垂直平分线交x轴于点D，O为坐标原点，求OBD面积的取值 范围 22已知函数 2 ( )1f xxx，( )sincosg xxx （）当 4 x 时，求证：( )( )f xg x； （）若不等式( )( )2f xg xax在0，)上恒成立，求实数
11、a的取值范围 考前考前 20 天终极冲刺高考模拟考试卷（天终极冲刺高考模拟考试卷（7）答案）答案 1解： | 31Axx 剟， |Bx xa，且 | 31ABxx剟， 1a 故选：C 2解：设复数zxyi，则 22 | | zxy， 所以 22 24xyxyii， 所以 22 2 4 xyx y ，解得3x ，4y ， 所以34zi，则复数z对应点的坐标为(3, 4)， 故选：C 3解：(90)(120)0.2P XP X剠， (90120)10.40.6PX 剟， 1 (90105)(90120)0.3 2 PXPX剟剟， 此次数学考试成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为5000.3
12、150 故选：C 4解：函数( )25 x f xex 是连续减函数， 2 ( 2)10fe ，( 1)30fe， ( 2)( 1)0ff， 函数( )25 x f xex 的零点位于区间( 2, 1)即( ,1)m m上， 又mZ，2m 则 2 44 113 2log | 22 424 m mlog 故选：D 5解：因为 cos 2 cos bA ac B ，可得 cos 2 cos bA ca B ，即cos(2)cosbAcaB， 所以由正弦定理可得sincos2sincossincosBACBAB， 可得sincossincossin()sin2sincosBAABABCCB， 因为s
13、in0C ， 可得 1 cos 2 B ， 因为(0, )B， 所以 3 B 故选：C 6 解：根据题意，设等比数列 n a的公比为q， 若 3 14S ， 6 63 4 S ，则1q ， 则有 6 1 6 36 33 13 (1) 191 1 (1)18 1 aq Sqq q aqSq q ，解可得 1 2 q ， 又由 3 14S ，即 31231 7 14 4 Saaaa，解可得 1 8a ， 则 4 51 11 8 162 aa q ， 故选：B 7解：令 2 ( )( )g xx f x， 2 ( )2( )( )g xxf xx f x ， 2 ( )( )0f xxfx， ( )
14、0g x ，在(0,)恒成立， ( )g x在(0,)为增函数， 2 (2021)(2021)xf xf（1）0， 2 (2021)(2021)xf xf（1） ， g（1）f（1） ， (2021)g xg（1） ， 20211x， 2022x， 故选：D 8解：设该平面与PD交于F，3DCAB，/ /ABCD， AB平面PCD，CD 平面PCD，/ /AB平面PCD， AB 平面ABEF，平面ABEF平面PCDEF， / /ABEF，则/ /CDEF， 设(01) PE PC ，则 PF PD ， 再设四棱锥PABCD的体积为V， 3DCAB，3 ACDABC SS ，可得 1 4 P A
15、BC VV ， 3 4 P ACD VV ， 又 P ABE P ABC VPE VPC ， 1 4 PABE VV ， 又 2P AEF P ACD VPE PF VPC PD ， 2 3 4 P AEF VV ， 2 131 () 442 P ABEFP ABEP AEF VVVVV ， 即 2 131 442 ，又01，解得 2 3 故选：D 9 2 解： 由频率之和为 1 可知，0.5 (0.080.160.300.520.300.120.080.04)1a， 解得0.4a ， 故选项A正确； 直方图的众数就是频率最高组的中点，即13.5 14 13.75 2 ，故选项B正确； 直方图
16、的中位数是频率相等的分点，设为x，则有0.5 (0.080.160.300.4)0.52(13.5)0.5x，解得 13.5613.7x ，故选项C错误； 由频率分布直方图可知，成绩小于 14.15 秒的人数所占百分比为： 0.5 (0.080.160.300.40.52)0.3 0.15 100%77.5%80%，故选项D错误 故选：AB 10解：根据题意，依次分析选项： 对于A，若a，b均为负数，则不等式显然不成立，则A错误； 对于B，实数a，b满足ab，则 222 2()0ababab，则 22 2abab，B正确， 对于C，由B的结论， 22 2abab，在不等式的两边同时加上 22
17、ab，得 222 2()()abab， 则 22 |2()abab成立，则C正确； 对于D，取2a ，1b ，则 11111 ()()(2 1)()4 212 ab ab ，所以 11 ()()4ab ab 不成立，则D 错误 故选：BC 11解：( ) |sin|3|cos | |sin|3|cos |f xxxxx A：在 2 ，( )f x的最小值在 2 x 时取得，()1 2 f ，故A正确 :() |sin()|3 |cos() |cos|3 |sin| 222 Bf xxxxx ， ()( ) 2 f xf x 故B错 :() 2 k C xkZ 是( )f x图像的对称轴，故C正
18、确 D：当 2 x 时， 2 1 2 y ，当x时， 2 2y ，故 2 yx 图像如图，共有 2 个交点 故选：ACD 12解： 12 2 nnn aaa ， 11212 222()(3) nnnnnn aaaaaan ， 因为 12 1aa，所以 312 23aaa， 3221 42()aaaa， 所以数列 1 nn aa 是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 所以 1 1 2 22 nn nn aa ，故选项A正确； 12 2 nnn aaa ， 12112 22(2) nnnnnn aaaaaa ， 32 2321aa， 21 2121aa ， 所以 1 2 nn aa 是首项为1，
19、公比为1的等比数列， 1 1 21 ( 1)( 1) nn nn aa ，故选项B正确； 1 1 2 2( 1) n nn n nn aa aa ，所以 2( 1) 3 nn n a ，故选项C错误； 2012n Saaa 222020 2( 1)2( 1)2( 1) 333 220220 (222 )( 1)( 1)( 1) 3 2020 12(12 )( 1) 1( 1) 3121( 1) 2010 22 (21)(41) 33 ，故选项D正确 故选：ABD 13解： 353525 0125 (3)(1) 1 (1)(1)(1)(1)xxxxaaxaxax ， 则 32 35 1( 1)9
20、aC ， 故答案为：9 14解：小赵、小钱、小孙、小李四名同学报名参加了龙虎山、三清山、井冈山、庐山四个景点的旅游， 每人只参加了其中一个景点的旅游， 记事件A为“4 个人去的景点互不相同” ，事件B为“只有小赵去了龙虎山景点” ， 则P（B） 3 4 327 4256 ， 13 13 4 3 () 4128 C A P AB ， 3 ()2 128 (|) 27 ( )9 256 P AB P A B P B 故选： 2 9 15解：设双曲线的半焦距为c，可得 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c， 由 222 xya b yx a ，解得 2 (aM c ，) ab c ， 由 112
21、2 | | |MNNFOFMFNF， 又 12 | 2NFNFa， 可得 222 2 2 2() aa b acc cc ， 由 222 bca， 化简可得 2 54aac，即54ac， 即有 5 4 c e a 故答案为： 5 4 16 解： 由OPOAOB， 则有 2 ()OPOAOB， 所以 22 (2 cos )40 （其中为向量OA， OB的夹角） ， 因为P点唯一，所以关于的方程 22 (2 cos )40 有唯一解， 于是 222 4cos4(4)0，则 2 2 4 sin ，又cos，消去得 22 4， 所以 22 4 4 | ，当且仅当| 2时等号成立， 故 2 | 的最小值
22、是 4 故答案为：4 17解：选，设数列 n a的公差为d，则由 4 7a 可得 1 37ad， 由 1 a， 2 a， 5 a成等比数列得 2 111 (4 )()a adad， 联立以上两式可得 1 7a ，0d 或 1 1a ，2d ， 若 1 7a ，0d ，则7 n a ，23 n b ，23 n Tn； 若 1 1a ，2d ，则21 n an，212n n bn ， 21 (1)2(12 ) 1222 212 n n n n n Tnn 选，设数列 n a的公差为d，则由 4 7a 可得 1 37ad， 由 5 25S 得 1 54 525 2 ad ， 联立以上两式可得 1 1
23、a ，2d ， 则21 n an，212n n bn ， 21 (1)2(12 ) 1222 212 n n n n n Tnn 选，设数列 n a的公差为d，则由 4 7a 可得 1 37ad， 1 (1) 2 n n nd Sna ， 1 (1) 2 n Snd a n ， 2 1 (1) 22 n Snd a n ， 由 2 2 2 nn SS nn 得2d ，则 1 1a ， 则21 n an，212n n bn ， 21 (1)2(12 ) 1222 212 n n n n n Tnn 18解： （1）如图所示： 设ABD，则 5 sin 5 ， 2 2 5 cos1 5 sin，
24、1 tan 2 ， 所以tan1ADBD，所以5AB ， 所以541AD ， 2 2 2 BCCDBD， 所以9045135ADCADBBDC 由余弦定理： 222 2 cos 22 ADCDAC ADC AD CD ， 所以 2 122 22 12 AC ， 解得5AC ， 作AHBC，所以5ABAC， 2 2 BHCH， 10 sinsin(90)cos 10 CH ACDACBACB AC ， （2）设DEx，在CED中，由正弦定理得： sinsin135 xCE ACD ， 所以5CEx， 所以5(1)AEx， 在Rt ADE中，有 22 5(1)1xx ，即 2 2520 xx， 解
25、得2x 或 1 2 由于2xDEBD， 故 1 2 x 所以 13 2 22 BE ， 则 13 24 ABE SBE AD 19 （1）证明：取AC中点O，连接BO，DO， 由题知，BO为ABC的平分线，BOAC，DOAC， 设点F是点E在平面ABC上的射影，由题知，点F在BO上， 连接EF，则EF 平面ABC 平面ACD 平面ABC，平面ACD平面ABCAC，DO 平面ACD，DOAC， DO平面ABC，（2 分） / /DOEF 因为BE和平面ABC所成的角为60，即60EBF，2 3EF，又2 3DO ， 四边形EFOD为平行四边形，/ /DEBO，（5 分） BO 平面ABC，DE
26、平面ABC，/ /DE平面ABC（6 分） （2）解：以OA，OB，OD方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则(2,0,0), (0,2 32,2 3), (0,2 3,0)AEB( 2,2 3,0),( 2,2 32,2 3)ABAE ， （8 分） 设平面ABE的一个法向量为( , , )nx y z， 则 22 30 2(2 32)2 30 n ABxy n AExyz ，取1z ，得(3, 3,1)n ， 取平面ACD的法向量为(0,1,0)m （10 分） 设平面ABE与平面ACD所夹角为， 则 339 cos|cos,| | |1313 1 n
27、m n m n m ，（11 分） 平面ABE与平面ACD所夹角余弦值为 39 13 （12 分） 20解： （1）设“第k次化验结果为阳性”为事件 k A， “第k次化验结果为阴性”为事件 k A，(1k ，2，3， 4，5，6)， 第一只阳性且3x 对应的可能事件为两只患病小鼠在第一次和第三次测，其余 4 只任意排，共有 24 24 48A A 种， 第一只测试阳性的排列方法共有 15 25 240C A 种， 则所求的概率为 13 1 ()481 (3) ()2405 P A A P x P A ； （2）X的可能取值为 2，3，4，5， 则 2424 2424 12 66 66 11
28、(2)() 1515 A AA A P XP A A AA ， 123123 2 (3)()() 15 P XP A A AP A A A ， 1234123412341234 14 (4)()()()()4 1515 P XP A A A AP A A A AP A A A AP A A A A， 1248 (5)1(2)(3)(4)1 15151515 P XP XP XP X ， 所以X的分布列为： X 2 3 4 5 P 1 15 2 15 4 15 8 15 故X的数学期望为 124864 ()2345 1515151515 E X 21解： （1）设( ,0)F c，则 2 2 |
29、3 b MN a ， 又由离心率 1 2 c e a 得，2ac， 又因为 222 abc，则 22 43ba， 由上可得，2a ，3b ， 即得椭圆C的方程为： 22 1 43 xy （2）根据题意可得，直线l的斜率存在且不为 0，右焦点为(1,0)F， 则设直线l的方程为1(0)xmym，点 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y， 联立椭圆方程得 22 1 1 43 xmy xy ， 化简可得 22 (34)690mymy，则0， 且有 12 2 6 34 m yy m ， 设线段MN的中点坐标为 0 (G x， 0) y，则 0 2 3 34 m y m ， 00 2 4
30、 1 34 xmy m ， 所以可得线段MN的中垂线的方程即为： 22 34 () 3434 m ym x mm ， 即得点 2 1 (,0) 34 D m ， 所以 2 1331 | | 22234 OBDD SODOBx m ， 2 11 0 344m ， OBD的面积的取值范围为 3 (0,) 8 22 （）证明：令， （1）当时， 2 ( )( )( )1sincosh xf xg xxxxx 4 x 44 x 2 ( )1cossin 1 x h xxx x 因为， 所以在，上单调递增，且， 当时，当时， 所以在，上单调递减，在上单调递增， 所以，所以； （ 2 ） 当时 ， 则，
31、所 以 综上所述，当时， （）解：令， 则， 由题意得在，上恒成立，因为， 所以，所以， 下证当时，在，上恒成立， 因为， 令，只需证明在，上恒成立， （1）当时， ，因为在，上单调递减，所以， 所以在，上单调递减，所以， 所以在，上单调递减，所以； （2）当时， 综上所述，实数的取值范围是， 3 2 2 1 ( )2sin()0 4 (1) hxx x ( )h x 4 ) 4 (0)0h 0 4 x ( )0h x0 4 x ( )0h x ( )h x 4 0)(0,) 4 ( )(0)0h xh( )( )f xg x 4 x 222 ( )12sin()12()120 444 h x
32、xxxxx 厖 ( )( )f xg x 4 x ( )( )f xg x 2 ( )( )( )21sincos2t xf xg xaxxxxxax 0 x 2 ( )1cossin 1 x t xxxa x ( ) 0t x 0)(0)0t (0)20ta 2a 2a( ) 0t x 0) 22 ( )1sincos21sincos22t xxxxxaxxxxxx 2 ( )1sincos2xxxxx ( ) 0 x0) 0 4 x 剟 2 ( )1cossin 1 x xxx x 3 2 2 1 ( )2sin() 4 (1) xx x ( ) x0 4 ( )(0)0 x ( ) x0 4 ( )(0)0 x ( )x0 4 ( )(0)0 x 4 x 222 ( )12sin()2122()1220 444 xxxxxx 剟 a2)
