2021届高考数学考前20天终极冲刺模拟试卷(5)含答案

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1、考前考前 20 天终极冲刺高考模拟考试卷(天终极冲刺高考模拟考试卷(5) 一、一、选择题:本题共选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。求的。 1已知集合 2 |43 0Ax xx , |Bx xa ,若A B ,则实数a的取值范围是( ) A3, ) B(3,) C(,1 D(,1) 2复数 2 () 2 ai aR i 的虚部为( ) A 22 5 a B 4 5 a C 22 5 a D 4 5 a 3已知 sin1 2021a , 2021 log(

2、sin1)b ,sin1c ,则a,b,c的大小关系为( ) Aab c Bbca Ccba Dbac 4若抛物线 2 2(0)ypx p上的点 0 (3,)Ay 到焦点的距离是点A到y轴距离的 3 倍,则 0 y等于( ) A6 2 B6 C12 2 D12 5已知随机变量X服从正态分布 2 ( ,)N ,若 (1)(5)1P xp x ,则 ( ) A1 B1 C2 D2 6已知函数 ( )sin(2)(0f xAxA ,| |) 2 部分图象如图所示,若对不同的m, 1 nx , 2 x ,当 ( )( )f mf n 时,总有 ()1f mn ,则( ) A 21 xx , 6 B 2

3、1 2 xx , 3 C 21 xx , 3 D 21 2 xx , 6 7已知alnb, 1cd,则 22 ()()acbd的最小值是( ) A1 B2 C2 D2 2 8如图,三棱柱 111 ABCABC 中,4AB ,3AC ,5BC , 1 6AA ,D为 1 CC中点,E为 1 BB上一点, 1 3BBBE, 1 60A AC,M为平面 11 AAC C上一点,且/ /BM 平面ADE,则点M的轨迹的长度为( ) A1 B2 C3 D2 二、二、选择题:本题共选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在

4、每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分,部分选对的对分,部分选对的对 2 分,有选错的得分,有选错的得 0 分。分。 9关于多项式 6 2 ()x x 的展开式,下列结论正确的是( ) A各项系数之和为 1 B二项式系数之和为 6 2 C存在常数项 D 4 x的系数为 12 10某高中积极响应国家“阳光体育运动的号召,为确保学生每天一小时体育锻炼,调查该校 3000 名学 生每周平均参加体育锻炼时间的情况,从高一、高二、高三三个年级学生中按照4:3:3的比例分层抽样, 收集 300 名学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时),整理后得到如图所示的

5、频率分布直方 图下列说法正确的是( ) A估计该校学生每周平均体育运动时间为 5.8 小时 B估计高一年级每周平均体育运动时间不足 4 小时的人数约为 300 人 C估计该校学生每周平均体育运动时间不少于 8 小时的百分比为10% D估计该校学生每周平均体育运动时间不少于 8 小时的人数约为 600 人 11已知x,y R ,且满足 22 422xyxy,下列正确的选项有( ) Axy的最大值为 1 3 Bxy的最大值为 1 2 C 22 4xy的取值可以为 4 3 D 22 4xy的取值可以为 4 12 已知 1 F, 2 F分别为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左

6、、 右焦点,C的一条渐近线l的方程为3yx, 且 1 F到l的距离为3 3,点P为C在第一象限上的点,点Q的坐标为(2,0),PQ为 12 F PF 的平分线,则下 列正确的是( ) A双曲线的方程为 22 1 927 xy B 1 2 | 2 | PF PF C 12 | 3 6PFPF D点P到x轴的距离为 3 15 2 三、填空题:本题共填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分。 13曲线 ( )sin2cos1f xxx 在点( 2 ,0)处的切线方程为 14已知随机事件A和B相互独立,若 ()0.36P AB ,( )0.6(P AA表示事件A的对

7、立事件),则P(B) 15所谓正多面体,是指多面体的各个面都是全等的正多边形,并且各个多面角都是全等的多面角例如: 正四面体(即正棱锥体)的四个面都是全等的三角形,每个顶点有一个三面角,共有四个三面角,可以完 全重合,也就是说它们是全等的毕达哥拉斯学派将正多面体称为宇宙体,并指出只有五种宇宙体,即正 四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体由棱长为 1 的正方体的六个表面的中心可构成 一正八面体,则该正八面体的内切球的表面积为 16如图,平面凹四边形ABCD,其中5AB ,8BC , 60ABC,120ADC,则四边形ABCD面 积的最小值为 四、四、解答题:本题共解答题:本题共 6

8、 小题,共小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17已知锐角三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 2b ,3c ,三角形ABC的 面积为 3 3 2 (1)求BC边上的高; (2)求sin( 2 )AC 18设数列 n a 的前n项和为 n S,若满足 1 32(1) nn SSn ,且 1 2a (1)证明:数列 1 n a 是等比数列; (2)判断数列 1 23 n nn a a 的前n项和 n T与 1 2 的大小关系,并说明理由 19如图,正四棱锥SABCD中,4SA ,2AB ,E为棱SC上的动

9、点 (1)若E为棱SC的中点,求证:/ /SA平面BDE; (2)若E满足3SEEC,求异面直线SA与BE所成角的余弦值 20高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型,在一块木板上钉着若干排相互平 行但相互错开的圆柱形小木块,小木块之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃,让一个小球从 高尔顿板上方的通道口落下,小球在下落的过程中与层层小木块碰撞,且等可能向左或向右滚下,最后掉 入高尔顿板下方的某一球槽内如图 1 所示的高尔顿板有 7 层小木块,小球从通道口落下,第一次与第 2 层中间的小木块碰撞, 以 1 2 的概率向左或向右滚下, 依次经过 6 次与小木块碰撞, 最后

10、掉入编号为 1, 2, , 7 的球槽内例如小球要掉入 3 号球槽,则在 6 次碰撞中有 2 次向右 4 次向左滚下 ()如图 1,进行一次高尔顿板试验,求小球落入 5 号球槽的概率; ()小红、小明同学在研究了高尔顿板后,利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动小 红使用图 1 所示的高尔顿板,付费 6 元可以玩一次游戏,小球掉入m号球槽得到的奖金为元,其中 |164|m 小明改进了高尔顿板(如图2),首先将小木块减少成 5 层,然后使小球在下落的过程中与小 木块碰撞时,有 1 3 的概率向左, 2 3 的概率向右滚下,最后掉入编号为 1,2,5 的球槽内,改进高尔顿 板后只需付费

11、 4 元就可以玩一次游戏,小球掉入号球槽得到的奖金为n元,其中 2 (4) .n两位同学的 高尔顿板游戏火爆进行,很多同学参加了游戏,你觉得小红和小明同学谁的盈利多?请说明理由 21已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 的右焦点为 (F c,0)(0)c ,离心率为 3 2 ,经过F且垂直于x轴的直 线交于第一象限的点M,O为坐标原点,且 13 | 2 OM ()求椭圆的方程; ()设不经过原点O且斜率为 1 2 的直线交椭圆于A,B两点,A,B关于原点O对称的点分别是C, D,试判断四边形ABCD的面积有没有最大值若有,请求出最大值;若没有,请说明理由 22已知函数 2 1 (

12、 )2 2 f xxmxlnxn 在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴 ()求 ( )f x的单调区间; ()若 ( )f x存在三个都为正数的零点,求证:任意两个零点的差小于 2 考前考前 20 天终极冲刺高考模拟考试卷(天终极冲刺高考模拟考试卷(5)答案)答案 1解:因为集合 2 |43 0 |13Ax xxxx剟?, 又A B , 所以3a 故选:A 2解:复数 2(2 )(2)224 2(2)(2)55 aiaiiaa i iii z的虚部为 4 5 a , 故选:D 3解:0sin11, sin10 202120211, 20212021 log(sin1)log10 , bca

13、故选:B 4解:抛物线 2 2(0)ypx p上的点 0 (3,)Ay 到焦点的距离是点A到y轴距离的 3 倍,可得3 9 2 p ,解得 12p ,所以抛物线方程为: 2 24yx,抛物线 2 2(0)ypx p上的点 0 (3,)Ay , 可得 2 0 24 3y ,解得 0 6 2y 故选:A 5解:因为随机变量X服从正态分布 2 ( ,)N ,对称轴为X , 又 (1)(5)1P XP X ,而 (1)(1)1P XP X , 所以 (5)(1)P XP X厔 ,所以 5 和1关于对称轴对称, 则 5( 1) 2 2 , 故选:D 6解:根据函数 ( )sin(2)(0f xAxA ,

14、|) 2 部分图象,可得 2A, 函数的周期为 2 2 , 21 1 22 xxT ,故排除A、C 对不同的m, 1 nx , 2 x,当( )( )f mf n 时,总有 ()1f mn , 12 2222 222 xxmn , 2 2 mn , 故 ()2sin(2)2sin1f mn , 6 , 故选:D 7解:根据题意,alnb,则( , ) b a是曲线:C ylnx 上的点, 1cd,则( , )d c是直线:1l yx上的点; 则 22 ()()acbd可看成曲线C上的点到直线l上的点的距离的平方 对函数y lnx 求导得 1 y x ,令 1y ,得1x , 所以,曲线C上一点

15、到直线l上距离最小的点为(1,0), 该点到直线l的距离 |1 0 1| 2 1 1 d 因此, 22 ()()acbd的最小值为 2; 故选:C 8解:由题意得2BE ,3CD ,在CD上取点 1 M,使 1 2M D , 1 1M C ,则 1 / /M DBE且 1 M DBE , 所以四边形 1 BEDM是平行四边形,所以 1/ / BMDE 在AC上取点 2 M,使 2 2M A , 2 1M C ,则 12 12 1 2 CMCM M DM A ,所以 12/ / M MAD 又 1121 BMM MM ,DE ADD , 所以平面 12/ / BM M 平面ADE,所以点M的轨迹

16、就是线段 12 M M, 在 12 CM M中, 12 1CMCM, 12 120M CM, 由余弦定理得 22 121212 2cos1203M MBMBMBMBM 12 3M M , 故选:C 9解:对于多项式 6 2 ()x x 的展开式,令1x ,可得各项系数之和为 1,故A正确; 二项式系数和为 6 264,故B正确; 根据它的通项公式为 626 16 2( 1) rrrr r TCx ,当3r 时,x的幂指数等于零,故第四项为常数项,故C正 确; 令展开式中x的幂指数等于 4,求得5r ,可得展开式中 4 x的系数为 5 6 2 ( 1)12C , 故D错误, 故选:ABC 10解

17、:对于A,估计该校学生每周平均体育运动时间为 1 0.053 0.250.370.2590.1511 0.055.8 小时,故选项A正确; 对于B,高一年级的总人数为 4 30001200 10 人, 由频率分布直方图可知,该校学生每周平均体育运动时间不足 4 小时的频率为(0.025 0.1)20.25 , 所以估计高一年级每周平均体育运动时间不足 4 小时的人数约为12000.25300人,故选项B正确; 对于C, 该校学生每周平均体育运动时间不少于 8 小时的百分比为(0.075 0.025)220% , 故选项C错误; 对于D,该校学生每周平均体育运动时间不少于 8 小时的人数约为30

18、000.2600人,故选项D正确 故选:ABD 11 解: 对于A,B: 由 22 1 242426 3 xyxyxyxyxyxy厔 , 当且仅当 6 2 3 xy 时, 等号成立, 故A正确,B错误, 对于C,D:由 22 22222222 434 2424(4)4 223 xy xyxy xyxyxy 剠,当且仅当 6 2 3 xy 时,等号成立,故 22 4xy的取值可以为 4 3 ,也可以为 4,故C,D正确, 故选:ACD 12解:渐近线l的方程为3yx , 3 b a , 1( ,0)Fc 到l的距离为3 3, 2 |()| 3 3 1( ) b c a b b a , 3a, 双

19、曲线的标准方程为 22 1 927 xy ,即选项A正确; 22 9276cab , 1( 6,0) F , 2(6,0) F , 由角分线定理知, 11 22 |8 2 |4 PFFQ PFQF ,即选项B正确; 由双曲线的定义知, 12 | 26PFPFa , 112 | 12 |PFFF , 2 | 6PF , 在等腰 12 PFF中, 2 21 12 1 | 31 2 cos |124 PF PF F FF , 2 2121 15 sin1 4 PF FcosPF F, 2221 19 | cos66 42 P xOFPFPF F , 221 153 15 | sin6 42 P yP

20、FPF F,即选项D正确; 22 93 15 |( )()3 6 22 OP, 12 | |2| 2| 6 6PFPFOPOP,即选项C错误 故选:ABD 13解: ( )sin2cos1f xxx 的导数为 ( )cos2sinfxxx , 可得曲线 ( )sin2cos1f xxx 在点( 2 ,0)处的切线的斜率为 ()cos2sin2 222 f , 则切线的方程为02() 2 yx , 即为2 0 xy 故答案为:2 0 xy 14解:随机事件A和B相互独立, ()0.36P AB ,( )0.6(P AA表示事件A的对立事件), P(A)10.60.4 , P(B) ()0.36

21、0.9 ( )0.4 P AB P A 故答案为:0.9 15解:由对称性可知,正八面体的内切球的球心为正方体的中心,设为O, 则O到其中一个面ABC的距离即为内切球的半径,设为R, 由正方体的棱长为 1,可得 2 2 ABBCAC, 由 A BOCOABC VV ,可得 1111111223 3222232222 R, 可得 3 6 R 该正八面体的内切球的表面积为 2 3 4() 63 S 故答案为: 3 16解:连接AC,则 1 sin10 3 2 ABCDABCADCADCADC SSSAB BCABCSS , 又 222 2cos49ACABBCAB BCABC,故 7AC , 在A

22、DC中, 22222 492cos3ACADDCAD DCADCADDCAD DCAD DC, 故 49 3 AD DC ,故 1349 3 sin 2412 ADC SAD DCADCAD DC , 故 49 371 3 10 310 3 1212 ABCDADC SS, 故四边形ABCD面积的最小值为 71 3 12 ,当且仅当 7 3 3 ADDC时“”成立, 故答案为: 71 3 12 17解:(1)因为2b ,3c ,三角形ABC的面积为 3 311 sin2 3 sin 222 bcAA , 解得 3 sin 2 A, 因为A为锐角,可得 3 A , 由余弦定理可得 2222 23

23、2 37abcbc , 设BC边上的高为h,则 113 3 7 222 ahh, 解得 3 21 7 h 即BC边上的高为 3 21 7 (2)因为 222 7497 cos 214272 abc C ab , 可得 2 3 21 sin1 14 Ccos C, 3 3 sin22sincos 14 CCC, 2 13 cos22cos1 14 CC , 所以 31313 34 3 sin(2 )sincos2cossin2() 2142147 ACACAC 18(1)证明:由 1 32(1) nn SSn 可得: 1 32 (2) nn SSn n , 两式相减得: 1 32 nn aa ,

24、2n, 又当1n 时,有 21 34SS ,即 211 2432aaa 也适合上式, 1 32 nn aa , 1 13(1) nn aa , 又 1 130a , 数列1 n a 是首项、公比均为 3 的等比数列; (2)解:由(1)可知13n n a ,即31 n n a , 11 1 2 32 311 (31)(31)3131 nn nnnn nn a a , 122311 111111111 3131313131312312 n nnn T 19(1)证明:连结AC交BD于点O,则O为AC的中点,连结OE, 因为E为SC的中点,所以/ /SAOE, 因为SA平面BDE,OE 平面BDE

25、, 所以/ /SA平面BDE; (2)解:因为SABCD是正四棱锥,所以O为顶点S在底面的射影, 故SO 底面ABCD,且ACBD, 故以点O为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示, 因为4SA ,2AB ,3SEEC, 则( 2,0,0), (0,0,3 2), (0, 2,0), (2,0,0)ASBC , 3 23 2 (,0,) 44 E , 所以( 2,0, 3 2)SA, 3 23 2 (,2,) 44 BE , 则 |66 85 |cos,| 85|17 2 5 2 SA BE SA BE SA BE , 故异面直线SA与BE所成角的余弦值为 6 85 85 20高解:()设这个

26、小球掉入 5 号球槽为事件A掉入 5 号球槽,需要向右 4 次向左 2 次, 所以P(A) 224 6 1115 ( ) ( ) 2264 C 所以这个小球掉入 5 号球槽的概率为 15 64 (4 分) () 小红的收益计算如下: 每一次游戏中,的可能取值为 0, 4, 8, 333 6 115 12. (0)(4)( ) ( ) 2216 PP mC , 224442 66 111115 (4)(3)(5)( ) ( )( ) ( ) 222232 PP mP mCC , 1555 66 11113 (8)(2)(6)( )( )( ) ( ) 222216 PP mP mCC , 066

27、6 66 111 (12)(1)(7)( )( ) 2232 PP mP mCC 0 4 8 12 P 5 16 15 32 3 16 1 32 一次游戏付出的奖金 5153115 04812 163216324 E , 则小红的收益为 159 6 44 (8 分) 小明的收益计算如下:每一次游戏中,的可能取值为 0,1,4,9 33 4 1232 (0)(4)( )( ) 3381 PP nC, 22244 44 12240 (1)(3)(5)( ) ( )( ) 33381 PP nP nCC, 13 4 128 (4)(2)( ) ( ) 3381 PP nC , 4 11 (9)(1)

28、( ) 381 PP n 的分布列为: 0 1 4 9 P 32 81 40 81 8 81 1 81 一次游戏付出的奖金 324081 01491 81818181 E ,则小明的收益为413 9 3 4 ,小明的盈利多(12 分) 21解:()由题意知 3 2 c a ,即 22 4 3 ac , 由 222 abc,可得 2 2 3 c b , 联立 22 22 1 xc xy ab ,解得 2 xc b y a , 则点 2 ( ,) b M c a , 则 2 22 13 |() 2 b OMc a , 联立,解得3c ,2a ,1b , 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y (

29、)设直线AB的方程为 1 2 yxm , 联立 2 2 1 2 1 4 yxm x y ,得 22 244(1)0 xmxm, 所以 222 (4 )4 2 4(1)16(2)0mmm ,解得22m, 则 12 2xxm , 2 1 2 2(1)x xm, 则 22 121212 15 |1( ) |()4 22 ABxxxxx x 222 55 ( 2 )42(1)84 22 mmm, 原点O到直线AB的距离为 4 5 2| 5 ddm , 显然四边形ABCD是平行四边形, 所以 2 54 5 84 25 ABCD SAB dmm 四边形 22 22222 114(84) 2(84)24(8

30、4) 24 442 mm mmmm , 当且仅当 22 484mm,即 1m 时,取等号, 所以四边形ABCD的面积存在最大值,且最大值为 4 22解:()的导数为 , 因为在点,(1) 处的切线垂直于轴, 所以(1),即,得, 则, 所以,时,; 时, 所以在区间、单调递增,在区间单调递减 ()证明:设的三个正数的零点分别为,且 则(a)(b)(c), 由()可得的极小值为(2),极大值为(2), 则 欲证明任意两个零点的差小于 2,只需证明,即 因为,且在上单调递增, 2 1 ( )2 2 f xxmxlnxn 2 ( )fxxm x ( )f x(1f) y f 030m 3m 2 23

31、2(1)(2) ( )3 xxxx fxx xxx (0 x1)(2)( )0fx (1,2)x( )0fx ( )f x(0,1)(2,)(1,2) ( )f xabc0abc fffn ( )f xf2 24lnnf 5 2 n 5 (224,) 2 nln 2ca2ca 2c 22a ( )f x(2,) 只需要证明(a)(c) 构造, , 所以在区间上单减,在上单增, , 现证明: 令, 则在上单调递减, 所以(1),而,得证, 所以,(c)(a),得证 所以结论成立 ff(2)f a ( )(2)( )22 (2)24g xf xf xxln xlnx(0,1)x 2 2(22) ( ) (2) xx g x x x ( )g x (0, 31)( 31,1) ( )( 31)2 362 ( 31)2 ( 31)2 3622 ( 31)2( 32)( 31) min g xglnlnlnelnln ( 31)32ln ( )1(01)h xlnxxx 1 ( )0 x h x x ( )h x(0,1) ( )h xh0 31(0,1) ( 31)32ln (0,1)a ff(2)f a

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