2021届高考数学考前20天终极冲刺模拟试卷(1)含答案

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1、考前考前 20 天终极冲刺高考模拟考试卷(天终极冲刺高考模拟考试卷(1) 一、一、选择题:本题共选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。求的。 1已知集合 2 |280Mx xx , |0Nx lnx ,则 (MN ) A | 4 1xx B | 2 1xx C |1 2xx D |1 4xx 2若1zi ,则 2 ( z zi z ) A2 B2 C2i D2i 3如表记录了某产品的广告支出费用x(万元)与销售额y(万元)的几组数据: x 2 3 5 6

2、y 15 t 40 45 根据上表数据求出y关于x的线性回归方程为 72yx ,则表中的t值为( ) A30 B26 C23 D20 4已知 3 cos() 35 x ,则 4 cos()( 3 x ) A 3 5 B 4 5 C 3 5 D 4 5 5在平行四边形ABCD中,2AB ,5AD ,点F为边CD的中点,若0AF DF ,则(BF AC ) A4 B3 C2 D1 6学生李明上学要经过 4 个路口,前三个路口遇到红灯的概率均为 1 2 ,第四个路口遇到红灯的概率为 1 3 , 设在各个路口是否遇到红灯互不影响,则李明从家到学校恰好遇到一次红灯的概率为( ) A 7 24 B 1 4

3、 C 1 24 D 1 8 7 四棱锥PABCD中, 底面ABCD为矩形, 体积为 16 3 , 若PA平面ABCD, 且2PA, 则四棱锥PABCD 的外接球体积的最小值是( ) A160 5 3 B 25 6 C125 D 20 5 3 8已知实数a,b满足 312 log 4log 9a ,51213 aab ,则下列判断正确的是( ) A 2ab B2ba C2ba D2ab 二、二、选择题:本题共选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选

4、对的得 5 分,部分选对的对分,部分选对的对 2 分,有选错的得分,有选错的得 0 分。分。 9已知 727 0127 (32 )(1)(1)(1)xaa xa xa x,则下列结论正确的是( ) A 0 1a B 1267 1aaaa C 7 01267 3aaaaa D 6 7a 10设0 x , 0y ,则下列结论正确的是( ) A不等式 11 ()() 4xy xy 恒成立 B函数( )33 xx f x 的是小值为 2 C函数 2 ( ) 31 x f x xx 的最大值为 1 5 D若 2xy ,则 11 211xy 的最小值为 5 6 11已知曲线 22 :1C mxny( )

5、A若 0mn,则C是椭圆,其焦点在y轴上 B若 0mn,则C是圆,其半径为 n C若0mn ,则C是双曲线,其渐近线方程为 m yx n D若0m , 0n ,则C是两条直线 12在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,其外接圆半径为R ,内切圆半径为3r ,满足 coscoscos 3 R aAbBcC ,ABC的面积 6 ABC S ,则( ) A 4abc B6R C 1 sinsinsin 6 ABC D 1 sin2sin2sin2 3 ABC 三、填空题:本题共填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分。 13 在某市高三的一次模拟考试中,

6、 学生的数学成绩服从正态分布 (105N , 2)( 0), 若 (1 2 0 ) 0 . 7 5P , 则 (90120)P剟 14 在平行四边形ABCD中,E为线段CD的中点,APyAD,AQxAB , 其中x,y R , 且均不为 0 若 / /PQBE,则 y x 15辽宁省 2021 年的新高考按照“312 ”的模式设置,“3”为全国统一高考的语文、数学、外语 3 门 必考科目;“1”由考生在物理、历史 2 门中选考 1 门科目;“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物 学 4 门中选考 2 门科目则甲,乙两名考生在选考科目中恰有两门科目相同的方法数为 16 在数列 n a 中,1

7、1a , 当2n时, 1231 111 231 nn aaaaa n , 则数列 n a 的通项公式为 四、四、解答题:本题共解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边 在(2 )coscosacBbC ; 32 ABC BA BCS; sin sin()3 3 BB 这三个条件中任选一个,作出解答 (1)求角B的值; (2)若ABC为锐角三角形,且1b ,求ABC的面积的取值范围 18设 n S为数列 n a 的前n项和,已知 1 2a ,对任意

8、* nN,都有2 (1) nn Sna (1)求数列 n a 的通项公式; (2)若数列 4 (2) nn a a 的前n项和为 n T 求 n T; 若不等式 2 3 2 n mmT 对任意的 * nN恒成立,求实数m的取值范围 19已知等腰直角SAB,4SAAB,点c,d分别为边SB,SA的中点,沿CD将 SCD折起,得到四 棱锥SABCD,平面SCD 平面ABCD () 过点D的平面/ /平面SBC, 平面与棱锥SABCD的面相交, 在图中画出交线; 设平面与棱SA 交于点M,写出 SM MA 的值(不必说出画法和求值理由); ()求证:平面SBA 平面SBC 20为了对学生进行劳动技术

9、教育,培养正确的劳动观点和态度,养成自立、自强、艰苦奋斗的思想作风, 加强理论联系实际,使学生掌握一定的生产知识和劳动技能,某学校投资兴建了甲、乙两个加工厂,生产 同一型号的小型电器,产品按质量分为A,B,C三个等级,其中A,B等级的产品为合格品,C等级的 产品为次品质监部门随机抽取了两个工厂的产品各 100 件,检测结果为:甲厂合格品 75 件,甲、乙两厂 次品共 60 件 (1)根据所提供的数据完成下面的22列联表,并判断是否有95%的把握认为产品的合格率与生产厂家 有关? 合格品 次品 合计 甲厂 乙厂 合计 200 (2)每件产品的生产成本为 30 元,每件A,B等级的产品出厂销售价格

10、分别为 60 元,40 元,C等级的 产品必须销毁,且销毁费用为每件 4 元若甲、乙两厂抽到的产品中各有 10 件为A级产品,用样本的频率 代替概率,分别说明甲,乙两厂是否盈利 附: 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ,其中nabcd 2 0 ()P Kk 0.100 0.050 0.010 0.005 0 k 2.706 3.841 6.635 7.879 21已知焦点为F的抛物线 2 :2(0)C ypx p经过圆 222 :(4)(4)(0)Dxyr r的圆心,点E是抛物线 C与圆D在第一象限的一个公共点,且| 2EF (1)分别求p与r的值; (

11、2)点M与点E关于原点O对称,点A,B是异于点O的抛物线C上的两点,且M,A,B三点共线, 直线EA,EB分别与x轴交于点P,Q,问:| | |PFQF 是否为定值?若为定值,求出该定值;若不为定 值,试说明理由 22已知函数( )()1(0)( x e f xln axaae a 为自然对数的底数) ()当1a 时,求曲线 ( )yf x 在点(2,f(2))处的切线的斜率; ()若 ( )0f x 恒成立,求实数a的取值范围; ()设函数 ( )(1)1g xln xax ,且 ( )( )( )h xf xg x 若 1 x, 2 x为函数( )h x的两个零点,且( )h x的导 函数

12、为 ( )h x ,求证: 12 ()0 2 xx h 考前考前 20 天终极冲天终极冲刺高考模拟考试卷(刺高考模拟考试卷(1)答案)答案 1解: | 24Mxx , |1Nx x , |14MNxx 故选:D 2解:因为1zi , 所以 2 2(1)(1)2222(1) 2 11(1)(1) z ziiiiii i ziiii 故选:D 3解:由已知可得: 1 (2356)4 4 x , 代入 72yx ,得 30y , 154045304t , 解得:20t , 故选:D 4解:因为 3 cos() 35 x , 所以 43 cos()cos()cos() 3335 xxx 故选:A 5解

13、:在平行四边形ABCD中,2AB ,5AD ,点F为边CD的中点,若0AF DF , 可知AFAB,建立如图实数的坐标系,则 (2,0)B , (1,0)C , (0,2)F , ( 1,2)BF ,(1,2)AC , 所以1 1223BF AC 故选:B 6解:学生李明上学要经过 4 个路口,前三个路口遇到红灯的概率均为 1 2 ,第四个路口遇到红灯的概率为 1 3 , 设在各个路口是否遇到红灯互不影响, 李明从家到学校恰好遇到一次红灯的概率为: 123 3 111117 ( )(1)(1)(1) 2232324 PC 故选:A 7解:底面为矩形的四棱锥PABCD的体积为 16 3 ,若PA

14、平面ABCD,且2PA, 可得底面面积为:8,设ABa,BCb,则8ab , 四棱锥的外接球就是扩展的长方体的外接球,PC就是外接球的直径, 可得: 222 224242 82 5Rabab ,当且仅当2 2ab,取等号,5R 外接球的体积的最小值为: 3 420 5 ( 5) 33 故选:D 8解: 3 31233 33 log 92 log 4log 9log 4log 4 log 121log 4 a , 故 2 33 3 33 (log 4)log 42 2log 42 1log 41log 4 a , 33 log 4log 31, 2 33 (log 4)log 4, 故20a ,

15、即2a , 51213 aab ,且 2a , 222 1351213 b , 2b, 令( )51213 (2) xxx g xx, 则 2222222222 ( )5512 1213 13(512 ) 12169 130 xxxxx g x , 故1351213 baaa ,即a b, 故2ab, 故选:A 9解:令1x 时,则 7 0 (32)1a,故A正确; 令2x 时,得 7 017 (34)1aaa,所以 127 1 12aaa ,故B错误, 令0 x 时,得 7 01267 3aaaaa,故C正确, 令1xt 时,则 77 (32 )(1 2 )xt的展开式的通项公式为 17 (

16、 2)r r r r TC t , 所以 66 67 ( 2)448aC ,故D错误, 故选:AC 10解:因为0 x , 0y , 11 ()()24 yx xy xyxy ,当且仅当 yx xy 时取等号,A正确; 因为31 x ,则( )332 332 xxxx f x ,当且仅当33 xx ,即 0 x 时取等号,但0 x ,故B错误; 2 111 ( ) 1 31235 3 x f x xx x x ,当且仅当 1 x x ,即1x 时取等号,C正确; 因为 2xy ,所以2 24xy , 则 1112112122211 ()(2122)(3)(32 2) 21121227 2122

17、72117 yx xy xyxyxyxy , 当且仅当 2221 211 yx xy 时取等号,D错误 故选:AC 11解:A若 0mn,则 11 mn ,则根据椭圆定义,知 22 1 11 xy mn 表示焦点在y轴上的椭圆,故A正 确; B若0mn,则方程为 22 1 xy n ,表示半径为 1 n 的圆,故B错误; C若0m ,0n ,则方程为 22 1 11 xy mn ,表示焦点在y轴的双曲线,故此时渐近线方程为 m yx n , 若0m ,0n ,则方程为 22 1 11 xy mn ,表示焦点在x轴的双曲线,故此时渐近线方程为 m yx n , 故C正确; D当0m ,0n 时,

18、则方程为 1 y n 表示两条直线,故D正确; 故选:ACD 12解:因为 13 ()()6 22 ABC Sabcrabc ,解得:4abc,故A正确; 因为cos coscos 3 R aAbBcC , 所以2 sin cos2 sincos2 sincos 3 R RAARBBRCC ,即 1 sin2sin2sin2 3 ABC ,D正确; 若ABC为锐角三角形, 2222 11111 sin2sin2sin26 22223 ABC SRARBRCR , 所以6R ,若ABC为直角三角形或钝角三角形时可类似证明,故B正确; 因为 212 sinsinsin abc R ABC , 所以

19、 1 sinsinsin 3 ABC ,故C错 故选:ABD 13解:学生的数学成绩服从正态分布 (105N , 2)( 0), (120)0.75P , (90)(120)10.750.25PP , 则 (90120)10.25 20.5P 剟 故答案为:0.5 14解:如图所示, ABCD中,E为CD的中点,APyAD,AQxAB, 所以PQAQAPxAByAD, 11 22 BEBCCEADCDABAD , 又/ /PQBE, 所以 1 1() ()0 2 xy ,解得2x y , 又0 x 且 0y ,所以 2 y x 故答案为:2 15解:根据题意,分 2 种情况讨论: 甲乙两人选考

20、科目相同的1科在物理或历史, 另1科在 “思想政治、 地理、 化学、 生物学4门” 中, 112 243 48C C A 种方法, 甲乙两人选考科目相同的为“思想政治、地理、化学、生物学 4 门”中两科,有 22 42 12C A 种方法, 则甲,乙两名考生在选考科目中恰有两门科目相同的方法有481260种, 故答案为:60 16解:由于数列 n a 中, 1 1a ,当2n时, 1231 111 231 nn aaaaa n , 当2n 时, 21 1aa, 当3n时, 11232 111 232 nn aaaaa n , 得: 11 1 (3) 1 nnn aaan n , 整理得 1 (

21、3) 1 n n an n an , 所以 13 122 13 122 nn nn aaann aaann , 整理得 2 2 n an a , 所以 (3) 2 n n an, 当2n 时,满足该通项公式, 当1n 时,不满足通项, 故 1(1) (2) 2 n n a n n 故答案为: 1(1) (2) 2 n n a n n 17解:(1)若选择条件, 由正弦定理得:2sincossincossincosABCBBC,即 2sincossincossincossin()sinABCBBCBCA , 又 (0, )A ,可得sin0A, 1 cos 2 B ,0, 3 BB 由可得 若选

22、择条件, 32 ABC BA BCS, 1 3cos2sin 2 acBacB , sin 3cosBB, (0, )B ,tan3B ,可得 3 B 若选择条件, 13 sinsincos3 22 BBB, 31 sincos1 22 BB,可得sin( )1 6 B , 7 0, 666 BB 可得 , , 623 BB 可得 , (2)由正弦定理得: 2 sinsinsin3 abc ABC , 22 sin ,sin 33 aA cC , 11233 sinsinsin()sin(2) 2366123 SacBAAA , 锐角三角形ABC, 0 2 262 0 32 A A CA ,

23、5 2(,) 666 A , 33 (, 64 S 18解:(1) 1 2a ,对任意 * nN,都有2 (1) nn Sna , 当2n时, 11 2 nn Sna , 可得 11 222(1) nnnnn aSSnana , 化简可得 1 (2) 1 nn aa n nn , 熟练 n a n 为常数列,又 1 2 1 a , 2 n a n ,即 2 n an ,*nN; (2)令 441 (2)2 (22)(1) n nn b a annn n , 则 111 (1)1 n b n nnn , 可得前n项和为 11111 1 22311 n n T nnn ; 1 1 1 1 n n

24、T n n 在*nN上为增函数, 1 1 () 2 nmin TT , 若不等式 2 3 2 n mmT 对任意的 * nN恒成立,则 2 31 22 mm , 即 2 2 0mm ,解得12m 剟 即实数m的取值范围是 1 ,2 19解:()平面与棱锥SABCD的交线如图所示, 1 SM MA ()证明:未折起时,在等腰直角SAB中,CD是SAB的中位线, 所以/ /CDAB,且 1 2 2 CDAB, 所以90CDADAB ,即CDSA, 折起后仍满足CDSD,CDAD, 折起后,因为平面SCD平面ABCDCD,且CDSD,所以SD 平面ABCD, 又AD 平面ABCD,所以SDAD,综上

25、所述,直线AD,SD,CD两两垂直, 故可建立以点D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DS为z轴的空间直角坐标系,如图, 由题意可得 (0D ,0,0), (2A ,0,0), (0S ,0,2), (0C ,2,0), (2B ,4,0), 则(2SB ,4, 2) ,(0AB ,4,0),(2CB ,2,0), 设平面SAB的法向量为 1 (mx , 1 y, 1) z ,平面SBC的法向量为 2 (n x, 2 y, 2) z , 则 0 0 m SB n CB ,可得 1 111 0 2420 y xyz ,令 1 1x ,可得(1m ,0,1), 0 0 n SB n CB ,可得 2

26、22 22 2420 220 xyz xy ,令 1 1x ,可得(1n ,1, 1) 因为1010m n , 所以mn, 所以平面SBA 平面SBC 20解:(1)22列联表如下: 合格品 次品 合计 甲厂 75 25 100 乙厂 65 35 100 合计 140 60 200 (2 分) 因为 2 2 200 (75 3565 25) 2.383.841 100 100 140 60 K ,(4 分) 所以没有95%的把握认为产品的合格率与生产厂家有关(6 分) (2)对于甲厂,抽到的 100 件产品中有A等级产品 10 件,B等级产品 65 件,C等级产品 25 件, 设生产一件产品的

27、利润为X元,则X可能取得的值为 30,10,34,X的分布列为: X 30 10 34 P 0.1 0.65 0.25 因为 ()30 0.1 10 0.65( 34) 0.2510E X , 所以甲厂能盈利(9 分) 对于乙厂,抽到的 100 件产品中有A等级产品 10 件,B等级产品 55 件,C等级产品 35 件, 设生产一件产品的利润为Y元,则Y可能取得的值为 30,10,34,Y的分布列为: Y 30 10 34 P 0.1 0.55 0.35 因为 ( )30 0.1 10 0.55( 34)0.353.40E Y , 所以乙厂不能盈利(12 分) 21解:(1)由已知得抛物线C过

28、点 (4, 4)D ,所以16 8p ,解得 2p , 所以抛物线的方程为 2 4yx,设 0 (E x, 00 )(0)yy , 则 0 |12EFx ,所以 0 1x ,于是 00 42yx,即(1,2)E, 将E的坐标代入圆D的方程,得 222 (1 4)(24)13r , 所以13r ; (2)设 1 (A x, 1) y , 2 (B x, 2) y ,由已知可得 ( 1, 2)M , 由题意可得直线AB的斜率存在且不为 0, 设直线AB的方程为 (1)2(0)yk xk , 由 2 4 (1)2 yx yk x 可得 2 4480kyyk , 0,即 2 210kk ,可得1212

29、k , 因为A,B异于O,所以2k ,则 12 4 yy k , 12 8 4y y k , 因为A,B在抛物线上, 可得 2 11 4yx, 2 22 4yx, 则 11 2 111 224 12 1 4 EA yy k yxy , 2 4 2 EB k y , 因为EFx轴, 所以 4 | | | | | EAEBEAEB EFEF PFQF kkkk 121212 |(2)(2)|2()4| 44 yyy yyy 88 |44| 2 4 kk , 所以| | |PFQF 为定值 2 22)解:当时, , 所以曲线在点,(2) 处的切线的斜率(2) ()解:由定义域可知,所以恒成立, ,所

30、以在上单调递增, 又因为时,当时, 故存在唯一实数使,则,也即, 在上,函数单调递减, 在,上,函数单调递增, 因此 1a ( )(1) 1 x f xeln x 1 ( ) 1 x fxe x ( )yf x(2f)kf 2 1e 1x ( )0f x ( )0(1) min f xx 1 ( ) 1 x e fx ax 2 1 1 ( )0 () x e fx ax ( )fx(1,) 1x ( )fxx( )fx 0 x 00 ()0(1)fxx 0 0 1 x a e x 00 (1)xlnaln x 0 (1,)x 0 ()0fx( )f x 0 (x) 0 ()0fx( )f x

31、0 000 0 1 ( )()()121 1 x min e f xf xln axaxlna ax , 解得, 即实数的取值范围是 ()证明“由题意可得,且, 由得, 由,得, 不防令,并设, 则,代入可得, 要证,只需证明即可,即证明, 令, 因为函数,在上恒成立, 所以在上单调递减, 所以, 所以,所以, 则在单调递减, 则,即,得证 00 00 11 122 2(1)22420 11 xlnaxlnalna xx 2 0ae a 2 (0,)e ( ) x e h xaxlna a 1 1 0 x e axlna a 2 2 0 x e axlna a 12 2 12 xx ee a

32、xx ( ) x e h xa a 12 12 122 12 2 12 1 ()() 2 xx xxxx xxeee hae aaxx 12 xx 12( 0)txx t 12 xxt 2 12 2 1 ()() 2 txt xxee he at 12 ()0 2 xx h 2 1 0 tt e e t 2 10 t t tee 2 ( )1 t t m ttee 222 ( )(1)(1) 22 ttt t tt m teeee ( )1 x u xxe ( )10 x u xe (0,) ( )1 x u xxe (0,) ( )(0)0u xu 2 10 2 t t e ( )0m t ( )m t(0,) ( )(0)0m tm 12 ()0 2 xx h

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