1、考前考前 20 天终极冲刺高考模拟考试卷（天终极冲刺高考模拟考试卷（11） 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。求的。 1（5 分）已知集合 | 23AxRx ， |1| 3BxZx ，则 (AB ) A 1 ，0，1，2，3 B 1，0，1，2 C0，1，2，3 D 1 ，0，1 2（5 分）已知复数z满足 2 3 i z i ，则| | (z ) A 2 2 B 2 C 3 2 D 3 3（5 分）已知命题 :( 1,3)px
2、， 2 2 0 xa 若p为假命题，则a的取值范围为( ) A( , 2) B( , 1) C( ,7) D( ,0) 4（5 分）函数 2 ( )sinf xxxx的图象大致为( ) A B C D 5（5 分）人口问题是当今世界各国普遍关注的问题认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增 长提供依据我国在 2020 年进行了第七次人口普查登记，到 2021 年 4 月以后才能公布结果人口增长可 以用英国经济学家马尔萨斯(TRMalthus，1766 1834) 提出的模型： 0 rt yye，其中t表示经过的时 间， 0 y表示0t 时的人口数，r表示人口的年平均增长率以国家统计局发布的
3、 2000 年第五次人口普查登 记（已上报户口）的全国总人口 12.43 亿人（不包括香港、澳门和台湾地区）和 2010 年第六次人口普查登 记（已上报户口）的全国总人口 13.33 亿人（不包括香港、澳门和台湾地区）为依据，用马尔萨斯人口增长 模型估计我国 2020 年末（不包括香港、澳门和台湾地区）的全国总人口数约为( 2 ) ( 1 3 . 3 31 7 7 . 6 8 8 9， 2 12.43154.5049) A14.30 亿 B15.20 亿 C14.62 亿 D15.72 亿 6（5 分）在四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PDAD ，M，N分别 为
4、AB，PC的中点，则BN与MC所成角的余弦值是( ) A 30 6 B 6 6 C 70 10 D 30 10 7（5 分）过抛物线 2 2(0)ypx p的焦点F作倾斜角为 3 的直线交抛物线于A，B两点，点A在第一象 限，则 | ( | AF FB ) A2 B3 C4 D3 8（5 分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是BC的中点，AM cb，4a ， 则ABC的面积的最大值为( ) A3 B2 3 C3 3 D4 3 二、二、选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每
5、小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的对分，部分选对的对 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9（5 分）2014 年 7 月 18 日，教育部公布了修订的国家学生体质健康标准学生体测成绩达到或超 过良好，才有资格参与评优与评奖中学男生 100 米体能测试的良好成绩小于 14.15 秒某中学为了解高一 男生的体能情况， 通过随机抽样， 获得了 100 名男生的 100 米体能测试的成绩 （单位： 秒） ， 将数据按照11.5， 12)，12，12.5)，15.5，16分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图 由直方图推断，下列选
6、项正确的是( ) A直方图中a的值为 0.4 B由直方图估计本校高一男生 100 米体能测试成绩的众数为 13.75 秒 C由直方图估计本校高一男生 100 米体能测试成绩的中位数为 13.7 秒 D由直方图估计本校高一男生 100 米体能测试成绩良好率超过了80% 10（5 分）设函数 2 ( )2 3sin cos2sinf xxxx，则下列关于函数 ( )f x的说法正确的是( ) A最小正周期为2 B ( )f x的图象关于直线 2 3 x 对称 C ( )f x在(,) 3 6 上单调递减 D当 0 x ， )a时，( )f x的值域为0，1，则实数a的取值范围为(, 63 11（5
7、 分）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、 三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑下面以四角攒尖 为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面 角为，这个角接近30，若取30，侧棱长为21米，则( ) A正四棱锥的底面边长为 6 米 B正四棱锥的底面边长为 3 米 C正四棱锥的侧面积为24 3平方米 D正四棱锥的侧面积为12 3平方米 12（5 分）已知数列 n a 满足 1 10a ， 5 2a ，且 21 20(*) nnn aaanN ，则下列结论正确的是(
8、) A 122 n an B 1232 30,5 | 5,5 n n aaaa nn C| | n a 的最小值为 0 D当且仅当5n 时， 123n aaaa 取最大值 30 三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13（5 分）在 4 1 (1)x x 的展开式中，常数项为 14（5 分）五位同学站成一排，其中 3 位女生，2 位男生，如果 2 位男生不能相邻，且女生甲不能排第一 个，那么所有的排列总数为 （用数字作答） 15（5 分）点M在ABC内部，满足2340MAMBMC ，则: MACMAB SS 16 （5 分） 对于函数
9、 ( )yf x 与 ( )yg x ， 若存在 0 x， 使 00 ()()f xgx， 则称 0 (M x， 0 ()f x， 0 (Nx， 0 ()gx 是函数 ( )f x与( )g x图象的一对“隐对称点”已知函数( )(1)f xm x ，( ) lnx g x x ，函数( )f x与( )g x的 图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数m的取值范围为 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分） 如图， 在平面四边形ABCD中，60ABC， 75BAD
10、BCD ，2BC ， 62CD ， 连接AC （1）求BD； （2）设BAC， CAD ，求 sin sin 的值 18（12 分）已知 n S是数列 n a 的前n项和，且 1 1a ， 1 23 nn aa （1）证明数列 3 n a 是等比数列，并求数列 n a 的通项 （2）是否存在整数k，使得 2021 k S ？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由 19（12 分）某人经营淡水池塘养草鱼，根据过去 40 期的养殖档案，该池塘的养殖重量X（百斤）都在 20 百斤以上，其中不足 40 百斤的有 8 期，不低于 40 百斤且不超过 60 百斤的有 20 期，超过 60 百斤的有
11、12 期根据统计，该池塘的草鱼重量的增加量y（百斤）与使用某种饵料的质量x（百斤）之间的关系如 图所示 （1）根据数据可知y与x具有线性相关关系，请建立y关于x的回归方程 ybxa；如果此人设想使用某 种饵料 10 百斤时，草鱼重量的增加量须多于 5 百斤，请根据回归方程计算，确定此方案是否可行？并说明 理由 （2）养鱼的池塘对水质含氧量与新鲜度要求较高，某商家为该养殖户提供收费服务，即提供不超过 3 台增 氧冲水机，每期养殖使用的冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量X有如下关系： 鱼的重量 （单位： 百斤） 2040X 4060X剟 60X 冲水机只需运行台数 1 2 3 若某台增氧冲水机运行，则商
12、家每期可获利 5 千元；若某台冲水机未运行，则商家每期亏损 2 千元视频 率为概率，商家欲使每期冲水机总利润的均值达到最大，应提供几台增氧冲水机？ 附：对于一组数据 1 (x， 1) y， 2 (x， 2) ( n yx ， ) n y ，其回归方程 yba的斜率和截距的最小二乘估计公 式分别为 11 222 11 ()() () nn iiii ii nn ii ii x ynxyxxyy b xnxxx ， a ybx 20 （12 分）如图，在三棱台 111 ABCABC 中， 1 AA 平面ABC，90BAC， 4AB ， 1111 2ABAC ， 11 ABBC （1）求 1 AA的
13、长； （2）求二面角 11 BACC 的正弦值 21（12 分）已知 ( 2,0)M ， (2,0)N ，动点P满足：直线PM与直线PN的斜率之积为常数 1 4 ，设动点P 的轨迹为曲线 1 C 抛物线 2 2: 2(0)Cxpy p与 1 C在第一象限的交点为A， 过点A作直线l交曲线 1 C于点B， 交抛物线 2 C于点E（点B，E不同于点)A （1）求曲线 1 C的方程 （2）是否存在不过原点的直线l，使点E为线段AB的中点？若存在，求出 p的最大值；若不存在，请说 明理由 22已知函数 12 11 ( )(2) 22 x f xxexx ， 2 ( )4 cos(1)g xaxxaxl
14、n x，其中aR （1）讨论函数 ( )f x的单调性，并求不等式( )0f x 的解集； （2）用 max m，n表示m，n的最大值，记( ) ( )F xmax f x ， ( )g x ，讨论函数 ( )F x的零点个数 考前考前 20 天终极冲刺高考天终极冲刺高考模拟考试卷（模拟考试卷（11）答案）答案 1解： | 23Axx ， | 24 1BxZx ，0，1，2，3， 1AB ，0，1，2 故选：B 2解： 2(2)(3)7 31010 iiii z i ， 所以 2 | 2 z 故选：A 3解：命题 :( 1,3)px ， 2 2 0 xa 则 :( 1,3)px ， 2 20
15、xa为真命题， 所以 2 2ax恒成立，即 2 (2)2 min ax 故选：A 4解：函数 2 ( )sinf xxxx是偶函数，关于y轴对称，故排除B， 令 ( )sing xxx ， ( )1cos0g xx 恒成立， ( )g x 在R上单调递增， (0)0g ， ( )( ) 0f xxg x，故排除D， 当0 x 时， ( )( )f xxg x 单调递增，故当0 x 时， ( )( )f xxg x 单调递减，故排除C 故选：A 5解：由马尔萨斯模型可得： 10 13.3312.43 r e， 所以 10 13.33 12.43 r e， 所以我国 2020 年末的全国总人数为
16、2 10 13.33177.6889 13.3314.30 12.4312.43 r ye（亿)， 故选：A 6解：如图，不妨设2AD ，取PD的中点为Q，连接QN，QM，QC， 则 / / /QNCDMB，且 1 2 QNCDMB， 故四边形MBNQ为平行四边形， 所以 / /BNMQ， 则 QMC 即为所求异面直线BN与MC所成角 在 QMC 中，145MCCQ，1 146QM ， 则 56530 cos 10256 QMC 故选：D 7解：由题意可得直线l的斜率为 tan3 3 k ，且( 2 p F，0)， 所以直线AB的方程为：3() 2 p yx，代入抛物线方程消去y可得： 22
17、122030 xpxp，解得 6 p x 或 3 2 p ， 由相似关系可得 3 | 22 3 | 263 pp AFp ppp BF ， 故选：B 8解：在ABM中，由余弦定理得， 22222 4() cos 24 ABBMAMccb B AB BMc ， 在ABC中，由余弦定理得， 22222 16 cos 28 ABBCACcb B AB BCc ，则 2222 4()16 48 ccbcb cc ，即 22 48bcbc， 因为 (0, )BAC ， 22 16212 cos( 1,1) 2 bcbc BAC bcbc ， 所以 (4,12)bc ， 又 22 212 sin11()
18、bc BACcosBAC bc ， 所以 22 112121 sin1()3(8)48 222 ABC bc SbcBACbcbc bc ，故当8bc 时， ABC S的面积的最大 值为2 3 故选：B 9解：由频率之和为 1 可知，0.5 (0.08 0.160.300.520.300.120.080.04)1a ，解得0.4a ， 故选项A正确； 直方图的众数就是频率最高组的中点，即 13.514 13.75 2 ，故选项B正确； 直方图的中位数是频率相等的分点，设为x，则有0.5 (0.08 0.160.300.4)0.52(13.5)0.5x ，解得 13.5613.7x ，故选项C错
19、误； 由频率分布直方图可知，成绩小于 14.15 秒的人数所占百分比为： 0.5 (0.080.160.300.40.52)0.3 0.15 100%77.5%80% ，故选项D错误 故选：AB 10解： 2 ( )2 3sin cos2sin3sin2cos212sin(2)1 6 f xxxxxxx ， :A T，A错误； B：由于 2 ()3 3 f 为函数的最小值，故B正确； :(,) 3 6 C x 时，2( 62 x ，) 2 ， ( )f x单调递增，C错误； :(0)0D f ，且当2 62 x ，即 6 x 时，函数取得最大值 1， 由对称性知(0)()0 3 ff ， 故(
20、, 6 3 a ，D正确 故选：BD 11解：如图，在正四棱锥SABCD中，O为正方形ABCD的中心，SH AB， 设底面边长为2a正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30，若取30， 30SHO， 所以 32 3 , 33 OHa OSa SHa 在Rt SAH中， 22 2 3 ()21 3 aa，所以3a ，底面边长为 6 米， 1 62 3424 3 2 S 平方米 故选：AC 12解：由 21 20 nnn aaa ，可得 211nnnn aaaa ， 所以数列 n a 是等差数列， 因为 1 10a ， 5 2a ，所以 51 2 51 aa d ， 所以 1 (1)1
21、02(1)122 n aandnn ，故A正确； 当6n 时， 0 n a ，所以当5n时， 0 n a ，当6n时， 0 n a ， 所以当5n时， 2 123123 (10122 ) |11 2 nn nn aaaaaaaann ， 当6n时， 22 12312561231255 |()2()2(11)601160 nnnn aaaaaaaaaaaaaaaaSSnnnn ， 所以 2 123 2 11,5 | 1160,6 n nnn aaaa nnn ，故B错误； | |122 | n an，当6n 时，| n a取得最小值为 0，故C正确； 当5n 或6n 时， 123n aaaa取最
22、大值 30，故D错误 故选：AC 13解： 4 1 (1)x x 的展开式中的通项公式： 4 14 1 ( 1)() (0 rrr r Txr x ，1，2，3，4) 1 ()rx x 的通项公式： 2 1 1 ()( 1) kr kkkkrk krr Txx x 痧， 令20rk，即2rk 0r ，0k ；2r ，1k ；4r ，2k 常数项 122 244 115 痧? 故答案为：5 14解：若第一个是男生，则第二个是女生，以后的顺序任意排，方法有 113 233 36CCA种 若第一个是女生 （不是女生甲） ， 则将剩余的 2 个女生排列好， 2 个男生插空， 方法有 122 223 2
23、4CAA种 故所有的排法种数为362460种， 故答案为：60 15解：根据题意，分别延长MA至D，MB至E，MC至F， 使2MDMA，3MEMB，4MFMC，如图所示： 由2340MAMBMC，得0MDMEMF， 所以点M是DEF的重心， 所以 MDEMEFMFD SSS ， 设 1 MDE S，则 111 236 MAB S， 111 248 MAC S， 所以 1 1 :3:4 8 6 MACMAB SS 故答案为：3:4 16解：由题意得 (1)ym x 与 lnx y x 的图象有两个交点， 令( ) lnx h x x ，则 2 1 ( ) lnx h x x 当 (0, )xe
24、时， ( )0h x ，( ) h x单调递增，当( ,)xe时，( )0h x ，( ) h x单调递减 又 (1)ym x 恒过点(1,0)，当1x 时， ( )0h x ， 在同一坐标系中做出函数的图象，如图， 由图象知，若函数 (1)ym x 与 lnx y x 的图象有两个交点，则0m ， 当直线 (1)ym x 与函数 lnx y x 相切时，由 ( )1h x ，得1m， 01m ，即( 1,0)m 故答案为：( 1,0) 17解：（1）在BCD中，由余弦定理可得 222 2cosBDBCCDBC CDBCD 22 62 2( 62)22( 62)4 4 ， 所以2BD ； （2
25、）由题意可得360150ADCABCBADBCD， 在ACD中，由正弦定理 sinsin ACCD ADC ， 在ABC中，由正弦定理 sinsin ACBC ABC ， 两式相除可得： sinsin sinsin CDABC BCADC ， 所以 sinsin322 33 26 2 sinsin226262 ABCBC ADC CD 所以 sin sin 的值为 3 26 2 18证明：（1）数列 n a满足， 1 23 nn aa ，且 1 1a ， 整理得 1 32(3) nn aa ， 即 1 3 2 3 n n a a （常数）， 所以数列3 n a 是以 4 为首项，2 为公比的等
26、比数列， 故 11 34 22 nn n a ， 故 1 23 n n a ， （2）由于 1 23 n n a ， 所以 2312312 4 (21) (23)(23)(23)(222)33234 2 1 n nnn n Snnn ， 令 2 ( )234 x f xx ， 则 2 ( )223 n f xln ，当1x时， 23 223 2230 x lnln ， 故函数 ( )f x在1，)上单调递增， 当9n 时，解得 9 20172021S ， 当10n 时，解得 10 409634406220212021S ， 所以n的最小值为 10，即k的最小值为 10 19解：（1）依题意，5
27、x ， 4y ， 5 1 ()()26 ii xxyx 5 1 5 2 1 ()() 3 13 () ii i xxyy b xx ， 337 45 1313 aybx， 所以 337 1313 yx 当10 x 时， 67 5 13 y ，故此方案可行 （2）设盈利为Y， 安装 1 台时； 盈利5000Y ， 安装 2 台时； 2040X，3000Y ， 1 5 p ；40X，10000Y ， 4 5 p 14 ( )3000100008600 55 E Y， 安装 3 台时； 2040X，1000Y ， 1 5 p ，；4060X剟，8000Y ， 1 2 P ；60X ，15000Y ，
28、 3 10 P 113 ( )10008000150008700 5210 E Y 87008600，故应提供 3 台增氧冲水机 20解：（1）如图，连接 1 A B， 在三棱台 111 ABCABC 中， 1 AA 平面ABC，90BAC， 11 ABBC 1111 ACAB ， 111 ACA A， 1111 ABA AA ， 11 A B 平面 11 ABB A， 1 A A平面 11 ABB A， 11 AC平面 11 ABB A， 1 AB 平面 11 ABB A， 111 ACAB ， 1111 ACBCC ， 11 AC 平面 11 A BC， 1 AB 平面 11 A BC，
29、1 AB平面 11 A BC， 1 A B 平面 11 A BC， 11 ABAB ， 111 ABAA AB ， 111 tantanABAA AB ， 1 1 2 4 AA AA ， 解得 1 2 2AA （2）如图，以A为原点，AB，AC， 1 AA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则 1(2 B ，0，2 2)， 1(0 C ，2，2 2)， (0A ，0，0)， 1 (2AB ，0，2 2)， 1 (0AC ，2，2 2)， 设平面 11 ABC的法向量(nx ，y， ) z， 则 1 1 22 20 22 20 n ABxz n ACyz ，取1z ，得(2,2n
30、，1)， 平面 1 AC C的法向量(1m ，0，0)， 设二面角 11 BACC的平面角为， 则 |2 |cos| | |5 m n mn ， 二面角 11 BACC的正弦值为 2 215 sin1() 55 21解：（1）设动点 ( , )P x y，则 2 PM y k x ， 2 PN y k x ， 因为 1 4 PMPN kk ，所以 1 224 yy xx ， 所以 2 2 1(2) 4 x yx ， 所以曲线 1 C的方程为 2 2 1(2) 4 x yx （2）设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y ， 0 (E x， 0) y ， 直线: (0,0)l y
31、kxm km ， 联立 22 44xy ykxm ，得 222 (1 4)8440kxkmxm， 所以 12 2 8 14 km xx k ， 0 2 4 14 km x k ， 又 2 2xpy ykxm ，得 2 2 ()xp kxm， 即 2 220 xpkxpm，所以 10 2x xpm ， 所以 1 2 4 2 14 km xpm k ，所以 2 1 14 () 2 k xp k ， 因为 2 2 2 1 4 2 x y xpy ，所以 4 2 2 4 x x p ， 所以 2 44 2 22 2 14 () 14 2 ()4 2 k p k k p kp ， 所以 2 22 24
32、4 1414 ()() 22 p kk kk ， 设 2 22 141 ()(2 )4 22 k kt kk ，则 2 2 4 1 p t ， 当 1 2 k ，即4t 时， 2 p取得最大值，最大值为 1 5 ，即 5 5 p ， 此时 2 5 ( 5 A， 2 5 ) 5 ，直线l不过点M，N， 所以存在不过原点的直线l，使点E为线段AB的中点，且p的最大值为 5 5 22解：（1） 11 ( )(1)1(1)(1) xx f xxexxe ， 当1x 时，10 x ， 1 10 x e ，则 ( )0fx ， 当1x 时，10 x ， 1 10 x e ，则 ( )0fx ， 当1x 时
33、，f（1）0， 所以当xR时， ( ) 0fx，( )f x在R上是增函数， 又f（1）0，所以 ( )0f x 的解集为(1, ) （2）函数 ( )F x的定义域为( 1,) ， 由（1）得函数 ( )f x在R上单调递增，f（1）0 ， 当1x 时， ( )0f x ，又 ( ) ( )F xmax f x ， ( )g x ， 所以当1x 时， ( )0F x 恒成立，即1x 时， ( )0F x 无零点， 当11x 时， ( )0f x 恒成立， 所以 ( )F x的零点即为函数( )g x的零点， 下面讨论函数 ( )g x在11x 的零点个数： 1 ( )214 sin 1 g
34、xaxax x ， 所以 2 1 ( )24 cos( 11) (1) gxaaxx x ， 当0a 时，因为11x ，cos (cos1,1)x ， 又函数 cosyx 在区间(0,) 2 单调递减， 所以 1 cos1cos 32 ， 即当11x 时，12cos0 x， 2 1 ( )2 (1cos )0 (1) gxax x ， 所以 ( )g x 单调递减，由 (0)0g 得： 当10 x 时， ( )0g x ， ( )g x单调递增， 当01x时， ( )0g x ， ( )g x单调递减， 当1x 时， (1)ln xx ， 所以 ( )g x ， 当0 x 时， (0)40ga
35、 ， 有g（1）14 cos12aaln ，f（1）0， 当g（1） 12 0 14cos1 ln a 时，函数 ( )F x有 1 个零点， 当g（1） 12 0 14cos1 ln a 时，函数 ( )F x有 2 个零点， 当g（1） 12 00 14cos1 ln a 时，函数 ( )F x有 3 个零点， 当0a 时， ( )(1)g xln xx ， 由得当10 x ， ( )0g x ， ( )g x单调递增， 当01x时， ( )0g x ， ( )g x单调递减， 所以( ) (0)0 max g xg ，g（1）210ln ， 所以当0a 时，函数 ( )F x有两个零点， 当0a 时， 2 ( )(4cos )(1)g xa xxxln x， 2 (4cos )0a xx， (1) 0 xln x ，即 ( )0g x 成立，由f（1）0， 所以当0a 时，函数 ( )F x有 1 个零点， 综上所述：当 12 14cos1 ln a 或0a 时，函数F（1）有 1 个零点， 当 12 14cos1 ln a 或0a 时，函数 ( )F x有 2 个零点， 当 12 0 14cos1 ln a 时，函数 ( )F x有 3 个零点
