1、考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（20） 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。求的。 1已知全集UR，集合 2 |1Ax x， |0Bx lnx ，则( ) AA BB BA BA C( ) UA B D UU BA痧 2已知复数 2 i z i ，则其共轭复数z的虚部为( ) A 2 5 B 2 5 C 2 5 i D 2 5 i 3某校有 500 人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布 (
2、105N ， 2)( 0)，试卷满分 150 分，统计结果显示数学成绩优秀（不低于 120 分）的人数占总人数的 1 5 ，则此次数学成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为( ) A75 B100 C150 D200 4双曲线 22 44xkyk的虚轴长是实轴长的 2 倍，则实数k的值是( ) A16 B 1 16 C16 D 1 16 52021 年江苏省实行“312 ”新高考模式，学生选科时语文、数学、英语三科必选，物理、历史两科 中选择 1 科，政治、地理、化学、生物四科中选择 2 科，则学生不同的选科方案共有( ) A6 种 B12 种 C18 种 D24 种 6已知锐角ABC的
3、内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3a ， 22 3bcbc，则 ABC面积 的取值范围是( ) A 3 ( 2 ， 3 3 4 B 3 ( 2 ， 3 3 ) 4 C 3 ( 4 ， 3 3 ) 4 D 3 ( 4 ， 3 3 4 7已知A，B，C，P为球O的球面上的四个点， 60ABC，2AC ，球O的表面积为 64 9 ，则三 棱锥PABC的体积的最大值为( ) A2 3 B 2 3 3 C 4 3 3 D 4 3 9 8已知a，bR，函数 32 ,1 ( ) 11 (1),1 32 x x f x xaxax x ，若函数 ( )yf xb 恰好有 3 个零点，则( ) A1a
4、， 1b B1a ，1b C1a ，1b D1a ，1b 二、二、选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的对分，部分选对的对 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9下列结论正确的是( ) A若0ab ，则 2 ba ab B若11x 剟，则 22 1 (1) 2 xx C若0ab，则 22 ba ab ab D函数( )22 (0) xx f xx 有最小值 2 102020 年的“金九银十”变
5、成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市” 而行下图是该地某小区 2019 年 12 月至 2020 年 12 月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的 散点图（图中月份代码113分别对应 2019 年 12 月 2020年 12 月） 根据散点图选择yab x和y cdlnx 两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为 0.93690.0285yx和0.95540.0306ylnx，并得到以下一些统计量的值： 0.93690.0285yx 0.95540.0306ylnx 2 R 0.923 0.973 注：x是样本数据中x的平均数，y是样本数据
6、中y的平均数，则下列说法正确的是( ) A当月在售二手房均价y与月份代码x呈负相关关系 B由0.93690.0285y x预测 2021 年 3 月在售二手房均价约为 1.0509 万元/平方米 C曲线0.93690.0285yx与 0.95540.0306ylnx 都经过点(x， )y D模型 0.95540.0306ylnx 回归曲线的拟合效果比模型0.93690.0285yx的好 11已知 2021232021 1232021 (1 2 ) o xaa xa xa xax，则( ) A展开式中所有项的二项式系数和为 2021 2 B展开式中所有奇次项系数和为 2021 31 2 C展开式
7、中所有偶次项系数和为 2021 31 2 D 3202112 232021 1 2222 aaaa 12如图，已知a，b是相互垂直的两条异面直线，直线AB与a，b均相互垂直，且 2AB ，动点P，Q 分别位于直线a，b上，若直线PQ与AB所成的角 4 ，线段PQ的中点为M，下列说法正确的是( ) APQ的长度为2 2 BPQ的长度不是定值 C点M的轨迹是圆 D三棱锥A BPQ 的体积为定值 三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13已知向量a，b满足| | 1a ，| 2b ，向量a与b的夹角为60，则|23 |ab 14已知， (0
8、,) 2 ， 3 cos() 5 ， 5 sin() 313 ，则sin( ) 3 15向曲线 22 |xyxy所围成的区域内任投一点，这点正好落在 2 1yx 与两坐标轴非负半轴所围成 区域内的概率为 16已知函数 22 ( )()()f xxalnxea，若存在 0 x，使得 0 2 4 () 1 f x e ，则实数a的值是 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 3b ， coscos2 cosaCcAbB （）
9、求角B的大小； （）求sinaC的最大值 18已知数列 n a 满足 21 123 333(*) n n aaaan nN （1）求数列 n a 的通项公式； （2）设 131 |log| nnn baa ，求数列 n b 的前n项和 n S 19如图，PA平面ABCD，四边形ABCD是正方形， 2PAAD，M、N分别是AB、PC的中点 （1）求证：平面MND 平面PCD； （2）求点P到平面MND的距离 20某市在争取创建全国文明城市称号，创建文明城市简称创城是极具价值的无形资产和重要城市品 牌“创城”期间，将有创城检查人员到学校随机找人进行提问问题包含：中国梦内涵、社会主义核心 价值观、精
10、神文明“五大创建”活动、文明校园创建“六个好”、“五个礼让”共 5 个问题，提问时将从 中抽取 2 个问题进行提问某日，创城检查人员来到A校，随机找了三名同学甲、乙、丙进行提问，其中 甲只背了 5 个问题中的 2 个，乙背了其中的 3 个，丙背了其中的 4 个计一个问题答对加 10 分，答错不扣 分，最终三人得分相加，满分 60 分，达到 30 分该学校为合格，达到 50 分时该学校为优秀 （1）求A校优秀的概率（保留 3 位小数）； （2）求出A校答对的问题总数X的分布列，并求出A校得分的数学期望； （3）请你为创建全国文明城市提出两条合理的建议 21已知椭圆 22 22 :1(0) xy
11、Eab ab 的离心率 3 2 e ，椭圆E与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D 两点，四边形ACBD的面积为 4 （）求椭圆E的方程； （） 若P是椭圆E上一点 （不在坐标轴上） ， 直线PC，PD分别与x轴相交于M，N两点， 设PC，PD， OP的斜率分别为 1 k， 2 k， 3 k，过点P的直线l的斜率为k，且 123 k kkk ，直线l与x轴交于点Q，求 |MQNQ 的值 22记 ( )( ( )fxf x，( )fx 为 ( )f x的导函数若对xD ， ( )0fx ，则称函数 ( )yf x 为D上的“凸 函数”已知函数 32 1 ( )1 3 x f xexax，aR （
12、1）若函数 ( )f x为R上的凸函数，求a的取值范围； （2）若函数 ( )yf xx 在(1, )上有极值点，求a的取值范围 考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（20）答案）答案 1解： 2 |1 |1Ax xx x厖或 1x ， |0 |1Bx lnxx x厖 ， 则B A ，A BA ，A BB ，( ) UA B ， 故选：C 2解： (2)2112 2(2)(2)555 iiii zi iii ，则 12 55 zi ， 所以共轭复数z的虚部为 2 5 故选：B 3解： (90)(120)0.2P XP X剠 ， (90120)10.40.6PX 剟 ， 1
13、 (90105)(90120)0.3 2 PXPX剟剟 ， 此次数学考试成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为5000.3150 故选：C 4解：双曲线 22 1 4 yx k 的虚轴长是实轴长的 2 倍， 其实轴长为 4，可得2 8k， 16k 故选：C 5解：根据题意，分 2 步进行分析： 先在物理、历史两科中选择 1 科，有 2 种选法， 再从政治、地理、化学、生物四科中选择 2 科，有 2 4 6C 种选法， 则有2612种选法， 故选：B 6解：由于3a ， 22 3bcbc， 则 222 1 cos 22 bca A bc ， 由于 (0, )A ， 所以 3 A 故外接圆的
14、半径为 13 1 23 2 R 所以 13233 sin2sin2sin()sin(2) 243264 ABC SbcABBB ， 由于0 2 B ， 所以 5 2 666 B ， 故 33 3 24 ABC S 故选：A 7解：球O的表面积为 64 9 ，设球的半径为R，可得 2 64 4 9 R ，解得 4 3 R ， 底面三角形ABC 的外接圆的半径为r， 2 2 sin603 2 AC r ，解得 2 3 3 r ， 如图，底面三角形的外心为G，可知底面三角形是正三角形时，A到BC 的距离球的最大值，面积的最大 值为： 11 23 2tan30 ，P与底面三角形的顶点的连线恰好是正三棱
15、锥时，三棱锥的高取得最大值， 22 442 3 ( )()2 333 PGPOOG， 所以棱锥的体积的最大值为： 12 3 32 33 故选：B 8解：由函数 32 ,1 ( ) 11 (1),1 32 x x f x xaxax x ， 令 32 11 ( )( )(1),1 32 h xf xbxaxaxb x，则 2 ( )(1)()(1)h xxaxaxa x， 当1a时，( ) h x至多有 1 个零点， 当1a 时，( ) h x至多有 2 个零点， 由题意，函数 ( )yf xb 恰好有 3 个零点， 那么当1a 的条件下 ( )( )g xf xbxb 在1x 必有一个零点，则
16、1bx， 此时函数 ( )yf xb 恰好有 3 个零点； 综上可知1a ，1b ； 故选：C 9解：A 0ab ，22 baba abab ，当且仅当0ab时取等号，正确； B11x 剟，则 22 222 11 (1)() 22 xx xx ，当且仅当 2 2 x 时取等号，正确； C0ab，则 2222222 ()() ()0 babaabab ab ab ababab ， 22 ba ab ab ，正确； D函数( )222 222 xxxx f x ，当且仅当0 x 取等号，而已知0 x ， ( )2f x ，因此不正确 故选：ABC 10解：由散点图可知，y随x的增加而增加，故A错误
17、； 2021 年 3 月，此时16x ，代入0.93690.0285yx，求得 1.0509，故B正确； 曲线0.93690.0285yx经过点( x， )y，曲线0.95540.0306ylnx 经过点(lnx， )y，故C错误； 因为0.9730.923，所以模型 0.95540.0306ylnx 回归曲线的拟合效果比模型0.93690.0285yx的好， 故D正确 故选：BD 11解： 2021232021 1232021 (1 2 ) o xaa xa xa xax， 故所有项的二项式系数和为 2021 22 n ，故A正确； 令1x ，可得 2021 1232021 3 o aaaa
18、a， 令1x ，可得 1232021 1 o aaaaa ， ，并除以 2，可得展开式中所有偶次项系数和为 2021 2432020 31 2 o aaaaa ， 故C正确； ，并除以 2，可得奇次项的系数和为 2021 1352021 1 3 2 aaaa ，故B错误； 令 1 2 x ，可得 202112 0 22021 0 222 aaa a ，而 0 1a ， 202112 22021 1 222 aaa ，故D正确， 故选：ACD 12解：过点P作PB 于点B， 连接B Q ， 如图所示： 则 4 QPB ， 故 2 2 2 cos 4 PQ ，故A正确；B不正确； 设B Q 的中点
19、为N，易得BB BQ ，且 2BQ ，则有1BN ， 设AB的中点为O，连接O，M，N，B，易得四边形OMNB为平行四边形， 故1OMBN， 1 2 MNPB， 即点M到平面的距离为定值， 可得点M的轨迹为圆，故C正确； 当点Q与B点重合时，三棱锥体A BPQ 转换为三角形， 其体积为 0，而当点Q与点B不重合时，且点P与点A不重合时，其体积显然不为 0， 故D错误， 故选：AC 13 解：| 1,| 2, 60aba b， 1 1 21 2 a b ， 222 |23 |(23 )4912436 122 7abababa b 故答案为：2 7 14解：因为， (0,) 2 ， 所以 (0,
20、) ，( 33 ，) 6 ， 因为 3 cos() 5 ， 5 sin() 313 ， 所以 4 sin() 5 ， 12 cos() 313 ， 则 4123533 sin()sin()()sin()cos()cos()sin()()() 333351351365 故答案为： 33 65 15 解：因为 22 |xyxy所围成的区域如下图所示的四个圆弧围成的图形， 其 面 积 2 2 222()2 2 S， 2 1yx 与 两 坐 标 轴 非 负 半 轴 所 围 成 区 域 的 面 积 1 231 10 0 12 (1)()| 33 Sx dxxx ，所以概率 1 2 2 3 263 S P
21、 S 故答案是： 2 63 16解： 22 ( )()()f xxalnxea， 函数( )f x可看作动点( ,)M x lnx与动点(,)Naea 之间距离的平方， 动点M在y lnx 的图像上，N在y ex 的图像上， 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离， 由y lnx ，得 1 ye x ，则 1 x e ， 故曲线上的点 1 (M e ， 1) 到直线y ex 距离的最小值是 2 2 1 d e ， 则 2 4 ( ) 1 f x e ，根据题意若存在 0 x，使得 0 2 4 () 1 f x e ， 则 0 2 4 () 1 f x e ，此时N恰为垂足， 由 1 MN K
22、 e ，故 ( 1)1 1 ea e a e ，解得： 2 3 1e a ee ， 故答案为： 2 3 1e ee 17解：（）coscos2 cosaCcAb B， 由正弦定理，化简可得：sincossincos2sincosACCABB， sin2sincosBBB， 0B，sin0B ， 可得 1 cos 2 B ， 3 B （）由3b ， 1 cos 2 B ，由正弦定理 3 2 sinsinsin3 2 abc ABC ， 所以2sinaA， 1 sin 2 Cc ， 所以 2313111 sin2sinsin2sinsin()2sin(cossin)sin2cos2sin(2) 3
23、2222262 aCACAAAAAAAA ， 因为 2 0 3 A ，所以 7 2 666 A ，可得 13 sin(2) 622 A ， 因此，sinaC的最大值为 3 2 ，当且仅当2 62 A ，即 3 A 时取得 18解：（1） 21 123 333n n aaaan ， 当1n 时， 1 1a 当2n时 22 1231 3331 n n aaaan ，得 1 31(2) n n an ，2n 时， 1 1 3 n n a ， 1n 时上式成立， 数列 n a 的通项公式为 1 1 (*) 3 n n anN （2） 1 1 3 n n a ， 131 |log| 3 nnn n n
24、baa ， 23 123 3333 n n n S ， 231 1121 33333 n nn nn S ， 两式相减，得： 23111 11 (1) 2111111 33 1 333333322 33 1 3 n n nnnnn nnn S 1 132 22 3n n ， 332 44 3 n n n S 19（1）证明：PA平面ABCD，ABAD，AB、AD、AP两两互相垂直， 如图所示，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，可得 (0A ，0，0)， (2B ，0，0)， (2C ，2，0)， (0D ，2，0)， (0P ，0，2)， (1M ，0，0)，
25、 (1N ，1，1)， (0MN ，1，1)，( 1ND ，1， 1) ，(0PD ，2， 2) 设 (mx ，y， ) z是平面MND的一个法向量， 可得 0 0 m MNyz m NDxyz ，取 1y ，得2x ，1z ， ( 2m ， 1，1)是平面MND的一个法向量，同理可得 (0n ，1，1)是平面PCD的一个法向量， 2 0( 1) 1 1 10m n ，mn， 即平面MND的法向量与平面PCD的法向量互相垂直，可得平面MND 平面PCD； （2）解：由（1）得 ( 2m ，1，1)是平面MND的一个法向量， (0PD ，2， 2) ，得0 ( 2)2 ( 1)( 2) 14PD
26、 m ， 点P到平面MND的距离 |42 6 |341 1 m PD d m 20解：（1）记A校答对的题目个数为X，记事件 :MA校优秀， 11222112221222 32342324234234 2 3 5 ()(5)(6)0.174 () C C C CC C C CC C CC C C P MP XP X C ； （2）X的可能取值为 1，2，3，4，5，6， 221 324 2 3 5 6 (1) ()500 C C C P X C ， 11212111222 23243324324 2 3 5 57 (2) ()500 C C C CC C C CC C C P X C ， 22
27、1221111111222112 224334233423243324 2 3 5 164 (3) ()500 C C CC C CC C C CC C C CC C C C P X C ， 1111112122222311112 2324233423433423234 2 3 5 186 (4) ()500 C C C CC C C CC C CC C CC C C C C P X C ， 11222112221 32342324234 2 3 5 78 (5) ()500 C C C CC C C CC C C P X C ， 222 234 23 5 9 (6) ()500 C C C
28、P X C ， 所以随机变量的分布列如下： X 1 2 3 4 5 6 P 6 500 57 500 164 500 186 500 78 500 9 500 65716418678918 ()123456 5005005005005005005 E X ， 因此，A校得分的期望为10 ( )36E X ， （3）建议：强化公民道德教育，提高市民文化程度； 加强基础设施建设，营造优美人居环境 21解：( ) I根据题意，作出图形如下： 则有 3 2 c a ，且有 1 224 2 ab， 又因为 222 abc， 所以由上可求得2a ，1b ， 即得椭圆的方程为： 2 2 1 4 x y； (
29、)II 设点 0 (P x， 0) y ，则有 2 20 0 1 4 x y，即得 22 00 4(1)xy，此时不妨设点 (0,1)C ， (0, 1)D ， 则可得直线 0 0 1 :1 y PC yx x ， 令 0y ，可得 0 0 1 x x y ，故有 0 0 (,0) 1 x M y ，同理可得 0 0 (,0) 1 x N y ， 则 2 000 12 2 000 1111 4 yyy k k xxx ， 又因为 0 3 0 y k x ，所以可得 012 30 4 xk k k ky ， 因此可得直线l的方程为： 0 00 0 () 4 x yyxx y ， 令 0y ，即得
30、 22 00 0 4xy x x ； 又因为 2 20 0 1 4 x y，故 0 4 x x ，即得 0 4 (Q x ，0)， 所以 000 000000 288 | | | 11(1)(1) xxx MQNQ yyxyyx ， 由上可得， 0 2 00 28 | | 0 4 x MQNQ xx 即得| | 0MQNQ 22解：（1），若函数为上的凸函数， ，即， 2 ( )2 x f xexax ( )f x R ( )220 x fxexa 22 x aex 令， 当时，当时，单调递减， 时，单调递增， 的最小值是，即，解得：， 故的取值范围是 （2）由题意知， 则， 由题意得在有零点
31、， 即在有解， ，令， ， 故在上单调递增，（1）， ，即， 在上单调递增，且， （1），即， 故的取值范围是， 2 x yex2 x ye 2xln0y(,2)xln y ( 2,)xln y y 222ln2222aln12aln a(,12)ln 32 1 ( )1 3 x yf xxexaxx 2 21 x yexax 2 21 x yexax (1,) 2 1 ( )2 x ex g xa x (1,) 2 2 (1)1 ( ) x xex g x x 2 ( )(1)1 x h xxex ( )(2) x h xx e1x ( )0h x ( )h x(1,)h0 ( )0h x( )0g x ( )g x(1,)x( )g x ( )(g xg)2(2,)ae a 2 ( 2 e )
