1、考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷(天冲刺高考模拟考试卷(20) 一、一、选择题:本题共选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。求的。 1已知全集UR,集合 2 |1Ax x, |0Bx lnx ,则( ) AA BB BA BA C( ) UA B D UU BA痧 2已知复数 2 i z i ,则其共轭复数z的虚部为( ) A 2 5 B 2 5 C 2 5 i D 2 5 i 3某校有 500 人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布 (
2、105N , 2)( 0),试卷满分 150 分,统计结果显示数学成绩优秀(不低于 120 分)的人数占总人数的 1 5 ,则此次数学成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为( ) A75 B100 C150 D200 4双曲线 22 44xkyk的虚轴长是实轴长的 2 倍,则实数k的值是( ) A16 B 1 16 C16 D 1 16 52021 年江苏省实行“312 ”新高考模式,学生选科时语文、数学、英语三科必选,物理、历史两科 中选择 1 科,政治、地理、化学、生物四科中选择 2 科,则学生不同的选科方案共有( ) A6 种 B12 种 C18 种 D24 种 6已知锐角ABC的
3、内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3a , 22 3bcbc,则 ABC面积 的取值范围是( ) A 3 ( 2 , 3 3 4 B 3 ( 2 , 3 3 ) 4 C 3 ( 4 , 3 3 ) 4 D 3 ( 4 , 3 3 4 7已知A,B,C,P为球O的球面上的四个点, 60ABC,2AC ,球O的表面积为 64 9 ,则三 棱锥PABC的体积的最大值为( ) A2 3 B 2 3 3 C 4 3 3 D 4 3 9 8已知a,bR,函数 32 ,1 ( ) 11 (1),1 32 x x f x xaxax x ,若函数 ( )yf xb 恰好有 3 个零点,则( ) A1a
4、, 1b B1a ,1b C1a ,1b D1a ,1b 二、二、选择题:本题共选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分,部分选对的对分,部分选对的对 2 分,有选错的得分,有选错的得 0 分。分。 9下列结论正确的是( ) A若0ab ,则 2 ba ab B若11x 剟,则 22 1 (1) 2 xx C若0ab,则 22 ba ab ab D函数( )22 (0) xx f xx 有最小值 2 102020 年的“金九银十”变
5、成“铜九铁十”,全国各地房价“跳水”严重,但某地二手房交易却“逆市” 而行下图是该地某小区 2019 年 12 月至 2020 年 12 月间,当月在售二手房均价(单位:万元/平方米)的 散点图(图中月份代码113分别对应 2019 年 12 月 2020年 12 月) 根据散点图选择yab x和y cdlnx 两个模型进行拟合,经过数据处理得到的两个回归方程分别为 0.93690.0285yx和0.95540.0306ylnx,并得到以下一些统计量的值: 0.93690.0285yx 0.95540.0306ylnx 2 R 0.923 0.973 注:x是样本数据中x的平均数,y是样本数据
6、中y的平均数,则下列说法正确的是( ) A当月在售二手房均价y与月份代码x呈负相关关系 B由0.93690.0285y x预测 2021 年 3 月在售二手房均价约为 1.0509 万元/平方米 C曲线0.93690.0285yx与 0.95540.0306ylnx 都经过点(x, )y D模型 0.95540.0306ylnx 回归曲线的拟合效果比模型0.93690.0285yx的好 11已知 2021232021 1232021 (1 2 ) o xaa xa xa xax,则( ) A展开式中所有项的二项式系数和为 2021 2 B展开式中所有奇次项系数和为 2021 31 2 C展开式
7、中所有偶次项系数和为 2021 31 2 D 3202112 232021 1 2222 aaaa 12如图,已知a,b是相互垂直的两条异面直线,直线AB与a,b均相互垂直,且 2AB ,动点P,Q 分别位于直线a,b上,若直线PQ与AB所成的角 4 ,线段PQ的中点为M,下列说法正确的是( ) APQ的长度为2 2 BPQ的长度不是定值 C点M的轨迹是圆 D三棱锥A BPQ 的体积为定值 三、填空题:本题共填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分。 13已知向量a,b满足| | 1a ,| 2b ,向量a与b的夹角为60,则|23 |ab 14已知, (0
8、,) 2 , 3 cos() 5 , 5 sin() 313 ,则sin( ) 3 15向曲线 22 |xyxy所围成的区域内任投一点,这点正好落在 2 1yx 与两坐标轴非负半轴所围成 区域内的概率为 16已知函数 22 ( )()()f xxalnxea,若存在 0 x,使得 0 2 4 () 1 f x e ,则实数a的值是 四、四、解答题:本题共解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 3b , coscos2 cosaCcAbB ()
9、求角B的大小; ()求sinaC的最大值 18已知数列 n a 满足 21 123 333(*) n n aaaan nN (1)求数列 n a 的通项公式; (2)设 131 |log| nnn baa ,求数列 n b 的前n项和 n S 19如图,PA平面ABCD,四边形ABCD是正方形, 2PAAD,M、N分别是AB、PC的中点 (1)求证:平面MND 平面PCD; (2)求点P到平面MND的距离 20某市在争取创建全国文明城市称号,创建文明城市简称创城是极具价值的无形资产和重要城市品 牌“创城”期间,将有创城检查人员到学校随机找人进行提问问题包含:中国梦内涵、社会主义核心 价值观、精
10、神文明“五大创建”活动、文明校园创建“六个好”、“五个礼让”共 5 个问题,提问时将从 中抽取 2 个问题进行提问某日,创城检查人员来到A校,随机找了三名同学甲、乙、丙进行提问,其中 甲只背了 5 个问题中的 2 个,乙背了其中的 3 个,丙背了其中的 4 个计一个问题答对加 10 分,答错不扣 分,最终三人得分相加,满分 60 分,达到 30 分该学校为合格,达到 50 分时该学校为优秀 (1)求A校优秀的概率(保留 3 位小数); (2)求出A校答对的问题总数X的分布列,并求出A校得分的数学期望; (3)请你为创建全国文明城市提出两条合理的建议 21已知椭圆 22 22 :1(0) xy
11、Eab ab 的离心率 3 2 e ,椭圆E与x轴交于A,B两点,与y轴交于C,D 两点,四边形ACBD的面积为 4 ()求椭圆E的方程; () 若P是椭圆E上一点 (不在坐标轴上) , 直线PC,PD分别与x轴相交于M,N两点, 设PC,PD, OP的斜率分别为 1 k, 2 k, 3 k,过点P的直线l的斜率为k,且 123 k kkk ,直线l与x轴交于点Q,求 |MQNQ 的值 22记 ( )( ( )fxf x,( )fx 为 ( )f x的导函数若对xD , ( )0fx ,则称函数 ( )yf x 为D上的“凸 函数”已知函数 32 1 ( )1 3 x f xexax,aR (
12、1)若函数 ( )f x为R上的凸函数,求a的取值范围; (2)若函数 ( )yf xx 在(1, )上有极值点,求a的取值范围 考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷(天冲刺高考模拟考试卷(20)答案)答案 1解: 2 |1 |1Ax xx x厖或 1x , |0 |1Bx lnxx x厖 , 则B A ,A BA ,A BB ,( ) UA B , 故选:C 2解: (2)2112 2(2)(2)555 iiii zi iii ,则 12 55 zi , 所以共轭复数z的虚部为 2 5 故选:B 3解: (90)(120)0.2P XP X剠 , (90120)10.40.6PX 剟 , 1
13、 (90105)(90120)0.3 2 PXPX剟剟 , 此次数学考试成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为5000.3150 故选:C 4解:双曲线 22 1 4 yx k 的虚轴长是实轴长的 2 倍, 其实轴长为 4,可得2 8k, 16k 故选:C 5解:根据题意,分 2 步进行分析: 先在物理、历史两科中选择 1 科,有 2 种选法, 再从政治、地理、化学、生物四科中选择 2 科,有 2 4 6C 种选法, 则有2612种选法, 故选:B 6解:由于3a , 22 3bcbc, 则 222 1 cos 22 bca A bc , 由于 (0, )A , 所以 3 A 故外接圆的
14、半径为 13 1 23 2 R 所以 13233 sin2sin2sin()sin(2) 243264 ABC SbcABBB , 由于0 2 B , 所以 5 2 666 B , 故 33 3 24 ABC S 故选:A 7解:球O的表面积为 64 9 ,设球的半径为R,可得 2 64 4 9 R ,解得 4 3 R , 底面三角形ABC 的外接圆的半径为r, 2 2 sin603 2 AC r ,解得 2 3 3 r , 如图,底面三角形的外心为G,可知底面三角形是正三角形时,A到BC 的距离球的最大值,面积的最大 值为: 11 23 2tan30 ,P与底面三角形的顶点的连线恰好是正三棱
15、锥时,三棱锥的高取得最大值, 22 442 3 ( )()2 333 PGPOOG, 所以棱锥的体积的最大值为: 12 3 32 33 故选:B 8解:由函数 32 ,1 ( ) 11 (1),1 32 x x f x xaxax x , 令 32 11 ( )( )(1),1 32 h xf xbxaxaxb x,则 2 ( )(1)()(1)h xxaxaxa x, 当1a时,( ) h x至多有 1 个零点, 当1a 时,( ) h x至多有 2 个零点, 由题意,函数 ( )yf xb 恰好有 3 个零点, 那么当1a 的条件下 ( )( )g xf xbxb 在1x 必有一个零点,则
16、1bx, 此时函数 ( )yf xb 恰好有 3 个零点; 综上可知1a ,1b ; 故选:C 9解:A 0ab ,22 baba abab ,当且仅当0ab时取等号,正确; B11x 剟,则 22 222 11 (1)() 22 xx xx ,当且仅当 2 2 x 时取等号,正确; C0ab,则 2222222 ()() ()0 babaabab ab ab ababab , 22 ba ab ab ,正确; D函数( )222 222 xxxx f x ,当且仅当0 x 取等号,而已知0 x , ( )2f x ,因此不正确 故选:ABC 10解:由散点图可知,y随x的增加而增加,故A错误
17、; 2021 年 3 月,此时16x ,代入0.93690.0285yx,求得 1.0509,故B正确; 曲线0.93690.0285yx经过点( x, )y,曲线0.95540.0306ylnx 经过点(lnx, )y,故C错误; 因为0.9730.923,所以模型 0.95540.0306ylnx 回归曲线的拟合效果比模型0.93690.0285yx的好, 故D正确 故选:BD 11解: 2021232021 1232021 (1 2 ) o xaa xa xa xax, 故所有项的二项式系数和为 2021 22 n ,故A正确; 令1x ,可得 2021 1232021 3 o aaaa
18、a, 令1x ,可得 1232021 1 o aaaaa , ,并除以 2,可得展开式中所有偶次项系数和为 2021 2432020 31 2 o aaaaa , 故C正确; ,并除以 2,可得奇次项的系数和为 2021 1352021 1 3 2 aaaa ,故B错误; 令 1 2 x ,可得 202112 0 22021 0 222 aaa a ,而 0 1a , 202112 22021 1 222 aaa ,故D正确, 故选:ACD 12解:过点P作PB 于点B, 连接B Q , 如图所示: 则 4 QPB , 故 2 2 2 cos 4 PQ ,故A正确;B不正确; 设B Q 的中点
19、为N,易得BB BQ ,且 2BQ ,则有1BN , 设AB的中点为O,连接O,M,N,B,易得四边形OMNB为平行四边形, 故1OMBN, 1 2 MNPB, 即点M到平面的距离为定值, 可得点M的轨迹为圆,故C正确; 当点Q与B点重合时,三棱锥体A BPQ 转换为三角形, 其体积为 0,而当点Q与点B不重合时,且点P与点A不重合时,其体积显然不为 0, 故D错误, 故选:AC 13 解:| 1,| 2, 60aba b, 1 1 21 2 a b , 222 |23 |(23 )4912436 122 7abababa b 故答案为:2 7 14解:因为, (0,) 2 , 所以 (0,
20、) ,( 33 ,) 6 , 因为 3 cos() 5 , 5 sin() 313 , 所以 4 sin() 5 , 12 cos() 313 , 则 4123533 sin()sin()()sin()cos()cos()sin()()() 333351351365 故答案为: 33 65 15 解:因为 22 |xyxy所围成的区域如下图所示的四个圆弧围成的图形, 其 面 积 2 2 222()2 2 S, 2 1yx 与 两 坐 标 轴 非 负 半 轴 所 围 成 区 域 的 面 积 1 231 10 0 12 (1)()| 33 Sx dxxx ,所以概率 1 2 2 3 263 S P
21、 S 故答案是: 2 63 16解: 22 ( )()()f xxalnxea, 函数( )f x可看作动点( ,)M x lnx与动点(,)Naea 之间距离的平方, 动点M在y lnx 的图像上,N在y ex 的图像上, 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离, 由y lnx ,得 1 ye x ,则 1 x e , 故曲线上的点 1 (M e , 1) 到直线y ex 距离的最小值是 2 2 1 d e , 则 2 4 ( ) 1 f x e ,根据题意若存在 0 x,使得 0 2 4 () 1 f x e , 则 0 2 4 () 1 f x e ,此时N恰为垂足, 由 1 MN K
22、 e ,故 ( 1)1 1 ea e a e ,解得: 2 3 1e a ee , 故答案为: 2 3 1e ee 17解:()coscos2 cosaCcAb B, 由正弦定理,化简可得:sincossincos2sincosACCABB, sin2sincosBBB, 0B,sin0B , 可得 1 cos 2 B , 3 B ()由3b , 1 cos 2 B ,由正弦定理 3 2 sinsinsin3 2 abc ABC , 所以2sinaA, 1 sin 2 Cc , 所以 2313111 sin2sinsin2sinsin()2sin(cossin)sin2cos2sin(2) 3
23、2222262 aCACAAAAAAAA , 因为 2 0 3 A ,所以 7 2 666 A ,可得 13 sin(2) 622 A , 因此,sinaC的最大值为 3 2 ,当且仅当2 62 A ,即 3 A 时取得 18解:(1) 21 123 333n n aaaan , 当1n 时, 1 1a 当2n时 22 1231 3331 n n aaaan ,得 1 31(2) n n an ,2n 时, 1 1 3 n n a , 1n 时上式成立, 数列 n a 的通项公式为 1 1 (*) 3 n n anN (2) 1 1 3 n n a , 131 |log| 3 nnn n n
24、baa , 23 123 3333 n n n S , 231 1121 33333 n nn nn S , 两式相减,得: 23111 11 (1) 2111111 33 1 333333322 33 1 3 n n nnnnn nnn S 1 132 22 3n n , 332 44 3 n n n S 19(1)证明:PA平面ABCD,ABAD,AB、AD、AP两两互相垂直, 如图所示,分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系,可得 (0A ,0,0), (2B ,0,0), (2C ,2,0), (0D ,2,0), (0P ,0,2), (1M ,0,0),
25、 (1N ,1,1), (0MN ,1,1),( 1ND ,1, 1) ,(0PD ,2, 2) 设 (mx ,y, ) z是平面MND的一个法向量, 可得 0 0 m MNyz m NDxyz ,取 1y ,得2x ,1z , ( 2m , 1,1)是平面MND的一个法向量,同理可得 (0n ,1,1)是平面PCD的一个法向量, 2 0( 1) 1 1 10m n ,mn, 即平面MND的法向量与平面PCD的法向量互相垂直,可得平面MND 平面PCD; (2)解:由(1)得 ( 2m ,1,1)是平面MND的一个法向量, (0PD ,2, 2) ,得0 ( 2)2 ( 1)( 2) 14PD
26、 m , 点P到平面MND的距离 |42 6 |341 1 m PD d m 20解:(1)记A校答对的题目个数为X,记事件 :MA校优秀, 11222112221222 32342324234234 2 3 5 ()(5)(6)0.174 () C C C CC C C CC C CC C C P MP XP X C ; (2)X的可能取值为 1,2,3,4,5,6, 221 324 2 3 5 6 (1) ()500 C C C P X C , 11212111222 23243324324 2 3 5 57 (2) ()500 C C C CC C C CC C C P X C , 22
27、1221111111222112 224334233423243324 2 3 5 164 (3) ()500 C C CC C CC C C CC C C CC C C C P X C , 1111112122222311112 2324233423433423234 2 3 5 186 (4) ()500 C C C CC C C CC C CC C CC C C C C P X C , 11222112221 32342324234 2 3 5 78 (5) ()500 C C C CC C C CC C C P X C , 222 234 23 5 9 (6) ()500 C C C
28、P X C , 所以随机变量的分布列如下: X 1 2 3 4 5 6 P 6 500 57 500 164 500 186 500 78 500 9 500 65716418678918 ()123456 5005005005005005005 E X , 因此,A校得分的期望为10 ( )36E X , (3)建议:强化公民道德教育,提高市民文化程度; 加强基础设施建设,营造优美人居环境 21解:( ) I根据题意,作出图形如下: 则有 3 2 c a ,且有 1 224 2 ab, 又因为 222 abc, 所以由上可求得2a ,1b , 即得椭圆的方程为: 2 2 1 4 x y; (
29、)II 设点 0 (P x, 0) y ,则有 2 20 0 1 4 x y,即得 22 00 4(1)xy,此时不妨设点 (0,1)C , (0, 1)D , 则可得直线 0 0 1 :1 y PC yx x , 令 0y ,可得 0 0 1 x x y ,故有 0 0 (,0) 1 x M y ,同理可得 0 0 (,0) 1 x N y , 则 2 000 12 2 000 1111 4 yyy k k xxx , 又因为 0 3 0 y k x ,所以可得 012 30 4 xk k k ky , 因此可得直线l的方程为: 0 00 0 () 4 x yyxx y , 令 0y ,即得
30、 22 00 0 4xy x x ; 又因为 2 20 0 1 4 x y,故 0 4 x x ,即得 0 4 (Q x ,0), 所以 000 000000 288 | | | 11(1)(1) xxx MQNQ yyxyyx , 由上可得, 0 2 00 28 | | 0 4 x MQNQ xx 即得| | 0MQNQ 22解:(1),若函数为上的凸函数, ,即, 2 ( )2 x f xexax ( )f x R ( )220 x fxexa 22 x aex 令, 当时,当时,单调递减, 时,单调递增, 的最小值是,即,解得:, 故的取值范围是 (2)由题意知, 则, 由题意得在有零点
31、, 即在有解, ,令, , 故在上单调递增,(1), ,即, 在上单调递增,且, (1),即, 故的取值范围是, 2 x yex2 x ye 2xln0y(,2)xln y ( 2,)xln y y 222ln2222aln12aln a(,12)ln 32 1 ( )1 3 x yf xxexaxx 2 21 x yexax 2 21 x yexax (1,) 2 1 ( )2 x ex g xa x (1,) 2 2 (1)1 ( ) x xex g x x 2 ( )(1)1 x h xxex ( )(2) x h xx e1x ( )0h x ( )h x(1,)h0 ( )0h x( )0g x ( )g x(1,)x( )g x ( )(g xg)2(2,)ae a 2 ( 2 e )