1、几何变换之旋转巩固练习几何变换之旋转巩固练习(提优提优) 1. 如图在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 的坐标为(1，2)，过点 B 作 BAy 轴于点 A，连接 OB 将AOB 绕点 O 按顺时针方向旋转 45，得到AOB，则点 B 的坐标为( ) A. B. C. D. 【解答】B 【解析】 将线段 OB 绕点 O 顺时针旋转 90得到 OE.连接 BE 交 OB 于 F， 作 FHx 轴于 H， BGx 轴于 G， 如图所示： B(1，2)，可得 E(2，1)， BOFEOF，OBOE，BFEF， ， FHBG， . 2. 如图，AOB 为等腰三角形，顶点 A 的坐标，底边 OB 在
2、x 轴上。将AOB 绕点 B 按顺时 针方向旋转一定角度后得AOB，点 A 的对应点 A在 x 轴上，则点 O的坐标为( ) A. B. C. D. 【解答】D 【解析】如图，过点 A 作 ACOB 于 C，过点 O作 ODAB 于 D， A(2，5)，OC2，AC， 由勾股定理得， AOB 为等腰三角形，OB 是底边，OB20C224， 由旋转的性质得，BOOB4，ABOABO， sinABOsinOBD， ， ，. 3. 如图，ABC 中，ABC45，AHBC 于点 H，点 D 在 AH 上，且 DHCH，连结 BD，将BHD 绕点 H 旋转，得到EHF(点 B、D 分别与点 E、F 对应
3、)，连结 AE，当点 F 落在 AC 上时(F 不与 C 重合)， 若 BC4，tanC3，则 AE 的长为 . 【解答】 【解析】在 RtAHC 中， tanC3， 设 CH，则 BHAH3， BC4，34，1， AH3，CH1， 由旋转知，EHFBHDAHC90，EHAH3，CHDHFH， EHFAHFAHCAHF， EHAFHC， EHAFHC，EAHC， tanEAHtanC3， 过点 H 作 HPAE，如图所示： HP3AP，AE2AP，在 RtAHP 中， . 4. 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，ACB90，ACBC4，D 为 BC 中点，E 为 AC 边上一动点， 连接 D
4、E，以 DE 为边并在 DE 的右侧作等边DEF，连接 BF，则 BF 的最小值为 . 【解答】3 【解析】如图，以 CD 为边向右作等边CDG，连接 FG，作 BKFG 于 K，CHFG 交 FG 的延长线于 H. DEF，DCG 都是等边三角形， CDGEDF60，DCDG，DEDF， DCEDGF(SAS)， DCEDGF90， 点 F 的在直线 FG 上运动， 在 RtGCH 中，CGCDBD2，CGH30， ， DGBKCH，CDDB，GHGK， ，解得 BK3， 根据垂线段最短可知，当点 F 与 K 重合时，BF 的值最小，最小值为 3. 5. 如图，在ABC 中，BAC90，BA
5、C10，点 D 为ABC 内一点，BAD15，AD6，连 接 BD，将ABD 绕点 A 按逆时针方向旋转，使 AB 与 AC 重合，点 D 的对应点为点 E，连接 DE，DE 交 AC 于点 F，则 CF 的长为 . 【解答】 【解析】过点 A 作 AGDE 于点 G，如图所示： 由旋转知：ADAE，DAE90，CAEBAD15， AEDADG45， 在AEF 中，AFDAEDCAE60， 在 RtADG 中， ， 在 RtAFG 中， ， CFACAF. 6. 在 RtABC 中，ACAB，D 为内平面内一动点，CDa，CBb，其中 a，b 为常数，且 ab，将 ADC 沿射线 AB 方向平
6、移，得到BEF，点 A、C、D 的对应点分别为点 B、E、F，连接 AF. (1)如图，若 D 在ABC 内部，请在图中画出BEF； (2)在(1)的条件下，若 CDAF，求 AF 的长(用含 a，b 的式子表示)； (3)若ABC试探究当线段 AF 的长度取最小值时ACD 的大小(用含的式子表示). 【解答】(1)见解析；(2)；(3) 【解析】(1)如图所示： (2)连接 CE、DF、AE，如图所示： 将ACD 沿射线 AB 方向平移，得到BEF， CD/EF， CDEF； AC /BE， AC BE， 四边形 ACEB 是平行四边形， CAB90，四边形 ABEC 为矩形，BCAE， C
7、DAF，EFAF CDa，BCb，EFa，AEb， ； (3)当点 F 在 AE 上时，线段 AF 的长度最小，如图所示： 四边形 ABEC 是矩形，ABC，AEBC，且互相平分， OE OB，OEBOBE， ABE90，CBE90， ACDBEFCBE90 . 7. 如图，已知MON45，A 为射线 OM 上一定点，点 A 关于射线 ON 的对称点为点 B，C 为射线 ON 上一动点，连接 CB，满足 BCO 为钝角，以点 C 为中心，将线段 CB 逆时针旋转度至线段 CD，满足点 D 在射线 OM 的反向延长线上。 (1)依题意补全图形； (2)当点 C 在运动过程中，旋转角是否发生变化？
8、若不变化，请求出的值，若变化，请说明理由； (3)从点 D 向射线 ON 作垂线，与射线 ON 的反向延长线交于点 E，探究线段 CE 和 OA 的数量关系并证明. 【解答】(1)见解析；(2)不会变化；(3) 【解析】(1)如图所示： (2)旋转角不会变化， 理由如下：点 A，点 B 关于 ON 对称， OAOB，ONAB， BONMON45，且 OCOC，OAOB， OCAOCB(SAS)，ACBC，OACOBC， 将线段 CB 逆时针旋转度至线段 CD， CDBC，BCD，CDAC， CADCDA，CBOCDA， CDADCOAOC45，DCOOBC45， CBOOCDBCDBOC180
9、，BCD90 ，90 ； (3) 设 AB 与 ON 相交于点 H，如图所示： BCHDCE90，DCECDE90， BCHCDE，且 BCCD，DECBHC90， BCHCDE(AAS)，CEBH， OAOB，ONAB，AHBH，CEAH， MON45，AHO90， HAOMON45，OHAH， . 8. 如图 1，在ABC 中，ACB90，ACBC，点 D 是射线 CB 上一点，连接 AD，过 D 作 DEAD 交射线 AB 于点 E，以 A 为旋转中心，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90得线段 AF，过点 F 作 FGAF 交 AC 的延长线于点 G，连接 EG (1)如图 1，点
10、 D 在 CB 上. 依题意补全图 1； 猜想 DE、EG、FG 之间的数量关系并证明； (2)如图 2，点 D 在 CB 的延长线上。请直接写出 DE、EG、FG 之间的数量关系为 . 【解答】(1)见解析；FGEGDE；(2)EGFGDE 【解析】(1)如图所示： 过点 A 作 AHAB 交 FG 于点 H，如图所示： BAH90， 由旋转知，ADAF，DAF90BAH，DAEFAH， DEAD，FGAF，ADEAFH90， ADEAFH(ASA)，DEFH，AEAH， 在ABC 中，ACB90，ACBC，CAB45， BAH90，HAG45CAB， AGAG，AGEAGH(SAS)， E
11、GHG，FGHGFHEGDE； (2)如图，过点 A 作 AHAB 交 GF 的延长线于 H， 同(1)的方法得，ADEAFH(ASA)，DEFH，AEAH， 同(1)的方法得，AGEAGH(SAS)，EGHG， EGFGFHFGDE. 9. 如图 1，ABC 和DEC 都是等边三角形，点 E 在 AC 上. (1)求证：ADBE； (2)如图 2，当时，将DEC 绕点 C 顺时针旋转 30，连接 BD 交 AC 于点 G，取 AB 的中 点 F，连接 FG. 求证：BE2FG； 若AFG 的周长为 9，求 BC 的长. 【解答】(1)见解析；(2)见解析， 【解析】(1)证明：ABC 和DE
12、C 都是等边三角形， ABACBC，CDCEDE，ACBDCE60， ACDBCE(SAS)，ADBE； (2)过 B 作 BTAC 于 T，连 AD，如图所示， CE 绕 C 顺时针旋转 30，ACE30，GCD90， 由勾股定理可得， 又CDCE，BTCD， 在BTG 和DCG 中， . RtBCERtACD(SAS)， BEAD，BE2FG； ABC 是等边三角形，BTAC， ATCTAC， TGCG，AC4TG，AG3TG， ， RtBCERtACD，BGGD，ADBE， 又AFBF，FGAD，FGAD， AFG 的周长为 9，AGAFFG3TG2TG9， BCAC4TG. 10. 在
13、等腰 RtABC 中，ABAC，BAC90. (1)如图 1， D、 E 是等腰 RtABC 斜边 BC 上两动点， 且DAE45， 将ABE 绕点 A 逆时针旋转 90 后， 得到AFC，连接 DF. 求证：AEDAFD； 当 BE3，CE7 时，求 DE 的长； (2)如图 2，点 D 是等腰 RtABC 斜边 BC 所在直线上的一动点，连接 AD，以点 A 为直角顶点作等腰 Rt ADE，当 BD3，BC9 时，求 DE 的长. 【解答】(1)见解析；(2)或 【解析】(1)连接 EF，如图所示： BAECAF，AEAF，BAECAF， BAC90，EAD45， CADBAECADCAF45， DAEDAF，DADA，AEAF，AEDAFD(SAS)； 设 DE，则 CD9， ABAC，BAC90，BACB45， ABEACF45，DCF90， AEDAFD(SAS)，DEDF， 在 RtDCF 中，CFBE3， ，解得，； (2)当点 D 在线段 BC 上时，如图所示，连接 BE， BACEAD90，EABDAC， AEAD，ABAC，EABADC(SAS)， ABECABC45，EBCD6，EBD90， ，； 当点 D 在 CB 的延长线上时，如图所示，连接 BE. 同理可证DBE 是直角三角形，EBCD12，DB3， ， 综上，DE 的值为或.
