1、 1 知识精要知识精要 1形如 2 yaxbxc （其中0, , ,aa b c为常数 ）的函数叫做二次函数。 2. 二次函数的性质： 抛物线的顶点坐标 2 4 , 24 bacb aa ,对称轴 2 b x a 。 当时，抛物线向上开口；在对称轴左侧 y 随 x 的增大而减小，在对称轴右侧 y 随 x 的增大而增 大，当 2 b x a 时，y 有最小值，最小值是 2 4 4 acb y a 。 当时，抛物线向下开口；在对称轴左侧 y 随 x 的增大而增大，在对称轴右侧 y 随 x 的增大而减小， 当 2 b x a 时，y 有最大值，最大值是 2 4 4 acb y a 。 a 越大抛物线
2、的开口越小，a 越小抛物线的开口越大。 3.二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数 a 决定抛物线的开口 方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共 同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时 即，对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时 即，对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点位置：抛物线与 y 轴交于； 要点突破要点突破 1. 一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知 抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择
3、设 其解析式为交点式来求解 2.二次函数综合运用.解题关键点：画出图形，数形结合分析问题，把问题转化为相应函数问题解决. 典例精讲典例精讲 例已知二次函数 y = 2x2 -4x -6. 2 （1）用配方法将 y = 2x2 -4x -6 化成 y = a (x - h) 2 + k 的形式；并写出对称轴和顶点坐标。 （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减少？ （4）当 x 取何值是，y0， （5）当时，求 y 的取值范围； （6）求函数图像与两坐标轴交点所围成的三角形的面积. 【答案】 （1） x=1， （1，-8）;（2）图略;（
4、3）x1; （4）x=1 或-3，x3，-1x3; （5） ;（6）12 (2)如图所示: x -1 0 1 2 3 y 0 -6 -8 -6 0 3 课堂精练课堂精练 一、单选题 1抛物线的顶点坐标（ ） A (-3，4) B (-3，-4) C (3，-4) D (3，4) 【答案】D 【解析】 因为是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（-3， 4） ， 4 故选 D 2为了得到函数的图象，可以将函数的图象 A 先关于 x 轴对称，再向右平移 1 个单位，最后向上平移 4 个单位 B 先关于 x 轴对称，再向右平移 1 个单位，最后向下平移 4 个单位 C 先关于 y 轴对
5、称，再向右平移 1 个单位，最后向上平移 4 个单位 D 先关于 y 轴对称，再向右平移 1 个单位，最后向下平移 4 个单位 【答案】A 3如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥当水面在 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2m， 水面宽 4m如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ） A B C D 【答案】A 【解析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为 y 轴，可设此函数解析式为：y=ax2， 利用待定系数法求解 解：设此函数解析式为：y=ax2（a0） ， 那么（2，-2）应在此函数解析式上 则-2=4a 即得 a=- ， 那么 y=- x2 5 故选 A 4
6、已知二次函数的部分图象如图所示，若连接该函数与坐标轴的交点所得到的三角形 面积为 20，则该函数的最大值为 A B C 5 D 【答案】D 5在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是 6 A ， B ， C ， D ， 【答案】A 6抛物线上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如下表： x 0 1 2 y 0 4 6 6 4 小聪观察上表，得出下面结论：抛物线与 x 轴的一个交点为； 函数的最大值 为 6；抛物线的对称轴是；在对称轴左侧，y 随 x 增大而增大其中正确有 A B C D 【答案】D 【解析】根据表中数据和抛物线的对称形，可得到抛物线的开口向下，
7、当时，即抛物线与 7 x 轴的交点为和；因此可得抛物线的对称轴是直线，再根据抛物线的性质即可进 行判断 解： 根据图表， 当， 根据抛物线的对称形， 当时， 即抛物线与 x 轴的交点为 和； 抛物线的对称轴是直线， 根据表中数据得到抛物线的开口向下， 当时，函数有最大值，而不是，或 1 对应的函数值 6， 并且在直线的左侧，y 随 x 增大而增大， 所以正确，错， 故选 D 【点睛】本题考查了抛物线的性质：抛物线是轴对称图形，它与 x 轴的两个交点是对称 点，对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点；时，函数有最大值，在对称轴左侧，y 随 x 增大而增大 7抛物线的部分图象如图所示，与 x 轴的一个
8、交点坐标为，抛物线的对称 轴是下列结论中： ；方程有两个不相等的实数根；抛物线与 x 轴的另一个交 点坐标为；若点在该抛物线上，则 其中正确的有 A 5 个 B 4 个 C 3 个 D 2 个 【答案】B 8 方程有两个不相等的实数根，故正确； 抛物线与 x 轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是， 抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为，故正确； 抛物线的对称轴是， 有最大值是， 点在该抛物线上， ，故正确， 本题正确的结论有：，4 个， 故选 B 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次
9、项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时 即，对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时 即 ，对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点位置：抛物线与 y 轴交于；也考查了抛物 线与 x 轴的交点以及二次函数的性质 8（题文） 如图， 已知二次函数的图象如图所示， 有下列 5 个结论 ； ；的实数 其中正确结论的有 9 A B C D 【答案】B ，故不正确； 当时， ，故正确； 由对称知，当时，函数值大于 0，即，故正确； ， ， ， ， ，故不正确； 当时，y 的值最大此时， 而当时， 所以， 故，即，故正确， 故正确， 故选 B 10 9
10、已知二次函数为常数 ，当自变量 x 的值满足时，与其对应的 函数值 y 的最小值为 5，则 m 的值为 A 1 或 B 或 5 C 1 或 D 1 或 3 【答案】C 10 如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是 （ ） A B C D 【答案】B 11 11已知函数 y1=x2与函数 y2=x+3 的图象如图所示，若 y1y2，则自变量 x 的取值范围是( ) A - x2 或 x- C -2x D x 【答案】C 12 12如图，一段抛物线：y=x（x5） （0 x5） ，记为 C1，它与 x 轴交于点 O，A1；将 C1绕点 A1旋 转 180 得 C2，交 x 轴
11、于点 A2；将 C2绕点 A2旋转 180 得 C3，交 x 轴于点 A3；如此进行下去，得到一“波 浪线”，若点 P（2018，m）在此“波浪线”上，则 m 的值为（ ） A 4 B 4 C 6 D 6 【答案】C 【解析】根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出 m 的值，由 20175=4032，可知点 P（2018，m）在此“波浪线”上 C404段上，求出 C404的解析式，然后把 P（2018，m） 代入即可 解：当 y=0 时，x（x5）=0，解得 x1=0，x2=5，则 A1（5，0） ， OA1=5， 将 C1绕点 A1旋转 180 得 C2，交
12、x 轴于点 A2；将 C2绕点 A2旋转 180 得 C3，交 x 轴于点 A3；如 此进行下去，得到一“波浪线”， A1A2=A2A3=OA1=5， 13 抛物线 C404的解析式为 y=（x5 403） （x5 404） ，即 y=（x2015） （x2020） ， 当 x=2018 时，y=（20182015） （20182020）=6， 即 m=6 故选：C 13把二次函数 y=x24x+3 化成 y=a（xh）2+k 的形式是_ 【答案】y=（x2）21 14若抛物线的顶点在第一象限，则 m 的取值范围为 【答案】 【解析】 抛物线， 顶点坐标为， 顶点在第一象限， 且， 的取值范围
13、为， 故答案为： 15若， 为二次函数的图象上的三点，则，的大小 关系是_ 【答案】 【解析】 ， ， ， ， 14 故答案为： 16已知抛物线与关于原点对称，我们称与互为“和谐 抛物线”请写出抛物线的“和谐抛物线”_ 【答案】 【解析】 抛物线的“和谐抛物线”是， 化简，得， 故答案为： 17将抛物线向上平移一个单位，向右平移两个单位，直线恰好经过平移后的 抛物线的顶点，则 b 的值是_ 【答案】 18二次函数 yx22x3，当 m2xm 时函数有最大值 5，则 m 的值可能为_ 【答案】0 或 4 【解析】根据二次函数的图像和解析式，判断出函数的最值的自变量 x 的值，然后根据 m 的范围
14、求出 m 的值即可. 解：令 y=5，可得 x22x3=5， 解得 x=-2 或 x=4 15 所以 m-2=-2，m=4 即 m=0 或 4. 故答案为：0 或 4. 19某数学课本上，用“描点法”画二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象时，列了如下表格： x -2 -1 0 1 2 y -6 -4 -2 -2 -2 根据表格中的信息回答问题：当 x=3 时，y=_. 【答案】-4 20定义符号 mina，b的含义为：当 ab 时 mina，b=b；当 ab 时 mina，b=a如：min1， 3=3，min4，2=4则 minx2+1，x的最大值是_ 【答案】 【解析】在同一坐标系
15、xOy 中,画出函数二次函数 y=-x2+1 与正比例函数 y=-x 的图象,如图所示, 16 设它们交于点 A、B,令-x2+1=-x,即 x2-x-1=0,解得:x=或, A（,）,B（,）,观察图象可知: 当 x时,min-x2+1,-x=-x2+1,函数值随 x 的增大而增大,其最大值为, 当x时,min-x2+1,-x=-x,函数值随 x 的增大而减小,没有最大值; 当 x时,min-x2+1,-x=-x2+1,函数值随 x 的增大而减小,最大值为 综上所示,min-x2+1,-x的最大值是,故答案为: 21已知二次函数的对称轴为 x=2，且在 x 轴上截得的线段长为 6，与 y 轴
16、的交点为（0，2） ，求此 二次函数的解析式 【答案】y= x2 x2 17 22已知二次函数（ 为常数）. （1）求证：不论 为何值，该函数的图像与 轴总有公共点； （2）当 取什么值时，该函数的图像与 轴的交点在 轴的上方？ 【答案】 （1）证明见解析； （2）时，该函数的图像与 轴的交点在 轴的上方. 【解析】 （1）首先求出与 x 轴交点的横坐标，,即可得出答案; (2)求出二次函数与 y 轴的交点纵坐标.根据交点纵坐标大于 0 即可求出. 解： （1）证明：当时，. 解得，. 当，即时，方程有两个相等的实数根；当，即时，方程有两个不相等 的实数根. 所以，不论 为何值，该函数的图像与
17、 轴总有公共点. （2）解：当时，即该函数的图像与 轴交点的纵坐标是. 当，即时，该函数的图像与 轴的交点在 轴的上方. 23某经销商销售一种产品,这种产品的成本价为 10 元/千克,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定 这种产品的销售价不高于 18 元/千克,市场调查发现,该产品每天的销售量 y(千克)与销售价 x(元/千克)之间的 函数关系如图所示: （1）求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; （2）求每天的销售利润 W(元)与销售价 x(元/千克)之间的函数关系式.当销售价为多少时,每天的销售利 润最大?最大利润是多少? （3）该经销商想要每天获得 168
18、元的销售利润,销售价应定为多少? 【答案】 （1）y 与 x 之间的函数关系式 y=-2x+60(10 x18)； （2）当销售价为 18 元时,每天的销售利润最 大,最大利润是 192 元； （3）该经销商想要每天获得 168 元的销售利润,销售价应定为 16 元. 18 （2）W=(x-10)(-2x+60)=-2x2+80 x-600, 对称轴 x=20,在对称轴的左侧 y 随着 x 的增大而增大, 10 x18,当 x=18 时,W 最大,最大为 192. 即当销售价为 18 元时,每天的销售利润最大,最大利润是 192 元 （3）由 168=-2x2+80 x-600, 解得 x1=
19、16,x2=24(不合题意,舍去) 答:该经销商想要每天获得 168 元的销售利润,销售价应定为 16 元. 24如图，抛物线 yax2 xc（a0）与 x 轴交于点 A，B 两点， 其中 A(1，0)，与 y 轴交于点 C(0，2) （1）求抛物线的表达式及点 B 坐标； （2）点 E 是线段 BC 上的任意一点（点 E 与 B、C 不重合） ，过点 E 作平行于 y 轴的直线交抛物线于点 F，交 x 轴于点 G 设点 E 的横坐标为 m，用含有 m 的代数式表示线段 EF 的长； 线段 EF 长的最大值是 【答案】 （1）y x2 x2，B（4，0） ； （2） m22m； 2 19 当
20、y0 时，x11，x24，故 B(4，0) （2）设直线 BC 的函数表达式为 ykxb，将 B(4，0)、 C(0，2)代入 得：y x2， EFFGGE m2 m2( m2) m22m 2 26如图，已知抛物线过点，顶点为 D 求抛物线的解析式； 设点，当的值最小时，求 m 的值； 若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求的面积的最大值 【答案】 （1）； （2）； （3）. 20 解得 抛物线的解析式为 配方，得，顶点 D 的坐标为 作 B 点关于直线的对称点，如图 1 ， 则，由得， 可求出直线的函数关系式为， 当在直线上时，的值最小， 则 21 ， 当时，的面积的最大值是
21、； 27如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y =ax2+bx3（a0）与 x 轴交于点 A（2，0） 、B（4，0） 两点，与 y 轴交于点 C点 P、Q 分别是 AB、BC 上的动点，当点 P从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个 单位长度的速度向 B 点运动， 同时点 Q 从 B 点出发， 在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动， 其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.设 P、Q 同时运动的时间为 t 秒（0t2). （1）求抛物线的表达式； （2）设PBQ 的面积为 S ，当 t 为何值时，PBQ 的面积最大，最大面积是多少？ （3）当 t 为何值时，PB
22、Q 是等腰三角形？ 【答案】（1） y= 3 8 x2 3 4 x3；（2） 当 t=1 时， S PBQ 最大= 9 10 .；（3） 当 t 的值是 3 2 秒或 30 23 秒或 48 29 秒时,CPQ 为等腰三角形. 22 PB=63t. 由题意得,点 C 的坐标为(0,3). 在 RtBOC 中,BC= 22 345. 如图 1，过点 Q 作 QHAB 于点 H. QHCO， BHQBOC HQBQ OCBC ,即 35 HQt HQ= 3 5 t. S PBQ = 1 2 PBHQ= 1 2 (63t) 3 5 t= 9 10 t2+ 9 5 t= 9 10 (t1)2+ 9 10 . 23 当 t=1 时，S PBQ 最大= 9 10 . （） 答：运动 1 秒使PBQ 的面积最大,最大面积是 9 10 ；
