1、 第 1 页（共 17 页） 2021 年天津市河北区高考数学质量调查试卷（一） （一模）年天津市河北区高考数学质量调查试卷（一） （一模） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合1U ，2，3，4，5，6，2A，3，5，1B ，2，4，6，则集 合()( U AB ) A2 B3，5 C1，4，6 D2，3，5 2 （5 分）设xR，则“| 1x ”是“ 2 xx”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 （5 分）已知圆 22 :(1)6
2、Cxy，在所有过点(2, 1)P的弦中，最短的弦的长度为( ) A2 B4 C2 2 D2 6 4 （5 分）某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n名学生进行调查，根据调 查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图， 已知抽取的样本中日均 课余读书时间低于 10 分钟的有 10 人，则图中的n，p的值分别为( ) A200，0.015 B100，0.010 C100，0.015 D1000，0.010 5 （5 分）函数 | |2 ( )21 x f xex的图象大致是( ) A B 第 2 页（共 17 页） C D 6 （5 分）已知双曲线的左，右焦点分别为 1(
3、 3,0) F ， 2(3,0) F，P为双曲线上一点且 12 | 4PFPF，则双曲线的标准方程为( ) A 22 1 45 xy B 22 1 54 xy C 22 1 45 yx D 22 1 54 yx 7 （5 分） 已知函数 2 ( )f xx， 设 5 l o g 4a ， 1 5 1 log 3 b ， 1 5 2c ， 则f（a） ，f（b） ，f（c） 的大小关系为( ) Af（a）f（b）f（c） Bf（b）f（c）f（a） Cf（c）f（b）f（a） Df（c）f（a）f（b） 8 （5 分）已知函数 2 ( )2cos3sin21(0)f xxx的最小正周期为，则下列
4、说法 正确的是( ) A2 B函数( )f x的最大值为 1 C函数( )f x在0， 6 上单调递增 D将函数( )f x的图象向右平移 6 个单位长度，可得到函数( )2sin2g xx的图象 9 （5 分）已知函数 2 41,0 ( ) 1 2( ) ,0 2 x xxx f x x ，若关于x的方程( ( )1)( ( )0f xf xm恰有 5 个不同的实数根，则实数m的取值范围是( ) A(1,2) B(1,5) C(2,3) D(2,5) 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分请将答案写在答题纸上分请将答案写在答题纸上
5、10 （5 分）已知i是虚数单位，则复数 35i i 在复平面内对应的点的坐标为 11 （5 分）二项式 6 2 1 () 2 x x 的展开式中的常数项为 12 （5 分）袋子中有 5 个大小质地完全相同的小球，其中有 3 个红球，2 个黄球，从袋中一 次性随机取出 3 个小球后，再将小球放回则“取出的 3 个小球中有 2 个红球，1 个黄球” 第 3 页（共 17 页） 的概率为 ，记“取出的 3 个小球中有 2 个红球，1 个黄球”发生的次数为X，若重复 5 次这样的实验，则X的数学期望为 13 （5 分）在长方体 1111 ABCDABC D中，已知5AB ，7BC ， 1 2AA ，
6、则三棱锥 1 DACD的体积为 ，长方体的外接球的表面积为 14 （5 分）已知正数a，b满足2abab，则2ab的最小值为 666666666666 15 （5 分） 在直角梯形ABCD中，(0)ABDC，60B，3AD ，E为CD中点， 若1AC BE ，则|DC的值为 ，的值为 三、解答题：本大共三、解答题：本大共 5 小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （ 14 分 ） 已 知ABC的 内 角A，B，C的 对 边 分 别 为a，b，c， 满 足 (2)sin(2)sin2 sinabAbaBcC （）求角C的大
7、小； （）若 2 7 cos 7 A，求sin(2)AC的值 17 （15 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PDDA，PDDC， M是棱AD的中点，N是棱PD上一点，24PDAB （）若N是棱PD的中点，求证：/ /PA平面MNC； （）若N是棱PD的中点，求直线PB与平面MNC所成角的正弦值； （）若二面角CMND的余弦值为 7 7 ，求DN的长 18 （15 分）已知数列 n a是等差数列，设(*) n SnN为数列 n a的前n项和，数列 n b是 等比数列，0 n b ，若 1 3a ， 1 1b ， 32 12bS， 523 2aba 第 4 页（共 17 页）
8、 （）求数列 n a和 n b的通项公式； （）求数列 nn ab的前n项和； （）若 2 , , nn n n Sc b n 为奇数 为偶数 ，求数列 n c的前2n项和 19 （15 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的长轴长为 4，离心率为 1 2 （）求椭圆C的方程； （）设椭圆C的左焦点为F，右顶点为G，过点G的直线与y轴正半轴交于点S，与椭 圆交于点H，且HFx轴，过点S的另一直线与椭圆交于M，N两点，若6 SMGSHN SS ， 求直线MN的方程 20 （16 分）已知函数 2 ( )1 elnx f x x （）求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处
9、的切线方程； （）求函数( )f x的单调区间； （）已如函数 32 ( )321g xxax，若 1 x， 2 1x ， e，不等式 12 ()()f xg x恒成立，求 实数a的取值范围 第 5 页（共 17 页） 2021 年天津市河北区高考数学质量调查试卷（一） （一模）年天津市河北区高考数学质量调查试卷（一） （一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合1U ，2，3，4，5，6，2A，3，5，1B ，2，4，6，则集 合()( U
10、AB ) A2 B3，5 C1，4，6 D2，3，5 【解答】解：集合1U ，2，3，4，5，6， 2A，3，5，1B ，2，4，6， 3 U C B，5， 集合()2 U AB ，3，5 故选：D 2 （5 分）设xR，则“| 1x ”是“ 2 xx”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由| 1x ，解得1x 或1x ， 由 2 xx，解得0 x 或1x ， 故由| 1x 能够推出 2 xx， 由 2 xx不能够推出| 1x ， 故“| 1x ”是“ 2 xx”的充分不必要条件， 故选：A 3 （5 分）已知圆 22 :(1)6Cxy
11、，在所有过点(2, 1)P的弦中，最短的弦的长度为( ) A2 B4 C2 2 D2 6 【解答】解：由条件可知圆心(1,0)M，半径为：6，(2, 1)P在圆的内部， 所以 22 |(2 1)( 1 0)2MP ， 圆 22 :(1)6Cxy， 在所有过点(2, 1)P的弦中， 最短的弦的长度为 22 2 ( 6)( 2)4 第 6 页（共 17 页） 故选：B 4 （5 分）某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n名学生进行调查，根据调 查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图， 已知抽取的样本中日均 课余读书时间低于 10 分钟的有 10 人，则图中的n，p的值
12、分别为( ) A200，0.015 B100，0.010 C100，0.015 D1000，0.010 【解答】解：利用频率之和为1可得， 101(0.0180.0220.0250.0200.005) 100.1p ，解得0.01p ， 根据频率、频数、样本容量之间关系可得，100.1 n ，解得100n 故选：B 5 （5 分）函数 | |2 ( )21 x f xex的图象大致是( ) A B C D 【解答】解： |2| |2 ()2()121( ) xx fxexexf x ，则( )f x是偶函数，图象关于y轴 对称，排除C， 当0 x 且x，( )f x ，排除A， 第 7 页（共
13、 17 页） 当0 x 时， 2 ( )21 x f xex，则( )4 x f xex， (0)10f ，f（1）40e，(10)0f，则( )0fx有两个不同的零点， 即当0 x 时，函数至少有三个单调区间，排除B， 故选：D 6 （5 分）已知双曲线的左，右焦点分别为 1( 3,0) F ， 2(3,0) F，P为双曲线上一点且 12 | 4PFPF，则双曲线的标准方程为( ) A 22 1 45 xy B 22 1 54 xy C 22 1 45 yx D 22 1 54 yx 【解答】解：由双曲线的定义可得3c ，24a ，即2a ， 222 945bca，且焦点 在x轴上， 所以双
14、曲线的方程为： 22 1 45 xy 故选：A 7 （5 分） 已知函数 2 ( )f xx， 设 5 l o g 4a ， 1 5 1 log 3 b ， 1 5 2c ， 则f（a） ，f（b） ，f（c） 的大小关系为( ) Af（a）f（b）f（c） Bf（b）f（c）f（a） Cf（c）f（b）f（a） Df（c）f（a）f（b） 【解答】解：函数 2 ( )f xx在0，)上是增函数， 155 5 1 loglog 3log 41 3 ba， 1 0 5 221c ， cab ， f（c）f（a）f（b） 故选：D 8 （5 分）已知函数 2 ( )2cos3sin21(0)f x
15、xx的最小正周期为，则下列说法 正确的是( ) A2 B函数( )f x的最大值为 1 C函数( )f x在0， 6 上单调递增 第 8 页（共 17 页） D将函数( )f x的图象向右平移 6 个单位长度，可得到函数( )2sin2g xx的图象 【解答】 解： 因为 2 ( )2cos3sin21cos23sin22cos(2) 3 f xxxxxx 的最 小正周期为， 所以 2 2 ，解得1，故A错误； 由于( )2cos(2) 3 f xx ，可得( )f x的最大值为 2，故B错误； 在0， 6 上，2 33 x ，0，故( )2cos(2) 3 f xx 单调递增，故C正确； 将
16、 函 数( )f x的 图 象 向 右 平 移 6 个 单 位 长 度 ， 可 得 到 函 数 2 ( )2cos2()2cos(2) 633 g xxx ，故D错误 故选：C 9 （5 分）已知函数 2 41,0 ( ) 1 2( ) ,0 2 x xxx f x x ，若关于x的方程( ( )1)( ( )0f xf xm恰有 5 个不同的实数根，则实数m的取值范围是( ) A(1,2) B(1,5) C(2,3) D(2,5) 【解答】解：方程( ( )1)( ( )0f xf xm得方程( )1f x 或( )f xm， 作出函数( )yf x的图象， 如图所示， 由图可知，( )1f
17、 x 有两个根， 故( )f xm有三个根， 故(1,2)m 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分请将答案写在答题纸上分请将答案写在答题纸上 10 （5 分）已知i是虚数单位，则复数 35i i 在复平面内对应的点的坐标为 (5, 3) 【解答】解： 353 553 i i ii ，对应点的坐标为(5, 3)， 第 9 页（共 17 页） 故答案为：(5, 3) 11 （5 分）二项式 6 2 1 () 2 x x 的展开式中的常数项为 15 4 【解答】解：展开式的通项公式为 66312 166 2 11 ()()( )
18、( 1) 22 rrrrrrr r TCxCx x ， 令3120r ，解得4r ， 所以展开式的常数项为 424 6 115 ( ) ( 1) 24 C， 故答案为： 15 4 12 （5 分）袋子中有 5 个大小质地完全相同的小球，其中有 3 个红球，2 个黄球，从袋中一 次性随机取出 3 个小球后，再将小球放回则“取出的 3 个小球中有 2 个红球，1 个黄球” 的概率为 3 5 ，记“取出的 3 个小球中有 2 个红球，1 个黄球”发生的次数为X，若重复 5 次这样的实验，则X的数学期望为 【解答】解：设事件A为“取出 3 个球中有 2 个红球，1 个黄球” ，则 21 32 3 5
19、3 ( ) 5 C C P A C ； 由题意可得，重复 5 次这样的实验，事件A发生的次数X服从二项分布， 3 (5, ) 5 XB， 则 3 ()53 5 E X 故答案为： 3 5 ；3 13 （5 分）在长方体 1111 ABCDABC D中，已知5AB ，7BC ， 1 2AA ，则三棱锥 1 DACD的体积为 35 3 ，长方体的外接球的表面积为 【解答】解：如图：三棱锥 1 DACD的体积为： 1 111135 572 32323 ADDCDD 外接球的半径为： 1 5742 2 ， 所以外接球的表面积为： 2 4216 故答案为： 35 3 ；16 第 10 页（共 17 页）
20、 14 （5 分）已知正数a，b满足2abab，则2ab的最小值为 9 666666666666 【解答】解：正数a，b满足2abab， 12 1 ab 则 1222 2(2 )()55229 bab a abab ababa b ，当且仅当3ab时取等号， 因此2ab的最小值为 9 15 （5 分） 在直角梯形ABCD中，(0)ABDC，60B，3AD ，E为CD中点， 若1AC BE ，则|DC的值为 2 ，的值为 【解答】解：根据题意作出图形如图所示： 因为60B，3AD ，所以2BC ， 设|DCx，则() ()AC BEADDCBCCE AD BCAD CEDC BCDC CE 31
21、 323()02()1 () 2222 xx xx 2 1 31 2 xx ， 解得2x ，即| 2DC ， 所以 3 2 故答案为：2； 3 2 第 11 页（共 17 页） 三、解答题：本大共三、解答题：本大共 5 小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （ 14 分 ） 已 知ABC的 内 角A，B，C的 对 边 分 别 为a，b，c， 满 足 (2)sin(2)sin2 sinabAbaBcC （）求角C的大小； （）若 2 7 cos 7 A，求sin(2)AC的值 【解答】解： （）(2)sin(2)sin2
22、sinabAbaBcC， 由正弦定理可得： 2 (2)(2)2ab aba bc，即 222 abcab， 222 1 cos 22 abc C ab ， 0C， 3 C （）由 2 7 cos 7 A，可得 2 21 sin1 7 Acos A， 4 3 sin22sincos 7 AAA， 2 1 cos22cos1 7 AA ， 4 31133 3 sin(2)sin2 coscos2 sin 727214 ACACAC 17 （15 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PDDA，PDDC， M是棱AD的中点，N是棱PD上一点，24PDAB （）若N是棱PD的中点，求证
23、：/ /PA平面MNC； （）若N是棱PD的中点，求直线PB与平面MNC所成角的正弦值； （）若二面角CMND的余弦值为 7 7 ，求DN的长 第 12 页（共 17 页） 【解答】解： （）证明：M是棱AD的中点，N是棱PD的中点， / /MNPA， MN 平面MNC，PA平面MNC， / /PA平面MNC （）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系， 则(0P，0，4)，(2B，2，0)，(1M，0，0)，(0N，0，2)，(0C，2，0)， (2PB ，2，4)，( 1MN ，0，2)，( 1MC ，2，0)， 设平面MNC的法向量(nx，y，) z， 则 2
24、0 20 n MNxz n MCxy ，取2x ，得(2n ，1，1)， 设直线PB与平面MNC所成角为， 则直线PB与平面MNC所成角的正弦值为： |21 sin 6| |246 PB n PBn （）设DNt，04t剟，则(0N，0，) t，( 1MN ，0，) t， ( 1MD ，0，0)，( 1MC ，2，0)， 设平面MNC的法向量(ma，b，) c， 则 0 20 m MNatc m MCab ，取2a ，得(2m ，1， 2) t ， 平面MND的法向量(0p ，1，0)， 第 13 页（共 17 页） 二面角CMND的余弦值为 7 7 ， 2 7|1 7| |4 5 m p m
25、p t ， 由04t剟，解得2t DN的长为2 18 （15 分）已知数列 n a是等差数列，设(*) n SnN为数列 n a的前n项和，数列 n b是 等比数列，0 n b ，若 1 3a ， 1 1b ， 32 12bS， 523 2aba （）求数列 n a和 n b的通项公式； （）求数列 nn ab的前n项和； （）若 2 , , nn n n Sc b n 为奇数 为偶数 ，求数列 n c的前2n项和 【解答】解： （）由题意，设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为(0)q q ， 则 2 32 52 612 234232 bSqd abdqd ， 化简，得 2
26、6 0 qd dq ， 第 14 页（共 17 页） 整理，得 2 60qq， 解得3q （舍去） ，或2q ， 2dq， 32(1)21 n ann，*nN， 11 1 22 nn n b ，*nN （）由（）得， 1 (21) 2n nn abn ， 令数列 nn ab的前n项和为 n T， 则 121 1 12 2 3 1 5 27 2(21) 2n nnn Taba babn ， 121 23 25 2(21) 2(21) 2 nn n Tnn ， 两式相减，可得 121 32 22 22 2(21) 2 nn n Tn 121 32 (222)(21) 2 nn n 22 32(21
27、) 2 12 n n n (21) 21 n n， (21) 21 n n Tn，*nN （）由（）得， (1) 32(2) 2 n n n Snn n ， 2211 (2)2 n Sn nnn ， 1 2 11 , , 2 2, , nn n n n n Sc nn n b n 为奇数 为奇数 为偶数 为偶数 ， 数列 n c的前2n项和为： 1234212nn cccccc 1321242 ()() nn cccccc 1321 11111 (1)(222) 3352121 n nn 121 2 122 1 2112 n n 21 222 213 n n n 第 15 页（共 17 页）
28、19 （15 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的长轴长为 4，离心率为 1 2 （）求椭圆C的方程； （）设椭圆C的左焦点为F，右顶点为G，过点G的直线与y轴正半轴交于点S，与椭 圆交于点H，且HFx轴，过点S的另一直线与椭圆交于M，N两点，若6 SMGSHN SS ， 求直线MN的方程 【解答】解： （）根据题意可得 222 24 1 2 a c a abc ， 解得2a ，1c ，3b ， 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy （）由（）知( 1,0)F ，(0,2)G， 因为HFx轴， 所以1 H x ， 因为S在y轴的正半轴， 所以H在x轴上方， 因为点H
29、在椭圆上， 所以 2 ()1 1 43 H y ，解得 3 2 H y， 所以 3 ( 1, ) 2 H ，即 3 2 HF ， 因为 OSGO HFGF ，即 2 3 3 2 OS ，解得1OS ， 所以(0,1)S， 所以 1 2 HS SG ， 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为1ykx， 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y， 联立 22 1 1 43 ykx xy ， 22 (34)880kxkx ， 所以 12 2 8 34 k xx k ， 12 2 8 34 x x k ， 第 16 页（共 17 页） 因为6 SMGSHN SS ， 所以 11 |
30、 | sin6| | sin 22 SMSGMSGHSSNHSN， 所以| | 6| |SMSGHSSN， 所以| 3|SMSN， 所以3MSSN， 所以 1 ( x， 12 1)3(yx， 2 1)y ， 即 12 3xx ， 由，解得 6 2 k ， 所以直线MN的方程为 6 1 2 yx， 6 1 2 yx ， 当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为0 x ， 此时 |31 23 |31 SM SN ，不合题意 综上可得，直线MN的方程为 6 1 2 yx， 6 1 2 yx 20 （16 分）已知函数 2 ( )1 elnx f x x （）求曲线( )yf x在点(1，f（1）)
31、处的切线方程； （）求函数( )f x的单调区间； （）已如函数 32 ( )321g xxax，若 1 x， 2 1x ， e，不等式 12 ()()f xg x恒成立，求 实数a的取值范围 【解答】解： （） 2 ( )1 elnx f x x ，定义域是(0,)， f（1）1 ， 2 22 ( ) eelnx fx x ，f（1） 2 e ， 第 17 页（共 17 页） 故切线方程为 2 1(1)yx e ，即220 xeye ； （）由（） 2 22 ( ) eelnx fx x ， 令( )0fx，解得0 xe，令( )0fx，解得xe， 故( )f x在(0, ) e递增，在(
32、,)e 递减； （）由（）得( )f x的极大值是f（e） 2 11 elne e ， 即( )f x的最大值是f（e）1， 32 ( )321g xxax， 2 ( )94g xxax ， 令( )0g x，解得0 x 或 4 9 a x ， 若 1 x， 2 1x ， e，不等式 12 ()()f xg x恒成立， 则1x， e时，( )( ) maxmin f xg x恒成立， 当 4 1 9 a 即 9 4 a 时，( )g x在1， e上单调递增， 此时( )ming xg（1）42a，令421a，得 3 2 a； 当 4 1 9 a e剟时，即 99 44 e a剟时，( )g x在1， 4 ) 9 a 递减，在 4 ( 9 a ， e递增， 此时 3 432 ( )()1 9243 min aa g xg， 令 3 32 1 1 243 a ，解得0a，不符合题意； 当 4 9 a e即 9 4 e a 时，( )g x在1， e递减， 故( )ming xg（e） 3 321eae， 令 3 321 1eae ，解得 2 3 2 ae， 故 2 39 24 e ea ； 综上，实数a的取值范围是 2 3 2 e， 93 ) 42 e ，)
