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2021年天津市河北区高考数学质量调查试卷(一模)含答案解析

1、 第 1 页(共 17 页) 2021 年天津市河北区高考数学质量调查试卷(一) (一模)年天津市河北区高考数学质量调查试卷(一) (一模) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1 (5 分)已知集合1U ,2,3,4,5,6,2A,3,5,1B ,2,4,6,则集 合()( U AB ) A2 B3,5 C1,4,6 D2,3,5 2 (5 分)设xR,则“| 1x ”是“ 2 xx”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 (5 分)已知圆 22 :(1)6

2、Cxy,在所有过点(2, 1)P的弦中,最短的弦的长度为( ) A2 B4 C2 2 D2 6 4 (5 分)某地区为了解学生课余时间的读书情况,随机抽取了n名学生进行调查,根据调 查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图, 已知抽取的样本中日均 课余读书时间低于 10 分钟的有 10 人,则图中的n,p的值分别为( ) A200,0.015 B100,0.010 C100,0.015 D1000,0.010 5 (5 分)函数 | |2 ( )21 x f xex的图象大致是( ) A B 第 2 页(共 17 页) C D 6 (5 分)已知双曲线的左,右焦点分别为 1(

3、 3,0) F , 2(3,0) F,P为双曲线上一点且 12 | 4PFPF,则双曲线的标准方程为( ) A 22 1 45 xy B 22 1 54 xy C 22 1 45 yx D 22 1 54 yx 7 (5 分) 已知函数 2 ( )f xx, 设 5 l o g 4a , 1 5 1 log 3 b , 1 5 2c , 则f(a) ,f(b) ,f(c) 的大小关系为( ) Af(a)f(b)f(c) Bf(b)f(c)f(a) Cf(c)f(b)f(a) Df(c)f(a)f(b) 8 (5 分)已知函数 2 ( )2cos3sin21(0)f xxx的最小正周期为,则下列

4、说法 正确的是( ) A2 B函数( )f x的最大值为 1 C函数( )f x在0, 6 上单调递增 D将函数( )f x的图象向右平移 6 个单位长度,可得到函数( )2sin2g xx的图象 9 (5 分)已知函数 2 41,0 ( ) 1 2( ) ,0 2 x xxx f x x ,若关于x的方程( ( )1)( ( )0f xf xm恰有 5 个不同的实数根,则实数m的取值范围是( ) A(1,2) B(1,5) C(2,3) D(2,5) 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 6 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 30 分请将答案写在答题纸上分请将答案写在答题纸上

5、10 (5 分)已知i是虚数单位,则复数 35i i 在复平面内对应的点的坐标为 11 (5 分)二项式 6 2 1 () 2 x x 的展开式中的常数项为 12 (5 分)袋子中有 5 个大小质地完全相同的小球,其中有 3 个红球,2 个黄球,从袋中一 次性随机取出 3 个小球后,再将小球放回则“取出的 3 个小球中有 2 个红球,1 个黄球” 第 3 页(共 17 页) 的概率为 ,记“取出的 3 个小球中有 2 个红球,1 个黄球”发生的次数为X,若重复 5 次这样的实验,则X的数学期望为 13 (5 分)在长方体 1111 ABCDABC D中,已知5AB ,7BC , 1 2AA ,

6、则三棱锥 1 DACD的体积为 ,长方体的外接球的表面积为 14 (5 分)已知正数a,b满足2abab,则2ab的最小值为 666666666666 15 (5 分) 在直角梯形ABCD中,(0)ABDC,60B,3AD ,E为CD中点, 若1AC BE ,则|DC的值为 ,的值为 三、解答题:本大共三、解答题:本大共 5 小题,共小题,共 75 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16 ( 14 分 ) 已 知ABC的 内 角A,B,C的 对 边 分 别 为a,b,c, 满 足 (2)sin(2)sin2 sinabAbaBcC ()求角C的大

7、小; ()若 2 7 cos 7 A,求sin(2)AC的值 17 (15 分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,PDDA,PDDC, M是棱AD的中点,N是棱PD上一点,24PDAB ()若N是棱PD的中点,求证:/ /PA平面MNC; ()若N是棱PD的中点,求直线PB与平面MNC所成角的正弦值; ()若二面角CMND的余弦值为 7 7 ,求DN的长 18 (15 分)已知数列 n a是等差数列,设(*) n SnN为数列 n a的前n项和,数列 n b是 等比数列,0 n b ,若 1 3a , 1 1b , 32 12bS, 523 2aba 第 4 页(共 17 页)

8、 ()求数列 n a和 n b的通项公式; ()求数列 nn ab的前n项和; ()若 2 , , nn n n Sc b n 为奇数 为偶数 ,求数列 n c的前2n项和 19 (15 分)已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的长轴长为 4,离心率为 1 2 ()求椭圆C的方程; ()设椭圆C的左焦点为F,右顶点为G,过点G的直线与y轴正半轴交于点S,与椭 圆交于点H,且HFx轴,过点S的另一直线与椭圆交于M,N两点,若6 SMGSHN SS , 求直线MN的方程 20 (16 分)已知函数 2 ( )1 elnx f x x ()求曲线( )yf x在点(1,f(1))处

9、的切线方程; ()求函数( )f x的单调区间; ()已如函数 32 ( )321g xxax,若 1 x, 2 1x , e,不等式 12 ()()f xg x恒成立,求 实数a的取值范围 第 5 页(共 17 页) 2021 年天津市河北区高考数学质量调查试卷(一) (一模)年天津市河北区高考数学质量调查试卷(一) (一模) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1 (5 分)已知集合1U ,2,3,4,5,6,2A,3,5,1B ,2,4,6,则集 合()( U

10、AB ) A2 B3,5 C1,4,6 D2,3,5 【解答】解:集合1U ,2,3,4,5,6, 2A,3,5,1B ,2,4,6, 3 U C B,5, 集合()2 U AB ,3,5 故选:D 2 (5 分)设xR,则“| 1x ”是“ 2 xx”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解:由| 1x ,解得1x 或1x , 由 2 xx,解得0 x 或1x , 故由| 1x 能够推出 2 xx, 由 2 xx不能够推出| 1x , 故“| 1x ”是“ 2 xx”的充分不必要条件, 故选:A 3 (5 分)已知圆 22 :(1)6Cxy

11、,在所有过点(2, 1)P的弦中,最短的弦的长度为( ) A2 B4 C2 2 D2 6 【解答】解:由条件可知圆心(1,0)M,半径为:6,(2, 1)P在圆的内部, 所以 22 |(2 1)( 1 0)2MP , 圆 22 :(1)6Cxy, 在所有过点(2, 1)P的弦中, 最短的弦的长度为 22 2 ( 6)( 2)4 第 6 页(共 17 页) 故选:B 4 (5 分)某地区为了解学生课余时间的读书情况,随机抽取了n名学生进行调查,根据调 查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图, 已知抽取的样本中日均 课余读书时间低于 10 分钟的有 10 人,则图中的n,p的值

12、分别为( ) A200,0.015 B100,0.010 C100,0.015 D1000,0.010 【解答】解:利用频率之和为1可得, 101(0.0180.0220.0250.0200.005) 100.1p ,解得0.01p , 根据频率、频数、样本容量之间关系可得,100.1 n ,解得100n 故选:B 5 (5 分)函数 | |2 ( )21 x f xex的图象大致是( ) A B C D 【解答】解: |2| |2 ()2()121( ) xx fxexexf x ,则( )f x是偶函数,图象关于y轴 对称,排除C, 当0 x 且x,( )f x ,排除A, 第 7 页(共

13、 17 页) 当0 x 时, 2 ( )21 x f xex,则( )4 x f xex, (0)10f ,f(1)40e,(10)0f,则( )0fx有两个不同的零点, 即当0 x 时,函数至少有三个单调区间,排除B, 故选:D 6 (5 分)已知双曲线的左,右焦点分别为 1( 3,0) F , 2(3,0) F,P为双曲线上一点且 12 | 4PFPF,则双曲线的标准方程为( ) A 22 1 45 xy B 22 1 54 xy C 22 1 45 yx D 22 1 54 yx 【解答】解:由双曲线的定义可得3c ,24a ,即2a , 222 945bca,且焦点 在x轴上, 所以双

14、曲线的方程为: 22 1 45 xy 故选:A 7 (5 分) 已知函数 2 ( )f xx, 设 5 l o g 4a , 1 5 1 log 3 b , 1 5 2c , 则f(a) ,f(b) ,f(c) 的大小关系为( ) Af(a)f(b)f(c) Bf(b)f(c)f(a) Cf(c)f(b)f(a) Df(c)f(a)f(b) 【解答】解:函数 2 ( )f xx在0,)上是增函数, 155 5 1 loglog 3log 41 3 ba, 1 0 5 221c , cab , f(c)f(a)f(b) 故选:D 8 (5 分)已知函数 2 ( )2cos3sin21(0)f x

15、xx的最小正周期为,则下列说法 正确的是( ) A2 B函数( )f x的最大值为 1 C函数( )f x在0, 6 上单调递增 第 8 页(共 17 页) D将函数( )f x的图象向右平移 6 个单位长度,可得到函数( )2sin2g xx的图象 【解答】 解: 因为 2 ( )2cos3sin21cos23sin22cos(2) 3 f xxxxxx 的最 小正周期为, 所以 2 2 ,解得1,故A错误; 由于( )2cos(2) 3 f xx ,可得( )f x的最大值为 2,故B错误; 在0, 6 上,2 33 x ,0,故( )2cos(2) 3 f xx 单调递增,故C正确; 将

16、 函 数( )f x的 图 象 向 右 平 移 6 个 单 位 长 度 , 可 得 到 函 数 2 ( )2cos2()2cos(2) 633 g xxx ,故D错误 故选:C 9 (5 分)已知函数 2 41,0 ( ) 1 2( ) ,0 2 x xxx f x x ,若关于x的方程( ( )1)( ( )0f xf xm恰有 5 个不同的实数根,则实数m的取值范围是( ) A(1,2) B(1,5) C(2,3) D(2,5) 【解答】解:方程( ( )1)( ( )0f xf xm得方程( )1f x 或( )f xm, 作出函数( )yf x的图象, 如图所示, 由图可知,( )1f

17、 x 有两个根, 故( )f xm有三个根, 故(1,2)m 故选:A 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 6 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 30 分请将答案写在答题纸上分请将答案写在答题纸上 10 (5 分)已知i是虚数单位,则复数 35i i 在复平面内对应的点的坐标为 (5, 3) 【解答】解: 353 553 i i ii ,对应点的坐标为(5, 3), 第 9 页(共 17 页) 故答案为:(5, 3) 11 (5 分)二项式 6 2 1 () 2 x x 的展开式中的常数项为 15 4 【解答】解:展开式的通项公式为 66312 166 2 11 ()()( )

18、( 1) 22 rrrrrrr r TCxCx x , 令3120r ,解得4r , 所以展开式的常数项为 424 6 115 ( ) ( 1) 24 C, 故答案为: 15 4 12 (5 分)袋子中有 5 个大小质地完全相同的小球,其中有 3 个红球,2 个黄球,从袋中一 次性随机取出 3 个小球后,再将小球放回则“取出的 3 个小球中有 2 个红球,1 个黄球” 的概率为 3 5 ,记“取出的 3 个小球中有 2 个红球,1 个黄球”发生的次数为X,若重复 5 次这样的实验,则X的数学期望为 【解答】解:设事件A为“取出 3 个球中有 2 个红球,1 个黄球” ,则 21 32 3 5

19、3 ( ) 5 C C P A C ; 由题意可得,重复 5 次这样的实验,事件A发生的次数X服从二项分布, 3 (5, ) 5 XB, 则 3 ()53 5 E X 故答案为: 3 5 ;3 13 (5 分)在长方体 1111 ABCDABC D中,已知5AB ,7BC , 1 2AA ,则三棱锥 1 DACD的体积为 35 3 ,长方体的外接球的表面积为 【解答】解:如图:三棱锥 1 DACD的体积为: 1 111135 572 32323 ADDCDD 外接球的半径为: 1 5742 2 , 所以外接球的表面积为: 2 4216 故答案为: 35 3 ;16 第 10 页(共 17 页)

20、 14 (5 分)已知正数a,b满足2abab,则2ab的最小值为 9 666666666666 【解答】解:正数a,b满足2abab, 12 1 ab 则 1222 2(2 )()55229 bab a abab ababa b ,当且仅当3ab时取等号, 因此2ab的最小值为 9 15 (5 分) 在直角梯形ABCD中,(0)ABDC,60B,3AD ,E为CD中点, 若1AC BE ,则|DC的值为 2 ,的值为 【解答】解:根据题意作出图形如图所示: 因为60B,3AD ,所以2BC , 设|DCx,则() ()AC BEADDCBCCE AD BCAD CEDC BCDC CE 31

21、 323()02()1 () 2222 xx xx 2 1 31 2 xx , 解得2x ,即| 2DC , 所以 3 2 故答案为:2; 3 2 第 11 页(共 17 页) 三、解答题:本大共三、解答题:本大共 5 小题,共小题,共 75 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16 ( 14 分 ) 已 知ABC的 内 角A,B,C的 对 边 分 别 为a,b,c, 满 足 (2)sin(2)sin2 sinabAbaBcC ()求角C的大小; ()若 2 7 cos 7 A,求sin(2)AC的值 【解答】解: ()(2)sin(2)sin2

22、sinabAbaBcC, 由正弦定理可得: 2 (2)(2)2ab aba bc,即 222 abcab, 222 1 cos 22 abc C ab , 0C, 3 C ()由 2 7 cos 7 A,可得 2 21 sin1 7 Acos A, 4 3 sin22sincos 7 AAA, 2 1 cos22cos1 7 AA , 4 31133 3 sin(2)sin2 coscos2 sin 727214 ACACAC 17 (15 分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,PDDA,PDDC, M是棱AD的中点,N是棱PD上一点,24PDAB ()若N是棱PD的中点,求证

23、:/ /PA平面MNC; ()若N是棱PD的中点,求直线PB与平面MNC所成角的正弦值; ()若二面角CMND的余弦值为 7 7 ,求DN的长 第 12 页(共 17 页) 【解答】解: ()证明:M是棱AD的中点,N是棱PD的中点, / /MNPA, MN 平面MNC,PA平面MNC, / /PA平面MNC ()以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DP为z轴,建立空间直角坐标系, 则(0P,0,4),(2B,2,0),(1M,0,0),(0N,0,2),(0C,2,0), (2PB ,2,4),( 1MN ,0,2),( 1MC ,2,0), 设平面MNC的法向量(nx,y,) z, 则 2

24、0 20 n MNxz n MCxy ,取2x ,得(2n ,1,1), 设直线PB与平面MNC所成角为, 则直线PB与平面MNC所成角的正弦值为: |21 sin 6| |246 PB n PBn ()设DNt,04t剟,则(0N,0,) t,( 1MN ,0,) t, ( 1MD ,0,0),( 1MC ,2,0), 设平面MNC的法向量(ma,b,) c, 则 0 20 m MNatc m MCab ,取2a ,得(2m ,1, 2) t , 平面MND的法向量(0p ,1,0), 第 13 页(共 17 页) 二面角CMND的余弦值为 7 7 , 2 7|1 7| |4 5 m p m

25、p t , 由04t剟,解得2t DN的长为2 18 (15 分)已知数列 n a是等差数列,设(*) n SnN为数列 n a的前n项和,数列 n b是 等比数列,0 n b ,若 1 3a , 1 1b , 32 12bS, 523 2aba ()求数列 n a和 n b的通项公式; ()求数列 nn ab的前n项和; ()若 2 , , nn n n Sc b n 为奇数 为偶数 ,求数列 n c的前2n项和 【解答】解: ()由题意,设等差数列 n a的公差为d,等比数列 n b的公比为(0)q q , 则 2 32 52 612 234232 bSqd abdqd , 化简,得 2

26、6 0 qd dq , 第 14 页(共 17 页) 整理,得 2 60qq, 解得3q (舍去) ,或2q , 2dq, 32(1)21 n ann,*nN, 11 1 22 nn n b ,*nN ()由()得, 1 (21) 2n nn abn , 令数列 nn ab的前n项和为 n T, 则 121 1 12 2 3 1 5 27 2(21) 2n nnn Taba babn , 121 23 25 2(21) 2(21) 2 nn n Tnn , 两式相减,可得 121 32 22 22 2(21) 2 nn n Tn 121 32 (222)(21) 2 nn n 22 32(21

27、) 2 12 n n n (21) 21 n n, (21) 21 n n Tn,*nN ()由()得, (1) 32(2) 2 n n n Snn n , 2211 (2)2 n Sn nnn , 1 2 11 , , 2 2, , nn n n n n Sc nn n b n 为奇数 为奇数 为偶数 为偶数 , 数列 n c的前2n项和为: 1234212nn cccccc 1321242 ()() nn cccccc 1321 11111 (1)(222) 3352121 n nn 121 2 122 1 2112 n n 21 222 213 n n n 第 15 页(共 17 页)

28、19 (15 分)已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的长轴长为 4,离心率为 1 2 ()求椭圆C的方程; ()设椭圆C的左焦点为F,右顶点为G,过点G的直线与y轴正半轴交于点S,与椭 圆交于点H,且HFx轴,过点S的另一直线与椭圆交于M,N两点,若6 SMGSHN SS , 求直线MN的方程 【解答】解: ()根据题意可得 222 24 1 2 a c a abc , 解得2a ,1c ,3b , 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy ()由()知( 1,0)F ,(0,2)G, 因为HFx轴, 所以1 H x , 因为S在y轴的正半轴, 所以H在x轴上方, 因为点H

29、在椭圆上, 所以 2 ()1 1 43 H y ,解得 3 2 H y, 所以 3 ( 1, ) 2 H ,即 3 2 HF , 因为 OSGO HFGF ,即 2 3 3 2 OS ,解得1OS , 所以(0,1)S, 所以 1 2 HS SG , 当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为1ykx, 设 1 (M x, 1) y, 2 (N x, 2) y, 联立 22 1 1 43 ykx xy , 22 (34)880kxkx , 所以 12 2 8 34 k xx k , 12 2 8 34 x x k , 第 16 页(共 17 页) 因为6 SMGSHN SS , 所以 11 |

30、 | sin6| | sin 22 SMSGMSGHSSNHSN, 所以| | 6| |SMSGHSSN, 所以| 3|SMSN, 所以3MSSN, 所以 1 ( x, 12 1)3(yx, 2 1)y , 即 12 3xx , 由,解得 6 2 k , 所以直线MN的方程为 6 1 2 yx, 6 1 2 yx , 当直线MN的斜率不存在时,直线MN的方程为0 x , 此时 |31 23 |31 SM SN ,不合题意 综上可得,直线MN的方程为 6 1 2 yx, 6 1 2 yx 20 (16 分)已知函数 2 ( )1 elnx f x x ()求曲线( )yf x在点(1,f(1))

31、处的切线方程; ()求函数( )f x的单调区间; ()已如函数 32 ( )321g xxax,若 1 x, 2 1x , e,不等式 12 ()()f xg x恒成立,求 实数a的取值范围 【解答】解: () 2 ( )1 elnx f x x ,定义域是(0,), f(1)1 , 2 22 ( ) eelnx fx x ,f(1) 2 e , 第 17 页(共 17 页) 故切线方程为 2 1(1)yx e ,即220 xeye ; ()由() 2 22 ( ) eelnx fx x , 令( )0fx,解得0 xe,令( )0fx,解得xe, 故( )f x在(0, ) e递增,在(

32、,)e 递减; ()由()得( )f x的极大值是f(e) 2 11 elne e , 即( )f x的最大值是f(e)1, 32 ( )321g xxax, 2 ( )94g xxax , 令( )0g x,解得0 x 或 4 9 a x , 若 1 x, 2 1x , e,不等式 12 ()()f xg x恒成立, 则1x, e时,( )( ) maxmin f xg x恒成立, 当 4 1 9 a 即 9 4 a 时,( )g x在1, e上单调递增, 此时( )ming xg(1)42a,令421a,得 3 2 a; 当 4 1 9 a e剟时,即 99 44 e a剟时,( )g x在1, 4 ) 9 a 递减,在 4 ( 9 a , e递增, 此时 3 432 ( )()1 9243 min aa g xg, 令 3 32 1 1 243 a ,解得0a,不符合题意; 当 4 9 a e即 9 4 e a 时,( )g x在1, e递减, 故( )ming xg(e) 3 321eae, 令 3 321 1eae ,解得 2 3 2 ae, 故 2 39 24 e ea ; 综上,实数a的取值范围是 2 3 2 e, 93 ) 42 e ,)