1、2019 年河南省中考数学模拟试卷（导向二）一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填人题后括号内.1关于字母 a 所表示的数，下列说法正确的是（ ）Aa 一定是正数 Ba 的相反数是aCa 的倒数是 Da 的绝对值等于 a289 岁的侯云德院士获得 2017 年国家最高科学技术奖，这位著名的医学病毒学专家发现最小的病毒的半径仅有 0.000009 毫米，将 0.000009 用科学记数法表示应是（ ）A910 6 B910 5 C0.910 6 D0.910 53一个正方体的表面展开图如图所示，则原正方体中字“享”所在面的对
2、面所标的字是（ ）A数 B学 C之 D美4下列计算正确的是（ ）Aa 2a3a 5 B2a+a 23a 3 C（a 3） 3a 6 Da 2a25某幢楼 10 户家庭每月的用电量如表所示：用电量（度） 140 160 180 200户数 1 3 4 2那么这 10 户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（ ）A180，180 B180，160 C160，180 D160，1606某班为奖励在学校运动会上取得好成绩的同学，计划购买甲、乙两种奖品共 20 件其中甲种奖品每件 40 元，乙种奖品每件 30 元如果购买甲、乙两种奖品共花费了 650 元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件设购买甲种奖品 x
3、件，乙种奖品 y 件依题意，可列方程组为（ ）A BC D7关于 x 的一元二次方程 x2（2m 1）xm 2m0 的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D根的情况由字母 m 的取值确定8在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中有 5 个红球，4 个蓝球若随机摸出一个蓝球的概率为 ，则随机摸出一个黄球的概率为（ ）A B C D9如图，四边形 ABCD 是平行四边形，用直尺和圆规作BAD 的平分线 AG 交 BC 于点 E，若BF 6，AB5，则AEB 的正切值为（ ）A B C D10如图 1，在矩形 ABCD 中，点 E
4、在 CD 上，AEB90，点 P 从点 A 出发，沿 AEB 的路径匀速运动到点 B 停止，作 PQCD 于点 Q，设点 P 运动的路程为 x，PQ 长为 y，若 y 与 x之间的函数关系图象如图 2 所示，当 x6 时，PQ 的值是（ ）A2 B C D1二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）11计算：（2） 0|4| 12如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，EO CD 于点 O，OF 平分AOC，若BOE：AOC 4：5，则EOF 为 度13不等式组 有 4 个整数解，则 m 的取值范围是 14如图，已知在ABCD 中，AEBC 于点 E，以点 B 为中心，取旋转角等于ABC，把
5、BAE 顺时针旋转得到BAE ，连接 DA，若ADC60 ，AD 5，DC4，则 DA的大小为 15如图，ABC 中，ACB90，AB2，BC AC，D 为 AB 的中点，E 为 BC 上一点，将BDE 沿 DE 翻折，得到 FDE，EF 交 AC 于点 G，则 ECG 的周长是 三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分）16（8 分）先化简，再求值： ，其中 x 从 、2、2、3、 五个数中适当选取一个17（9 分）全球已经进入大数据时代，大数据（bigdata ），是指数据规模巨大，类型多样且信息传播速度快的数据库体系大数据在推动经济发展，改善公共服务等方面日益显示出巨大的价值为创
6、建大数据应用示范城市，我市某机构针对市民最关心的四类生活信息进行了民意调查（被调查者每人限选一项），下面是部分四类生活信息关注度统计图表，请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）本次参与调查的人数是多少？（2）关注城市医疗信息的有多少人？并补全条形统计图：（3）扇形统计图中，D 部分的圆心角的度数是多少？（4）写出两条你从统计图中获取的信息18（9 分）矩形 AOBC 中，OB8，OA 4分别以 OB，OA 所在直线为 x 轴，y 轴，建立如图1 所示的平面直角坐标系F 是 BC 边上一个动点（不与 B，C 重合），过点 F 的反比例函数y （k 0）的图象与边 AC 交于点 E（1）当点 F
7、 运动到边 BC 的中点时，求点 E 的坐标；（2）连接 EF、AB ，求证：EF AB；（3）如图 2，将CEF 沿 EF 折叠，点 C 恰好落在边 OB 上的点 G 处，求此时反比例函数的解析式19（9 分）如图，ABD 内接于 O，弦 AB 不经过圆心 O，弦 DCAB，延长 AB 至 E，使BE AB，连接 EC，F 是 EC 的中点，连接 BF（1）求证： ；（2）求证：BF BD；（3）若 ABAD，四边形 DCEB 为平行四边形时，求DBF 的度数20（9 分）某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图 1 所示，点 A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的联结点当车辆经过时，栏
8、杆 AEF 最多只能升起到如图 2 所示的位置，其示意图如图 3 所示（栏杆宽度忽略不计），其中 ABBC，EFBC，AEF143，ABAE1.3米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为多少米？（结果精确到 0.1参考数据：sin 370.60，cos 370.80，tan 370.75）21（10 分）某种计时“香篆”在 0：00 时刻点燃，若“香篆”剩余的长度 h（cm）与燃烧的时间x（h）之间是一次函数关系，h 与 x 的一组对应数值如表所示：燃烧的时间x（h） 3 4 5 6 剩余的长度h（cm ） 210 200 190 180 （1）写出“香篆”在 0：00 时刻点然后，其剩余的长
9、度 h（cm）与燃烧时间 x（h）的函数关系式，并解释函数表达式中 x 的系数及常数项的实际意义；（2）通过计算说明当“香篆”剩余的长度为 125cm 时的时刻22（10 分）（1）观察推理：如图，在ABC 中，ACB 90，ACBC，直线 l 过点 C，点 A、B 在直线 l 的同侧，垂足分别为 E、D求证：AECCDB（2）类比探究：如图，在 RtABC 中，ACB 90，AC4，将斜边 AB 绕点 A 逆时针旋转 90至 AB，连接 BC，求ABC 的面积（3）拓展提升：如图，在EBC 中，EECB60 ECBC3，点 O 在 BC 上，且OC2，动点 P 从点 E 沿射线 EC 以每秒
10、 1 个单位长度的速度运动，连接 OP，将线段 OP 绕点O 逆时针旋转 120得到线段 OF要使点 F 恰好落在射线 EB 上，求点 P 运动的时间 t23（11 分）如图，抛物线 yax 2+bx+ 过点 A（1，0），B（5，0），与 y 轴相交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离如：点 O 到二次函数图象的垂直距离是线段 OC 的长已知点 E 为抛物线对称轴上的一点，且在 x 轴上方，点 F 为平面内一点，当以 A，B，E，F 为顶点的四边形是边长为 4 的菱形时，请求出点 F 到二次函数图象
11、的垂直距离（3）在（2）中，当点 F 到二次函数图象的垂直距离最小时，在以 A，B，E，F 为顶点的菱形内部是否存在点 Q，使得 AQ，BQ，FQ 之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由2019 年河南省中考数学模拟试卷（导向二）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填人题后括号内.1【分析】根据正数负数的定义，相反数、倒数以及绝对值计算法则解答【解答】解：A、a 也可能是 0 或负数，故本选项错误；B、a 的相反数是a，故本选项正确；C、a 若是 0 时，没有倒数，故本选项错误；D、a 是非
12、负数时，a 的绝对值是 a，故本选项错误；故选：B【点评】考查了正数、负数，相反数、倒数以及绝对值解题时，注意 a 的取值范围，0 没有倒数2【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0的个数所决定【解答】解：将 0.000009 用科学记数法表示应是 9106 故选：A【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n ，其中 1|a| 10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定3【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题注意相
13、对面之间一定隔着一个正方形【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“享”与面“学”相对故选：B【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题4【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、整式的除法运算法则分别计算得出答案【解答】解：A、a 2a3a 5，故此选项正确；B、2a+a 2，无法计算，故此选项错误；C、（a 3） 3a 9，故此选项错误；D、a 2aa，故此选项错误；故选：A【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键5【分析】根据众数和中位数的定义求解可得【
14、解答】解：由表可知 180 出现次数最多，故众数为 180，共有 1+3+4+210 个数据，中位数为第 5、6 个数据的平均数，即 180，故选：A【点评】本题主要考查众数和中位数，掌握众数和中位数的定义是解题的关键6【分析】设购买甲种奖品 x 件，乙种奖品 y 件，根据花了 650 元钱购买甲乙两种奖品共 20 件，列方程组【解答】解：设购买甲种奖品 x 件，乙种奖品 y 件，由题意得， 故选：A【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组7【分析】先计算判别式的值得到8m 2+1，再利用非负数的性质得到0，然后根据判
15、别式的意义判断方程根的情况【解答】解：（2m1） 24（m 2m）4m 24m+1+4m 2+4m8m 2+1，m 20，0，方程有两个不相等的实数根故选：A【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根8【分析】设黄球有 x 个，根据摸出一个球是蓝球的概率是 ，得出黄球的个数，再根据概率公式即可得出随机摸出一个黄球的概率【解答】解：设袋子中黄球有 x 个，根据题意，得： ，解得：x3，即袋中黄球有 3 个，所以随机摸出一个黄球的概率为 ，故选：A
16、【点评】此题主要考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比得到所求的情况数是解决本题的关键9【分析】BF 交 AG 于 H，如图，由作法得 AFAB，由于 AG 平分BAD，根据等腰三角形的性质得到 AE BF，BH FH BF3，再利用平行四边形的性质证明23，接着证明BE BA5，然后利用勾股定理计算出 EH 后根据正切的定义求解【解答】解：BF 交 AG 于 H，如图，由作法得 AFAB ，AG 平分BAD，12，AEBF，BHFH BF3，四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，23，13，BEBA5，在 Rt BEH 中，HE 4，tan3 ，即AEB 的正
17、切值为 故选：A【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）也考查了平行四边形的性质和解直角三角形10【分析】由图象可知：AE3，BE4，DAE CEB，设：ADBCa，在 RtADE中，con ，在 RtBCE 中，sin ，由（ sin） 2+（con） 21，解得：a，当 x6 时，即：EN 3，则 yMNEN sin 【解答】解：由图象可知：AE3，BE4，DAE CEB ，设：ADBCa，在 Rt ADE 中，cos ，在 Rt BCE 中，sin ，由（sin ） 2+
18、（ cos） 21，解得： a ，当 x6 时，即：EN3，则 yMNEN sin 故选：B【点评】本题考查的是动点问题函数图象，涉及到解直角三角形或三角形相似，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）11【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简进而得出答案【解答】解：原式143故答案为：3【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键12【分析】依据AOC+BOE90，BOE：AOC4：5，即可得出AOC50，根据OF 平分 AOC，可得COF 25，进而得到EOF COF+CO
19、E115【解答】解：EOCD，COE90，AOC+BOE90，又BOE：AOC4：5，AOC50，又OF 平分AOC，COF25，EOFCOF+COE25+90115，故答案为：115【点评】本题主要考查垂线的定义、角平分线的定义、对顶角的性质、邻补角的性质，关键在于熟练运用各性质定理，推出相关角的度数13【分析】通过解不等式组可得出不等式组的解为1xm，结合不等式组有 4 个整数解，即可确定 m 的取值范围【解答】解： ，解不等式 得： x1，不等式组的解为1xm 不等式组有 4 个整数解，3m4故答案为：3m4【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，通过解不等式组结合不等式组整数解得个
20、数，找出 m 的取值范围是解题的关键14【分析】构造直角三角形 DFC，利用锐角三角形函数求 FD、FC 即可【解答】解：过点 D 作 DFBC 延长线于点 F由旋转可知，ABAB 4，则 CA1ADC60，DC4DF2 ，FC1RtDFC 中DA故答案为：【点评】本题为几何综合题，考查了旋转和平行四边形性质，解答关键是数形结合15【分析】连接 CD，DG，作 DMAC 于 M，DNEF 于 N只要证明 CGGF，即可推出ECG 的周长EG+CG+ EC EG+FG+ECEF+EC BE+ ECBC；【解答】解：连接 CD，DG，作 DMAC 于 M，DNEF 于 NCACB，ACB90， B
21、DAD，CDBDAD，DCAB45由翻折的性质可知：DBDF，BEEF ，BF45，FDCM，DFDC，DNFDMC，DNFDMC（AAS ），CMFN，DMDN，DGDG，DMGDNG 90，RtDGNRtDGM （HL），GM GN，GFCG，ECG 的周长EG+CG+ ECEG +FG+ECEF+EC BE+EC BC，在 Rt ABC 中，AB2，BC CA，BC ，GCE 的周长为 ，（方法二：连接 CF，利用等角对等边可证 CGFG，可以证明GCE 的周长BC 的长）故答案为 【点评】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助
22、线，构造全等三角形解决问题三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分）16【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从 、2、2、3、 五个数中选取一个使得原分式有意义的值代入即可解答本题【解答】解： ，当 x3，2 时，分式无意义，当 x 时，原式 2 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法17【分析】（1）用关注教育资源人数除以其所占的百分比可得被抽查的总人数；（2）根据各类别的人数之和等于总人数可得 B 类别人数，据此继而可补全条形图；（3）用 360乘以样本中 D 类别人数所占比例即可得；（4）根据扇形统计图和条形统计图得出合理信息即可
23、，答案不唯一【解答】解：（1）本次参与调查的人数是 20020%1000（人）；（2）关注城市医疗信息的有 1000（250+200+400）150 （人），补全条形统计图如下：（3）360 144，答：扇形统计图中，D 部分的圆心角的度数是 144；（4）由扇形统计图知，关注交通信息的人数最多；由条形统计图知，关注交通信息的人数是关于政府服务信息与关注教育资源人数和（答案不唯一，合理即可）【点评】本题考查了条形统计图与扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小18【分析】（1）首先确定
24、点 B 坐标，再根据中点的定义求出点 E 坐标即可；（2）连接 AB，分别求出EFC，ABC 的正切值即可解决问题；（3）先作出辅助线判断出 RtMEDRtBDF ，再确定出点 E，F 坐标进而EG8 ，GF4 ，求出 BD，最后用勾股定理建立方程求出 k 即可得出结论；【解答】解：（1）四边形 OACB 是矩形，OB8，OA4，C（8，4），AEEC，E（4，4），点 E 在 y 上，E（4，4）（2）连接 AB，设点 F（8，a），k8a，E（2a，4），CF4a，EC82a，在 Rt ECF 中，tanEFC 2，在 Rt ACB 中，tanABC 2，tanEFC tanABC，EFC
25、ABC，EFAB（3）如图，设将CEF 沿 EF 折叠后，点 C 恰好落在 OB 上的 G 点处，EGFC90，ECEG，CF GF，MGE+FGB90，过点 E 作 EM OB，MGE+MEG 90，MEGFGB，RtMEGRtBGF ， ，点 E（ ，4），F（8， ），ECACAE8 ，CF BCBF4 ，EGEC8 ，GFCF4 ，EM4， ，GB2，在 Rt GBF 中，GF 2GB 2+BF2，即：（4 ） 2（2） 2+（ ） 2，k12，反比例函数表达式为 y 【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了根据条件求反比例函数解析式及其应用，利用图形性质表示出相关点的坐标，根据点与
26、函数的关系找出关系式，涉及内容有锐角三角函数，三角形相似的性质和判定，勾股定理的应用，注意点（m，n）在函数 y 的图象上，则mnk 的利用是解本题的关键19【分析】（1）由 DCAB 知CDBABD，据此可得答案；（2）连接 AC，先证 BF 为EAC 的中位线知 BF AC，由 知 ，据此可得BDAC，即可得证；（3）连接 AC，BC，OF，先证四边形 ABCD 是正方形得 ACBD，由 BF 是ACE 的中位线知BFAC，从而得 BFBD【解答】解：（1）弦 DCAB，CDBABD， ；（2）如图 1，连接 AC，ABBE，点 B 为 AE 的中点，F 是 EC 的中点，BF 为EAC
27、的中位线，BF AC， ； ，BDAC，BF BD；（3）如图 2，连接 AC，BC，OF，四边形 DCEB 为平行四边形，DCBE ，DCBE，ABBE，DCAB ，又DCAB ，四边形 DABC 为平行四边形，BDAC，四边形 DABC 为矩形，ABAD ，四边形 ABCD 是正方形，ACBD，BEAB，F 是 EC 的中点，BF 是ACE 的中位线，BFAC，BFBD ，DBF90【点评】本题主要是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆心角定理与正方形的判定与性质及三角形的中位线定理等知识20【分析】过点 A 作 BC 的平行线 AG，过点 E 作 EHAG 于 H，则BAG90，EHA90先
28、求出 AEH53，则EAH 37，然后在EAH 中，利用正弦函数的定义得出 EHAE sinEAH，则栏杆 EF 段距离地面的高度为：AB+EH ，代入数值计算即可【解答】解：如图，过点 A 作 BC 的平行线 AG，过点 E 作 EHAG 于 H，则EHG HEF90，AEF 143，AEHAEFHEF 53，EAH37，在EAH 中，EHA 90，EAH 37，AE1.3 米，EHAEsinEAH 1.30.600.78（米），AB1.3 米，AB+EH1.3+0.78 2.082.1（米）；答：适合该地下车库的车辆限高标志牌约为 2.1 米【点评】本题考查了解直角三角形在实际中的应用，难
29、度适中关键是通过作辅助线，构造直角三角形，把实际问题转化为数学问题加以计算21【分析】（1）根据待定系数法确定函数关系式解答即可；（2）把 h125 代入解析式解答即可【解答】解：（1）“香篆”在 0：00 时刻点然后，其剩余的长度 h（cm）与燃烧时间 x（h）的函数关系式是一次函数，设一次函数的解析式为：hkx+b，当 x3 时，h210，当 x4 时，h200，可得： ，解得： ，所以解析式为：h10x+240，x 的系数表示“香篆”每小时燃烧 10cm，常数项表示“香篆”未点燃之前的长度为 240cm；（2）当“香篆”剩余 125cm 时，可知 h125，代入解析式得： 12510x+
30、240，解得：x11.5，所以“香篆”在 0：00 点燃后，燃烧了 11.5 小时后的时刻为 11 点 30 分【点评】本题主要考查函数解析式，根据表格数据得出燃烧长度随时间变化情况是解题的关键22【分析】（1）先利用等角的余角相等得到EACBCD，则可根据“AAS”证明AECCDB；（2）作 BDAC 于 D，如图 2，先证明BAD ABD 得到 BDAC4，然后根据三角形面积公式计算；（3）如图 3，利用旋转的性质得FOP120，OPOF，再证明BOFCPO 得到PCOB1，则 BPBC+ PC4，然后计算点 P 运动的时间 t【解答】解：（1）ACB90，ACE+ DCB90，BDl，A
31、E l，AECBDC90，EAC+ ACE90，EACDCB，又ACBC，AECCDB（AAS）；（2）如图 2，作 BDAC 于 D，斜边 AB 绕点 A 逆时针旋转 90至 AB，ABAB，BAB90 ，即BAC+ BAC90，而B+CAB90，BB AC，BAD ABD（AAS），BDAC4，ABC 的面积 448；（3）如图 3，OC2，OBBCOC1，线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 120得到线段 OF，FOP120，OP OF，1+260，BCE 为等边三角形，BCECBE60，FBO120，PCO120，2+3BCE60，13，BOFCPO（AAS ），PCOB1，BPBC+P
32、C3+14，点 P 运动的时间 t414s 【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质和等腰直角三角形的性质；会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题；解决此题的关键是理解（1）小题的解题方法23【分析】（1）将 A，B 两点代入可求解析式（2）分类讨论，以 AB 为边的菱形和以 AB 为对角线的菱形，抓住菱形边长为 4 和 E 的横坐标为 3，可解 F 点坐标，即可求点 F 到二次函数图象的垂直距离（3）构造三角形，根据两点之间线段最短，可得最短距离为 AN，根据勾股定理求 AN【解答】解：（1）抛物线 yax 2+bx+ 过点 A（1，0），B（5，0），0a+b+025a+5b
33、+a ，b3解析式 y x23x +（2）当 y0，则 0 x23x +x 15，x 21A（1，0），B（5，0）对称轴直线 x3，顶点坐标（3，2），AB4抛物线与 y 轴相交于点 CC（0， ）如图 1如 AB 为菱形的边，则 EFAB，EFAB 4，且 E 的横坐标为 3F 的横坐标为 7 或1AEAB4，AM 2，EMABEM2F（7，2 ），或（1，2 ）当 x7，y 4973+ 6点 F 到二次函数图象的垂直距离 62如 AB 为对角线，如图 2AEBF 是菱形，AFBF 4ABEF，EM MF2F（3，2 ）点 F 到二次函数图象的垂直距离2+2（3）当 F（3，2 ）时，点
34、F 到二次函数图象的垂直距离最小如图 3，以 BQ 为边作等边三角形 BQD，将BQF 绕 B 逆时针旋转 60到BDN 位置，连接AN，作 PNAB 于 P等边三角形 BQDQDQB BD ，将BQF 绕 B 逆时针旋转 60到BDN 位置NBBF4， FBN 60 ，DNFQAQ+ BQ+FQAQ+QD+ DN当 AQ，QD ， DN 共线时 AQ+BQ+FQ 的和最短，即最短值为 AN 的长AFBF4AB，ABF 60NBP60且 BN4，BP2，PN 2AP6在 Rt ANP 中，AN 4AQ+ BQ+FQ 的和最短值为 4 【点评】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法，菱形的性质，勾股定理等有关知识，关键是构造三角形转化 BQ，和 BQ 的长
