1、 函数 y=ax2+bx+c基本性质回顾 二次函数二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图像是一条抛物线的图像是一条抛物线， x y 0 2 -2 -2 2 -4 y x 0 2 4 6 -2 2 -4 4 y=2x24x6 y=0.75x2+3x y=0.5x22x1.5 y=4 9 x 2 8 3 x 6 观察下列二次函数图像：观察下列二次函数图像： 顶点在图像的位置有什么特点？ 顶点是抛物线上的最高点（或最低点）顶点是抛物线上的最高点（或最低点） y x 0 2 4 6 -2 2 -4 4 y=2x24x6 y=0.5x22x1.5 问：当自变量增大时，函数的值将怎样变化？问：当自变量增
2、大时，函数的值将怎样变化？ 你还能发现：你还能发现： 这些函数是否存在最大值或这些函数是否存在最大值或 最小值，它是由解析式最小值，它是由解析式y=ax2+bx+c （a0）中的那一个系数决定的吗？中的那一个系数决定的吗？ a 二次二次函数函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)(a0)的图象和性质的图象和性质 .顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴 .位置与开口方向位置与开口方向 .增减性与最值增减性与最值 抛物线抛物线 顶点坐标顶点坐标 对称轴对称轴 位置位置 开口方向开口方向 增减性增减性 最值最值 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0) y=axy=ax2 2+b
3、x+c+bx+c(a0) 由由a,b和和c的符号确定的符号确定 由由a,b和和c的符号确定的符号确定 向上向上 向下向下 ,y随着随着x的增大而减小的增大而减小. , y随着随着x的增大而增大的增大而增大. ,y随着随着x的增大而增大的增大而增大. , y随着随着x的增大而减小的增大而减小. 根据图形填表：根据图形填表： a4 bac4 , a2 b 2 a4 bac4 , a2 b 2 a2 b x 直线直线 a2 b x 直线直线 a4 bac4 , a2 b x 2 最小值为最小值为时时当当 a4 bac4 , a2 b x 2 最大值为最大值为时时当当 时时当当 a2 b x 时时当当
4、 a2 b x 时时当当 a2 b x 时时当当 a2 b x 例：已知函数已知函数y=0.5x27x7.5 (1)求函数的顶点坐标、对称轴，以及图像与坐标轴的交点求函数的顶点坐标、对称轴，以及图像与坐标轴的交点 坐标，并画出函数的大致图像；坐标，并画出函数的大致图像； 例题探究 解解：（：（1）a=0.5,b=7,c=7.5; 所以函数所以函数y=0.5x27x7.5的大致图像如图：的大致图像如图： x=7 20 x y 10 O 10 10 30 5 10 20 15 5 (7，32) (0，7.5) (15，0) (1，0) 自变量自变量x在什么范围内时，在什么范围内时，y随随x 的的
5、增大而增大？何时增大而增大？何时y 随随x的增大而减的增大而减 小？并求出函数的最大值或最小值。小？并求出函数的最大值或最小值。 解：解： 由右图可知，由右图可知， 当当x7时，时， y随随x 的增大而增大；的增大而增大； 当当x7 时，时，y 随随x的增大而减小；的增大而减小； 当当x7时，函数有最大值时，函数有最大值32。 (3)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积? （4）根据图象，说）根据图象，说 出出 x 取哪些值时，取哪些值时， y=0; y0. 当当-15x1时时 当当x=-15或或x=1时时 当当x-15或或x 1时时 已知函数已知函数y=x
6、23x4. 求函数图像的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标和对求函数图像的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标和对 称轴，并画出函数的称轴，并画出函数的大致大致图像；图像； 解：解： y=x23x4 (x1.5)26.25, 图象顶点坐标为图象顶点坐标为(1.5, 6.25); 又当又当y=0时，时， 得得x23x40的解为：的解为： x11，x24。 则与则与x轴的交点为轴的交点为(1,0)和和(4,0) 与与y轴的交点为轴的交点为(0, 4) (1,0) (1.5, 6.25) (0, 4) (4,0) x=1.5 O y x 记当记当x1=3.5,x2= ,x3= 时对应的函数值分别时对应的函数值分别
7、 为为y1,y2,y3,试比较试比较y1,y2,y3的大小的大小? 2 2 如右图可知如右图可知: y2 y1 y3 ( ,y2) 2 ( ,y3) 2 (3.5,y1) 课内练习 1、求下列函数的最大值（或最小值）和对应的、求下列函数的最大值（或最小值）和对应的 自变量的值：自变量的值： y=2x28x1； y=3x25x1 2、二次函数、二次函数y=x2bx+9的图象顶点在的图象顶点在y轴上，轴上， 那么那么b等于多少？等于多少？ x 想一想 如果二次函数二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图像与的图像与x轴的两个交点的轴的两个交点的 坐标坐标为为 （ x1，0 ）和和（ x2 ，0）
8、 方程ax2+bx+c0 (a0)的解与二次函数的解与二次函数y=ax2+bx+c (a0) 的图像与的图像与x轴交点的坐标有什么关系？轴交点的坐标有什么关系？ 那么x1和 x2 恰好是方程ax2+bx+c0 (a0)的两个根 方程ax2+bx+c0 (a0)的的解解就是就是 函数函数y=ax2+bx+c (a0)的图像与的图像与x轴交点的轴交点的 坐标坐标。 横横 可以发现：二次函数可以发现：二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图像与的图像与x轴交点的轴交点的 存在性存在性与与 方程ax2+bx+c0 (a0)的的 解解是否存在是否存在有关。有关。 归纳与探究 那么，进一步推想方程ax2
9、+bx+c0 (a0)解解的的存存 在性在性又与什么有关呢？又与什么有关呢？ b2 4ac的正负性有关。的正负性有关。 故而：故而： 当b2 4ac 时，抛物线与时，抛物线与x轴有轴有 交点；交点； 当b2 4ac 时，抛物线与时，抛物线与x轴只有轴只有 交点；交点； 当b2 4ac 时，抛物线与时，抛物线与x轴轴 交点。交点。 0 两个两个 0 一个一个 0 没有没有 y=2X -X-1 y=4X2+4X+1 y=3X2+2X+5 1、抛物线与、抛物线与x轴轴的交点的个数：的交点的个数： 2个个 1个个 0个个 b2- 4ac0 b2- 4ac=0 b2- 4ac0 2、抛物线、抛物线y=x
10、2-5x+4与坐标轴的交点个数为（与坐标轴的交点个数为（ ） （A）0个个 （B）1个个 （C）2个个 （D）3个个 D 二次函数二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象的图象 如图所示，则如图所示，则 a_0，b_0，c_0 y x o b - 4ac_0 2 2、已知二次函数的图像如图所示，下列结论：、已知二次函数的图像如图所示，下列结论： a+b+c0 a-b+c0 abc 0 b=2a 其中正确的结论的个数是（其中正确的结论的个数是（ ） A 1个个 B 2个个 C 3个个 D 4个个 D x -1 1 0 y 1、抛物线、抛物线y=ax2+bx (a0)的顶点在第二象限，的顶点在
11、第二象限， 则则a_0，b_0. 2、二次函数、二次函数y=ax2+bx ，当，当a0，b0时，它时，它 的图象经过的图象经过_象限。象限。 已知抛物线已知抛物线y=x2-2x +m的函数值恒大于零，的函数值恒大于零， 求求m的取值范围的取值范围. 大家应该很好的利用大家应该很好的利用二次二次 函数图像函数图像给我们的启迪，给我们的启迪， 来解决诸多问题！来解决诸多问题！ 已知某抛物线的对称轴是直线已知某抛物线的对称轴是直线x=1，该抛，该抛 物线上最低点的纵坐标是物线上最低点的纵坐标是 -1，且抛物线，且抛物线 经过（经过（0，1），求该抛物线的解析式），求该抛物线的解析式. 拓展与实践 3
12、.05米米 4米米 ? 2.25米米 o x y 球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围；球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围； 球在运动中离地面的最大高度球在运动中离地面的最大高度。 解解: 设函数解析式为设函数解析式为: y=a(x2.5)2+k,根据题意，得：根据题意，得： 2.52a+k=2.25 (42.5)2a+k=3.05 则：则：a=0.2,k=3.5 解析式为解析式为:y=0.2x2+x+2.25, 自变量自变量x的取值范围为：的取值范围为：0 x4. 球在运动中离地面的最大高度球在运动中离地面的最大高度 为为3.5米米。 篮球运动员投篮时，球运动的路线为抛物线的一部篮球运动员投篮时，球运动的路线为抛物线的一部 分（如图），抛物线的对称轴为分（如图），抛物线的对称轴为x=2.5。求：。求： 一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛 物线。物线。 （1）求铅球所经过的路线的函数解析式和自变量取）求铅球所经过的路线的函数解析式和自变量取 值范围。值范围。 （2）铅球的落地点离运动员有多远？）铅球的落地点离运动员有多远？ y(m) x(m) o (0,1.5) (4,3)
