1、中考数学第二轮复习中考数学第二轮复习-题型五与圆有关的证明与计算题型五与圆有关的证明与计算 类型一与切线性质有关的证明与计算 1. 如图，AB 是O的直径，直线 CD 与O相切于点 C，且与 AB的延长 线交于点 E，点 C 是的中点 （1）求证：ADCD； （2） 若CAD=30 ， O 的半径为 3， 一只蚂蚁从点 B出发， 沿着 BE-EC- 爬回至点 B，求蚂蚁爬过的路程（3.14，1.73，结果保留一位小数） 2. 如图，ABC 内接于O，AB 为直径，作 ODAB 交 AC 于点 D， 延长 BC， OD交于点 F， 过点 C 作O的切线 CE， 交 OF 于点 E （1）求证：E
2、C=ED； （2）如果 OA=4，EF=3，求弦 AC 的长 3. 如图，BC是O 的直径，CE 是O的弦，过点 E 作O的切线，交 CB的延 长线于点 G，过点 B作 BFGE 于点 F，交 CE的延长线于点 A （1）求证：ABG=2C； （2）若 GF=3，GB=6，求O的半径 4. 如图， 在ABC 中， AB=AC， 以 AB为直径的O交 BC于点 D， 过点 D作O 的切线 DE，交 AC于点 E，AC的反向延长线交 O于点 F （1）求证：DEAC； （2）若 DE+EA=8，O 的半径为 10，求 AF的长度 类型二类型二 与切线判定有关的证明与计算与切线判定有关的证明与计算
3、5. 如图，在ABC 中，以 AB为直径的O交 AC于点 M，弦 MNBC 交 AB 于点 E，且 ME=3，AE=4，AM=5 （1）求证：BC是O 的切线； （2）求O 的直径 AB 的长度 6. 如图，AB 是O的直径，点 D 是 AB 延长线上的一点，点 C 在O上，且 AC=CD，ACD=120 （1）求证：CD是O的切线； （2）若O 的半径为 3，求图中阴影部分的面积 7. 如图，AB是O的直径，AM 和 BN 是它的两条切线，过O上一点 E作直线 DC，分别交 AM、BN于点 D、C，且 DA=DE （1）求证：直线 CD是O的切线； （2）求证：OA2=DECE 8. 如图，
4、在ABC 中，AB=AC，以 AB为直径的O分别与 BC，AC交于点 D， E，过点 D作 DFAC，垂足为点 F （1）求证：直线 DF 是O的切线； （2）求证：BC2=4CFAC； （3）若O 的半径为 4，CDF=15 ，求阴影部分的面积 9. 如图，ABC内接于O，AB=AC，BAC=36 ，过点 A 作 ADBC，与ABC的平分线交于点 D，BD与 AC 交于点 E，与O 交于点 F （1）求DAF的度数；（2）求证：AE2 = EFED； （3）求证：AD是O的切线 10. 如图，在矩形 ABCD中，CD=2，AD=4，点 P在 BC上，将ABP沿 AP 折叠，点 B 恰好落在对
5、角线 AC 上的 E 点，O为 AC上一点，O 经过点 A，P （1）求证：BC是O 的切线； （2）在边 CB 上截取 CF=CE，点 F 是线段 BC的黄金分割点吗？请说 明理由 类型三类型三 与切线性质有关的探究问题与切线性质有关的探究问题 探究活动一： 如图 1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线 AB上的三点 A（1，3）、B（2，5）、C（4， 9），有 kAB=2，kAC=2，发现 kAB=kAC，兴趣小组提出猜想：若直线 y=kx+b（k0）上任意两点坐 标 P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1x2），则 kPQ= 是定值通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立，
6、kPQ 是定值，并且是直线 y=kx+b（k0）中的 k，叫做这条直线的斜率 请你应用以上规律直接写出过 S（-2，-2）、T（4，2）两点的直线 ST的斜率 kST=_ 探究活动二 数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相要 直时，这两条直线的斜率之积是定值 如图 2，直线 DE 与直线 DF 垂直于点 D，D（2，2），E（1，4），F（4，3）请求出直线 DE与直线 DF 的斜率之积 综合应用 如图 3，M为以点 M为圆心，MN的长为半径的圆，M（1，2），N（4，5），请结合探究活 动二的结论，求出过点 N的M 的切线的解析式 答案和解
7、析答案和解析 1.【答案】（1）证明：连接 OC， 直线 CD 与O相切， OCCD， 点 C 是的中点， DAC=EAC， OA=OC， OCA=EAC， DAC=OCA， OCAD， ADCD； （2）解：CAD=30 ， CAE=CAD=30 ， 由圆周角定理得，COE=60 ， OE=2OC=6，EC=OC=3，=， 蚂蚁爬过的路程=3+3+11.3 【解析】（1）连接 OC，根据切线的性质得到 OCCD，证明 OCAD，根据平行线的性质证明； （2）根据圆周角定理得到COE=60 ，根据勾股定理、弧长公式计算即可 本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、
8、弧长公式是解题的关键 2.【答案】（1）证明：连接 OC， CE与O相切，OC是O的半径， OCCE， OCA+ACE=90 ， OA=OC， A=OCA， ACE+A=90 ， ODAB， ODA+A=90 ， ODA=CDE， CDE+A=90 ， CDE=ACE， EC=ED； （2）解：AB 为O的直径， ACB=90 ， 在 RtDCF 中，DCE+ECF=90 ，DCE=CDE， CDE+ECF=90 ， CDE+F=90 ， ECF=F， EC=EF， EF=3， EC=DE=3， OE= =5， OD=OE-DE=2， 在 RtOAD中，AD=2， 在 RtAOD和 RtACB
9、 中， A=A，ACB=AOD， RtAODRtACB， ， 即， AC= 【解析】（1）连接 OC，由切线的性质可证得ACE+A=90 ，又CDE+A=90 ，可得CDE=ACE，则结 论得证； （2）先根据勾股定理求出 OE，OD，AD的长，证明 RtAODRtACB，得出比例线段即可求出 AC 的长 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定 理图，得出垂直关系也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质 3.【答案】（1）证明：连接 OE， EG 是O的切线， OEEG， BFGE， OEAB， A=OEC， OE=OC， OEC=C， A
10、=C， ABG=A+C， ABG=2C； （2）解：BFGE， BFG=90 ， GF=3，GB=6， BF=3， ， ，则 ， O 的半径为 6 【解析】（1）连接 OE，根据切线的性质得到 OEEG，推出 OEAB，得到A=OEC，根据等腰三角形的 性质得到OEC=C，求得A=C，根据三角形的外角的性质即可得到结论； （2）根据勾股定理得到 BF=3，根据的性质即可得到结论 本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键 4.【答案】（1）证明：OB=OD， ABC=ODB， AB=AC， ABC=ACB， ODB=ACB， ODAC DE 是O的切线
11、，OD是半径， DEOD， DEAC； （2）如图，过点 O作 OHAF于点 H，则ODE=DEH=OHE=90 ， 四边形 ODEH 是矩形， OD=EH，OH=DE 设 AH=x DE+AE=8，OD=10， AE=10-x，OH=DE=8-（10-x）=x-2 在 RtAOH中， 由勾股定理知： AH2+OH2=OA2， 即 x2+ （x-2） 2=102， 解得 x1=8，x2=-6（不合题意，舍去） AH=8 OHAF， AH=FH= AF， AF=2AH=2 8=16 【解析】本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质解题时，利用了方程思想，属于中档题 （1）欲证明 DEAC
12、，只需推知 ODAC即可； （2） 如图， 过点 O作 OHAF 于点 H， 构建矩形 ODEH， 设 AH=x 则由矩形的性质推知： AE=10-x， OH=DE=8- （10-x）=x-2在 RtAOH中，由勾股定理知：x2+（x-2） 2=102，通过解方程得到 AH 的长度，结合 OHAF， 得到 AF=2AH=2 8=16 5.【答案】（1）证明：在AME 中，ME=3，AE=4，AM=5， AM2=ME2+AE2， AME是直角三角形， AEM=90 ， 又MNBC， ABC=AEM=90 ， ABBC， AB为直径， BC是O的切线； （2）解：连接 OM，如图，设O的半径是 r
13、， 在 RtOEM中，OE=AE-OA=4-r，ME=3，OM=r， OM2=ME2+OE2， r 2=32+（4-r）2， 解得：r=， AB=2r= 【解析】（1）根据勾股定理的逆定理得到AEM=90 ，由于 MNBC，根据平行线的性质得ABC=90 ，然 后根据切线的判定定理即可得到 BC是O 的切线； （2）连接 OM，设O的半径是 r，在 RtOEM 中，根据勾股定理得到 r2=32+（4-r） 2，解方程即可得到O 的半径，即可得出答案 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线也考查了勾股定理和 勾股定理的逆定理 6.【答案】（1）证明：连接 OC
14、AC=CD，ACD=120 ， A=D=30 OA=OC， ACO=A=30 OCD=ACD-ACO=90 即 OCCD， CD 是O的切线 （2）解：A=30 ， COB=2A=60 S 扇形BOC=， 在 RtOCD中，CD=OC， ， ， 图中阴影部分的面积为 【解析】（1）连接 OC只需证明OCD=90 根据等腰三角形的性质即可证明； （2）阴影部分的面积即为直角三角形 OCD的面积减去扇形 COB的面积 此题综合考查了等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法 7.【答案】解：（1）连接 OD，OE，如图 1， 在OAD 和OED中， ， OADOED（SSS）， OAD=
15、OED， AM 是O的切线， OAD=90 ， OED=90 ， 直线 CD 是O的切线； （2）过 D作 DFBC 于点 F，如图 2，则DFB=RFC=90 ， AM、BN 都是O的切线， ABF=BAD=90 ， 四边形 ABFD是矩形， DF=AB=2OA，AD=BF， CD 是O的切线， DE=DA，CE=CB， CF=CB-BF=CE-DE， DE2=CD2-CF2， 4OA2=（CE+DE）2-（CE-DE）2， 即 4OA2=4DECE， OA2=DECE 【解析】（1）连接 OD，OE，证明OADOED，得OAD=OED=90 ，进而得 CD 是切线； （2）过 D作 DFB
16、C 于点 F，得四边形 ABFD 为矩形，得 DF=20A，再证明 CF=CE-DE，进而根据勾股定 理得结论 本题主要考查了圆的切线的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，关键 是正确作辅助线构造全等三角形与直角三角形 8.【答案】解：（1）如图所示，连接 OD， AB=AC，ABC=C，而 OB=OD，ODB=ABC=C， DFAC，CDF+C=90 ，CDF+ODB=90 ， ODF=90 ， 直线 DF 是O的切线； （2）连接 AD，则 ADBC，则 AB=AC， 则 DB=DC=， CDF+C=90 ，C+DAC=90 ，CDF=DCA， 而DFC=ADC
17、=90 ，CFDCDA， CD2=CFAC，即 BC2=4CFAC； （3）连接 OE， CDF=15 ，C=75 ，OAE=30 =OEA， AOE=120 ， SOAE= AE OEsinOEA= 2 OE cosOEA OEsinOEA=4， S阴影部分=S扇形OAE-SOAE=42-4=-4 【解析】（1）如图所示，连接 OD，证明CDF+ODB=90 ，即可求解； （2）证明CFDCDA，则 CD2=CFAC，即 BC2=4CFAC； （3）S阴影部分=S扇形OAE-SOAE即可求解 本题为圆的综合题，涉及到解直角三角形、三角形相似、等腰三角形的性质等，难度不大 9.【答案】（1）解
18、：ADBC， D=CBD， AB=AC，BAC=36 ， ABC=ACB= （180 -BAC）=72 ， AFB=ACB=72 ， BD 平分ABC， ABD=CBD= ABC=72 =36 ， D=CBD=36 ， BAD=180 -D-ABD=180 -36 -36 =108 ， BAF=180 -ABF-AFB=180 -36 -72 =72 ， DAF=DAB-FAB=108 -72 =36 ； （2）证明：CBD=36 ，FAC=CBD， FAC=36 =D， AED=AEF， AEFDEA， =， AE2=EF ED； （3）证明：连接 OA、OF， ABF=36 ， AOF=2
19、ABF=72 ， OA=OF， OAF=OFA= （180 -AOF）=54 ， 由（1）知DAF=36 ， DAO=36 +54 =90 ， 即 OAAD， OA 为半径， AD 是O的切线 【解析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合 运用定理进行推理是解此题的关键 （1）求出ABC、ABD、CBD 的度数，求出D 度数，根据三角形内角和定理求出BAF 和BAD 度数， 即可求出答案； （2）求出AEFDEA，根据相似三角形的性质得出即可； （3）连接 AO，求出OAD=90 即可. 10.【答案】解：（1）连接 OP，则PAO=APO， 而
20、AEP是由ABP沿 AP折叠而得： 故 AE=AB=4，OAP=PAB， BAP=OPA， ABOP，OPC=90 ， BC是O的切线； （2）CF=CE=AC-AE=-4=2-2， =， 故：点 F 是线段 BC 的黄金分割点 【解析】（1）通过“连直径、证垂直”的方法，证明BAP=OPA，即可求解； （2）CF=CE=AC-AE=-4=2-2，即可求解 本题考查了圆的切线的性质与证明、黄金分割的应用，题目的关键是明确黄金分割所涉及的线段的比 11.【答案】 【解析】解：（1）S（-2，-2）、T（4，2） kST= 故答案为： （2）D（2，2），E（1，4），F（4，3） kDE=-2，
21、kDF= ， kDE kDF=-2 =-1， 任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等于-1 （3）设经过点 N与M的直线为 PQ，解析式为 y=kPQx+b M（1，2），N（4，5）， kMN=1， PQ 为M 的切线 PQMN kPQ kMN=-1， kPQ=-1， 直线 PQ经过点 N（4，5）， 5=-1 4+b，解得 b=9 直线 PQ的解析式为 y=-x+9 （1）直接利用公式计算即可； （2）运用公式分别求出 kDE和 kDF的值，再计算 kDE kDF=-1； （3）先求直线 MN的斜率 kMN，根据切线性质可知 PQMN，可得直线 PQ的斜率 kPQ，待定系数法即可求 得直线 PQ解析式 本题主要考查了圆的切线性质，待定系数法求一次函数解析式，新定义：直线斜率；是一道创新题，引入 新定义：直线斜率，理解和掌握直线斜率的概念是解题的关键
