1、题型十一 几何变换综合 1. 如图 1，在ABC中，AEBC 于 E，AE=BE，D 是 AE 上的一点，且 DE=CE，连接 BD，CD （1）试判断 BD与 AC 的位置关系和数量关系，并说明理由； （2）如图 2，若将DCE绕点 E旋转一定的角度后，试判断 BD 与 AC 的位置关系和数量关系是否发生 变化，并说明理由； （3）如图 3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变 试猜想 BD 与 AC的数量关系，请直接写出结论； 你能求出 BD与 AC 的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由 2. 已知：正方形 ABCD 中，MAN=45 ，MA
2、N 绕点 A顺时旋转，它的两边分别交 CB，DC（或它们的延 长线）于点 M，N当MAB 绕点 A 旋转到 BM=DN时（如图 1），易证 BM+DN=MN （1）当MAN旋转到 BMDN 时（如图 2），线段 BM，DN 和 MN之间有怎样的数量关系？写出猜想， 并加以证明 （2）当MAN 绕点 A 旋转到如图 3的位置时，线段 BM，DN和 MN 之间又有怎样的数量关系？请写出 你的猜想，并加以证明 3. 已知，ABC为直角三角形，ACB=90 ，点 P是射线 CB上一点（点 P 不与点 B、C 重合），线段 AP 绕点 A顺时针旋转 90 得到线段 AQ，连接 QB交射线 AC于点 M
3、（1）如图，当 AC=BC，点 P在线段 CB上时，线段 PB、CM 的数量关系是_； （2）如图，当 AC=BC，点 P在线段 CB的延长线时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明 过程；若不成立，请说明理由 （3）如图，若，点 P 在线段 CB 的延长线上，CM=2，AP=13，求ABP的面积 4. 【操作发现】 （1）如图 1，ABC为等边三角形，先将三角板中的 60 角与ACB 重合，再将三角板绕点 C按顺时针 方向旋转（旋转角大于 0 且小于 30 ），旋转后三角板的一直角边与 AB交于点 D，在三角板斜边上取 一点 F，使 CF=CD，线段 AB 上取点 E，使DCE=30 ，
4、连接 AF，EF 求EAF的度数； DE与 EF相等吗？请说明理由； 【类比探究】 （2）如图 2，ABC 为等腰直角三角形，ACB=90 ，先将三角板的 90 角与ACB重合，再将三角板 绕点 C按顺时针方向旋转（旋转角大于 0 且小于 45 ），旋转后三角板的一直角边与 AB交于点 D，在 三角板另一直角边上取一点 F，使 CF=CD，线段 AB 上取点 E，使DCE=45 ，连接 AF，EF请直接 写出探究结果： EAF 的度数； 线段 AE，ED，DB 之间的数量关系 5. ABC 是等边三角形，以点 C 为旋转中心，将线段 CA 按顺时针方向旋转 60 得到线段 CD，连接 BD交
5、AC 于点 O （1）如图 1 求证：AC 垂直平分 BD； 点 M 在 BC 的延长线上，点 N在线段 CO上，且 ND=NM，连接 BN，判断MND 的形状，并加以证 明； （2）如图 2，点 M在 BC的延长线上，点 N 在线段 AO 上，且 ND=NM，补全图 2，求证：NA=MC 6. 如图 1，在 RtABC中，A=90 ，AB=AC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，AD=AE，连接 DC，点 M， P，N分别为 DE，DC，BC的中点 （1）观察猜想： 图 1中，线段 PM与 PN 的数量关系是_，位置关系是_； （2）探究证明： 把ADE绕点 A逆时针方向旋转到图 2的位
6、置，连接 MN，BD，CE，判断PMN 的形状，并说明 理由； （3）拓展延伸： 把ADE绕点 A在平面内自由旋转，若 AD=4，AB=10，请直接写出PMN面积的最大值 7. 在等腰 RtABC 中，AB=AC，BAC=90 （1）如图 1，D，E是等腰 RtABC 斜边 BC上两动点，且DAE=45 ，将ABE 绕点 A逆时针旋转 90 后，得到AFC，连接 DF 求证：AEDAFD； 当 BE=3，CE=7时，求 DE 的长； （2）如图 2，点 D 是等腰 RtABC斜边 BC 所在直线上的一动点，连接 AD，以点 A 为直角顶点作等腰 RtADE，当 BD=3，BC=9 时，求 DE
7、的长 8. 已知如图 1，在ABC 中，ACB=90 ，BC=AC，点 D 在 AB上，DEAB交 BC于 E，点 F 是 AE 的中点 （1）写出线段 FD与线段 FC 的关系并证明； （2）如图 2，将BDE 绕点 B 逆时针旋转 （0 90 ），其它条件不变，线段 FD 与线段 FC的关 系是否变化，写出你的结论并证明； （3）将BDE 绕点 B 逆时针旋转一周，如果 BC=4，BE=2，直接写出线段 BF的范围 9. 在ABC中，AB=AC，BAC=，点 P 为线段 CA 延长线上一动点，连接 PB，将线段 PB绕点 P逆时针 旋转，旋转角为 ，得到线段 PD，连接 DB，DC （1）
8、如图 1，当 =60时， 求证：PA=DC； 求DCP 的度数； （2）如图 2，当 =120时，请直接写出 PA 和 DC的数量关系 （3）当 =120时，若 AB=6，BP=，请直接写出点 D到 CP的距离为_ 10. 初步尝试 （1）如图，在三角形纸片 ABC 中，ACB=90 ，将ABC折叠，使点 B 与点 C 重合，折痕为 MN， 则 AM 与 BM的数量关系为_； 思考说理 （2）如图，在三角形纸片 ABC 中，AC=BC=6，AB=10，将ABC 折叠，使点 B 与点 C重合，折痕为 MN，求的值； 拓展延伸 （3）如图，在三角形纸片 ABC 中，AB=9，BC=6，ACB=2A
9、，将ABC沿过顶点 C 的直线折叠， 使点 B落在边 AC上的点 B处，折痕为 CM 求线段 AC 的长； 若点 O 是边 AC的中点，点 P为线段 OB上的一个动点，将APM 沿 PM折叠得到APM，点 A 的对应点为点 A，AM与 CP交于点 F，求的取值范围 11. 如图 1，在平面直角坐标系，O为坐标原点，点 A（-1，0），点 B（0，） （1）求BAO的度数； （2）如图 1，将AOB 绕点 O 顺时针旋转得AOB，当 A恰好落在 AB边上时，设ABO 的面 积为 S1，BAO的面积为 S2，S1与 S2有何关系？为什么？ （3） 若将AOB绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置， S
10、1与S2的关系发生变化了吗？证明你的判断 12. 如图 1，在 RtABC 中，B=90 ，AB=4，BC=2，点 D、E 分别是边 BC、AC的中点，连接 DE将CDE 绕点 C逆时针方向旋转，记旋转角为 （1）问题发现 当 =0时，=_；当 =180时，=_ （2）拓展探究 试判断：当 0360 时，的大小有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明 （3）问题解决 CDE绕点 C逆时针旋转至 A、B、E 三点在同一条直线上时，求线段 BD 的长 13. 【问题探究】 （1）如图 1，ABC 和DEC 均为等腰直角三角形，ACB=DCE=90 ，点 B，D，E在同一直线上， 连接 AD，BD 请
11、探究 AD 与 BD之间的位置关系：_； 若 AC=BC=，DC=CE=，则线段 AD 的长为_； 【拓展延伸】 （2） 如图 2， ABC 和DEC均为直角三角形， ACB=DCE=90 ， AC=， BC=， CD=， CE=1 将 DCE绕点 C在平面内顺时针旋转，设旋转角BCD 为 （0360 ），作直线 BD，连接 AD，当点 B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段 AD 的长 答案和解析答案和解析 1.【答案】解：（1）BD=AC，BDAC， 理由是：延长 BD 交 AC于 F AEBC， AEB=AEC=90 ， 在BED和AEC 中， ， BEDAEC， BD=AC，DB
12、E=CAE， BED=90 ， EBD+BDE=90 ， BDE=ADF， ADF+CAE=90 ， AFD=180 -90 =90 ， BDAC； （2）不发生变化 理由：如图 2中 设 DE与 AC 交于 O 点 BEA=DEC=90 ， BEA+AED=DEC+AED， BED=AEC， 在BED和AEC 中， ， BEDAEC， BD=AC，BDE=ACE， DEC=90 ， ACE+EOC=90 ， EOC=DOF， BDE+DOF=90 ， DFO=180 -90 =90 ， BDAC； （3）如图 3 中，结论：BD=AC， 理由是：ABE 和DEC是等边三角形， AE=BE，D
13、E=EC，EDC=DCE=60 ，BEA=DEC=60 ， BEA+AED=DEC+AED， BED=AEC， 在BED和AEC 中， ， BEDAEC， BD=AC 能ABE和DEC 是等边三角形， AE=BE，DE=EC，EDC=DCE=60 ，BEA=DEC=60 ， BEA+AED=DEC+AED， BED=AEC， 在BED和AEC 中， ， BEDAEC， BDE=ACE， DFC=180 -（BDE+EDC+DCF） =180 -（ACE+EDC+DCF） =180 -（60 +60 ） =60 ，即 BD与 AC所成的角的度数为 60 【解析】 （1） 延长 BD交 AC于 F
14、， 求出AEB=AEC=90 ， 证出BEDAEC， 推出 BD=AC， DBE=CAE， 根据EBD+BDE=90 推出ADF+CAE=90 ，求出AFD=90 即可； （2）求出BED=AEC，证出BEDAEC，推出 BD=AC，BDE=ACE，根据ACE+EOC=90 求出 BDE+DOF=90 ，求出DFO=90 即可； （3）如图 3 中，结论：BD=AC，只要证明BEDAEC 即可； 求出BED=AEC，证出BEDAEC，推出BDE=ACE，根据三角形内角和定理求出DFC 即可 本题考查了等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生 的推理能力
15、 2.【答案】解：（1）BM+DN=MN成立 证明：如图，把ADN绕点 A 顺时针旋转 90 ， 得到ABE，则可证得 E、B、M 三点共线（图形画正确） EAM=90 -NAM=90 -45 =45 ， 又NAM=45 ， 在AEM 与ANM 中， ， AEMANM（SAS）， ME=MN， ME=BE+BM=DN+BM， DN+BM=MN； （2）DN-BM=MN 在线段 DN上截取 DQ=BM， 在ADQ 与ABM 中， ， ADQABM（SAS）， DAQ=BAM， QAN=MAN 在AMN 和AQN中， ， AMNAQN（SAS）， MN=QN， DN-BM=MN 【解析】 （1）
16、结论： BM+DN=MN成立， 证得 B、 E、 M三点共线即可得到AEMANM， 从而证得 ME=MN （2） 结论： DN-BM=MN 首先证明ADQABM， 得 DQ=BM， 再证明AMNAQN （SAS） ， 得 MN=QN， 本题考查正方形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解 决问题，属于中考常考题型 3.【答案】解：（1）PB=2CM； （2）BP=2CM仍然成立， 理由：如图 2， 将ABC绕点 A顺时针旋转 90 ，得到ABC，连接 BQ， BQ=BP，AB=AB， 连接 BB， ACBC， 点 C 在 BB上，且 CB=CB， 依题意
17、得，CBB=90 ， CMBC，而 CB=CB， 2CM=BQ， BP=BQ， BP=2CM， （3）如图 3， 设 BC=2x，则 AC=5x， 将ABC绕点 A顺时针旋转 90 ，得到ABC，连接 BQ， BC=BC，BQ=BP，AC=AC 延长 BC 交 CQ 于 N， 四边形 ACNC是正方形， CN=CN=AC=5x， BN=CN+BC=7x CMQN， CM=2， QN=7， BP=BQ=CN+QN-BC=5x+7-2x=3x+7， PC=BC+BP=2x+3x+7=5x+7， 在 RtACP 中，AC=5x，PC=5x+7，AP=13， 根据勾股定理得，（5x）2+（5x+7）2
18、=132 x=1或 x=-（舍）， BP=3x+7=10，AC=5x=5， SABP = BP AC= 10 5=25. 【解析】 【分析】 此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形和直角三角形的性质，旋转的性质，中位线的性质， 三角形的面积，勾股定理，平行线分线段成比例等有关知识，解本题的关键是作出辅助线，也是本题的难 点 （1）作出ABC绕点 A顺时针旋转 90 ，利用旋转的性质，和等腰三角形的性质再用中位线即可； （2）作出ABC绕点 A顺时针旋转 90 ，利用旋转的性质，和等腰三角形的性质，再用中位线即可； （3）同（1）（2）的方法作出辅助线，利用平行线中的基本图形“A”得出比
19、例式，用勾股定理求出 x，最 后用三角形的面积公式即可 【解答】 解：（1）如图 1， 将ABC绕点 A顺时针旋转 90 ，得到ABC， BQ=BP，AB=AB， 连接 BB， ACBC， 点 C 在 BB上，且 CB=CB， 依题意得，CBB=90 ， CMBC，而 CB=CB， 2CM=BQ， BP=BQ， BP=2CM， 故答案为：BP=2CM； （2）见答案； （3）见答案. 4.【答案】解：（1）ABC是等边三角形， AC=BC，BAC=B=60 ， DCF=60 ， ACF=BCD， 在ACF和BCD 中， ACFBCD（SAS）， CAF=B=60 ， EAF=BAC+CAF=1
20、20 ； DE=EF；理由如下： DCF=60 ，DCE=30 ， FCE=60 -30 =30 ， DCE=FCE， 在DCE 和FCE 中， DCEFCE（SAS）， DE=EF； （2）ABC是等腰直角三角形，ACB=90 ， AC=BC，BAC=B=45 ， DCF=90 ， ACF=BCD， 在ACF和BCD 中， ACFBCD（SAS）， CAF=B=45 ，AF=DB， EAF=BAC+CAF=90 ； AE2+DB2=DE2，理由如下： DCF=90 ，DCE=45 ， FCE=90 -45 =45 ， DCE=FCE， 在DCE 和FCE 中， DCEFCE（SAS）， DE
21、=EF， 在 RtAEF 中，AE2+AF2=EF2， 又AF=DB， AE2+DB2=DE2 【解析】【试题解析】 本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角 三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键 （1）由等边三角形的性质得出 AC=BC，BAC=B=60 ，求出ACF=BCD，证明ACFBCD，得出 CAF=B=60 ，求出EAF=BAC+CAF=120 ； 证出DCE=FCE，由 SAS证明DCEFCE，得出 DE=EF即可； （2） 由等腰直角三角形的性质得出AC=BC， BAC=
22、B=45 ， 证出ACF=BCD， 由SAS证明ACFBCD， 得出CAF=B=45 ，AF=DB，求出EAF=BAC+CAF=90 ； 证出DCE=FCE， 由SAS证明DCEFCE， 得出DE=EF； 在RtAEF中， 由勾股定理得出AE2+AF2=EF2， 即可得出结论 5.【答案】证明：ABC是等边三角形， ABC=ACB=CAB=60 ， 以点 C 为旋转中心，将线段 CA 按顺时针方向旋转 60 得到线段 CD， CD=CA，ACD=ACB=60 ， BO=DO，COBD， AC垂直平分 BD； MND是等边三角形， 如图 1，由知 AC垂直平分 BD， NB=ND，CBD= AB
23、C=30 ， 1=2， BND=180 -22， ND=NM， NB=NM， 3=4，BNM=180 -24， DNM=360 -180 +22-180 +24=2（2+4）=60 ， MND是等边三角形； （2）连接 AD，BN，如图 2， 由题意知，ACD是等边三角形， ADC=60 ，AD=CD， 与（1）同理可证1=2，3=NBM， BND=180 -22，BNM=180 -2NBM， MND=BND-BNM=2（NBM-2）=60 ， ND=NM， MND是等边三角形， DN=DM，NDM=60 ，ADC=NDM， NDA=MDC， 在AND与MDC 中 ， ANDCMD， NA=M
24、C 【解析】（1）根据等边三角形的性质和旋转的性质证明即可； （2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定方法，证明ANDCMD，再利用全等三角形的对应边 相等证明即可 本题主要考查线段的旋转、全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质等，解决此题的关键是能将三角 形的判定和性质、等边三角形的相关性质灵活的应用 6.【答案】解：（1）PM=PN PMPN （2）PMN 是等腰直角三角形 由旋转知，BAD=CAE， AB=AC，AD=AE， ABDACE（SAS）， ABD=ACE，BD=CE， 利用三角形的中位线得，PN= BD，PM= CE， PM=PN， PMN是等腰三角形， 同（1）的方法
25、得，PMCE， DPM=DCE， 同（1）的方法得，PNBD， PNC=DBC， DPN=DCB+PNC=DCB+DBC， MPN=DPM+DPN=DCE+DCB+DBC =BCE+DBC=ACB+ACE+DBC =ACB+ABD+DBC=ACB+ABC， BAC=90 ， ACB+ABC=90 ， MPN=90 ， PMN是等腰直角三角形； （3）方法 1：如图 2，同（2）的方法得，PMN是等腰直角三角形， MN 最大时，PMN的面积最大， DEBC且 DE 在顶点 A上面， MN 最大=AM+AN， 连接 AM，AN， 在ADE中，AD=AE=4，DAE=90 ， AM=2， 在 RtA
26、BC 中，AB=AC=10，AN=5， MN最大=2+5=7 ， SPMN 最大= PM2= MN2= （7）2= 方法 2：由（2）知，PMN是等腰直角三角形，PM=PN= BD， PM 最大时，PMN面积最大， 点 D 在 BA 的延长线上， BD=AB+AD=14， PM=7， SPMN 最大= PM2= 72= 【解析】 【分析】 此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形 的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出 PM= CE，PN= BD，解（2）的关 键是判断出ABDACE，解（3）的关键是判断出 MN 最
27、大时，PMN的面积最大 （1）利用三角形的中位线得出 PM= CE，PN= BD，进而判断出 BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的 中位线得出 PMCE得出DPM=DCA，最后用互余即可得出结论； （2）先判断出ABDACE，得出 BD=CE，同（1）的方法得出 PM= BD，PN= BD，即可得出 PM=PN， 同（1）的方法即可得出结论； （3）方法 1：先判断出 MN最大时，PMN的面积最大，进而求出 AN，AM，即可得出 MN最大=AM+AN， 最后用面积公式即可得出结论 方法 2： 先判断出 BD最大时， PMN的面积最大， 而 BD 最大是 AB+AD=14， 即可得出结论 【
28、解答】 解：（1）点 P，N 是 BC，CD 的中点， PNBD，PN= BD， 点 P，M是 CD，DE的中点， PMCE，PM= CE， AB=AC，AD=AE， BD=CE， PM=PN， PNBD， DPN=ADC， PMCE， DPM=DCA， BAC=90 ， ADC+ACD=90 ， MPN=DPM+DPN=DCA+ADC=90 ， PMPN， 故答案为：PM=PN，PMPN； （2）（3）见答案 7.【答案】解：（1）如图 1中， BAECAF， AE=AF，BAE=CAF， BAC=90 ，EAD=45 ， CAD+BAE=CAD+CAF=45 ， DAE=DAF，DA=DA
29、，AE=AF， AEDAFD（SAS） 如图 1中，设 DE=x，则 CD=9-x AB=AC，BAC=90 ， B=ACB=45 ， ABE=ACF=45 ， DCF=90 ， AEDAFD（SAS）， DE=DF=x， 在 RtDCF 中，DF2=CD2+CF2，CF=BE=3， x 2=（7-x）2+32， x=， DE= （2）当点 E 在线段 BC上时，如图 2中，连接 BE BAC=EAD=90 ， EAB=DAC， AE=AD，AB=AC， EABADC（SAS）， ABE=C=ABC=45 ，EB=CD=6， EBD=90 ， DE2=BE2+BD2=62+32=45， DE=
30、3 当点 D 在 CB的延长线上时，如图 3中，连接 BE 同法可证DBE 是直角三角形，EB=CD=12，DB=3， DE2=EB2+BD2=144+9=153， DE=3 综上所述，DE的值为 3或 3 【解析】（1）想办法证明DAE=DAF，由 DA=DA，AE=AF，即可证明 如图 1中，设 DE=x，则 CD=7-x在 RtDCF中，由 DF2=CD2+CF2，CF=BE=3，推出 x2=（7-x）2+32， 解方程即可 （2） 分两种情形当点E在线段BC上时， 如图2中， 连接BE 由EADADC， 推出ABE=C=ABC=45 ， EB=CD=5，推出EBD=90 ，推出 DE2
31、=BE2+BD2=62+32=45，即可解决问题 当点 D 在 CB的延长线上时，如图 3中，同法可得 DE2=153 本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确 寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题 8.【答案】解：（1）结论：FD=FC，DFCF 理由：如图 1中， ADE=ACE=90 ，AF=FE， DF=AF=EF=CF， FAD=FDA，FAC=FCA， DFE=FDA+FAD=2FAD，EFC=FAC+FCA=2FAC， CA=CB，ACB=90 ， BAC=45 ， DFC=EFD+EFC=2（F
32、AD+FAC）=90 ， DF=FC，DFFC （2）结论不变 理由：如图 2中，延长 AC到 M使得 CM=CA，延长 ED 到 N，使得 DN=DE，连接 BN、BMEM、AN，延 长 ME 交 AN于 H，交 AB于 O BCAM，AC=CM， BA=BM，同法 BE=BN， ABM=EBN=90 ， NBA=EBM， ABNMBE， AN=EM，BAN=BME， AF=FE，AC=CM， CF= EM，FCEM，同法 FD= AN，FDAN， FD=FC， BME+BOM=90 ，BOM=AOH， BAN+AOH=90 ， AHO=90 ， ANMH，FDFC （3）如图 3中，当点
33、E落在 AB上时，BF的长最大，最大值=3 如图 4 中，当点 E 落在 AB的延长线上时，BF 的值最小，最小值= 综上所述，BF 【解析】（1）结论：FD=FC，DFCF理由直角三角形斜边中线定理即可证明； （2）如图 2中，延长 AC到 M使得 CM=CA，延长 ED 到 N，使得 DN=DE，连接 BN、BMEM、AN，延 长 ME 交 AN于 H，交 AB于 O想办法证明ABNMBE，推出 AN=EM，再利用三角形中位线定理即可 解决问题； （3）分别求出 BF 的最大值、最小值即可解决问题； 本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、
34、三 角形中位线定理等知识， 解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题， 属于中考压轴题 9.【答案】或 【解析】（1）证明：如图中， AB=AC，PB=PD，BAC=BPD=60 ， ABC，PBD 是等边三角形， ABC=PBD=60 ， PBA=DBC， BP=BD，BA=BC， PBADBC（SAS）， PA=DC 解：如图中，设 BD交 PC于点 O PBADBC， BPA=BDC， BOP=COD， OBP=OCD=60 ，即DCP=60 （2）解：结论：CD=PA 理由：如图中， AB=AC，PB=PD，BAC=BPD=120 ， BC=BA，BD=BP， =， AB
35、C=PBD=30 ， ABP=CBD， CBDABP， =， CD=PA （3）过点 D作 DMPC于 M，过点 B作 BNCP交 CP的延长线于 N 如图 3-1 中，当PBA是钝角三角形时， 在 RtABN 中，N=90 ，AB=6，BAN=60 ， AN=ABcos60 =3，BN=ABsin60 =3， PN= =2， PA=3-2=1， 由（2）可知，CD=PA=， BAP=BDC， DCA=PBD=30 ， DMPC， DM= CD= 如图 3-2 中，当ABN是锐角三角形时，同法可得 PA=2=3=5，CD=5，DM= CD=， 综上所述，满足条件的 DM 的值为或 故答案为或
36、（1）证明PBADBC（SAS）可得结论 利用全等三角形的性质解决问题即可 （2）证明CBDABP，可得=解决问题 （3）分两种情形，解直角三角形求出 AD即可解决问题 本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等 知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题注意一 题多解 10.【答案】AM=BM 【解析】解：（1）如图中， ABC 折叠，使点 B与点 C 重合，折痕为 MN， MN 垂直平分线段 BC， CN=BN， MNB=ACB=90 ， MNAC， CN=BN， AM=BM 故答案为 AM=BM
37、 （2）如图中， CA=CB=6， A=B， 由题意 MN 垂直平分线段 BC， BM=CM， B=MCB， BCM=A， B=B， BCMBAC， =， =， BM=， AM=AB-BM=10-=， = = （3）如图中， 由折叠的性质可知，CB=CB=6，BCM=ACM， ACB=2A， BCM=A， B=B， BCMBAC， = =， BM=4， AM=CM=5， =， AC= 如图-1 中， A=A=MCF，PFA=MFC，PA=PA， PFAMFC， =， CM=5， =， 点 P在线段 OB 上运动，OA=OC=，AB=-6= ， PA， （1）利用平行线的方向的定理解决问题即可
38、（2）利用相似三角形的性质求出 BM，AM 即可 （3）证明BCMBAC，推出=，由此即可解决问题 证明PFAMFC，推出=，因为 CM=5，推出=即可解决问题 本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质， 平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题 11.【答案】解：（1）A（-1，0），B（0，）， OA=1，OB=， 在 RtAOB 中，tanBAO=， BAO=60 ； （2）BAO=60 ，AOB=90 ， ABO=30 ， CA=AC= AB， OA=AA=AO， 根据等边三角形的性质可得，A
39、OA的边 AO、AA上的高相等， BAO 的面积和ABO 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即 S1=S2， （3）S1=S2不发生变化； 方法 1、理由：如图，过点作 AMOB过点 A作 ANOB交 BO 的延长线于 N， ABO 是由ABO绕点 O旋转得到， BO=OB，AO=OA， AON+BON=90 ，AOM+BON=180 -90 =90 ， AON=AOM， 在AON 和AOM 中， AONAOM（AAS）， AN=AM， BOA的面积和ABO 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即 S1=S2 方法 2、如图 2， 在 x轴正半轴上取一点 C，使 OC=OA，
40、连接 BC， SAOB =SBOC， 由旋转知，AO=AO，BO=BO， OC=OA BOC=AOB=90 ， AOB=COB， AOBCOB， SAOB =SCOB， SAOB =SAOB， 即 S1=S2 【解析】（1）先求出 OA，OB，再用锐角三角函数即可得出结论； （2） 根据等边三角形的性质可得 AO=AA， 再根据直角三角形 30 角所对的直角边等于斜边的一半求出 AO= AB，然后求出 AO=OA，再根据等边三角形的性质求出点 O 到 AB 的距离等于点 A到 AO的距离，然后根 据等底等高的三角形的面积相等解答； （3） 方法 1、 根据旋转的性质可得 BO=OB， AA=O
41、A， 再求出AON=AOM， 然后利用“角角边”证明AON 和AOM 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AN=AM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明 方法 2、利用三角形的中线判断出 SAOB=SBOC，再判断出AOBCOB，即 SAOB=SCOB，即可 此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，三角形的面积计算公式， 等边三角形的判定与性质，直角三角形 30 角所对的直角边等于斜边的一半的性质的综合应用，熟练掌握等 底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键 12.【答案】 【解析】解：（1）当 =0时， RtABC 中，B=90 ，
42、AC= =2， 点 D、E 分别是边 BC、AC的中点， AE= AC=，BD= BC=1， = 如图 1-1 中， 当 =180时， 可得 ABDE， =， = 故答案为：， （2）如图 2， 当 0360 时，的大小没有变化， ECD=ACB， ECA=DCB， 又=， ECADCB， = （3）如图 3-1 中，当点 E在 AB的延长线上时， 在 RtBCE 中，CE=，BC=2， BE= =1， AE=AB+BE=5， =， BD= 如图 3-2 中，当点 E在线段 AB 上时， 易知 BE=1，AE=4-1=3， =， BD=， 综上所述，满足条件的 BD的长为 （1）当 =0时，在
43、 RtABC中，由勾股定理，求出 AC的值是多少；然后根据点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点，分别求出 AE、BD的大小，即可求出的值是多少 =180时，可得 ABDE，然后根据=，求出的值是多少即可 （2）首先判断出ECA=DCB，再根据=，判断出ECADCB，然后由相似三角形的对应边成比 例，求得答案 （3）分两种情形：如图 3-1 中，当点 E在 AV的延长线上时，如图 3-2 中，当点 E 在线段 AB上时，分 别求解即可 本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，解直角三角形等 知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思
44、想思考问题，属于中考压轴题 13.【答案】ADBD 4 【解析】解：【问题探究】 （1）ABC 和DEC均为等腰直角三角形， AC=BC，CE=CD，ABC=DEC=45 =CDE ACB=DCE=90 ， ACD=BCE，且 AC=BC，CE=CD ACDBCE（SAS） ADC=BEC=45 ADE=ADC+CDE=90 ADBD 故答案为：ADBD 如图，过点 C作 CFAD于点 F， ADC=45 ，CFAD，CD= DF=CF=1 AF=3 AD=AF+DF=4 故答案为：4 【拓展延伸】 （2）若点 D在 BC 右侧， 如图，过点 C 作 CFAD于点 F， ACB=DCE=90
45、，AC=，BC=，CD=，CE=1 ACD=BCE， ACDBCE ADC=BEC， CD=，CE=1 DE=2 ADC=BEC，DCE=CFD=90 DCECFD， 即 CF= ，DF= AF= AD=DF+AF=3 若点 D在 BC左侧， ACB=DCE=90 ，AC=，BC=，CD=，CE=1 ACD=BCE， ACDBCE ADC=BEC， CED=CDF CD=，CE=1 DE=2 CED=CDF，DCE=CFD=90 DCECFD， 即 CF= ，DF= AF= AD=AF-DF=2 【问题探究】 （1）由“SAS”可证ACDBCE，可得ADC=BEC=45 ，可得 ADBD； 过点 C 作 CFAD于点 F，由勾股定理可求 DF，CF，AF的长，即可求 AD的长； 【拓展延伸】 （2）分点 D在 BC 左侧和 BC 右侧两种情况讨论，根据勾股定理和相似三角形的性质可求解 本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三 角形的性质等知识点，关键是添加恰当辅助线
